Eksamensoppgaver etter tema

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter. Den høyeste inntekten finner vi der den deriverte er null.

1. Sett opp inntekten Med prisen \( \textcolor{blue}{p} \) selger bedriften \( \textcolor{red}{E(p)} \) enheter i uka, så: \[ \begin{aligned} I(p) &= \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{(2700 - p^2)} \\ &= 2700p - p^3 \end{aligned} \]

2. Deriver og sett lik null Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd og setter den deriverte lik null, som for toppunktet i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} I'(p) = 2700 - 3p^2 &= 0 \\ p^2 &= 900 \\ p &= 30 \end{aligned} \]Vi forkaster \( {p = -30}\text{,} \) fordi \( p \in [10, 45]\text{.} \)

3. Sjekk at det er et toppunkt \( {I'(p) = 3(900 - p^2)} \) er positiv for \( {p < 30} \) og negativ for \( {p > 30}\text{,} \) så inntekten stiger fram til \( {p = 30} \) og synker etterpå. Inntekten blir da: \[ I(30) = 81\,000 - 27\,000 = 54\,000 \]

Vi lager en kostnadsmodell med regresjon og skriver inntekten som en funksjon av antall enheter \( x\text{.} \) Så finner vi toppunktet til overskuddet \( {O(x) = I(x) - K(x)}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du øve på å skrive inntekten som funksjon av \( x\text{,} \) og på å derivere \( O(x) \) når \( K(x) \) er gitt.

1. Lag kostnadsmodellen Kostnadene vokser stadig raskere, så vi bruker andregradsregresjon, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi lager en liste med punktene og skriver \( {K(x) =} \) RegPoly(l1, 2). Modellen går gjennom alle de fem punktene: \[ K(x) = 0{,}01x^2 + 15x + 5000 \]

2. Skriv inntekten som funksjon av x Bedriften selger \( {\textcolor{red}{x} = 2700 - \textcolor{blue}{p}^2} \) enheter. Løser vi for prisen, får vi \( {\textcolor{blue}{p} = \sqrt{2700 - x}}\text{,} \) så: \[ I(x) = \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{x} = x\sqrt{2700 - x} \]Prisen \( p \in [10, 45] \) gir \( x \in [675, 2600]\text{.} \)

3. Finn toppunktet til overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad: \[ \begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= x\sqrt{2700 - x} \\ &\quad - (0{,}01x^2 + 15x + 5000) \end{aligned} \]

Vi skriver det inn på intervallet og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Toppunktet ligger ikke på et helt tall, så vi regner også ut \( O(874) \) og \( O(875)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(50, 5775), (100, 6600), (300, 10400), (600, 17600), (1000, 30000)} K(x) = RegPoly(l1, 2) O(x) = Funksjon(x*sqrt(2700 - x) - K(x), 675, 2600) E = Ekstremalpunkt(O, 675, 2600) A = O(874) B = O(875)

Toppunktet er \( (874{,}54;\ 11\,598{,}77)\text{.} \) Bedriften må selge et helt antall enheter, så vi sammenligner 874 og 875: \[ \begin{aligned} O(874) &\approx 11\,598{,}764 \\ O(875) &\approx 11\,598{,}766 \end{aligned} \]\( O(875) \) er størst, så overskuddet er størst med 875 enheter i uka.

Salget øker stadig mindre, så vi sammenligner snittet bedriften må selge resten av året med der salget flater ut. Med GeoGebra lager vi en logistisk modell og summerer den over 52 uker.

1. Regn ut snittet som trengs De 8 første ukene er det solgt \( 6460 \) enheter til sammen. Resten av året, \( {52 - 8 = 44} \) uker, må det selges: \[ \dfrac{45\,000 - 6460}{44} = \dfrac{38\,540}{44} \approx \textcolor{red}{876} \]enheter i uka i snitt.

2. Sammenlign med trenden Økningen fra uke til uke er \( 70\text{,} \) \( 40\text{,} \) \( 30\text{,} \) \( 20\text{,} \) \( 15\text{,} \) \( 5 \) og \( 5\text{,} \) så salget flater ut rundt \( \textcolor{blue}{870} \) i uka, under \( \textcolor{red}{876}\text{.} \) Selv om bedriften solgte \( \textcolor{blue}{875} \) hver eneste uke resten av året, mer enn salget flater ut på, ville den bare nå: \[ 6460 + 44 \cdot \textcolor{blue}{875} = 44\,960 \]Det er under \( 45\,000\text{,} \) så bedriften når ikke målet.

1. Lag en logistisk modell og summer Salget vokser og flater ut, så vi bruker logistisk regresjon, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den finner tallene i modellen som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Så summerer vi modellen for uke 1 til 52:

Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(1, 680), (2, 750), (3, 790), (4, 820), (5, 840), (6, 855), (7, 860), (8, 865)} s(x) = RegLogist(l2) S = Sum(s(k), k, 1, 52)

Med tallene avrundet til tre desimaler er modellen: \[ s(x) \approx \dfrac{\textcolor{red}{871{,}812}}{1 + \textcolor{blue}{0{,}464} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}507}x}} \]Den flater ut på omtrent \( \textcolor{red}{872} \) enheter i uka og gir \( {S \approx 44\,809} \) enheter det første året. Det er under \( 45\,000\text{,} \) så bedriften når ikke målet.

Merk – Andre modeller: En logaritmisk modell og en potensmodell vokser uten grense og gir omtrent \( 50\,000 \) og \( 51\,000 \) enheter, altså ja. De passer dårligere med at økningen nesten har stoppet opp, så vi velger den logistiske modellen. Andre modeller kan også være riktige når valget er begrunnet.

Formen er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra. Uke 17 er \( {t = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du øve på å gjøre om ukene til \( t\text{,} \) og på å lese av en logistisk modell: \( B \) er verdien grafen flater ut på, og \( {I(0) = \dfrac{B}{1 + a}}\text{.} \)

1. Lag modellen med regresjon Vi gjør om ukene til \( {t = \text{uke} - 17}\text{,} \) så uke 17 til 24 blir \( {t = 0} \) til \( 7\text{.} \) Formen er logistisk, så vi lager en liste med punktene og bruker RegLogist, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Regresjonen finner tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 2900), (1, 4400), (2, 12200), (3, 23400), (4, 28800), (5, 34600), (6, 41000), (7, 40800)} I(x) = RegLogist(l1)

Med \( \textcolor{red}{B} \) til hele kroner, \( \textcolor{blue}{a} \) med to desimaler og \( \textcolor{green}{k} \) med fire desimaler er modellen: \[ I(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{41\,999}}{1 + \textcolor{blue}{14{,}76} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}9035}t}} \]I b) og c) regner vi videre med modellen slik GeoGebra har den, uten avrunding.

2. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har tall fra \( {t = 0} \) til \( {t = 7}\text{,} \) og der ligger punktene nær grafen.

Modellen sier at inntekten flater ut på omtrent \( \textcolor{red}{42\,000} \) kr per uke og holder seg der. Salget av planter er størst om våren og sommeren, så utover høsten vil inntekten trolig falle igjen.

Før uke 17 var det ikke noe salg, men modellen gir positive verdier også for \( {t < 0}\text{.} \) Modellen gjelder derfor bare for de ukene i sesongen der salget holder seg, fra \( {t = 0} \) og noen uker etter \( {t = 7}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Merk – Åpen vurdering: Hvor langt fram modellen gjelder, kan ikke tabellen avgjøre. Andre grenser kan også være riktige når de er begrunnet.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Hvor fort inntekten øker, er den deriverte \( I'(t)\text{.} \) Vi finner toppunktet til grafen til \( I'\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du bruke at en logistisk funksjon vokser raskest der den er halvveis opp, \( {I(t) = \dfrac{B}{2}}\text{.} \) Det gir \( {a \cdot e^{-kt} = 1}\text{,} \) altså \( {t = \dfrac{\ln a}{k} \approx 2{,}98}\text{,} \) og veksten der er \( {\dfrac{B \cdot k}{4}}\text{,} \) omtrent 9487 med tallene i svaret i a).

1. Finn toppunktet til den deriverte I a) fant vi modellen: \[ I(t) \approx \dfrac{41\,999}{1 + 14{,}76 \cdot e^{-0{,}9035t}} \]Veksten i inntekten er \( \textcolor{red}{I'(t)}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi skriver inn den deriverte og finner toppunktet med Maks:

Skriv inn i GeoGebra: D(x) = I'(x) M = Maks(D, 0, 10)

Toppunktet er \( {M \approx (2{,}98;\ 9486)}\text{.} \)

2. Tolk svaret \( {t \approx 2{,}98} \) er omtrent 3 uker etter uke 17, altså i uke 20. Da økte inntekten med omtrent \( \textcolor{red}{9486} \) kr per uke for hver uke som gikk.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( I(t) \) er inntekten i kroner per uke, så integralet fra \( 0 \) til \( x \) er den samlede inntekten de \( x \) første ukene. Vi finner en antiderivert med substitusjon og løser likningen med \( \ln\text{.} \)

1. Finn en antiderivert Modellen er \( {I(t) = \dfrac{B}{1 + a \cdot e^{-kt}}}\text{.} \) Vi ganger teller og nevner med \( e^{kt}\text{:} \) \[ I(t) = \dfrac{B \cdot e^{kt}}{\textcolor{green}{e^{kt} + a}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{kt} + a}} \) er \( {\textcolor{green}{u}' = k \cdot e^{kt}}\text{,} \) så telleren er \( \dfrac{B}{k} \) ganger den deriverte av nevneren. Da bruker vi substitusjon, som i videoen Substitusjon, og at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt = \ln \textcolor{green}{u} + c \]

Det gir: \[ \int I(t)\,dt = \dfrac{B}{k}\ln\left(\textcolor{green}{e^{kt} + a}\right) + c \]

2. Løs likningen I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 1 + a}\text{.} \) Setter vi inn grensene og ganger med \( \dfrac{k}{B}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\textcolor{green}{e^{k\textcolor{blue}{x}} + a}\right) &- \ln(\textcolor{green}{1 + a}) \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{65\,000} \cdot k}{B} \end{aligned} \]

Med tallene i svaret i a), \( {B = 41\,999}\text{,} \) \( {a = 14{,}76} \) og \( {k = 0{,}9035}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\textcolor{green}{e^{k\textcolor{blue}{x}} + a}\right) &= \ln 15{,}76 \\ &\quad + \dfrac{\textcolor{red}{65\,000} \cdot 0{,}9035}{41\,999} \\ &\approx 4{,}1558 \end{aligned} \]

Vi opphøyer \( e \) i begge sider og løser for \( \textcolor{blue}{x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} e^{0{,}9035\textcolor{blue}{x}} + 14{,}76 &\approx e^{4{,}1558} \approx 63{,}80 \\ e^{0{,}9035\textcolor{blue}{x}} &\approx 49{,}04 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{\ln 49{,}04}{0{,}9035} \approx \textcolor{blue}{4{,}31} \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Arealet under grafen til \( I \) er den samlede inntekten, på samme måte som arealet under en fartsgraf er strekningen, som i videoen Hva er integrasjon. Ifølge modellen har hagesenteret tjent \( \textcolor{red}{65\,000} \) kr til sammen på plantene omtrent \( \textcolor{blue}{4{,}3} \) uker etter at salget startet, altså i løpet av uke 21.

1. Løs likningen i CAS I a) fant vi modellen: \[ I(t) \approx \dfrac{41\,999}{1 + 14{,}76 \cdot e^{-0{,}9035t}} \]Den står i Algebrafeltet fra a), og CAS kan bruke den. Vi løser likningen med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, med startverdien \( {x = 4}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Integral(I(t), t, 0, x) = 65000, x = 4)

Rad 1 gir \( {\textcolor{blue}{x \approx 4{,}31}}\text{,} \) det samme som med kalkulatoren. Hagesenteret har altså tjent \( \textcolor{red}{65\,000} \) kr på plantene i løpet av uke 21.

Vi regner ut hva modellen gir for ukene i tabellen og sammenligner med målingene. Modellen er logistisk, så den vokser og flater ut mot et tak.

1. Regn ut modellverdiene Vi setter ukene fra tabellen inn i \( L(t)\text{,} \) og runder av til én desimal: \[ \begin{aligned} L(1) &\approx 14{,}7 & L(5) &\approx 33{,}4 \\ L(10) &\approx 74{,}2 & L(15) &\approx 117{,}2 \\ L(20) &\approx 142{,}0 \end{aligned} \]Målingene er 14, 32, 80, 115 og 145 km. Modellen bommer med under 6 km hver uke, og den følger både den raske økningen og at den avtar mot slutten.

2. Forklar modelltypen Modellen har formen \[ L(t) = \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + a \cdot e^{-kt}} \]med \( {\textcolor{red}{C} = \textcolor{red}{156{,}31}}\text{.} \) Den vokser sakte først, så raskt, og flater så ut mot \( \textcolor{red}{C}\text{.} \)

Det passer for løpetrening. Marco starter forsiktig og øker mer og mer når kroppen tåler det. Men han har bare så mye tid og så mye kroppen tåler, så antall kilometer per uke kan ikke vokse uten grense. \( \textcolor{red}{C} \) er taket, omtrent 156 km per uke.

1. Lag logistisk regresjon Vi legger punktene i en liste og lager logistisk regresjon, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den finner tallene i modellen som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi tegner også \( L \) fra oppgaven:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 14), (5, 32), (10, 80), (15, 115), (20, 145)} f(x) = RegLogist(l1) L(x) = 156.31/(1 + 12.21*ℯ^(-0.24x))

Regresjonen gir: \[ f(x) \approx \dfrac{156{,}31}{1 + 12{,}21e^{-0{,}24x}} \]med tallene avrundet til to desimaler. Det er modellen \( L\text{,} \) og grafen går nær alle punktene.

Økningen er den deriverte \( L'(t)\text{.} \) En logistisk funksjon vokser raskest i vendepunktet, der den er kommet halvveis til taket \( 156{,}31\text{.} \)

1. Finn når modellen er halvveis Vi setter \( {L(t) = \dfrac{156{,}31}{2}}\text{.} \) Det skjer når nevneren er 2, altså når \( {\textcolor{green}{12{,}21e^{-0{,}24t}} = 1}\text{.} \) Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} e^{-0{,}24t} &= \dfrac{1}{12{,}21} \\ -0{,}24t &= -\ln 12{,}21 \\ t &= \dfrac{\ln 12{,}21}{0{,}24} \approx 10{,}43 \end{aligned} \]

2. Deriver med kjerneregelen Vi skriver \( {L(t) = 156{,}31 \cdot \left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{12{,}21e^{-0{,}24t}}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = -0{,}24 \cdot \textcolor{green}{u}}\text{.} \) Den ytre funksjonen er \( {g(\textcolor{green}{u}) = 156{,}31(1 + \textcolor{green}{u})^{-1}}\text{:} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \big(g(\textcolor{green}{u})\big)' = g'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen. Det gir: \[ \begin{aligned} L'(t) &= -156{,}31 \cdot \left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^{-2} \\ &\quad \cdot (-0{,}24\textcolor{green}{u}) \\ &= \dfrac{156{,}31 \cdot 0{,}24 \cdot \textcolor{green}{u}}{\left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^2} \end{aligned} \]

3. Regn ut økningen I \( {t \approx 10{,}43} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 1}\text{:} \) \[ L'(10{,}43) = \dfrac{156{,}31 \cdot 0{,}24 \cdot 1}{2^2} \approx 9{,}38 \]

Det er den største økningen, for brøken \( {\dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2}} \) er aldri større enn \( \dfrac{1}{4}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2} \le \dfrac{1}{4} \iff (1 - \textcolor{green}{u})^2 \ge 0 \]Da økte antallet kilometer per uke med omtrent 9,4 km for hver uke.

1. Finn vendepunktet i CAS Vendepunktet er der \( {L''(t) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi løser med NLøs og setter løsningen inn i \( L'\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: L(t) := 156.31/(1 + 12.21*ℯ^(-0.24t)) NLøs(L''(t) = 0, t = 10) L'(10.4261)

Rad 2 gir \( {t \approx 10{,}43} \) uker, og rad 3 gir økningen \( 9{,}38 \) km per uke per uke.

\( L \) er kilometer per uke, så integralet av \( L \) er hvor langt Marco har løpt. Vi løser likningen der integralet er 500, og deler 500 km på antall uker.

1. Sett opp likningen Modellen fra a) er: \[ L(t) = \dfrac{156{,}31}{1 + 12{,}21e^{-0{,}24t}} \]

Strekningen er integralet av farten, som i videoen Eksamen 2018 August oppgave 2a. Etter \( \textcolor{blue}{x} \) uker har Marco løpt 500 km når: \[ \int_0^{\textcolor{blue}{x}} L(t)\,dt = 500 \]

2. Finn en antiderivert Vi ganger teller og nevner med \( e^{0{,}24t}\text{:} \) \[ L(t) = \dfrac{156{,}31 \cdot e^{0{,}24t}}{\textcolor{green}{e^{0{,}24t} + 12{,}21}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{0{,}24t} + 12{,}21}} \) er \( {\textcolor{green}{u}' = 0{,}24e^{0{,}24t}}\text{,} \) så telleren er \( \dfrac{156{,}31}{0{,}24} \) ganger den deriverte av nevneren. Da bruker vi substitusjon, som i videoen Substitusjon, og at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt = \ln \textcolor{green}{u} + c \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \int L(t)\,dt &= \dfrac{156{,}31}{0{,}24} \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt \\ &= \dfrac{156{,}31}{0{,}24}\ln \textcolor{green}{u} + c \end{aligned} \]

3. Løs likningen I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 13{,}21}\text{.} \) Setter vi inn grensene, får vi: \[ \dfrac{156{,}31}{0{,}24}\left(\ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} - \ln \textcolor{green}{u(0)}\right) = 500 \]

Vi ganger med \( \dfrac{0{,}24}{156{,}31} \) og løser for \( \textcolor{blue}{x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} &= \ln 13{,}21 + \dfrac{120}{156{,}31} \\ &\approx 3{,}3487 \\ e^{0{,}24\textcolor{blue}{x}} + 12{,}21 &\approx e^{3{,}3487} \approx 28{,}47 \\ e^{0{,}24\textcolor{blue}{x}} &\approx 16{,}26 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{\ln 16{,}26}{0{,}24} \approx \textcolor{blue}{11{,}62} \end{aligned} \]

4. Regn ut gjennomsnittet Han løp 500 km på \( \textcolor{blue}{11{,}62} \) uker, altså i uke 12. I gjennomsnitt er det: \[ \dfrac{500}{\textcolor{blue}{11{,}62}} \approx 43{,}0 \]km per uke.

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen \( {\int_0^{x} L(t)\,dt = 500} \) med NLøs. Rad 1 er modellen fra a), og rad 3 deler 500 km på antall uker:

Skriv inn i GeoGebra: L(t) := 156.31/(1 + 12.21*ℯ^(-0.24t)) NLøs(Integral(L(t), t, 0, x) = 500, x = 12) 500/11.6184

Rad 2 gir \( {\textcolor{blue}{x} \approx \textcolor{blue}{11{,}62}} \) uker. Før skokjøpet løp han altså 500 km på 11,62 uker, og rad 3 gir gjennomsnittet: \[ \dfrac{500}{\textcolor{blue}{11{,}62}} \approx 43{,}0 \]

Tallene vokser sakte, så raskt og så saktere igjen, som en logistisk modell. Vi lar \( x \) være antall år etter 2008 og bruker logistisk regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på å se av tallene hvilken type modell som passer, og på å bruke en gitt logistisk modell med kalkulator.

Merk – Andre modeller: Oppgaven lar oss velge modell selv. En annen modell kan også være riktig når valget er begrunnet, men et polynom passer dårlig for årene etterpå, fordi det ikke flater ut.

1. Velg modell Økningen er \( 68\text{,} \) \( 176\text{,} \) \( 210\text{,} \) \( 126 \) og \( 73 \) millioner kroner for hvert andre år. Den blir først større og så mindre, så veksten bremser opp. Da passer en logistisk modell, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den vokser på samme måte, og flater ut mot en øvre grense. Det passer også for årene etterpå: hvor mye folk bruker på strømming, kan ikke vokse uten grense.

2. Legg punktene inn i GeoGebra Med \( x \) år etter 2008 blir årene \( 0\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 6\text{,} \) \( 8 \) og \( 10\text{.} \) Vi skriver dem i kolonne A og beløpene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

3. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{1 + \textcolor{blue}{a}e^{-\textcolor{green}{b}x}} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)

Grafen går nær alle punktene, og flater ut mot \( {\textcolor{red}{c} \approx \textcolor{red}{660}} \) millioner kroner per år. Med to desimaler, og fire i eksponenten, er modellen: \[ F(x) \approx \dfrac{\textcolor{red}{660{,}36}}{1 + \textcolor{blue}{30{,}72}e^{-\textcolor{green}{0{,}7066}x}} \]

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Integralene regner vi ut med en antiderivert av modellen. Summen og differansekvotienten regner vi ut ved å sette inn i modellen.

1. Finn en antiderivert I a) fant vi modellen, med konstantene avrundet som i svaret: \[ F(x) \approx \dfrac{660{,}36}{1 + 30{,}72e^{-0{,}7066x}} \]

Ganger vi med \( e^{0{,}7066x} \) over og under brøkstreken, får vi: \[ F(x) \approx \dfrac{660{,}36\,e^{0{,}7066x}}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72} \]

Telleren er en konstant ganger den deriverte av nevneren. Integrasjon med substitusjon forteller oss at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u'}}{\textcolor{green}{u}}\,dx = \ln \textcolor{green}{u} + C \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{0{,}7066\,e^{0{,}7066x}} \end{aligned} \]

Telleren er \( \dfrac{660{,}36}{0{,}7066} \) ganger \( \textcolor{green}{u'}\text{,} \) så en antiderivert er: \[ H(x) = \dfrac{660{,}36}{0{,}7066}\ln\left(\textcolor{green}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72}\right) \]

2. Regn ut de fire tallene Integralene er differanser av \( H\text{:} \) \[ \begin{aligned} I &= H(10{,}5) - H(-0{,}5) \approx 3728{,}9 \\ G &= \dfrac{H(7{,}5) - H(2{,}5)}{5} \approx 344{,}5 \end{aligned} \]

\( S \) og \( D \) regner vi ut med \( F \) på kalkulatoren: \[ \begin{aligned} S &= F(0) + F(1) + \ldots + F(10) \\ &\approx 3729{,}0 \\ D &= \dfrac{F(5{,}001) - F(5)}{0{,}001} \approx 116{,}3 \end{aligned} \]

1. Regn ut formlene i CAS Rad 1 henter modellen fra lista \( l_1\text{.} \) Så skriver vi integralene med Integral, summen med Sum og differansekvotienten. Hvis du er usikker på hva integralet er, kan du se videoen Hva er integrasjon:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) := RegLogist(l1) ≈ Integral(F(x), -0.5, 10.5) ≈ 1/5 Integral(F(x), 2.5, 7.5) ≈ Sum(F(i), i, 0, 10) ≈ (F(5.001) - F(5))/0.001

Det gir: \[ \begin{aligned} I &\approx 3728{,}74 & G &\approx 344{,}45 \\ S &\approx 3728{,}82 & D &\approx 116{,}31 \end{aligned} \]

\( I \) og \( S \) er nesten like. Det er ingen tilfeldighet, og c) forklarer hvorfor.

Fra b) er \( {I \approx 3729}\text{,} \) \( {G \approx 344}\text{,} \) \( {S \approx 3729} \) og \( {D \approx 116}\text{.} \) Modellen \( F(x) \) fra a) gir millioner kroner per år, \( x \) år etter 2008. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser hvilke år hver formel dekker. Året \( {2008 + i} \) svarer til intervallet fra \( {x = i - 0{,}5} \) til \( {x = i + 0{,}5}\text{.} \)

1. Tolk integralene \( F \) gir millioner kroner per år, så integralet av \( F \) over et tidsrom er det som ble brukt i det tidsrommet. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Fra \( {x = -0{,}5} \) til \( {x = 10{,}5} \) dekker \( \textcolor{blue}{I} \) årene 2008 til 2018: \[ \textcolor{blue}{I} \approx \textcolor{blue}{3729} \text{ millioner kroner totalt} \]

\( G \) er integralet fra \( 2{,}5 \) til \( 7{,}5\text{,} \) altså årene 2011 til 2015, delt på de \( 5 \) årene. Det er gjennomsnittet per år.

2. Tolk summen og differansekvotienten \( \textcolor{green}{S} \) legger sammen beløpet for hvert av de \( 11 \) årene 2008 til 2018. Det er nesten det samme som \( \textcolor{blue}{I}\text{,} \) fordi hvert år er en stripe med bredde \( 1 \) under grafen.

\( D \) er stigningstallet mellom \( {x = 5} \) og \( {x = 5{,}001}\text{,} \) nesten den deriverte \( F'(5)\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det er hvor fort beløpet økte i 2013.