Eksamensoppgaver etter tema

Sidelengdene minker med \( 0{,}1\,\text{m} \) for hver plate, så summen av dem er en aritmetisk rekke. Det største antallet plater finner vi ved at sidelengden må være positiv.

1. Sett opp rekken I en aritmetisk rekke er ledd nummer \( n\text{:} \) \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{-0{,}1}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a_n &= \textcolor{blue}{5} + (n - 1) \cdot (\textcolor{red}{-0{,}1}) \\ &= 5{,}1 - 0{,}1n \end{aligned} \]

Summen av sidelengdene i meter er rekken: \[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + (5{,}1 - 0{,}1n) \]

2. Finn det største antallet plater Hver treplate må ha en sidelengde større enn \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5{,}1 - 0{,}1n &> 0 \\ n &< 51 \end{aligned} \]

Det største antallet er altså \( {n = 50}\text{.} \) Da er den øverste platen \( {a_{50} = 5{,}1 - 5 = 0{,}1\,\text{m}}\text{,} \) og rekken er: \[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + 0{,}2 + 0{,}1 \]

Arealet blir ganget med det samme tallet for hver ny plate, så arealene danner en geometrisk rekke. Det samlede arealet kan ikke bli større enn summen av den uendelige rekken.

1. Finn kvotienten Når sidelengden blir \( 10\,\% \) kortere, blir den ganget med \( 0{,}9\text{.} \) Arealet er sidelengden i andre, så arealet blir ganget med: \[ \textcolor{red}{k} = 0{,}9^2 = \textcolor{red}{0{,}81} \]

Arealene i kvadratmeter danner derfor en geometrisk rekke: \[ \textcolor{blue}{19} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81}^2 + \dots \]

2. Regn ut den uendelige summen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{19}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}81}}\text{.} \) Siden \( {-1 < 0{,}81 < 1}\text{,} \) konvergerer rekken. Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{19}}{1 - \textcolor{red}{0{,}81}} = \dfrac{19}{0{,}19} = 100 \]Med uendelig mange plater blir arealet \( 100\,\text{m}^2\text{.} \) Et tårn har endelig mange plater, så arealet blir litt mindre, men kan komme så nær \( 100\,\text{m}^2 \) vi vil.

Hvert innskudd vokser med vekstfaktoren \( 1{,}054 \) for hvert år det står på kontoen. Saldoen 31.12.2025 er summen av de fem innskuddene med renter, og den summen er en geometrisk rekke.

1. Skriv saldoen som en rekke Innskuddet fra 1. januar 2025 har fått renter i 1 år, og innskuddet fra 2021 i 5 år. Saldoen 31.12.2025 er summen av de fem innskuddene med renter: \[ \begin{aligned} S_5 = \ &27\,500 \cdot \textcolor{blue}{1{,}054} \\ &+ 27\,500 \cdot \textcolor{blue}{1{,}054}^2 \\ &+ \ldots + 27\,500 \cdot \textcolor{blue}{1{,}054}^5 \end{aligned} \]Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{1{,}054}}\text{,} \) så rekken er geometrisk med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{5}} \) ledd og første ledd: \[ \textcolor{red}{a_1} = 27\,500 \cdot 1{,}054 = \textcolor{red}{28\,985} \]

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}\left(1 - \textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{n}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_5 &= \dfrac{\textcolor{red}{28\,985}\left(1 - \textcolor{blue}{1{,}054}^{\textcolor{green}{5}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{1{,}054}} \\ &\approx 161\,445 \end{aligned} \]

1. Regn ut summen i CAS Vi lar Sum legge sammen de fem leddene \( {27\,500 \cdot 1{,}054^k} \) for \( {k = 1} \) til \( 5\text{,} \) og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Sum(27500*1.054^k, k, 1, 5)

Summen er omtrent \( 161\,445 \) kr.

Lånebeløpet er lik nåverdien av alle terminbeløpene, og den summen er en geometrisk rekke. Vi finner terminbeløpet på huslånet, trekker det fra 200 000 og løser likningen for forbrukslånet med NLøs.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for renten kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du sette opp likningen og prøve deg fram med kalkulatoren: \( {r = 0{,}15} \) gir en nåverdi på omtrent \( 154\,900 \) kr og \( {r = 0{,}16} \) omtrent \( 149\,200 \) kr, så renten ligger mellom \( 15\,\% \) og \( 16\,\%\text{.} \)

1. Sett opp nåverdien som en rekke Med terminbeløpet \( \textcolor{red}{T}\text{,} \) renten \( \textcolor{blue}{r} \) og \( \textcolor{green}{n} \) år er lånebeløpet summen av nåverdiene av terminbeløpene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1 + \textcolor{blue}{r}} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^2} + \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^{\textcolor{green}{n}}} \]Det er en geometrisk rekke med \( {a_1 = \dfrac{T}{1 + r}} \) og \( {k = \dfrac{1}{1 + r}}\text{.} \) Summeformelen \( {S_n = \dfrac{a_1(1 - k^n)}{1 - k}} \) fra a) gir, når vi forkorter: \[ \text{lån} = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{n}}}{\textcolor{blue}{r}} \]

2. Finn terminbeløpet på huslånet Huslånet er \( 2\,600\,000 \) kr med \( {\textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{0{,}05}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{30}}\text{.} \) Vi løser for \( T\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{\text{hus}} &= \dfrac{2\,600\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}05}}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}^{-\textcolor{green}{30}}} \\ &\approx 169\,133{,}73 \end{aligned} \]Da blir terminbeløpet på forbrukslånet: \[ \begin{aligned} T &= 200\,000 - 169\,133{,}73 \\ &= 30\,866{,}27 \end{aligned} \]

3. Løs likningen i CAS Forbrukslånet er \( 150\,000 \) kr med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{10}}\text{,} \) så renten \( \textcolor{blue}{r} \) må oppfylle: \[ 150\,000 = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{10}}}{\textcolor{blue}{r}} \]På samme CAS-ark som i a) løser vi likningen med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: 2600000*0.05/(1 - 1.05^(-30)) T := 200000 - 169133.73 NLøs(150000 = T*(1 - (1 + r)^(-10))/r, r = 0.1)

Rad 4 gir \( {r \approx 0{,}1585}\text{,} \) altså omtrent \( 15{,}85\,\%\text{.} \)

Vi ser at rekken øker med \( 3 \) for hvert ledd. Vi finner derfor antall ledd med formelen for det \( n \)-te leddet, og bruker summeformelen for aritmetiske rekker.

1. Finn antall ledd Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{-3}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{3}}\text{,} \) og det siste leddet er \( 69\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-3} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{3} &= 69 \\ (n - 1) \cdot 3 &= 72 \\ n &= 25 \end{aligned} \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = n \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{a_1} + a_n}{2} \]Hvis du er usikker på summeformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 25}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{-3}} \) og \( {a_{25} = 69}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} S_{25} &= 25 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{-3} + 69}{2} \\ &= 25 \cdot 33 = 825 \end{aligned} \]

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser ulikheten for \( x\text{.} \)

1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med det samme tallet, så kvotienten er: \[ \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - x} \]

2. Løs ulikheten En uendelig geometrisk rekke konvergerer når: \[ -1 < \textcolor{red}{k} < 1 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn kvotienten, får vi: \[ \begin{aligned} -1 < \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - x} &< 1 \\ -\dfrac{3}{2} < -x &< \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2} < x &< \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]Vi trakk fra \( \dfrac{1}{2} \) og ganget med \( {-1}\text{.} \) Da snur ulikhetstegnene.

Etter det første fallet går ballen like langt opp som ned hver gang. Høydene den spretter, er en uendelig geometrisk rekke med \( {k = 0{,}75}\text{.} \)

1. Sett opp strekningene Ballen faller først \( 2\,\text{m}\text{.} \) Så spretter den \( {2 \cdot 0{,}75 = 1{,}5\,\text{m}} \) opp og faller like langt ned, så \( {1{,}5 \cdot 0{,}75\,\text{m}} \) opp og ned, og så videre: \[ \begin{aligned} s = 2 + 2 \cdot (&\textcolor{blue}{1{,}5} + 1{,}5 \cdot \textcolor{red}{0{,}75} \\ &+ 1{,}5 \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^2 + \dots) \end{aligned} \]

2. Summer rekken Summen av en uendelig geometrisk rekke med \( {-1 < k < 1} \) er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på summen av en uendelig geometrisk rekke, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}5}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}75}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s &= 2 + 2 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}5}}{1 - \textcolor{red}{0{,}75}} \\ &= 2 + 2 \cdot 6 = 14 \end{aligned} \]

Lånet er like mye verdt som alle terminbeløpene, når hvert av dem regnes tilbake til i dag. Disse nåverdiene danner en geometrisk rekke, og summeformelen gir terminbeløpet.

1. Sett opp rekken Et terminbeløp \( \textcolor{red}{T} \) som betales om \( n \) år, er i dag verdt \( \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04^n}\text{.} \) Summen av nåverdiene av de åtte terminbeløpene skal være prisen på bilen: \[ \begin{aligned} 357\,000 = \ &\dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04^8} \end{aligned} \]Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}04}}}\text{,} \) så rekken er geometrisk med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{8}} \) ledd og første ledd \( {a_1 = \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04}}\text{.} \)

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{a_1\left(1 - \textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{n}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} 357\,000 &= \dfrac{\dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04}\left(1 - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}04}}\right)^{\textcolor{green}{8}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}04}}} \\ &= \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - 1{,}04^{-8}}{0{,}04} \end{aligned} \]

I den siste linja har vi ganget teller og nevner med \( 1{,}04\text{,} \) så nevneren blir \( {1{,}04 - 1 = 0{,}04}\text{.} \)

3. Løs for terminbeløpet \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \dfrac{357\,000 \cdot 0{,}04}{1 - 1{,}04^{-8}} \\ &\approx 53\,024{,}44 \end{aligned} \]

1. Løs i CAS Vi skriver rekken med Sum og løser for \( T \) med NLøs:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(357000 = Sum(T/1.04^k, k, 1, 8), T = 50000)

Terminbeløpet er omtrent \( 53\,024{,}44 \) kr.

Som i a) er prisen lik summen av nåverdiene av terminbeløpene, nå med ukjent rente. Likningen for renten løser vi med NLøs.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for renten kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du sette opp likningen og prøve deg fram med kalkulatoren: \( {r = 0{,}027} \) gir en nåverdi på omtrent \( 450\,440 \) kr og \( {r = 0{,}028} \) omtrent \( 448\,133 \) kr, så renten ligger mellom \( 2{,}7\,\% \) og \( 2{,}8\,\%\text{.} \)

1. Sett opp likningen Med renten \( \textcolor{blue}{r} \) er et terminbeløp om \( n \) år i dag verdt \( {\dfrac{52\,000}{(1 + \textcolor{blue}{r})^n}}\text{.} \) Summen av nåverdiene av de ti terminbeløpene skal være prisen: \[ \begin{aligned} 450\,000 = \ &\dfrac{52\,000}{1 + \textcolor{blue}{r}} + \dfrac{52\,000}{(1 + \textcolor{blue}{r})^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{52\,000}{(1 + \textcolor{blue}{r})^{10}} \end{aligned} \]

2. Løs likningen i CAS Vi løser likningen med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, med startverdien \( {r = 0{,}03}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(450000 = Sum(52000/(1 + r)^k, k, 1, 10), r = 0.03)

Rad 2 gir \( {\textcolor{blue}{r} \approx 0{,}0272}\text{,} \) altså omtrent \( 2{,}72\,\%\text{.} \)

Vi bruker terminbeløpet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Alt Mathias betaler utover prisen på bilen, er renter. Vi regner ut alle terminbeløpene til sammen minus lånet for hvert tilbud.

1. Regn ut rentene for hvert tilbud Hvert terminbeløp er renter pluss avdrag, og avdragene til sammen er lånet, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. De totale rentene er derfor: \[ \begin{aligned} \text{renter} &= \text{alle terminbeløpene} \\ &\quad - \text{lånet} \end{aligned} \]

I a) fant vi terminbeløpet \( {T \approx 53\,024{,}44} \) kr for tilbud 1. Det er beløpet Mathias betaler hvert år, i kroner og øre, så vi regner med det. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\text{Tilbud 1:}} \\ &8 \cdot 53\,024{,}44 - 357\,000 = \textcolor{blue}{67\,195{,}52} \\ &\textcolor{red}{\text{Tilbud 2:}} \\ &10 \cdot 52\,000 - 450\,000 = \textcolor{red}{70\,000} \end{aligned} \]

Merk – Avrunding: Med terminbeløpet rundet til hele kroner, 53 024 kr, blir rentene for tilbud 1 \( 67\,192 \) kr. Tilbud 2 gir mest renter uansett.

2. Sammenlign \( \textcolor{red}{70\,000} \) kr er mer enn \( \textcolor{blue}{67\,195{,}52} \) kr, så tilbud 2 gir mest renter totalt.

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) regner vi ut rentene for begge tilbudene, med terminbeløpet slik det betales, 53 024,44 kr fra a):

Skriv inn i GeoGebra: 8*53024.44 - 357000 10*52000 - 450000

Tilbud 1 gir \( 67\,195{,}52 \) kr i renter og tilbud 2 \( 70\,000 \) kr, så tilbud 2 gir mest.

Hvert kast Ane gjør, teller én i antallet. Det forventede antallet kast er derfor summen av sannsynlighetene for at hvert kast blir gjort, og fra kast 3 er det en uendelig geometrisk rekke.

1. Forklar sannsynlighetene i tabellen Kast 1 og 2 må Ane alltid gjøre. Fra kast 3 er et kast nødvendig bare hvis ingen to kast på rad har vært like før det. Hvert kast er ulikt det forrige med sannsynlighet \( \dfrac{5}{6}\text{,} \) og kastene er uavhengige, så kast 3 er nødvendig med sannsynlighet \( \dfrac{5}{6}\text{,} \) kast 4 med \( {\left(\dfrac{5}{6}\right)^2}\text{,} \) og så videre.

2. Forklar summen La \( \textcolor{blue}{X_m} \) være 1 hvis kast nummer \( m \) blir gjort, og 0 ellers, og la \( \textcolor{red}{p_m} \) være sannsynligheten for at kast nummer \( m \) blir gjort. Antallet kast er da \( {N = \textcolor{blue}{X_1} + \textcolor{blue}{X_2} + \textcolor{blue}{X_3} + \dots}\text{,} \) og forventningsverdien til \( \textcolor{blue}{X_m} \) er: \[ \begin{aligned} E(\textcolor{blue}{X_m}) &= 1 \cdot \textcolor{red}{p_m} + 0 \cdot (1 - \textcolor{red}{p_m}) \\ &= \textcolor{red}{p_m} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på forventningsverdi, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans). Forventningen til en sum er summen av forventningene, så: \[ \begin{aligned} E(N) &= E(\textcolor{blue}{X_1}) + E(\textcolor{blue}{X_2}) + \dots \\ &= \textcolor{red}{p_1} + \textcolor{red}{p_2} + \textcolor{red}{p_3} + \dots \\ &= 1 + 1 + \dfrac{5}{6} \\ &\quad + \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 + \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 + \dots \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Fra det tredje leddet er rekken uendelig geometrisk med \( {\textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{p_3} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}}} \) og \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{\dfrac{5}{6}}}\text{.} \) Summen av en uendelig geometrisk rekke med \( {-1 < k < 1} \) er: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{green}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(N) &= 1 + 1 + \dfrac{\textcolor{red}{\tfrac{5}{6}}}{1 - \textcolor{green}{\tfrac{5}{6}}} \\ &= 2 + \dfrac{\tfrac{5}{6}}{\tfrac{1}{6}} = 2 + 5 = 7 \end{aligned} \]

Vi lar datamaskinen kaste terningen til to kast på rad er like, mange ganger, og regner ut gjennomsnittet av summene.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre en simulering. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 3 sier hvor mange ganger vi gjentar forsøket, og linje 4 starter summen av alle forsøkene på 0. Løkka i linje 5 gjentar forsøket, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

I hvert forsøk kaster linje 6 og 7 terningen to ganger, og linje 8 legger sammen øynene. While-løkka i linje 9 kaster videre så lenge \( \textcolor{red}{\texttt{kast}} \) er ulik \( \textcolor{blue}{\texttt{forrige}}\text{,} \) og legger hvert nytt kast til summen. Når to kast på rad er like, legger linje 13 summen til \( \texttt{total}\text{.} \)

2. Kjør programmet Linje 14 skriver ut gjennomsnittet av de \( 100\,000 \) summene. Én kjøring ga \( 24{,}56\text{,} \) og en ny kjøring gir et litt annet tall, fordi kastene er tilfeldige. Forventningsverdien til summen er altså omtrent \( 24{,}5 \) øyne.

Kontroll: Hvert kast gir i gjennomsnitt \( 3{,}5 \) øyne, og om et kast blir gjort, avhenger bare av kastene før det. Med 7 kast i gjennomsnitt fra a) ventes summen \( {7 \cdot 3{,}5 = 24{,}5}\text{,} \) som stemmer med simuleringen.

Vi ser at hvert innskudd får renter fram til slutten av 2055, men i ulikt antall år. Summen av innskuddene med renter er derfor en geometrisk rekke.

1. Sett opp rekka Vi kaller beløpet \( x\text{.} \) Vekstfaktoren for \( 2{,}5\,\% \) er \( 1{,}025\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor.

Innskuddet i 2055 får renter i ett år, innskuddet i 2054 i to år, og så videre, til innskuddet i 2026, som får renter i \( 30 \) år: \[ \begin{aligned} &x \cdot 1{,}025 + x \cdot 1{,}025^2 \\ &+ \dots + x \cdot 1{,}025^{30} \end{aligned} \]Dette er en geometrisk rekke med \( {n = 30} \) ledd, første ledd \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}025x}} \) og kvotient \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{1{,}025}}\text{.} \)

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^n - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn og setter summen lik \( 3\,750\,000\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{blue}{1{,}025x} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}025}^{30} - 1}{\textcolor{red}{1{,}025} - 1} = 3\,750\,000 \]

Vi løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{3\,750\,000 \cdot 0{,}025}{1{,}025 \cdot (1{,}025^{30} - 1)} \\ &\approx 83\,333 \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Vi skriver summen med kommandoen Sum, der leddet \( {x \cdot 1{,}025^n} \) går fra \( {n = 1} \) til \( {n = 30}\text{.} \) Vi løser likningen med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(Sum(x*1.025^n, n, 1, 30) = 3750000, x)

Rad 1 gir \( {x \approx 83\,332{,}83}\text{.} \)

Lånet er like stort som summen av nåverdiene av alle terminbeløpene. Vi setter summen lik \( 3\,000\,000 \) og løser for vekstfaktoren.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse denne likningen for hånd: selv med summeformelen er det en likning av grad \( 32 \) i \( k\text{.} \) Øv heller på å sette opp summen av nåverdiene, og på å kontrollere en rentesats med summeformelen for geometriske rekker.

1. Sett opp likningen Fra og med januar 2026 til og med januar 2058 er det \( 33 \) terminer. Vi kaller vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k}\text{.} \) Et terminbeløp som betales \( n \) år etter januar 2026, er verdt \( \dfrac{150\,000}{\textcolor{red}{k}^n} \) i januar 2026.

Den første terminen betaler Nora i januar 2026, med \( {n = 0}\text{,} \) og den siste i januar 2058, med \( {n = 32}\text{.} \) Summen av nåverdiene er lånet: \[ \sum_{n=0}^{32} \dfrac{150\,000}{\textcolor{red}{k}^n} = 3\,000\,000 \]

2. Løs likningen i CAS Vi fortsetter i CAS fra a), og løser likningen med NLøs og startverdien \( {k = 1{,}03}\text{,} \) slik vi løser en likning i CAS i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Sum(150000/k^n, n, 0, 32) = 3000000, k = 1.03)

Rad 2 gir \( {\textcolor{red}{k} \approx 1{,}0353}\text{,} \) så rentesatsen er omtrent \( 3{,}53\,\%\text{.} \)

Hvert innskudd er \( 6\,\% \) større enn det forrige, men får renter i ett år mindre. Saldoen er summen av innskuddene med renter, og den summen er en geometrisk rekke.

1. Sett opp rekka Det første innskuddet får renter i \( 10 \) år, det andre er \( {10\,000 \cdot 1{,}06} \) og får renter i \( 9 \) år, og så videre, til det siste, \( {10\,000 \cdot 1{,}06^9}\text{,} \) som får renter i ett år. Saldoen er: \[ \begin{aligned} &10\,000 \cdot 1{,}025^{10} \\ &+ 10\,000 \cdot 1{,}06 \cdot 1{,}025^9 \\ &+ \dots + 10\,000 \cdot 1{,}06^9 \cdot 1{,}025 \end{aligned} \]

Hvert ledd er det forrige ganget med \( 1{,}06 \) og delt på \( 1{,}025\text{.} \) Dette er altså en geometrisk rekke med \( {n = 10} \) ledd, første ledd og kvotient: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{10\,000 \cdot 1{,}025^{10}} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{\dfrac{1{,}06}{1{,}025}} \end{aligned} \]

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^n - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{10} &= \textcolor{blue}{10\,000 \cdot 1{,}025^{10}} \\ &\quad \cdot \dfrac{\left(\textcolor{red}{\dfrac{1{,}06}{1{,}025}}\right)^{10} - 1}{\textcolor{red}{\dfrac{1{,}06}{1{,}025}} - 1} \\ &\approx 149\,581 \end{aligned} \]Vi taster hele uttrykket inn i kalkulatoren uten å runde av \( k\text{.} \)

3. Sammenlign med målet Vi trekker saldoen fra målet: \[ 150\,000 - 149\,581 = 419 \]Nora mangler omtrent \( 419 \) kr, så hun når ikke målet.

1. Regn ut summen i CAS Vi fortsetter i CAS fra b). Innskudd nummer \( {i + 1} \) er \( {10\,000 \cdot 1{,}06^i} \) og får renter i \( {10 - i} \) år, for \( {i = 0} \) til \( 9\text{.} \) Vi summerer med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Sum(10000*1.06^i*1.025^(10 - i), i, 0, 9)

Rad 3 gir omtrent \( 149\,581 \) kr, som er under \( 150\,000 \) kr.

Vi ser at differansen er \( 4\text{.} \) Vi finner først hvor mange ledd rekken har, og bruker så sumformelen.

1. Finn antall ledd Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{4}}\text{.} \) Det siste leddet er \( 399\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{3} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{4} &= 399 \\ n - 1 &= 99 \\ n &= 100 \end{aligned} \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 100}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {a_{100} = 399}\text{,} \) får vi: \[ S_{100} = \dfrac{100 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 399)}{2} = 20\,100 \]

Vi setter inn i formelen for summen av en uendelig geometrisk rekke og løser for \( k\text{.} \)

1. Sett opp sumformelen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på når rekken konvergerer, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

2. Løs for k Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{12}} \) og \( {S = 18}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{12}}{1 - \textcolor{red}{k}} &= 18 \\ 12 &= 18 - 18\textcolor{red}{k} \\ \textcolor{red}{k} &= \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]\( {k = \dfrac{1}{3}} \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) så rekken konvergerer.

Sifrene \( 75 \) gjentar seg, og hver gang står de to plasser lenger til høyre. Vi deler tallet opp i ledd der hvert ledd er \( 0{,}01 \) ganger det forrige.

1. Skriv tallet som en rekke Vi deler tallet opp etter hver gruppe på \( 75\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}7575\dots &= \textcolor{blue}{0{,}75} + 0{,}0075 \\ &\quad + 0{,}000075 + \dots \end{aligned} \]

Hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{0{,}01}\text{,} \) så dette er en uendelig geometrisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{0{,}75}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}01}}\text{.} \)

2. Regn ut summen \( \textcolor{red}{k} \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) så rekken konvergerer, som i videoen Geometrisk rekke test. Summen er da: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]

Plugger vi inn \( \textcolor{blue}{a_1} \) og \( \textcolor{red}{k}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}75}}{1 - \textcolor{red}{0{,}01}} = \dfrac{0{,}75}{0{,}99} \\ &= \dfrac{75}{99} = \dfrac{25}{33} \end{aligned} \]

3. Legg til 1 \( 1{,}7575\dots \) er \( 1 \) pluss tallet over: \[ \begin{aligned} 1{,}7575\dots &= 1 + \dfrac{25}{33} \\ &= \dfrac{33}{33} + \dfrac{25}{33} = \dfrac{58}{33} \end{aligned} \]

Vi finner kvotienten for \( {x = \dfrac{1}{e}}\text{,} \) og ser om rekken konvergerer før vi bruker sumformelen.

1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{red}{k = \ln x - 1}}\text{.} \) Med \( {x = \dfrac{1}{e}} \) er \( {\ln \dfrac{1}{e} = -1}\text{,} \) så: \[ \textcolor{red}{k} = -1 - 1 = \textcolor{red}{-2} \]

2. Sjekk om rekken konvergerer En uendelig geometrisk rekke konvergerer bare når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Med \( {\textcolor{red}{k = -2}} \) er rekken \( {1 - 2 + 4 - 8 + \dots}\text{,} \) og tallverdien til leddene blir større og større. Rekken divergerer, så den har ingen sum.

Sumformelen ville gitt \( {\dfrac{1}{1 - (-2)} = \dfrac{1}{3}}\text{,} \) men formelen gjelder ikke når rekken divergerer. Påstanden er derfor usann.

Vi ser på differansen \( {f(x) - g(x)}\text{.} \) Nullpunktene er skjæringspunktene, og arealet mellom grafene er integralet av den.

1. Finn skjæringspunktene Vi trekker \( g \) fra \( f\text{,} \) og \( {-x^2} \) forsvinner: \[ \begin{aligned} h(x) &= f(x) - g(x) \\ &= x^3 - (a + 1)x \\ &= x\left(x^2 - (a + 1)\right) \end{aligned} \]

Når \( {a > -1} \) er \( {a + 1 > 0}\text{,} \) og grafene skjærer hverandre i tre punkter: \[ x = 0 \quad \vee \quad x = \pm\sqrt{a + 1} \]Mellom dem avgrenser grafene to områder.

2. Regn ut de to arealene Integralet gir arealet under en graf, og arealet mellom grafene er integralet av differansen. Hvis du er usikker på det første, kan du se videoen Hva er integrasjon. Vi kaller \( {s = \sqrt{a + 1}}\text{,} \) så \( {s^2 = a + 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_0^{\textcolor{red}{s}} h(x)\,dx &= \left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{s^2 x^2}{2}\right]_0^{\textcolor{red}{s}} \\ &= \dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2} = -\dfrac{s^4}{4} \end{aligned} \]

På samme måte er: \[ \int_{\textcolor{blue}{-s}}^0 h(x)\,dx = 0 - \left(\dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2}\right) = \dfrac{s^4}{4} \]Det ene området har \( f \) over \( g\text{,} \) det andre \( g \) over \( f\text{,} \) og begge har arealet \( {\dfrac{s^4}{4} = \dfrac{(a + 1)^2}{4}}\text{.} \)

Det kunne vi også sett av at \( {h(-x) = -h(x)}\text{:} \) grafen til \( h \) er symmetrisk om origo. Påstanden er sann.

Lånet er lik nåverdien av alle terminbeløpene, og den summen er en geometrisk rekke. Vi bruker summeformelen og løser for terminbeløpet.

1. Skriv lånet som en rekke Med terminbeløpet \( \textcolor{red}{T}\text{,} \) vekstfaktoren \( \textcolor{blue}{1{,}05242} \) og \( \textcolor{green}{30} \) terminer er lånet summen av nåverdiene av terminbeløpene: \[ \begin{aligned} 799\,273 = \ &\dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}^{\textcolor{green}{30}}} \end{aligned} \]Det er en geometrisk rekke med \( {a_1 = \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}}} \) og \( {k = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{1{,}05242}}}\text{.} \)

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{a_1\left(1 - k^n\right)}{1 - k} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel. Plugger vi inn \( a_1 \) og \( k\text{,} \) får vi: \[ 799\,273 = \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05242}^{-\textcolor{green}{30}}}{1 - \dfrac{1}{\textcolor{blue}{1{,}05242}}} \]

Vi ganger teller og nevner i den siste brøken med \( \textcolor{blue}{1{,}05242}\text{,} \) og med renten \( {r = 0{,}05242} \) blir det: \[ 799\,273 = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05242}^{-\textcolor{green}{30}}}{0{,}05242} \]

3. Løs for terminbeløpet \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \dfrac{799\,273 \cdot 0{,}05242}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05242}^{-\textcolor{green}{30}}} \\ &\approx 53\,436{,}90 \end{aligned} \]Avrundet til hele kroner er det 53 437 kr.

1. Regn ut terminbeløpet i CAS Vi skriver inn \( \textcolor{red}{T} \) fra formelen over og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 799273*0.05242/(1 - 1.05242^(-30))

Terminbeløpet er omtrent \( 53\,437 \) kr.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: terminbeløpet 53 437 kr står i oppgaveteksten i a).

Vi setter opp den samme likningen som i a), med 25 terminer og ukjent rente, og løser den med NLøs.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for renten kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du prøve deg fram med kalkulatoren: \( {r = 0{,}044} \) gir en nåverdi på omtrent \( 800\,595 \) kr og \( {r = 0{,}045} \) omtrent \( 792\,375 \) kr, så renten ligger mellom \( 4{,}4\,\% \) og \( 4{,}5\,\%\text{.} \)

1. Sett opp likningen I a) fant vi at lånet er nåverdien av terminbeløpene: \[ 799\,273 = 53\,437 \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{n}}}{\textcolor{blue}{r}} \]Nå er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{,} \) og renten \( \textcolor{blue}{r} \) er ukjent.

2. Løs likningen i CAS Vi løser likningen i CAS, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, men med NLøs og en startverdi, fordi \( \textcolor{blue}{r} \) står både i en potens og i nevneren:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(799273 = 53437*(1 - (1 + r)^(-25))/r, r = 0.05)

Rad 2 gir \( {\textcolor{blue}{r} \approx 0{,}0442}\text{,} \) altså omtrent \( 4{,}42\,\%\text{.} \)

Vi bruker terminbeløpet 53 437 kr fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner hvor mye Ole skylder etter 12 år. De økende terminbeløpene etterpå er en ny geometrisk rekke, og vi løser for antall terminer med \( \ln\text{.} \)

1. Finn restgjelden etter 12 år Etter 12 år har lånet vokst med renter, og hvert terminbeløp har også vokst med renter fra det ble betalt. Med \( \textcolor{blue}{1{,}05242} \) som vekstfaktor er restgjelden lånet minus de 12 terminbeløpene, en geometrisk rekke med summeformelen fra a): \[ \begin{aligned} R &= 799\,273 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05242}^{12} \\ &\quad - 53\,437 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}05242}^{12} - 1}{0{,}05242} \\ &\approx 613\,010 \end{aligned} \]

2. Sett opp de økende terminbeløpene Fra år 13 er terminbeløpet \( {53\,437 \cdot \textcolor{red}{1{,}05}^{j}} \) i termin nummer \( j \) etter år 12. Restgjelden er nåverdien av dem, sett fra år 12: \[ R = \sum_{j=1}^{\textcolor{green}{m}} 53\,437 \cdot q^{j}, \quad q = \dfrac{\textcolor{red}{1{,}05}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}} \]Det er en geometrisk rekke med \( {a_1 = 53\,437q} \) og \( {k = q}\text{.} \) Summeformelen gir: \[ 53\,437q \cdot \dfrac{1 - q^{\textcolor{green}{m}}}{1 - q} = R \]

3. Løs for antall terminer Vi løser for \( q^{\textcolor{green}{m}} \) og bruker at: \[ \dfrac{1 - q}{q} = \dfrac{1{,}05242 - 1{,}05}{1{,}05} = \dfrac{0{,}00242}{1{,}05} \]

Det gir: \[ q^{\textcolor{green}{m}} = 1 - \dfrac{R \cdot 0{,}00242}{53\,437 \cdot 1{,}05} \approx 0{,}97356 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, og løser for \( \textcolor{green}{m}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{m} = \dfrac{\ln 0{,}97356}{\ln q} \approx 11{,}64 \]Etter 11 økte terminer er det litt igjen, så det trengs en 12. økt termin, men den blir mindre enn et fullt terminbeløp. Til sammen blir det \( {12 + 12 = 24} \) år.

1. Løs likningen i CAS Lånet er nåverdien av de 12 like terminbeløpene pluss nåverdien av de \( \textcolor{green}{m} \) økende:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(799273 = 53437*(1 - 1.05242^(-12))/0.05242 + Sum(53437*1.05^j/1.05242^(12 + j), j, 1, m), m = 10)

Rad 3 gir \( {\textcolor{green}{m} \approx 11{,}64}\text{,} \) så det trengs 12 økte terminer etter de 12 første, til sammen 24 år.