Eksamensoppgaver etter tema

Hver av de seks verdiene har sannsynlighet \( \dfrac{1}{6}\text{.} \) Forventningsverdien er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten for den.

1. Regn ut forventningsverdien Forventningsverdien til en stokastisk variabel er: \[ E(X) = \sum x \cdot P(X = x) \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Her er \( {x = 1, 2, \dots, 6}\text{,} \) og hver har \( {P(X = x) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{6}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= 1 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{6}} + 2 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{6}} + \dots + 6 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{6}} \\ &= \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} \\ &= \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2} \end{aligned} \]

Summen av mange kast er tilnærmet normalfordelt. Vi finner hvor mange standardavvik 17 må være for at sannsynligheten skal bli \( 32\,\%\text{,} \) og løser for antall kast.

1. Finn fordelingen til summen La \( S \) være summen av \( \textcolor{green}{n} \) uavhengige kast, hvert med standardavvik \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{1{,}7}}\text{.} \) Siden kastene er uavhengige, er standardavviket til summen: \[ SD(S) = \sqrt{\textcolor{green}{n}} \cdot \textcolor{red}{\sigma} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet, der formelen for summen står på lysarket. Etter sentralgrenseteoremet er \( S \) dessuten tilnærmet normalfordelt.

2. Finn hvor mange standardavvik 17 er For en standard normalfordelt \( Z \) står \( {P(Z \le -1{,}00) = 0{,}1587} \) i tabellen. Normalfordelingen er symmetrisk, så sannsynligheten for å havne mer enn ett standardavvik unna forventningen, til den ene eller den andre siden, er: \[ \begin{aligned} P(|Z| > 1) &= 2 \cdot 0{,}1587 \\ &= 0{,}3174 \approx 32\,\% \end{aligned} \]

Vi standardiserer avstanden 17 på samme måte: \[ \begin{aligned} & P\left(|S - E(S)| > 17\right) \\ &\approx P\left(|Z| > \dfrac{17}{SD(S)}\right) \end{aligned} \]Sannsynligheten blir omtrent \( 32\,\% \) når \( {\dfrac{17}{SD(S)} = 1}\text{,} \) altså når \( {SD(S) = 17}\text{.} \)

3. Løs for antall kast Det gir oss: \[ \begin{aligned} \sqrt{\textcolor{green}{n}} \cdot \textcolor{red}{1{,}7} &= 17 \\ \sqrt{\textcolor{green}{n}} &= 10 \\ \textcolor{green}{n} &= 100 \end{aligned} \]

Vi sjekker de fire kravene til en binomisk fordeling. Så setter vi inn i formelen for binomisk sannsynlighet.

1. Begrunn fordelingen For hver pasient er det to utfall: legemiddelet virker eller ikke. Antallet pasienter \( n \) er fast, sannsynligheten \( 0{,}75 \) er den samme for alle, og vi antar at pasientene er uavhengige av hverandre. Det er de fire kravene til en binomisk fordeling, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. \( X \) er derfor binomisk fordelt.

2. Regn ut sannsynligheten Med \( \textcolor{blue}{n} \) forsøk og sannsynligheten \( \textcolor{red}{p} \) i hvert forsøk er: \[ P(X = x) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{x} \cdot \textcolor{red}{p}^x \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - x} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{12}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}75}} \) og \( {x = 9}\text{.} \) Med nCr på kalkulatoren er \( {\binom{12}{9} = 220}\text{,} \) og vi får: \[ \begin{aligned} P(X = 9) &= \binom{\textcolor{blue}{12}}{9} \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^9 \cdot 0{,}25^{3} \\ &= 220 \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^9 \cdot 0{,}25^{3} \\ &\approx 0{,}258 \end{aligned} \]

1. Regn ut sannsynligheten i CAS Med den samme begrunnelsen for fordelingen bruker vi den binomiske fordelingen med \( {n = 12} \) og \( {p = 0{,}75}\text{.} \) Det siste argumentet, false, gir \( {P(X = 9)} \) og ikke \( {P(X \le 9)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: FordelingBinomial(12, 0.75, 9, false)

\( {P(X = 9)} \) er omtrent \( 0{,}258\text{.} \)

Vi bruker den binomiske fordelingen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter opp hypotesene og regner ut hvor sannsynlig det er at B virker på minst 9 av 10 hvis B er like god som A. Er det ikke under \( 5\,\%\text{,} \) kan vi ikke si at B er bedre.

1. Sett opp hypotesene \( H_1 \) er det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( H_0 \) er at det ikke er noen forskjell fra A, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro: \[ H_0\text{: } p = \textcolor{red}{0{,}75} \qquad H_1\text{: } p > \textcolor{red}{0{,}75} \]

2. Regn ut P-verdien Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet \( Y \) som B virker på, binomisk fordelt med \( {n = 10} \) og \( {p = 0{,}75}\text{,} \) som i a): \[ P(Y = y) = \binom{10}{y} \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^y \cdot 0{,}25^{10 - y} \]

P-verdien er sannsynligheten for et resultat som er minst like godt som 9 av 10. Med \( {\binom{10}{9} = 10} \) og \( {\binom{10}{10} = 1} \) får vi: \[ \begin{aligned} & P(Y \ge 9) \\ &= P(Y = 9) + P(Y = 10) \\ &= 10 \cdot 0{,}75^9 \cdot 0{,}25 \\ &\quad + 0{,}75^{10} \\ &\approx 0{,}1877 + 0{,}0563 \\ &= \textcolor{green}{0{,}2440} \end{aligned} \]

3. Konkluder P-verdien \( \textcolor{green}{0{,}2440} \) er større enn signifikansnivået \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Selv om B var like god som A, ville minst 9 av 10 skje i omtrent \( 24\,\% \) av tilfellene. Vi kan derfor ikke si at B virker med høyere sannsynlighet enn A.

1. Regn ut P-verdien i CAS Med de samme hypotesene er \( {P(Y \ge 9) = 1 - P(Y \le 8)}\text{.} \) Med true gir FordelingBinomial den kumulative sannsynligheten \( {P(Y \le 8)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(10, 0.75, 8, true)

P-verdien er \( \textcolor{green}{0{,}244}\text{,} \) større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

Vi bruker hypotesene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi leter etter det minste antallet \( k \) som gir en P-verdi \( {P(Y \ge k)} \) under \( 5\,\%\text{.} \) Med 200 pasienter er \( Y \) tilnærmet normalfordelt, så vi kan bruke tabellen.

1. Finn forventning og standardavvik I b) satte vi opp hypotesene: \[ H_0\text{: } p = 0{,}75 \qquad H_1\text{: } p > 0{,}75 \]

Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet \( Y \) som B virker på, binomisk fordelt med \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{200}} \) og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}75}}\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} E(Y) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot (1 - \textcolor{red}{p})} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formlene, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(Y) &= \textcolor{blue}{200} \cdot \textcolor{red}{0{,}75} = 150 \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{200} \cdot \textcolor{red}{0{,}75} \cdot 0{,}25} \approx 6{,}124 \end{aligned} \]Med så mange pasienter er \( Y \) tilnærmet normalfordelt.

2. Finn grensen for å forkaste Vi forkaster \( H_0 \) når \( {P(Y \ge k) < 0{,}05}\text{,} \) altså når \( k \) ligger mer enn \( z \) standardavvik over \( 150\text{,} \) der \( {P(Z \le z) = 0{,}95}\text{.} \) I tabellen står \( {P(Z \le 1{,}64) = 0{,}9495} \) og \( {P(Z \le 1{,}65) = 0{,}9505}\text{,} \) så \( {z \approx 1{,}645}\text{.} \) Vi standardiserer som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ Z = \dfrac{Y - E(Y)}{\sigma} \]

Med \( {Y = k}\text{,} \) \( {E(Y) = 150} \) og \( {\sigma \approx 6{,}124} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{k - 150}{6{,}124} &> 1{,}645 \\ k &> 150 + 1{,}645 \cdot 6{,}124 \\ k &> 160{,}07 \end{aligned} \]Det minste heltallet er \( {k = 161}\text{.} \) B må altså virke på minst 161 av de 200 pasientene.

1. Regn ut P-verdiene i CAS Med de samme hypotesene regner vi ut P-verdien eksakt for \( {k = 160} \) og \( {k = 161}\text{:} \) \[ P(Y \ge k) = 1 - P(Y \le k - 1) \]

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(200, 0.75, 159, true) 1 - FordelingBinomial(200, 0.75, 160, true)

Med \( {k = 160} \) er P-verdien \( 0{,}0578\text{,} \) over \( 0{,}05\text{,} \) og med \( {k = 161} \) er den \( 0{,}0405\text{,} \) under. B må altså virke på minst 161 pasienter.

Vi finner først sannsynligheten for en kule på 10 kg, fordi sannsynlighetene til sammen er 1. Så bruker vi formlene for forventning og varians.

1. Finn den siste sannsynligheten Sannsynlighetene for alle verdiene summerer seg til 1, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans): \[ P(X = 10) = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \]

2. Regn ut forventningen Forventningen er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten sin: \[ E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i) \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= 4 \cdot \dfrac{1}{4} + 5 \cdot \dfrac{1}{2} + 10 \cdot \dfrac{1}{4} \\ &= 1 + \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2} = 6 \end{aligned} \]

3. Regn ut variansen Variansen kan vi regne ut med: \[ \text{Var}(X) = \textcolor{blue}{E(X^2)} - \textcolor{red}{E(X)}^2 \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

\( \textcolor{blue}{E(X^2)} \) finner vi som forventningen, men med kvadratene av verdiene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{E(X^2)} &= \sum x_i^2 \cdot P(X = x_i) \\ &= 16 \cdot \dfrac{1}{4} + 25 \cdot \dfrac{1}{2} + 100 \cdot \dfrac{1}{4} \\ &= 4 + \dfrac{25}{2} + 25 = \textcolor{blue}{\dfrac{83}{2}} \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{red}{E(X)} = \textcolor{red}{6}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \text{Var}(X) &= \textcolor{blue}{\dfrac{83}{2}} - \textcolor{red}{6}^2 \\ &= \dfrac{83}{2} - 36 = \dfrac{11}{2} \end{aligned} \]

Vi går gjennom alle måtene å trekke to kuler på. Kulen legges tilbake, så trekningene er uavhengige, og vi ganger sannsynlighetene.

1. Finn de mulige summene Hver kule veier 4, 5 eller 10 kg, med sannsynlighetene \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) \( \dfrac{1}{2} \) og \( \dfrac{1}{4} \) fra a). Summen av to kuler kan bli \( 8\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 10\text{,} \) \( 14\text{,} \) \( 15 \) og \( 20\text{.} \)

2. Gang sannsynlighetene Kulen legges tilbake, så trekningene er uavhengige: den første påvirker ikke den andre, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Da er sannsynligheten for to bestemte kuler produktet: \[ \begin{aligned} & P(X_1 = a \text{ og } X_2 = b) \\ &= P(X_1 = a) \cdot P(X_2 = b) \end{aligned} \]

Når de to kulene er ulike, kan de komme i to rekkefølger, så vi ganger med \( \textcolor{blue}{2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(Y = 8) &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16} \\ P(Y = 9) &= \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \\ P(Y = 10) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \\ P(Y = 14) &= \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8} \\ P(Y = 15) &= \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \\ P(Y = 20) &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16} \end{aligned} \]Summen \( 10 \) får vi bare med to kuler på 5 kg.

Kontroll: Sannsynlighetene summerer seg til 1: \( {\dfrac{1 + 4 + 4 + 2 + 4 + 1}{16} = 1}\text{.} \)

Vi bruker sannsynlighetsfordelingen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( {Y > 10} \) betyr at summen er 14, 15 eller 20. Vi legger sammen sannsynlighetene for disse verdiene.

1. Legg sammen sannsynlighetene I b) fant vi: \[ \begin{aligned} P(Y = 14) &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{8}} \\ P(Y = 15) &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} \\ P(Y = 20) &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{16}} \end{aligned} \]

Summen 10 er ikke med, fordi ulikheten er streng. Sannsynlighetene for ulike verdier legger vi sammen, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans), der alle til sammen blir 1. Med 16 som fellesnevner får vi: \[ \begin{aligned} P(Y > 10) &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{16}} + \textcolor{blue}{\dfrac{4}{16}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{16}} \\ &= \dfrac{7}{16} \end{aligned} \]

\( X \) er normalfordelt. Vi gjør 87 meter om til en \( z \)-verdi og slår opp i tabellen over standard normalfordeling. Tabellen gir \( {P(Z \le z)}\text{,} \) så vi trekker den fra 1.

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{83}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{3}}\text{.} \) Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} & P(X > 87) \\ &= 1 - P\left(Z \le \dfrac{87 - \textcolor{blue}{83}}{\textcolor{red}{3}}\right) \\ &\approx 1 - P(Z \le 1{,}33) \end{aligned} \]

2. Slå opp i tabellen Tabellen over standard normalfordeling gir \( {P(Z \le 1{,}33) = 0{,}9082}\text{:} \) \[ P(X > 87) \approx 1 - 0{,}9082 = 0{,}0918 \]

1. Regn ut i CAS FordelingNormal\( (\mu, \sigma, x) \) gir \( {P(X \le x)}\text{.} \) Vi trekker den fra 1 og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingNormal(83, 3, 87)

Rad 1 gir \( {P(X > 87) \approx 0{,}0912}\text{.} \) Kalkulatorruten gir \( 0{,}0918\text{,} \) fordi tabellen bruker \( {z = 1{,}33} \) i stedet for \( \dfrac{4}{3}\text{.} \)

Nå kjenner vi sannsynligheten og leter etter grensen. Vi finner \( z \)-verdien som gir \( 0{,}9 \) i tabellen, og gjør den om til meter.

1. Finn verdien i tabellen Vi leter etter \( 0{,}9 \) inne i tabellen. Tabellen gir \( {P(Z \le 1{,}28) = 0{,}8997} \) og \( {P(Z \le 1{,}29) = 0{,}9015}\text{,} \) så \( {z \approx 1{,}28}\text{.} \)

2. Gjør om til meter Standardiseringen fra a), som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling, forteller oss at: \[ z = \dfrac{k - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}} \]

Løser vi for \( k\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \textcolor{blue}{\mu} + z \cdot \textcolor{red}{\sigma} \\ &\approx \textcolor{blue}{83} + 1{,}28 \cdot \textcolor{red}{3} \\ &= 86{,}84 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS InversNormalfordeling\( (\mu, \sigma, p) \) gir grensen \( k \) med \( {P(X \le k) = p}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: InversNormalfordeling(83, 3, 0.9)

Rad 2 gir \( {k \approx 86{,}84}\text{.} \)

Gjennomsnittet av 15 målinger varierer mindre enn én måling. Det er normalfordelt med samme forventning, men standardavviket deles på \( \sqrt{15}\text{.} \)

1. Finn fordelingen til gjennomsnittet Gjennomsnittet \( \bar{X} \) av \( \textcolor{green}{n} \) uavhengige målinger har forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik: \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet. Når hver måling er normalfordelt, er også \( \bar{X} \) normalfordelt.

Her er \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{3}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{15}}\text{:} \) \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{3}}{\sqrt{\textcolor{green}{15}}} \approx 0{,}7746 \]

2. Standardiser og slå opp Vi standardiserer med standardavviket til gjennomsnittet. Tabellen over standard normalfordeling gir \( {P(Z \le 1{,}29) = 0{,}9015}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(\bar{X} < 84) &= P\left(Z < \dfrac{84 - \textcolor{blue}{83}}{0{,}7746}\right) \\ &\approx P(Z < 1{,}29) \\ &\approx 0{,}9015 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Vi bruker FordelingNormal med standardavviket \( \dfrac{3}{\sqrt{15}} \) for gjennomsnittet:

Skriv inn i GeoGebra: FordelingNormal(83, 3/sqrt(15), 84)

Rad 3 gir \( {P(\bar{X} < 84) \approx 0{,}9016}\text{.} \)

Vi bruker standardavviket til gjennomsnittet fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Mistanken er at bremselengden er lengre enn 83 meter. Vi regner ut gjennomsnittet av målingene og finner hvor sannsynlig et så høyt gjennomsnitt er hvis produsenten har rett.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er det vi vil finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som produsenten påstår, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Med \( \mu \) som forventet bremselengde i meter: \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } \mu = 83} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } \mu > 83} \]Testen er ensidig, fordi mistanken bare er at bremselengden er lengre.

2. Regn ut gjennomsnittet Summen av de 15 målingene er \( 1262{,}7\text{,} \) så: \[ \bar{x} = \dfrac{1262{,}7}{15} = 84{,}18 \]

3. Regn ut testobservatoren Standardavviket \( {\sigma = 3} \) er kjent, så vi bruker en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{83}} \) fra \( H_0\text{,} \) og i c) fant vi \( {\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{3}{\sqrt{15}} \approx 0{,}7746}\text{:} \) \[ z = \dfrac{84{,}18 - \textcolor{blue}{83}}{0{,}7746} \approx 1{,}52 \]

4. Finn P-verdien og konkluder P-verdien er sannsynligheten for et gjennomsnitt minst så høyt hvis \( H_0 \) er sann. Tabellen gir \( {P(Z \le 1{,}52) = 0{,}9357}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(Z \ge 1{,}52) &= 1 - 0{,}9357 \\ &= 0{,}0643 \end{aligned} \]P-verdien er større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( \textcolor{blue}{H_0}\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Målingene gir ikke grunnlag for å si at bremselengden er lengre enn 83 meter.

1. Regn ut i CAS Hypotesene og testobservatoren er de samme som i kalkulatorruten. Vi legger målingene i tre lister, én per rad i tabellen, regner ut gjennomsnittet og finner P-verdien:

Skriv inn i GeoGebra: r1 := {86.4, 85.5, 82.9, 81.9, 84.0} r2 := {86.4, 82.3, 85.9, 77.7, 83.0} r3 := {86.9, 88.3, 86.2, 80.5, 84.8} (Sum(r1) + Sum(r2) + Sum(r3))/15 1 - FordelingNormal(83, 3/sqrt(15), 84.18)

Rad 7 gir \( {\bar{x} = 84{,}18}\text{,} \) og rad 8 gir P-verdien \( 0{,}0638\text{.} \) Den er større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

Summen av alle sannsynlighetene i en fordeling er 1. Det gir oss \( k\text{,} \) og så legger vi sammen sannsynlighetene for \( {X = 2} \) og \( {X = 3}\text{.} \)

1. Finn den ukjente sannsynligheten Sannsynlighetene for alle verdiene \( X \) kan ha, blir til sammen 1, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans): \[ \begin{aligned} & P(X = 0) + P(X = 1) \\ &+ P(X = 2) + P(X = 3) = 1 \end{aligned} \]

Plugger vi inn tallene fra tabellen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{k} + 0{,}3 + (\textcolor{blue}{k} - 0{,}2) + 0{,}1 &= 1 \\ 2\textcolor{blue}{k} + 0{,}2 &= 1 \\ \textcolor{blue}{k} &= \textcolor{blue}{0{,}4} \end{aligned} \]

2. Legg sammen sannsynlighetene \( {X > 1} \) betyr at \( X \) er 2 eller 3: \[ \begin{aligned} & P(X > 1) \\ &= P(X = 2) + P(X = 3) \\ &= (\textcolor{blue}{0{,}4} - 0{,}2) + 0{,}1 \\ &= 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {k = 0{,}4} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Forventningen er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten sin. Variansen finner vi med forventningen til \( X^2\text{.} \)

1. Regn ut forventningen I a) fant vi \( {k = 0{,}4}\text{,} \) så sannsynlighetene for \( {X = 0, 1, 2, 3} \) er \( 0{,}4\text{,} \) \( 0{,}3\text{,} \) \( 0{,}2 \) og \( 0{,}1\text{.} \) Forventningen er: \[ E(X) = \sum x \cdot P(X = x) \]Hvis du er usikker på denne, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= 0 \cdot 0{,}4 + 1 \cdot 0{,}3 \\ &\quad + 2 \cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0{,}1 \\ &= 0 + 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}3 \\ &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

2. Regn ut variansen Variansen er forventningen til \( X^2 \) minus kvadratet av forventningen, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans): \[ \text{Var}(X) = \textcolor{green}{E(X^2)} - \textcolor{red}{E(X)}^2 \]

Vi finner \( \textcolor{green}{E(X^2)} \) på samme måte som \( E(X)\text{,} \) med \( x^2 \) i stedet for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} E(X^2) &= 0^2 \cdot 0{,}4 + 1^2 \cdot 0{,}3 \\ &\quad + 2^2 \cdot 0{,}2 + 3^2 \cdot 0{,}1 \\ &= 0 + 0{,}3 + 0{,}8 + 0{,}9 \\ &= \textcolor{green}{2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \text{Var}(X) = \textcolor{green}{2} - \textcolor{red}{1}^2 = 1 \]

Levetiden \( X \) er normalfordelt. Vi gjør den om til en standard normalfordelt \( Z \) og slår opp i tabellen i vedlegget.

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Tabellen gir \( {P(Z \le z)}\text{,} \) så vi skriver «mer enn» som 1 minus «mindre enn eller lik». Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{500}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{50}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} & P(X > 600) \\ &= 1 - P(X \le 600) \\ &= 1 - P\left(Z \le \dfrac{600 - \textcolor{blue}{500}}{\textcolor{red}{50}}\right) \\ &= 1 - P(Z \le 2) \end{aligned} \]

2. Slå opp i tabellen I tabellen over standard normalfordeling står \( {P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772}\text{,} \) så: \[ P(X > 600) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228 \]

Vi bruker tabellen baklengs: vi finner \( z \) der sannsynligheten i tabellen er \( {1 - 0{,}758}\text{,} \) og regner om fra \( z \) til timer.

1. Skriv om til mindre enn Tabellen gir sannsynligheter for «mindre enn eller lik», så vi skriver om: \[ \begin{aligned} P(X > t) &= 0{,}758 \\ P(X \le t) &= 1 - 0{,}758 = 0{,}242 \end{aligned} \]

2. Let opp verdien i tabellen Vi leter etter \( 0{,}2420 \) inne i tabellen og leser av raden og kolonnen, som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling, bare baklengs. Tallet står på raden \( {-0{,}7} \) og i kolonnen \( 0{,}00\text{:} \) \[ P(Z \le -0{,}70) = 0{,}2420 \]

Når vi standardiserer, er: \[ z = \dfrac{t - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}} \]

Her er \( {z = -0{,}70}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{500}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{50}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{t - \textcolor{blue}{500}}{\textcolor{red}{50}} &= -0{,}70 \\ t &= \textcolor{blue}{500} - 0{,}70 \cdot \textcolor{red}{50} \\ t &= 465 \end{aligned} \]

Grafen til en normalfordeling har toppen i forventningen, og nesten alle verdiene ligger mindre enn tre standardavvik fra den.

1. Se hvor toppen er Toppen må være i forventningen, \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{500}}\text{.} \) B har toppen i 300 og C i 50, så de passer ikke. Både A og D har toppen i 500.

2. Se på spredningen Fra tabellen er \( {P(Z \le -3{,}00) = 0{,}0013}\text{,} \) så andelen som ligger mindre enn tre standardavvik fra forventningen, er: \[ \begin{aligned} P(-3 < Z < 3) &= 1 - 2 \cdot 0{,}0013 \\ &= 0{,}9974 \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{50}} \) ligger altså nesten alle levetidene mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{500} - 3 \cdot \textcolor{red}{50} &= 350 \\ \textcolor{blue}{500} + 3 \cdot \textcolor{red}{50} &= 650 \end{aligned} \]Grafen i A er nesten null utenfor 350 til 650. Grafen i D ligger tydelig over \( x \)-aksen både ved 350 og ved 650, så den har et større standardavvik, som i videoen Varians og Standardavvik, der den bredeste grafen har størst spredning.