Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

rekker

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

21 oppgaver i S2 om rekker · viser 11–20

Oppgavene

S2 høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

4 poeng

Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

Oppgave 3a)

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
1+(ln⁡x−1)+(ln⁡x−1)2+… 1 + (\ln x - 1) + (\ln x - 1)^2 + \dots
Påstand: Dersom x=1e {x = \dfrac{1}{e}} vil summen av rekka være 13. \dfrac{1}{3}\text{.}
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
For x=1e {x = \dfrac{1}{e}} er k=−2, {k = -2}\text{,} så rekken divergerer:
Pa˚standen er usann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er usann}}}
Vi finner kvotienten for \( {x = \dfrac{1}{e}}\text{,} \) og ser om rekken konvergerer før vi bruker sumformelen.
Metode: For hånd
1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{red}{k = \ln x - 1}}\text{.} \) Med \( {x = \dfrac{1}{e}} \) er \( {\ln \dfrac{1}{e} = -1}\text{,} \) så: \[ \textcolor{red}{k} = -1 - 1 = \textcolor{red}{-2} \]
2. Sjekk om rekken konvergerer En uendelig geometrisk rekke konvergerer bare når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.
Med \( {\textcolor{red}{k = -2}} \) er rekken \( {1 - 2 + 4 - 8 + \dots}\text{,} \) og tallverdien til leddene blir større og større. Rekken divergerer, så den har ingen sum.
Sumformelen ville gitt \( {\dfrac{1}{1 - (-2)} = \dfrac{1}{3}}\text{,} \) men formelen gjelder ikke når rekken divergerer. Påstanden er derfor usann.

Oppgave 3b)

To funksjoner er gitt ved f(x)=x3−x2−ax, {f(x) = x^3 - x^2 - ax}\text{,} der a∈R, a \in \mathbb{R}\text{,} og g(x)=−x2+x. {g(x) = -x^2 + x}\text{.}
Påstand: Grafene til f f og g g avgrenser to områder som er like store når a>−1. {a > -1}\text{.}
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
For a>−1 {a > -1} skjærer grafene hverandre i x=−a+1, {x = -\sqrt{a + 1}}\text{,} 0 0 og a+1, {\sqrt{a + 1}}\text{,} og begge områdene har arealet (a+1)24: {\dfrac{(a + 1)^2}{4}}\text{:}
Pa˚standen er sann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}
Vi ser på differansen \( {f(x) - g(x)}\text{.} \) Nullpunktene er skjæringspunktene, og arealet mellom grafene er integralet av den.
Metode: For hånd
1. Finn skjæringspunktene Vi trekker \( g \) fra \( f\text{,} \) og \( {-x^2} \) forsvinner: \[ \begin{aligned} h(x) &= f(x) - g(x) \\ &= x^3 - (a + 1)x \\ &= x\left(x^2 - (a + 1)\right) \end{aligned} \]
Når \( {a > -1} \) er \( {a + 1 > 0}\text{,} \) og grafene skjærer hverandre i tre punkter: \[ x = 0 \quad \vee \quad x = \pm\sqrt{a + 1} \]Mellom dem avgrenser grafene to områder.
2. Regn ut de to arealene Integralet gir arealet under en graf, og arealet mellom grafene er integralet av differansen. Hvis du er usikker på det første, kan du se videoen Hva er integrasjon. Vi kaller \( {s = \sqrt{a + 1}}\text{,} \) så \( {s^2 = a + 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_0^{\textcolor{red}{s}} h(x)\,dx &= \left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{s^2 x^2}{2}\right]_0^{\textcolor{red}{s}} \\ &= \dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2} = -\dfrac{s^4}{4} \end{aligned} \]
På samme måte er: \[ \int_{\textcolor{blue}{-s}}^0 h(x)\,dx = 0 - \left(\dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2}\right) = \dfrac{s^4}{4} \]Det ene området har \( f \) over \( g\text{,} \) det andre \( g \) over \( f\text{,} \) og begge har arealet \( {\dfrac{s^4}{4} = \dfrac{(a + 1)^2}{4}}\text{.} \)
Det kunne vi også sett av at \( {h(-x) = -h(x)}\text{:} \) grafen til \( h \) er symmetrisk om origo. Påstanden er sann.

S2 høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

6 poeng

Ole vil studere i Tyskland og skal fullføre en mastergrad i løpet av 5 år. Han undersøker hva han kan få i stipend og lån fra Lånekassen for å dekke opphold og skolepenger.
Etter 5 år vil det samlede lånebeløpet være 799 273 kr. Rentesatsen er 5,242 % 5{,}242\,\% per år.
Rentene i Lånekassen begynner først å løpe rett etter fullført studium. Første avdrag betales ett år etter at du har fullført studiet. Nedbetalingstid er maks 30 år med én termin per år.

Oppgave 5a)

Vis at terminbeløpene Ole må betale, blir 53 437 kr dersom han velger maks nedbetalingstid.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Summeformelen gir T≈53 436,90, {T \approx 53\,436{,}90}\text{,} avrundet til hele kroner:
T≈53 437 kr‾‾ \underline{\underline{T \approx 53\,437\,\text{kr}}}
Lånet er lik nåverdien av alle terminbeløpene, og den summen er en geometrisk rekke. Vi bruker summeformelen og løser for terminbeløpet.
Metode: Med kalkulator
1. Skriv lånet som en rekke Med terminbeløpet \( \textcolor{red}{T}\text{,} \) vekstfaktoren \( \textcolor{blue}{1{,}05242} \) og \( \textcolor{green}{30} \) terminer er lånet summen av nåverdiene av terminbeløpene: \[ \begin{aligned} 799\,273 = \ &\dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}^{\textcolor{green}{30}}} \end{aligned} \]Det er en geometrisk rekke med \( {a_1 = \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}}} \) og \( {k = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{1{,}05242}}}\text{.} \)
2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{a_1\left(1 - k^n\right)}{1 - k} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel. Plugger vi inn \( a_1 \) og \( k\text{,} \) får vi: \[ 799\,273 = \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05242}^{-\textcolor{green}{30}}}{1 - \dfrac{1}{\textcolor{blue}{1{,}05242}}} \]
Vi ganger teller og nevner i den siste brøken med \( \textcolor{blue}{1{,}05242}\text{,} \) og med renten \( {r = 0{,}05242} \) blir det: \[ 799\,273 = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05242}^{-\textcolor{green}{30}}}{0{,}05242} \]
3. Løs for terminbeløpet \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \dfrac{799\,273 \cdot 0{,}05242}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05242}^{-\textcolor{green}{30}}} \\ &\approx 53\,436{,}90 \end{aligned} \]Avrundet til hele kroner er det 53 437 kr.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut terminbeløpet i CAS Vi skriver inn \( \textcolor{red}{T} \) fra formelen over og bruker \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: 799273*0.05242/(1 - 1.05242^(-30))
Terminbeløpet er omtrent \( 53\,437 \) kr.
Det er forventet at rentesatsen blir lavere fremover. Ole regner litt på det og tenker at med den forventede rentesatsen kan han klare å betale ned lånet på 25 år, med det samme terminbeløpet som i oppgave a).

Oppgave 5b)

Hva må rentesatsen være hvis han skal klare det?
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Med terminbeløpet 53 437 kr i 25 år, avrundet til to desimaler:
Rentesatsen≈4,42 %‾‾ \underline{\underline{\text{Rentesatsen} \approx 4{,}42\,\%}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: terminbeløpet 53 437 kr står i oppgaveteksten i a).
Vi setter opp den samme likningen som i a), med 25 terminer og ukjent rente, og løser den med NLøs.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for renten kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du prøve deg fram med kalkulatoren: \( {r = 0{,}044} \) gir en nåverdi på omtrent \( 800\,595 \) kr og \( {r = 0{,}045} \) omtrent \( 792\,375 \) kr, så renten ligger mellom \( 4{,}4\,\% \) og \( 4{,}5\,\%\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Sett opp likningen I a) fant vi at lånet er nåverdien av terminbeløpene: \[ 799\,273 = 53\,437 \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{n}}}{\textcolor{blue}{r}} \]Nå er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{,} \) og renten \( \textcolor{blue}{r} \) er ukjent.
2. Løs likningen i CAS Vi løser likningen i CAS, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, men med NLøs og en startverdi, fordi \( \textcolor{blue}{r} \) står både i en potens og i nevneren:
Skriv inn i GeoGebra: NLøs(799273 = 53437*(1 - (1 + r)^(-25))/r, r = 0.05)
Rad 2 gir \( {\textcolor{blue}{r} \approx 0{,}0442}\text{,} \) altså omtrent \( 4{,}42\,\%\text{.} \)
Ole tenker at han etter hvert kan klare å betale et større terminbeløp. Han ser for seg at han betaler samme terminbeløp som i oppgave a) de 12 første årene. Deretter øker han terminbeløpet med 5 % 5\,\% per termin resten av nedbetalingstiden. Han antar at rentesatsen vil være 5,242 % 5{,}242\,\% per år gjennom hele perioden.

Oppgave 5c)

Hvor mange år vil det ta før lånet er nedbetalt, dersom Ole klarer dette?
Vis løsning på oppgave 5c
Svar
Etter 12 år er restgjelden betalt med 11,64 økte terminer, så den siste terminen kommer i år 24:
24 a˚r‾‾ \underline{\underline{24 \text{ år}}}
Vi bruker terminbeløpet 53 437 kr fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi finner hvor mye Ole skylder etter 12 år. De økende terminbeløpene etterpå er en ny geometrisk rekke, og vi løser for antall terminer med \( \ln\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Finn restgjelden etter 12 år Etter 12 år har lånet vokst med renter, og hvert terminbeløp har også vokst med renter fra det ble betalt. Med \( \textcolor{blue}{1{,}05242} \) som vekstfaktor er restgjelden lånet minus de 12 terminbeløpene, en geometrisk rekke med summeformelen fra a): \[ \begin{aligned} R &= 799\,273 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05242}^{12} \\ &\quad - 53\,437 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}05242}^{12} - 1}{0{,}05242} \\ &\approx 613\,010 \end{aligned} \]
2. Sett opp de økende terminbeløpene Fra år 13 er terminbeløpet \( {53\,437 \cdot \textcolor{red}{1{,}05}^{j}} \) i termin nummer \( j \) etter år 12. Restgjelden er nåverdien av dem, sett fra år 12: \[ R = \sum_{j=1}^{\textcolor{green}{m}} 53\,437 \cdot q^{j}, \quad q = \dfrac{\textcolor{red}{1{,}05}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}} \]Det er en geometrisk rekke med \( {a_1 = 53\,437q} \) og \( {k = q}\text{.} \) Summeformelen gir: \[ 53\,437q \cdot \dfrac{1 - q^{\textcolor{green}{m}}}{1 - q} = R \]
3. Løs for antall terminer Vi løser for \( q^{\textcolor{green}{m}} \) og bruker at: \[ \dfrac{1 - q}{q} = \dfrac{1{,}05242 - 1{,}05}{1{,}05} = \dfrac{0{,}00242}{1{,}05} \]
Det gir: \[ q^{\textcolor{green}{m}} = 1 - \dfrac{R \cdot 0{,}00242}{53\,437 \cdot 1{,}05} \approx 0{,}97356 \]
Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, og løser for \( \textcolor{green}{m}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{m} = \dfrac{\ln 0{,}97356}{\ln q} \approx 11{,}64 \]Etter 11 økte terminer er det litt igjen, så det trengs en 12. økt termin, men den blir mindre enn et fullt terminbeløp. Til sammen blir det \( {12 + 12 = 24} \) år.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Lånet er nåverdien av de 12 like terminbeløpene pluss nåverdien av de \( \textcolor{green}{m} \) økende:
Skriv inn i GeoGebra: NLøs(799273 = 53437*(1 - 1.05242^(-12))/0.05242 + Sum(53437*1.05^j/1.05242^(12 + j), j, 1, m), m = 10)
Rad 3 gir \( {\textcolor{green}{m} \approx 11{,}64}\text{,} \) så det trengs 12 økte terminer etter de 12 første, til sammen 24 år.

S2 vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

4 poeng

En elev har laget programmet nedenfor.

Oppgave 3a)

Forklar hva eleven prøver å finne ut.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Eleven prøver å finne det minste antallet ledd n n som gir:
2+6+⋯+(4n−2)>200‾‾ \underline{\underline{2 + 6 + \dots + (4n - 2) > 200}}
Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde, og når løkka stopper.
1. Se hva som legges til Linje 4 er en while-løkke: den går så lenge \( {S \le 200}\text{.} \) Hvis du er usikker på while-løkker, kan du se videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.
I hver runde øker linje 5 \( n \) med \( 1\text{,} \) og linje 6 legger til \( {\textcolor{blue}{4n - 2}}\text{.} \) For \( {n = 1, 2, 3, \dots} \) er det: \[ \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{6} + \textcolor{blue}{10} + \textcolor{blue}{14} + \dots \]
Det er en aritmetisk rekke med \( {a_1 = 2} \) og differanse \( {d = 4}\text{,} \) og \( S \) er summen av de \( n \) første leddene.
2. Se når programmet stopper Løkka stopper første gang summen er større enn \( 200\text{,} \) og linje 8 skriver ut \( n\text{.} \)

Oppgave 3b)

Finn verdien eleven får skrevet ut når programmet kjøres.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Programmet skriver ut
n=11‾‾ \underline{\underline{n = 11}}
Vi bruker rekken fra a), med \( {a_1 = 2} \) og \( {d = 4}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi finner en formel for summen av de \( n \) første leddene, og ser når den blir større enn \( 200\text{.} \)
1. Finn summen av n ledd Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.
Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{a_n} = \textcolor{red}{4n - 2}}\text{:} \) \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{4n - 2})}{2} = 2n^2 \]
2. Finn når summen passerer 200 Løkka stopper første gang \( {S > 200}\text{,} \) altså når: \[ \begin{aligned} 2n^2 &> 200 \\ n^2 &> 100 \\ n &> 10 \end{aligned} \]Med \( {n = 10} \) er \( {S = 200}\text{,} \) som ikke er større enn \( 200\text{,} \) så løkka går én runde til. Med \( {n = 11} \) er \( {S = 2 \cdot 11^2 = 242}\text{.} \)

S2 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

6 poeng

Olivia tar opp et annuitetslån på 2 500 000 kroner for å kjøpe bolig. Hun velger årlige terminer og en nedbetalingstid på 25 år. Det første terminbeløpet skal betales om ett år. Renten er på 5,5 % 5{,}5\,\% per år.

Oppgave 3a)

Hvor store blir de årlige terminbeløpene?
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Avrundet til hele kroner:
T≈186 373 kr‾‾ \underline{\underline{T \approx 186\,373\,\text{kr}}}
Lånebeløpet er lik nåverdien av alle terminbeløpene, og den summen er en geometrisk rekke. Vi summerer rekken og løser for terminbeløpet.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp nåverdien som en rekke Med terminbeløpet \( \textcolor{red}{T}\text{,} \) renten \( \textcolor{blue}{r} \) og \( \textcolor{green}{n} \) terminer er lånebeløpet summen av nåverdiene av terminbeløpene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1 + \textcolor{blue}{r}} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^2} + \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^{\textcolor{green}{n}}} \]Det er en geometrisk rekke.
2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{a_1\left(1 - k^n\right)}{1 - k} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.
Her er: \[ \begin{aligned} a_1 &= \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1 + \textcolor{blue}{r}} & k &= \dfrac{1}{1 + \textcolor{blue}{r}} \end{aligned} \]
Nevneren i summeformelen blir: \[ 1 - k = 1 - \dfrac{1}{1 + \textcolor{blue}{r}} = \dfrac{\textcolor{blue}{r}}{1 + \textcolor{blue}{r}} \]
Plugger vi dette inn, forkortes \( {1 + \textcolor{blue}{r}} \) bort, og vi får: \[ \text{lån} = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{n}}}{\textcolor{blue}{r}} \]
3. Løs for terminbeløpet Her er lånet \( 2\,500\,000 \) kr, \( {\textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{0{,}055}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \dfrac{2\,500\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}055}}{1 - \textcolor{blue}{1{,}055}^{-\textcolor{green}{25}}} \\ &\approx \textcolor{red}{186\,373{,}38} \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut terminbeløpet i CAS Med den samme formelen regner vi ut terminbeløpet med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: 2500000*0.055/(1 - 1.055^(-25))
Terminbeløpet er omtrent \( \textcolor{red}{186\,373} \) kr.
Etter 5 år vil Olivia utvide lånet for å pusse opp badet. Hun håper å få låne 500 000 kroner ekstra til samme rente, men hun vil ikke forlenge nedbetalingstiden på lånet.

Oppgave 3b)

Hvor store blir de nye terminbeløpene?
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Med 500 000 500\,000 kr ekstra over de 20 årene som er igjen, avrundet til hele kroner:
Tny≈228 213 kr‾‾ \underline{\underline{T_{\text{ny}} \approx 228\,213\,\text{kr}}}
Vi bruker terminbeløpet og formelen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Restgjelden etter 5 år er nåverdien av de 20 terminene som er igjen. Vi legger til 500 000 kr og finner terminbeløpet for den nye gjelden over 20 år.
Metode: Med kalkulator
1. Finn restgjelden etter 5 år I a) fant vi formelen \[ \text{lån} = T \cdot \dfrac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \]og terminbeløpet \( {T \approx 186\,373{,}38} \) kr.
Etter 5 terminer er det \( {25 - 5 = 20} \) terminer igjen. Restgjelden er nåverdien av dem, en geometrisk rekke vi summerer som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel: \[ \begin{aligned} R &= \textcolor{red}{186\,373{,}38} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}055}^{-\textcolor{green}{20}}}{\textcolor{blue}{0{,}055}} \\ &\approx 2\,227\,233{,}18 \end{aligned} \]
2. Finn de nye terminbeløpene Den nye gjelden er: \[ \begin{aligned} & 2\,227\,233{,}18 + 500\,000 \\ &= 2\,727\,233{,}18 \end{aligned} \]Den skal betales ned på de samme 20 årene: \[ \begin{aligned} T_{\text{ny}} &= \dfrac{2\,727\,233{,}18 \cdot \textcolor{blue}{0{,}055}}{1 - \textcolor{blue}{1{,}055}^{-\textcolor{green}{20}}} \\ &\approx 228\,213{,}05 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut restgjelden og så terminbeløpet for den nye gjelden, \( {2\,227\,233{,}18 + 500\,000}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: 186373.38*(1 - 1.055^(-20))/0.055 2727233.18*0.055/(1 - 1.055^(-20))
Rad 2 gir restgjelden \( 2\,227\,233{,}18 \) kr, og rad 3 gir de nye terminbeløpene, omtrent \( 228\,213 \) kr.
Olivia vet at dersom de nye terminbeløpene blir for store, må hun forlenge nedbetalingstiden.

Oppgave 3c)

Hvor lang blir nedbetalingstiden dersom hun betaler 200 000 kroner hver termin etter at hun har utvidet lånet?
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Etter utvidelsen trengs 25 hele terminer og en mindre siste termin:
Etter utvidelsen: 26 terminer‾‾Nedbetalingstid: 31 a˚r‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Etter utvidelsen: } 26 \text{ terminer}}} \\ &\underline{\underline{\text{Nedbetalingstid: } 31 \text{ år}}} \end{aligned}
Vi bruker den nye gjelden fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Den nye gjelden er nåverdien av alle terminene på 200 000 kr. Vi løser likningen for antallet terminer ved å ta \( \ln \) på begge sider.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp likningen I b) fant vi den nye gjelden, \( 2\,727\,233{,}18 \) kr. Med \( \textcolor{green}{m} \) terminer på \( \textcolor{red}{200\,000} \) kr gir formelen fra a): \[ \begin{aligned} & 2\,727\,233{,}18 \\ &= \textcolor{red}{200\,000} \cdot \dfrac{1 - 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}}}{0{,}055} \end{aligned} \]
2. Løs med ln Vi ganger med \( 0{,}055 \) og deler på \( \textcolor{red}{200\,000}\text{.} \) På høyre side står da \( {1 - 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}}}\text{,} \) og på venstre: \[ \dfrac{2\,727\,233{,}18 \cdot 0{,}055}{\textcolor{red}{200\,000}} \approx 0{,}75 \]
Så tar vi \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, og bruker at: \[ \ln a^x = x \ln a \]
Det gir: \[ \begin{aligned} 1 - 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}} &\approx 0{,}75 \\ 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}} &\approx 0{,}25 \\ -\textcolor{green}{m} \cdot \ln 1{,}055 &\approx \ln 0{,}25 \\ \textcolor{green}{m} &\approx \dfrac{\ln 0{,}25}{-\ln 1{,}055} \approx 25{,}89 \end{aligned} \]
3. Tolk svaret Det trengs 25 hele terminer på 200 000 kr og en mindre termin til slutt, altså 26 terminer etter utvidelsen. Sammen med de 5 årene før utvidelsen blir nedbetalingstiden: \[ 5 + 26 = 31 \text{ år} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) løser vi likningen for \( \textcolor{green}{m} \) i CAS, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, her med NLøs og en startverdi:
Skriv inn i GeoGebra: NLøs(2727233.18 = 200000*(1 - 1.055^(-m))/0.055, m = 25)
Rad 4 gir \( {\textcolor{green}{m} \approx 25{,}89}\text{,} \) altså 26 terminer etter utvidelsen og \( {5 + 26 = 31} \) år i alt.

S2 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

4 poeng

De fem første kubikktallene er 13, 1^3\text{,} 23, 2^3\text{,} 33, 3^3\text{,} 43 4^3 og 53. 5^3\text{.} La Sn S_n være summen av de n n første kubikktallene.

Oppgave 4a)

Beskriv den rekursive sammenhengen mellom Sn S_n og Sn+1. {S_{n+1}}\text{.} Bestem en eksplisitt formel for Sn. S_n\text{.}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Sn+1=Sn+(n+1)3,S1=1‾‾ \underline{\underline{S_{n+1} = S_n + (n + 1)^3\text{,} \quad S_1 = 1}}
Sn=(n(n+1)2)2‾‾ \underline{\underline{S_n = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2}}
Fra \( S_n \) til \( {S_{n+1}} \) legger vi til ett kubikktall til. For den eksplisitte formelen regner vi ut de første summene og ser etter et mønster.
Metode: For hånd
1. Skriv opp sammenhengen \( {S_{n+1}} \) er summen av de \( {n + 1} \) første kubikktallene, altså \( S_n \) pluss det neste kubikktallet: \[ S_{n+1} = S_n + \textcolor{red}{(n + 1)^3} \quad\text{og}\quad S_1 = 1 \]
2. Regn ut de første summene Vi legger til ett kubikktall om gangen: \[ \begin{aligned} S_1 &= 1 = 1^2 \\ S_2 &= 1 + 8 = 9 = 3^2 \\ S_3 &= 9 + 27 = 36 = 6^2 \\ S_4 &= 36 + 64 = 100 = 10^2 \\ S_5 &= 100 + 125 = 225 = 15^2 \end{aligned} \]Alle summene er kvadrattall.
3. Finn mønsteret Tallene \( 1, 3, 6, 10, 15 \) er summene \( {1 + 2 + \dots + n}\text{,} \) og den summen er: \[ 1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.
Summen av kubikktallene er kvadratet av den: \[ S_n = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \]For eksempel er \( {S_5 = \left(\dfrac{5 \cdot 6}{2}\right)^2 = 15^2 = 225}\text{.} \)
Formelen passer med den rekursive sammenhengen, for: \[ \begin{aligned} & \left(\dfrac{(n + 1)(n + 2)}{2}\right)^2 \\ &\quad - \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \\ &= \dfrac{(n + 1)^2}{4}\left((n + 2)^2 - n^2\right) \\ &= \dfrac{(n + 1)^2}{4} \cdot (4n + 4) \\ &= (n + 1)^3 \end{aligned} \]Formelen gir også \( {S_1 = 1}\text{,} \) så den gir de samme summene som sammenhengen for alle \( n\text{.} \)

Oppgave 4b)

Lag et program som regner ut S50 S_{50} ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {S_{n+1} = S_n + (n + 1)^3}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi starter med summen \( 0\text{,} \) og lar en løkke legge til ett kubikktall om gangen, \( 50 \) ganger.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.
Metode: Med Python
1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter summen \( {S = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker som legger sammen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.
Løkka i linje 2 går for \( {n = 1, 2, \dots, 50}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger \( \textcolor{red}{n^3} \) til summen.
2. Sjekk de første rundene Etter tre runder er \( {S = \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{8} + \textcolor{red}{27} = 36 = S_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 1\,625\,625\text{.} \) Formelen fra a) gir det samme: \[ \left(\dfrac{50 \cdot 51}{2}\right)^2 = 1275^2 = 1\,625\,625 \]

S2 høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

Oppgave 2a)

En uendelig geometrisk rekke a1+a2+a3+… {a_1 + a_2 + a_3 + \dots} konvergerer mot 8. 8\text{.}
Bestem summen av de fire første leddene, når du får vite at a1=4. {a_1 = 4}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
k=12, {k = \dfrac{1}{2}}\text{,} så
S4=4+2+1+12=152‾‾ \underline{\underline{S_4 = 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{15}{2}}}
Vi finner kvotienten fra summen av den uendelige rekka. Så legger vi sammen de fire første leddene.
1. Finn kvotienten Når \( {-1 < k < 1}\text{,} \) konvergerer en uendelig geometrisk rekke, og summen er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.
Plugger vi inn \( {S = 8} \) og \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{1 - \textcolor{red}{k}} &= 8 \\ 1 - \textcolor{red}{k} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]
2. Legg sammen de fire første leddene Hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} S_4 &= 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} \end{aligned} \]

Oppgave 2b)

I en aritmetisk rekke er a1+a4+a7=114. {a_1 + a_4 + a_7 = 114}\text{.}
Bestem a4. a_4\text{.}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
a1+a4+a7=3a4, {a_1 + a_4 + a_7 = 3a_4}\text{,} så
a4=1143=38‾‾ \underline{\underline{a_4 = \dfrac{114}{3} = 38}}
Vi skriver alle tre leddene med \( a_1 \) og differansen \( d\text{,} \) og ser at summen er tre ganger \( a_4\text{.} \)
1. Skriv leddene med differansen Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.
Da er \( {\textcolor{blue}{a_4 = a_1 + 3\textcolor{red}{d}}} \) og \( {a_7 = a_1 + 6\textcolor{red}{d}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} a_1 + a_4 + a_7 &= 3a_1 + 9\textcolor{red}{d} \\ &= 3(\textcolor{blue}{a_1 + 3\textcolor{red}{d}}) = 3\textcolor{blue}{a_4} \end{aligned} \]
Dermed er: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{blue}{a_4} &= 114 \\ \textcolor{blue}{a_4} &= 38 \end{aligned} \]

S2 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

Miriam har bestemt seg for å sette inn 20 000 kroner på en konto i begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet vil hun sette inn i begynnelsen av 2024, det andre beløpet i begynnelsen av 2025, og så videre. Anta at hun får en fast årlig rentesats på 3,5 prosent.

Oppgave 2a)

Vis at Miriam vil ha 565 594 kroner på kontoen like etter at hun har satt inn innskudd nummer 20.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Avrundet til hele kroner:
S20≈565 594 kr‾‾ \underline{\underline{S_{20} \approx 565\,594\,\text{kr}}}
Hvert innskudd vokser med vekstfaktoren \( 1{,}035 \) for hvert år det står på kontoen. Saldoen er summen av de 20 innskuddene med renter, og den summen er en geometrisk rekke.
Metode: Med kalkulator
1. Skriv saldoen som en rekke Vekstfaktoren for \( 3{,}5\,\% \) er \( 1{,}035\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Innskudd nummer 20 er nettopp satt inn og har ingen renter. Innskudd nummer 19 har stått i 1 år, og det første innskuddet i 19 år: \[ \begin{aligned} S_{20} = \ &20\,000 + 20\,000 \cdot \textcolor{red}{1{,}035} \\ &+ \ldots + 20\,000 \cdot \textcolor{red}{1{,}035}^{19} \end{aligned} \]Hvert ledd er det forrige ganget med vekstfaktoren, så rekken er geometrisk.
2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^{\textcolor{green}{n}} - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{20\,000} & \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{1{,}035} & \textcolor{green}{n} &= \textcolor{green}{20} \end{aligned} \]
Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{20} &= \textcolor{blue}{20\,000} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}035}^{\textcolor{green}{20}} - 1}{\textcolor{red}{1{,}035} - 1} \\ &\approx 565\,593{,}64 \end{aligned} \]Avrundet til hele kroner er det \( 565\,594 \) kr.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut summen i CAS Innskudd nummer \( {20 - j} \) har stått i \( j \) år, så vi lar Sum legge sammen \( {20\,000 \cdot 1{,}035^j} \) for \( {j = 0} \) til \( 19\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: Sum(20000*1.035^j, j, 0, 19)
Summen er omtrent \( 565\,594 \) kr.
Hermod har også bestemt seg for å spare. Han vil sette inn et fast beløp i begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet setter han inn i begynnelsen av 2024. Han får også en fast årlig rentesats på 3,5 prosent. Hermod har regnet ut at han vil ha 692 852 kroner på kontoen like etter at innskudd nummer 20 er satt inn.

Oppgave 2b)

Bestem beløpet Hermod må sette inn hvert år for at dette skal stemme.
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Avrundet til hele kroner må Hermod sette inn:
x≈24 500 kr‾‾ \underline{\underline{x \approx 24\,500\,\text{kr}}}
Det er den samme rekken som i a), men med et ukjent innskudd \( x \) i stedet for \( 20\,000\text{.} \) Vi setter summen lik \( 692\,852 \) og løser for \( x\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp likningen Med innskuddet \( \textcolor{blue}{x} \) er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{x}}\text{,} \) og ellers er alt som i a). Summeformelen fra a), som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel, forteller oss at: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1} \]
Det gir: \[ \textcolor{blue}{x} \cdot \dfrac{1{,}035^{20} - 1}{1{,}035 - 1} = 692\,852 \]
2. Finn innskuddet Vi regner ut brøken og deler: \[ \begin{aligned} \dfrac{1{,}035^{20} - 1}{0{,}035} &\approx 28{,}2797 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{692\,852}{28{,}2797} \approx 24\,500 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) løser vi likningen for \( x \) med Løs og \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: Løs(x*Sum(1.035^j, j, 0, 19) = 692852, x)
Rad 2 gir \( {x \approx 24\,500} \) kr.
Miriam ønsker at det skal være 1 000 000 kroner på kontoen like etter at hun har satt inn innskudd nummer 20. For å få til dette, vil hun øke innskuddet med et fast beløp hvert år. Første innskudd skal være 20 000 kroner.

Oppgave 2c)

Hvor mye må hun øke innskuddet med hvert år?
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
Avrundet til hele øre må hun øke innskuddet med:
d≈1836,33 kr‾‾ \underline{\underline{d \approx 1836{,}33\,\text{kr}}}
Vi bruker summen \( 565\,593{,}64 \) kr fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi kaller økningen \( d\text{.} \) De \( 20\,000 \) kronene i hvert innskudd gir saldoen fra a), og hver økning er et nytt fast innskudd fra et år og ut, altså en ny geometrisk rekke.
Metode: Med kalkulator
1. Del opp innskuddene Innskudd nummer \( n \) er \( {20\,000 + (n - 1)\textcolor{red}{d}}\text{.} \) Fra a) vet vi at \( 20\,000 \) kr hvert år gir: \[ \textcolor{blue}{565\,593{,}64} \]
Den første økningen \( \textcolor{red}{d} \) kommer i innskudd 2 og er med i alle innskuddene etter det. Det er som å sette inn \( \textcolor{red}{d} \) hvert år i 19 år. Den andre økningen er med fra innskudd 3, altså i 18 år, og så videre, til den siste, som bare er med i innskudd 20.
2. Summer hver økning En økning som er med i \( m \) innskudd, gir en geometrisk rekke med \( {a_1 = \textcolor{red}{d}}\text{,} \) \( {k = 1{,}035} \) og \( m \) ledd. Summeformelen forteller oss at: \[ S_m = a_1 \cdot \dfrac{k^m - 1}{k - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.
For én økning gir det: \[ \textcolor{red}{d} \cdot \dfrac{1{,}035^m - 1}{0{,}035} \]
Vi legger sammen for \( {m = 19, 18, \ldots, 1}\text{,} \) og setter \( \textcolor{red}{d} \) og \( \dfrac{1}{0{,}035} \) utenfor: \[ \dfrac{\textcolor{red}{d}}{0{,}035}\left(1{,}035 + \ldots + 1{,}035^{19} - 19\right) \]
Summen i parentesen er en geometrisk rekke med \( {a_1 = 1{,}035}\text{,} \) \( {k = 1{,}035} \) og 19 ledd: \[ \begin{aligned} 1{,}035 \cdot \dfrac{1{,}035^{19} - 1}{0{,}035} &\approx 27{,}27968 \\ \dfrac{27{,}27968 - 19}{0{,}035} &\approx \textcolor{darkorange}{236{,}5623} \end{aligned} \]Økningene gir altså til sammen \( \textcolor{darkorange}{236{,}5623}\textcolor{red}{d}\text{.} \)
3. Finn økningen Saldoen skal være \( 1\,000\,000 \) kr: \[ \textcolor{blue}{565\,593{,}64} + \textcolor{darkorange}{236{,}5623}\textcolor{red}{d} = 1\,000\,000 \]
Vi trekker fra \( \textcolor{blue}{565\,593{,}64} \) og deler: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{236{,}5623}\textcolor{red}{d} &= 434\,406{,}36 \\ \textcolor{red}{d} &\approx 1836{,}33 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Innskudd nummer \( n \) er \( {20\,000 + (n - 1)d} \) og har stått i \( {20 - n} \) år. Vi summerer for \( {n = 1} \) til \( 20\text{,} \) og løser for \( d \) med Løs og \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: Løs(Sum((20000 + (n - 1)*d)*1.035^(20 - n), n, 1, 20) = 1000000, d)
Rad 3 gir \( {d \approx 1836{,}33} \) kr.

S2 vår 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

En elev har skrevet følgende kode:

Oppgave 4a)

Forklar hva eleven ønsker å regne ut.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Eleven ønsker å regne ut summen av de 10 10 første leddene i den aritmetiske rekken med a1=3 {a_1 = 3} og d=4: {d = 4}\text{:}
3+7+11+⋯+39=210‾‾ \underline{\underline{3 + 7 + 11 + \dots + 39 = 210}}
Vi følger løkka noen runder og ser hva som legges til \( S \) hver gang.
1. Følg løkka Linje 7 til 9 er en løkke som går \( {N = 10} \) ganger. I hver runde legger linje 8 tallet \( a \) til summen \( S\text{,} \) og linje 9 øker \( a \) med \( {d = 4}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.
Etter tre runder er: \[ S = \textcolor{blue}{3} + 7 + 11 \]
2. Kjenn igjen rekken Leddene øker med \( \textcolor{red}{4} \) hver gang, så dette er en aritmetisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \) Programmet legger sammen de \( 10 \) første leddene, og det siste er \( {3 + 9 \cdot 4 = 39}\text{.} \)
Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]
Plugger vi inn \( {n = 10}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {a_{10} = 39}\text{,} \) får vi: \[ S_{10} = \dfrac{10 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 39)}{2} = 210 \]

Oppgave 4b)

Hva blir resultatet når programmet kjøres, dersom N settes til 100 i linje 4?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Programmet skriver ut summen av de 100 100 første leddene:
S100=20 100‾‾ \underline{\underline{S_{100} = 20\,100}}
Fra a) legger programmet sammen de \( N \) første leddene i den aritmetiske rekken med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi finner det siste leddet, \( a_{100}\text{,} \) og bruker sumformelen for aritmetiske rekker.
1. Finn det siste leddet Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.
Med \( {n = 100} \) får vi: \[ a_{100} = \textcolor{blue}{3} + 99 \cdot \textcolor{red}{4} = 399 \]
2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.
Plugger vi inn \( {n = 100}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {a_{100} = 399}\text{,} \) får vi: \[ S_{100} = \dfrac{100 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 399)}{2} = 20\,100 \]

S2 vår 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

Knut må hver dag ta en tablett som inneholder 7 mg av et virkestoff. I kroppen brytes 10 prosent av dette virkestoffet ned hvert døgn. Knut har lest at det kan være skadelig å ha mer enn 100 mg av virkestoffet i kroppen. Legen beroliger Knut med at dette ikke vil skje med den dosen Knut tar.
Avgjør om det legen sier, stemmer.
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Mengden i kroppen nærmer seg 70 mg, men kommer aldri over, så legen har rett:
71−0,9=70 mg<100 mg‾‾ \underline{\underline{\dfrac{7}{1 - 0{,}9} = 70\,\text{mg} < 100\,\text{mg}}}
Det som er igjen av hver tablett, blir ganget med 0,9 for hvert døgn. Mengden rett etter en tablett er derfor en geometrisk rekke, og vi finner hvor stor summen kan bli.
1. Sett opp mengden som en rekke Når 10 prosent brytes ned, er 90 prosent igjen, så vekstfaktoren per døgn er \( \textcolor{red}{0{,}9}\text{.} \) Rett etter tablett nummer \( n \) er den nye tabletten \( \textcolor{blue}{7} \) mg, det som er igjen av tabletten fra døgnet før, er \( {\textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9}} \) mg, og så videre: \[ \begin{aligned} S_n = \ &\textcolor{blue}{7} + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9} + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9}^2 \\ &+ \ldots + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9}^{n - 1} \end{aligned} \]Dette er en geometrisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{7}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}9}}\text{.} \)
2. Regn ut den uendelige summen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.
Siden \( {-1 < 0{,}9 < 1}\text{,} \) konvergerer rekken. Plugger vi inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{7}}{1 - \textcolor{red}{0{,}9}} = \dfrac{7}{0{,}1} = 70 \]
3. Sammenlign med grensen Alle leddene er positive, så hver delsum \( S_n \) er mindre enn den uendelige summen: \[ S_n < S = 70 < 100 \]Rett etter en tablett er det altså alltid mindre enn 70 mg i kroppen, og mellom tablettene er det enda mindre. Legen har derfor rett.

S2 vår 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

Anders tok opp et annuitetslån på 150 000 kroner for å kjøpe en bil. Lånet hadde en nedbetalingstid på 36 måneder med én termin per måned. Det hadde en månedlig rentesats på 0,49 prosent.

Oppgave 1a)

Hva var terminbeløpet?
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Terminbeløpet, avrundet til hele øre:
T≈4555,14 kr‾‾ \underline{\underline{T \approx 4555{,}14\,\text{kr}}}
Lånebeløpet er lik summen av nåverdiene av de 36 terminbeløpene. Den summen er en geometrisk rekke, som vi løser for terminbeløpet.
Metode: Med kalkulator
1. Skriv lånet som en rekke Terminbeløpet \( T \) er det Anders betaler hver måned, som forklart i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023, og i et annuitetslån er det like stort hver gang.
Med renten \( 0{,}49\,\% \) er vekstfaktoren \( 1{,}0049 \) per måned, så et terminbeløp som betales etter \( n \) måneder, er verdt \( \dfrac{T}{1{,}0049^n} \) i dag. Lånet er summen av disse nåverdiene: \[ \begin{aligned} 150\,000 = \ &\dfrac{T}{1{,}0049} + \dfrac{T}{1{,}0049^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{T}{1{,}0049^{36}} \end{aligned} \]Det er en geometrisk rekke med \( {\textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{\dfrac{T}{1{,}0049}}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}0049}}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{36}} \) ledd.
2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}\left(1 - \textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{n}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.
Plugger vi inn, med \( {\textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{36}} = 1{,}0049^{-36}}\text{,} \) og ganger med \( 1{,}0049 \) over og under brøkstreken, får vi: \[ \begin{aligned} 150\,000 &= \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{T}{1{,}0049}}\left(1 - 1{,}0049^{-\textcolor{green}{36}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}0049}}} \\ &= \dfrac{T\left(1 - 1{,}0049^{-36}\right)}{1{,}0049 - 1} \\ &= \dfrac{T\left(1 - 1{,}0049^{-36}\right)}{0{,}0049} \end{aligned} \]
3. Løs for terminbeløpet Vi ganger med \( 0{,}0049 \) og deler på parentesen: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{150\,000 \cdot 0{,}0049}{1 - 1{,}0049^{-36}} \\ &\approx 4555{,}14 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi skriver summen av nåverdiene med Sum og løser for \( T \) med Løs:
Skriv inn i GeoGebra: Løs(150000 = Sum(T/1.0049^k, k, 1, 36), T)
Rad 1 gir \( {T \approx 4555{,}14} \) kr.
Like etter at Anders hadde betalt inn terminbeløp 24 ble bilen totalskadet, og forsikringsselskapet betalte ut 55 000 kroner.

Oppgave 1b)

Var dette nok til å betale ned restlånet?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Restlånet, avrundet til hele kroner, er mindre enn utbetalingen:
Ja, 52 960 kr<55 000 kr‾‾ \underline{\underline{\text{Ja, } 52\,960\,\text{kr} < 55\,000\,\text{kr}}}
Vi bruker terminbeløpet \( {T \approx 4555{,}14} \) kr fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Restlånet etter 24 terminer er nåverdien av de 12 terminbeløpene som er igjen. Vi regner det ut med summeformelen og sammenligner med 55 000 kr.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp restlånet Etter terminbeløp 24 er det \( {36 - 24 = \textcolor{green}{12}} \) terminer igjen. Restlånet er det banken skal ha i dag for dem, altså summen av nåverdiene deres: \[ \begin{aligned} R = \ &\dfrac{T}{1{,}0049} + \dfrac{T}{1{,}0049^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{T}{1{,}0049^{\textcolor{green}{12}}} \end{aligned} \]
I a) fant vi at summeformelen, som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel, gjør en slik sum om til: \[ R = \dfrac{T\left(1 - 1{,}0049^{-\textcolor{green}{12}}\right)}{0{,}0049} \]
2. Regn ut og sammenlign Med \( {T \approx 4555{,}14} \) fra a) får vi: \[ \begin{aligned} R &= \dfrac{4555{,}14 \cdot \left(1 - 1{,}0049^{-12}\right)}{0{,}0049} \\ &\approx \textcolor{blue}{52\,960} \end{aligned} \]Restlånet er omtrent \( \textcolor{blue}{52\,960} \) kr, mindre enn \( \textcolor{red}{55\,000} \) kr. Utbetalingen var altså nok, og Anders har omtrent \( {55\,000 - 52\,960 = 2040} \) kr til overs.
Metode: Med GeoGebra
1. Summer nåverdiene i CAS Vi legger sammen nåverdiene av de 12 siste terminbeløpene med Sum, med terminbeløpet fra a) med fire desimaler:
Skriv inn i GeoGebra: Sum(4555.1392/1.0049^k, k, 1, 12)
Rad 2 gir \( 52\,959{,}7863\text{.} \) Restlånet er omtrent \( 52\,960 \) kr, mindre enn \( 55\,000 \) kr, så utbetalingen var nok.