Eksamensoppgaver etter tema

Vi regner ut hva modellen gir for ukene i tabellen og sammenligner med målingene. Modellen er logistisk, så den vokser og flater ut mot et tak.

1. Regn ut modellverdiene Vi setter ukene fra tabellen inn i \( L(t)\text{,} \) og runder av til én desimal: \[ \begin{aligned} L(1) &\approx 14{,}7 & L(5) &\approx 33{,}4 \\ L(10) &\approx 74{,}2 & L(15) &\approx 117{,}2 \\ L(20) &\approx 142{,}0 \end{aligned} \]Målingene er 14, 32, 80, 115 og 145 km. Modellen bommer med under 6 km hver uke, og den følger både den raske økningen og at den avtar mot slutten.

2. Forklar modelltypen Modellen har formen \[ L(t) = \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + a \cdot e^{-kt}} \]med \( {\textcolor{red}{C} = \textcolor{red}{156{,}31}}\text{.} \) Den vokser sakte først, så raskt, og flater så ut mot \( \textcolor{red}{C}\text{.} \)

Det passer for løpetrening. Marco starter forsiktig og øker mer og mer når kroppen tåler det. Men han har bare så mye tid og så mye kroppen tåler, så antall kilometer per uke kan ikke vokse uten grense. \( \textcolor{red}{C} \) er taket, omtrent 156 km per uke.

1. Lag logistisk regresjon Vi legger punktene i en liste og lager logistisk regresjon, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den finner tallene i modellen som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi tegner også \( L \) fra oppgaven:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 14), (5, 32), (10, 80), (15, 115), (20, 145)} f(x) = RegLogist(l1) L(x) = 156.31/(1 + 12.21*ℯ^(-0.24x))

Regresjonen gir: \[ f(x) \approx \dfrac{156{,}31}{1 + 12{,}21e^{-0{,}24x}} \]med tallene avrundet til to desimaler. Det er modellen \( L\text{,} \) og grafen går nær alle punktene.

Økningen er den deriverte \( L'(t)\text{.} \) En logistisk funksjon vokser raskest i vendepunktet, der den er kommet halvveis til taket \( 156{,}31\text{.} \)

1. Finn når modellen er halvveis Vi setter \( {L(t) = \dfrac{156{,}31}{2}}\text{.} \) Det skjer når nevneren er 2, altså når \( {\textcolor{green}{12{,}21e^{-0{,}24t}} = 1}\text{.} \) Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} e^{-0{,}24t} &= \dfrac{1}{12{,}21} \\ -0{,}24t &= -\ln 12{,}21 \\ t &= \dfrac{\ln 12{,}21}{0{,}24} \approx 10{,}43 \end{aligned} \]

2. Deriver med kjerneregelen Vi skriver \( {L(t) = 156{,}31 \cdot \left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{12{,}21e^{-0{,}24t}}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = -0{,}24 \cdot \textcolor{green}{u}}\text{.} \) Den ytre funksjonen er \( {g(\textcolor{green}{u}) = 156{,}31(1 + \textcolor{green}{u})^{-1}}\text{:} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \big(g(\textcolor{green}{u})\big)' = g'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen. Det gir: \[ \begin{aligned} L'(t) &= -156{,}31 \cdot \left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^{-2} \\ &\quad \cdot (-0{,}24\textcolor{green}{u}) \\ &= \dfrac{156{,}31 \cdot 0{,}24 \cdot \textcolor{green}{u}}{\left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^2} \end{aligned} \]

3. Regn ut økningen I \( {t \approx 10{,}43} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 1}\text{:} \) \[ L'(10{,}43) = \dfrac{156{,}31 \cdot 0{,}24 \cdot 1}{2^2} \approx 9{,}38 \]

Det er den største økningen, for brøken \( {\dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2}} \) er aldri større enn \( \dfrac{1}{4}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2} \le \dfrac{1}{4} \iff (1 - \textcolor{green}{u})^2 \ge 0 \]Da økte antallet kilometer per uke med omtrent 9,4 km for hver uke.

1. Finn vendepunktet i CAS Vendepunktet er der \( {L''(t) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi løser med NLøs og setter løsningen inn i \( L'\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: L(t) := 156.31/(1 + 12.21*ℯ^(-0.24t)) NLøs(L''(t) = 0, t = 10) L'(10.4261)

Rad 2 gir \( {t \approx 10{,}43} \) uker, og rad 3 gir økningen \( 9{,}38 \) km per uke per uke.

\( L \) er kilometer per uke, så integralet av \( L \) er hvor langt Marco har løpt. Vi løser likningen der integralet er 500, og deler 500 km på antall uker.

1. Sett opp likningen Modellen fra a) er: \[ L(t) = \dfrac{156{,}31}{1 + 12{,}21e^{-0{,}24t}} \]

Strekningen er integralet av farten, som i videoen Eksamen 2018 August oppgave 2a. Etter \( \textcolor{blue}{x} \) uker har Marco løpt 500 km når: \[ \int_0^{\textcolor{blue}{x}} L(t)\,dt = 500 \]

2. Finn en antiderivert Vi ganger teller og nevner med \( e^{0{,}24t}\text{:} \) \[ L(t) = \dfrac{156{,}31 \cdot e^{0{,}24t}}{\textcolor{green}{e^{0{,}24t} + 12{,}21}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{0{,}24t} + 12{,}21}} \) er \( {\textcolor{green}{u}' = 0{,}24e^{0{,}24t}}\text{,} \) så telleren er \( \dfrac{156{,}31}{0{,}24} \) ganger den deriverte av nevneren. Da bruker vi substitusjon, som i videoen Substitusjon, og at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt = \ln \textcolor{green}{u} + c \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \int L(t)\,dt &= \dfrac{156{,}31}{0{,}24} \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt \\ &= \dfrac{156{,}31}{0{,}24}\ln \textcolor{green}{u} + c \end{aligned} \]

3. Løs likningen I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 13{,}21}\text{.} \) Setter vi inn grensene, får vi: \[ \dfrac{156{,}31}{0{,}24}\left(\ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} - \ln \textcolor{green}{u(0)}\right) = 500 \]

Vi ganger med \( \dfrac{0{,}24}{156{,}31} \) og løser for \( \textcolor{blue}{x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} &= \ln 13{,}21 + \dfrac{120}{156{,}31} \\ &\approx 3{,}3487 \\ e^{0{,}24\textcolor{blue}{x}} + 12{,}21 &\approx e^{3{,}3487} \approx 28{,}47 \\ e^{0{,}24\textcolor{blue}{x}} &\approx 16{,}26 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{\ln 16{,}26}{0{,}24} \approx \textcolor{blue}{11{,}62} \end{aligned} \]

4. Regn ut gjennomsnittet Han løp 500 km på \( \textcolor{blue}{11{,}62} \) uker, altså i uke 12. I gjennomsnitt er det: \[ \dfrac{500}{\textcolor{blue}{11{,}62}} \approx 43{,}0 \]km per uke.

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen \( {\int_0^{x} L(t)\,dt = 500} \) med NLøs. Rad 1 er modellen fra a), og rad 3 deler 500 km på antall uker:

Skriv inn i GeoGebra: L(t) := 156.31/(1 + 12.21*ℯ^(-0.24t)) NLøs(Integral(L(t), t, 0, x) = 500, x = 12) 500/11.6184

Rad 2 gir \( {\textcolor{blue}{x} \approx \textcolor{blue}{11{,}62}} \) uker. Før skokjøpet løp han altså 500 km på 11,62 uker, og rad 3 gir gjennomsnittet: \[ \dfrac{500}{\textcolor{blue}{11{,}62}} \approx 43{,}0 \]

Vi finner kvotienten for \( {x = \dfrac{1}{e}}\text{,} \) og ser om rekken konvergerer før vi bruker sumformelen.

1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{red}{k = \ln x - 1}}\text{.} \) Med \( {x = \dfrac{1}{e}} \) er \( {\ln \dfrac{1}{e} = -1}\text{,} \) så: \[ \textcolor{red}{k} = -1 - 1 = \textcolor{red}{-2} \]

2. Sjekk om rekken konvergerer En uendelig geometrisk rekke konvergerer bare når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Med \( {\textcolor{red}{k = -2}} \) er rekken \( {1 - 2 + 4 - 8 + \dots}\text{,} \) og tallverdien til leddene blir større og større. Rekken divergerer, så den har ingen sum.

Sumformelen ville gitt \( {\dfrac{1}{1 - (-2)} = \dfrac{1}{3}}\text{,} \) men formelen gjelder ikke når rekken divergerer. Påstanden er derfor usann.

Vi ser på differansen \( {f(x) - g(x)}\text{.} \) Nullpunktene er skjæringspunktene, og arealet mellom grafene er integralet av den.

1. Finn skjæringspunktene Vi trekker \( g \) fra \( f\text{,} \) og \( {-x^2} \) forsvinner: \[ \begin{aligned} h(x) &= f(x) - g(x) \\ &= x^3 - (a + 1)x \\ &= x\left(x^2 - (a + 1)\right) \end{aligned} \]

Når \( {a > -1} \) er \( {a + 1 > 0}\text{,} \) og grafene skjærer hverandre i tre punkter: \[ x = 0 \quad \vee \quad x = \pm\sqrt{a + 1} \]Mellom dem avgrenser grafene to områder.

2. Regn ut de to arealene Integralet gir arealet under en graf, og arealet mellom grafene er integralet av differansen. Hvis du er usikker på det første, kan du se videoen Hva er integrasjon. Vi kaller \( {s = \sqrt{a + 1}}\text{,} \) så \( {s^2 = a + 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_0^{\textcolor{red}{s}} h(x)\,dx &= \left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{s^2 x^2}{2}\right]_0^{\textcolor{red}{s}} \\ &= \dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2} = -\dfrac{s^4}{4} \end{aligned} \]

På samme måte er: \[ \int_{\textcolor{blue}{-s}}^0 h(x)\,dx = 0 - \left(\dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2}\right) = \dfrac{s^4}{4} \]Det ene området har \( f \) over \( g\text{,} \) det andre \( g \) over \( f\text{,} \) og begge har arealet \( {\dfrac{s^4}{4} = \dfrac{(a + 1)^2}{4}}\text{.} \)

Det kunne vi også sett av at \( {h(-x) = -h(x)}\text{:} \) grafen til \( h \) er symmetrisk om origo. Påstanden er sann.

Vi finner en antiderivert ledd for ledd med potensregelen, og setter inn grensene.

1. Finn en antiderivert Potensregelen for integrasjon, som gjelder for \( {\textcolor{blue}{n} \neq -1}\text{,} \) forteller oss at: \[ \int a x^{\textcolor{blue}{n}}\,dx = \dfrac{a}{\textcolor{blue}{n} + 1}x^{\textcolor{blue}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi bruker den på hvert ledd, med \( {a = -1}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{3}} \) i \( {-x^3} \) og \( {a = 3}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{1}} \) i \( 3x\text{:} \) \[ F(x) = -\dfrac{x^{\textcolor{blue}{4}}}{\textcolor{blue}{4}} + \dfrac{3x^{\textcolor{blue}{2}}}{\textcolor{blue}{2}} \]

2. Sett inn grensene Det bestemte integralet er \( {F(0) - F(-1)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_{-1}^{0} f(x)\,dx &= 0 - \left(-\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}\right) \\ &= -\dfrac{5}{4} \end{aligned} \]

Vi bruker integralet fra a), \( {\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = -\dfrac{5}{4}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser hvor grafen ligger under og over \( x \)-aksen. Der den ligger under, er integralet negativt, så vi tar arealet av hver del for seg.

1. Finn fortegnet til f Vi faktoriserer: \[ f(x) = x(3 - x^2) \]

For \( x \) mellom \( {-1} \) og \( 1 \) er \( {3 - x^2 > 0}\text{,} \) så \( f(x) \) har samme fortegn som \( x\text{.} \) Grafen ligger under \( x \)-aksen fra \( {-1} \) til \( 0 \) og over fra \( 0 \) til \( 1\text{.} \) Hvis du er usikker på arealet som integral, kan du se videoen Hva er integrasjon.

2. Regn ut de to delene Fra \( 0 \) til \( 1 \) ligger grafen over aksen, og integralet er \( \textcolor{red}{\text{arealet over}}\text{:} \) \[ \int_0^1 f(x)\,dx = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2} - 0 = \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} \]

Fra \( {-1} \) til \( 0 \) ligger grafen under aksen, så \( \textcolor{blue}{\text{arealet under}} \) er minus integralet fra a). Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= -\int_{-1}^{0} f(x)\,dx + \int_0^1 f(x)\,dx \\ &= \textcolor{blue}{\dfrac{5}{4}} + \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} = \dfrac{5}{2} \end{aligned} \]

Økningen i salget er den deriverte \( f'(t)\text{.} \) Vi deriverer med kjerneregelen og finner når \( f'(t) \) er størst.

1. Deriver med kjerneregelen Vi skriver \( {f(t) = 700(1 + \textcolor{green}{u})^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{20e^{-0{,}12t}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ f'(t) = g'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er den ytre funksjonen \( g \) og kjernen, der \( {\left(e^{-0{,}12t}\right)' = -0{,}12e^{-0{,}12t}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(\textcolor{green}{u}) &= 700(1 + \textcolor{green}{u})^{-1} \\ g'(\textcolor{green}{u}) &= -700(1 + \textcolor{green}{u})^{-2} \\ \textcolor{green}{u}' &= -0{,}12 \cdot \textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(t) &= -700 \cdot \left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^{-2} \cdot (-0{,}12\textcolor{green}{u}) \\ &= \dfrac{84\textcolor{green}{u}}{\left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^2} \end{aligned} \]

2. Finn den største økningen Brøken \( {\dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2}} \) er aldri større enn \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) og er lik \( \dfrac{1}{4} \) bare når \( {\textcolor{green}{u} = 1}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2} \le \dfrac{1}{4} \iff (1 - \textcolor{green}{u})^2 \ge 0 \]Den største økningen er derfor: \[ f'(t) = \dfrac{84 \cdot 1}{2^2} = 21 \]

3. Finn når økningen er størst Vi setter \( {\textcolor{green}{20e^{-0{,}12t}} = 1} \) og tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} e^{-0{,}12t} &= \dfrac{1}{20} \\ -0{,}12t &= -\ln 20 \\ t &= \dfrac{\ln 20}{0{,}12} \approx 24{,}96 \end{aligned} \]Etter omtrent 25 uker økte salget med 21 enheter per uke for hver uke.

1. Finn vendepunktet i CAS Salget øker raskest i vendepunktet, der \( {f''(t) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi løser med NLøs og setter løsningen inn i \( f'\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 700/(1 + 20*ℯ^(-0.12t)) NLøs(f''(t) = 0, t = 25) f'(24.9644)

Rad 2 gir \( {t \approx 24{,}96} \) uker, og rad 3 gir økningen \( 21 \) enheter per uke per uke.

\( f \) er enheter per uke, så integralet av \( f \) er det samlede salget. Vi finner en antiderivert med substitusjon og løser likningen der integralet er 2000.

1. Sett opp likningen Det samlede salget er integralet av salget per uke, som når strekningen er integralet av farten i videoen Eksamen 2018 August oppgave 2a. Etter \( \textcolor{blue}{x} \) uker er det samlede salget 2000 når: \[ \int_0^{\textcolor{blue}{x}} f(t)\,dt = 2000 \]

2. Finn en antiderivert Vi ganger teller og nevner med \( e^{0{,}12t}\text{:} \) \[ f(t) = \dfrac{700e^{0{,}12t}}{\textcolor{green}{e^{0{,}12t} + 20}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{0{,}12t} + 20}} \) er \( {\textcolor{green}{u}' = 0{,}12e^{0{,}12t}}\text{,} \) så telleren er \( \dfrac{700}{0{,}12} \) ganger den deriverte av nevneren. Da bruker vi substitusjon, som i videoen Substitusjon, og at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt = \ln \textcolor{green}{u} + c \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \int f(t)\,dt &= \dfrac{700}{0{,}12} \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt \\ &= \dfrac{700}{0{,}12}\ln \textcolor{green}{u} + c \end{aligned} \]

3. Løs likningen I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 1 + 20 = 21}\text{.} \) Setter vi inn grensene, får vi: \[ \dfrac{700}{0{,}12}\left(\ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} - \ln 21\right) = 2000 \]

Vi ganger med \( \dfrac{0{,}12}{700} \) og løser for \( \textcolor{blue}{x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} &= \ln 21 + \dfrac{240}{700} \\ &\approx 3{,}3874 \\ e^{0{,}12\textcolor{blue}{x}} + 20 &\approx e^{3{,}3874} \approx 29{,}589 \\ e^{0{,}12\textcolor{blue}{x}} &\approx 9{,}589 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{\ln 9{,}589}{0{,}12} \approx \textcolor{blue}{18{,}84} \end{aligned} \]Det samlede salget passerte 2000 enheter etter omtrent 18,8 uker, altså i uke 19.

1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) løser vi likningen \( {\int_0^{x} f(t)\,dt = 2000} \) i CAS, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, her med NLøs og en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Integral(f(t), t, 0, x) = 2000, x = 19)

Rad 4 gir \( {\textcolor{blue}{x} \approx \textcolor{blue}{18{,}84}} \) uker.

Vi bruker den antideriverte fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner det første året som 52 uker. Integralet av \( f \) fra 0 til 52 er antallet enheter solgt det året, og prisen er inntekten delt på antallet.

1. Regn ut salget det første året I b) fant vi en antiderivert med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{0{,}12t} + 20}}\text{:} \) \[ \int f(t)\,dt = \dfrac{700}{0{,}12}\ln \textcolor{green}{u} + c \]

I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 21}\text{,} \) og i \( {t = 52} \) er \( {\textcolor{green}{u} = e^{6{,}24} + 20 \approx 532{,}86}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} & \int_0^{52} f(t)\,dt \\ &= \dfrac{700}{0{,}12}\left(\ln 532{,}86 - \ln 21\right) \\ &= \dfrac{700}{0{,}12}\ln\left(\dfrac{532{,}86}{21}\right) \\ &\approx \textcolor{blue}{18\,863} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {\ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)}\text{.} \)

2. Regn ut prisen Inntekten er pris ganger antall solgte enheter, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Prisen er da: \[ p = \dfrac{1\,000\,000}{\textcolor{blue}{18\,863}} \approx 53{,}01 \]Butikken har solgt produktet for omtrent 53 kr per enhet.

Kontroll: Med et år på \( {\dfrac{365}{7} \approx 52{,}14} \) uker blir salget omtrent \( 18\,960 \) og prisen omtrent \( 52{,}74 \) kr, også 53 kr avrundet til hele kroner.

1. Regn ut integralet i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut salget det første året med \( {\approx} \) og deler inntekten på det:

Skriv inn i GeoGebra: Integral(f(t), t, 0, 52) 1000000/18863.4454

Rad 5 gir \( \textcolor{blue}{18\,863} \) enheter det første året, og rad 6 gir prisen \( 53{,}01 \) kr.

Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde av løkka. Det er arealet av et smalt rektangel.

1. Les programmet Linje 1 til 4 deler intervallet \( {[-2, 2]} \) i \( {N = 1000} \) like deler med bredde \( {dx = \dfrac{2 - (-2)}{1000} = 0{,}004}\text{.} \) Linje 6 og 7 definerer \( {f(x) = x^2 - 1}\text{.} \)

I løkka i linje 10 til 12 er \( x_i \) venstre ende av del nummer \( i\text{,} \) og linje 12 legger til \( {\textcolor{red}{|f(x_i)|} \cdot \textcolor{blue}{dx}}\text{.} \) Det er arealet av et rektangel med bredde \( \textcolor{blue}{dx} \) og høyde \( \textcolor{red}{|f(x_i)|}\text{.} \)

Summen blir: \[ S = \sum_{i=0}^{999} \textcolor{red}{|f(x_i)|} \cdot \textcolor{blue}{dx} \]

2. Se hva summen blir Summen av rektanglene er en venstre Riemannsum, som i videoen Riemann sum. Med \( 1000 \) smale rektangler er den svært nær integralet: \[ S \approx \int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx \]Absoluttverdien gjør at områdene under \( x \)-aksen også telles positivt.

Vi regner ut \( {\displaystyle\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( {x^2 - 1} \) skifter fortegn i \( {x = -1} \) og \( {x = 1}\text{.} \) Grafen er symmetrisk om \( y \)-aksen, så vi regner ut arealet fra \( 0 \) til \( 2 \) og ganger med \( 2\text{.} \)

1. Del opp intervallet \( {x^2 - 1 < 0} \) for \( {0 < x < 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 1 > 0} \) for \( {1 < x < 2}\text{.} \) Der grafen er under aksen, integrerer vi \( {1 - x^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx \\ &= 2\textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} \\ &\quad + 2\textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} \end{aligned} \]

2. Regn ut de to integralene Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen, som gjelder for \( {n \neq -1}\text{,} \) se videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} &= \left[x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} &= \left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_1^2 \end{aligned} \]

Det siste er: \[ \left(\dfrac{8}{3} - 2\right) - \left(\dfrac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ 2\left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} + \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}}\right) = 2 \cdot 2 = 4 \]

Tallene vokser sakte, så raskt og så saktere igjen, som en logistisk modell. Vi lar \( x \) være antall år etter 2008 og bruker logistisk regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på å se av tallene hvilken type modell som passer, og på å bruke en gitt logistisk modell med kalkulator.

Merk – Andre modeller: Oppgaven lar oss velge modell selv. En annen modell kan også være riktig når valget er begrunnet, men et polynom passer dårlig for årene etterpå, fordi det ikke flater ut.

1. Velg modell Økningen er \( 68\text{,} \) \( 176\text{,} \) \( 210\text{,} \) \( 126 \) og \( 73 \) millioner kroner for hvert andre år. Den blir først større og så mindre, så veksten bremser opp. Da passer en logistisk modell, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den vokser på samme måte, og flater ut mot en øvre grense. Det passer også for årene etterpå: hvor mye folk bruker på strømming, kan ikke vokse uten grense.

2. Legg punktene inn i GeoGebra Med \( x \) år etter 2008 blir årene \( 0\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 6\text{,} \) \( 8 \) og \( 10\text{.} \) Vi skriver dem i kolonne A og beløpene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

3. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{1 + \textcolor{blue}{a}e^{-\textcolor{green}{b}x}} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)

Grafen går nær alle punktene, og flater ut mot \( {\textcolor{red}{c} \approx \textcolor{red}{660}} \) millioner kroner per år. Med to desimaler, og fire i eksponenten, er modellen: \[ F(x) \approx \dfrac{\textcolor{red}{660{,}36}}{1 + \textcolor{blue}{30{,}72}e^{-\textcolor{green}{0{,}7066}x}} \]

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Integralene regner vi ut med en antiderivert av modellen. Summen og differansekvotienten regner vi ut ved å sette inn i modellen.

1. Finn en antiderivert I a) fant vi modellen, med konstantene avrundet som i svaret: \[ F(x) \approx \dfrac{660{,}36}{1 + 30{,}72e^{-0{,}7066x}} \]

Ganger vi med \( e^{0{,}7066x} \) over og under brøkstreken, får vi: \[ F(x) \approx \dfrac{660{,}36\,e^{0{,}7066x}}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72} \]

Telleren er en konstant ganger den deriverte av nevneren. Integrasjon med substitusjon forteller oss at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u'}}{\textcolor{green}{u}}\,dx = \ln \textcolor{green}{u} + C \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{0{,}7066\,e^{0{,}7066x}} \end{aligned} \]

Telleren er \( \dfrac{660{,}36}{0{,}7066} \) ganger \( \textcolor{green}{u'}\text{,} \) så en antiderivert er: \[ H(x) = \dfrac{660{,}36}{0{,}7066}\ln\left(\textcolor{green}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72}\right) \]

2. Regn ut de fire tallene Integralene er differanser av \( H\text{:} \) \[ \begin{aligned} I &= H(10{,}5) - H(-0{,}5) \approx 3728{,}9 \\ G &= \dfrac{H(7{,}5) - H(2{,}5)}{5} \approx 344{,}5 \end{aligned} \]

\( S \) og \( D \) regner vi ut med \( F \) på kalkulatoren: \[ \begin{aligned} S &= F(0) + F(1) + \ldots + F(10) \\ &\approx 3729{,}0 \\ D &= \dfrac{F(5{,}001) - F(5)}{0{,}001} \approx 116{,}3 \end{aligned} \]

1. Regn ut formlene i CAS Rad 1 henter modellen fra lista \( l_1\text{.} \) Så skriver vi integralene med Integral, summen med Sum og differansekvotienten. Hvis du er usikker på hva integralet er, kan du se videoen Hva er integrasjon:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) := RegLogist(l1) ≈ Integral(F(x), -0.5, 10.5) ≈ 1/5 Integral(F(x), 2.5, 7.5) ≈ Sum(F(i), i, 0, 10) ≈ (F(5.001) - F(5))/0.001

Det gir: \[ \begin{aligned} I &\approx 3728{,}74 & G &\approx 344{,}45 \\ S &\approx 3728{,}82 & D &\approx 116{,}31 \end{aligned} \]

\( I \) og \( S \) er nesten like. Det er ingen tilfeldighet, og c) forklarer hvorfor.

Fra b) er \( {I \approx 3729}\text{,} \) \( {G \approx 344}\text{,} \) \( {S \approx 3729} \) og \( {D \approx 116}\text{.} \) Modellen \( F(x) \) fra a) gir millioner kroner per år, \( x \) år etter 2008. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser hvilke år hver formel dekker. Året \( {2008 + i} \) svarer til intervallet fra \( {x = i - 0{,}5} \) til \( {x = i + 0{,}5}\text{.} \)

1. Tolk integralene \( F \) gir millioner kroner per år, så integralet av \( F \) over et tidsrom er det som ble brukt i det tidsrommet. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Fra \( {x = -0{,}5} \) til \( {x = 10{,}5} \) dekker \( \textcolor{blue}{I} \) årene 2008 til 2018: \[ \textcolor{blue}{I} \approx \textcolor{blue}{3729} \text{ millioner kroner totalt} \]

\( G \) er integralet fra \( 2{,}5 \) til \( 7{,}5\text{,} \) altså årene 2011 til 2015, delt på de \( 5 \) årene. Det er gjennomsnittet per år.

2. Tolk summen og differansekvotienten \( \textcolor{green}{S} \) legger sammen beløpet for hvert av de \( 11 \) årene 2008 til 2018. Det er nesten det samme som \( \textcolor{blue}{I}\text{,} \) fordi hvert år er en stripe med bredde \( 1 \) under grafen.

\( D \) er stigningstallet mellom \( {x = 5} \) og \( {x = 5{,}001}\text{,} \) nesten den deriverte \( F'(5)\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det er hvor fort beløpet økte i 2013.