Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

geometriske rekker

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

16 oppgaver i S2 om geometriske rekker · viser 11–16

Oppgavene

S2 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

6 poeng

Olivia tar opp et annuitetslån på 2 500 000 kroner for å kjøpe bolig. Hun velger årlige terminer og en nedbetalingstid på 25 år. Det første terminbeløpet skal betales om ett år. Renten er på 5,5 % 5{,}5\,\% per år.

Oppgave 3a)

Hvor store blir de årlige terminbeløpene?
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Avrundet til hele kroner:
T≈186 373 kr‾‾ \underline{\underline{T \approx 186\,373\,\text{kr}}}
Lånebeløpet er lik nåverdien av alle terminbeløpene, og den summen er en geometrisk rekke. Vi summerer rekken og løser for terminbeløpet.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp nåverdien som en rekke Med terminbeløpet \( \textcolor{red}{T}\text{,} \) renten \( \textcolor{blue}{r} \) og \( \textcolor{green}{n} \) terminer er lånebeløpet summen av nåverdiene av terminbeløpene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1 + \textcolor{blue}{r}} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^2} + \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^{\textcolor{green}{n}}} \]Det er en geometrisk rekke.
2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{a_1\left(1 - k^n\right)}{1 - k} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.
Her er: \[ \begin{aligned} a_1 &= \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1 + \textcolor{blue}{r}} & k &= \dfrac{1}{1 + \textcolor{blue}{r}} \end{aligned} \]
Nevneren i summeformelen blir: \[ 1 - k = 1 - \dfrac{1}{1 + \textcolor{blue}{r}} = \dfrac{\textcolor{blue}{r}}{1 + \textcolor{blue}{r}} \]
Plugger vi dette inn, forkortes \( {1 + \textcolor{blue}{r}} \) bort, og vi får: \[ \text{lån} = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{n}}}{\textcolor{blue}{r}} \]
3. Løs for terminbeløpet Her er lånet \( 2\,500\,000 \) kr, \( {\textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{0{,}055}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \dfrac{2\,500\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}055}}{1 - \textcolor{blue}{1{,}055}^{-\textcolor{green}{25}}} \\ &\approx \textcolor{red}{186\,373{,}38} \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut terminbeløpet i CAS Med den samme formelen regner vi ut terminbeløpet med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: 2500000*0.055/(1 - 1.055^(-25))
Terminbeløpet er omtrent \( \textcolor{red}{186\,373} \) kr.
Etter 5 år vil Olivia utvide lånet for å pusse opp badet. Hun håper å få låne 500 000 kroner ekstra til samme rente, men hun vil ikke forlenge nedbetalingstiden på lånet.

Oppgave 3b)

Hvor store blir de nye terminbeløpene?
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Med 500 000 500\,000 kr ekstra over de 20 årene som er igjen, avrundet til hele kroner:
Tny≈228 213 kr‾‾ \underline{\underline{T_{\text{ny}} \approx 228\,213\,\text{kr}}}
Vi bruker terminbeløpet og formelen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Restgjelden etter 5 år er nåverdien av de 20 terminene som er igjen. Vi legger til 500 000 kr og finner terminbeløpet for den nye gjelden over 20 år.
Metode: Med kalkulator
1. Finn restgjelden etter 5 år I a) fant vi formelen \[ \text{lån} = T \cdot \dfrac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \]og terminbeløpet \( {T \approx 186\,373{,}38} \) kr.
Etter 5 terminer er det \( {25 - 5 = 20} \) terminer igjen. Restgjelden er nåverdien av dem, en geometrisk rekke vi summerer som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel: \[ \begin{aligned} R &= \textcolor{red}{186\,373{,}38} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}055}^{-\textcolor{green}{20}}}{\textcolor{blue}{0{,}055}} \\ &\approx 2\,227\,233{,}18 \end{aligned} \]
2. Finn de nye terminbeløpene Den nye gjelden er: \[ \begin{aligned} & 2\,227\,233{,}18 + 500\,000 \\ &= 2\,727\,233{,}18 \end{aligned} \]Den skal betales ned på de samme 20 årene: \[ \begin{aligned} T_{\text{ny}} &= \dfrac{2\,727\,233{,}18 \cdot \textcolor{blue}{0{,}055}}{1 - \textcolor{blue}{1{,}055}^{-\textcolor{green}{20}}} \\ &\approx 228\,213{,}05 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut restgjelden og så terminbeløpet for den nye gjelden, \( {2\,227\,233{,}18 + 500\,000}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: 186373.38*(1 - 1.055^(-20))/0.055 2727233.18*0.055/(1 - 1.055^(-20))
Rad 2 gir restgjelden \( 2\,227\,233{,}18 \) kr, og rad 3 gir de nye terminbeløpene, omtrent \( 228\,213 \) kr.
Olivia vet at dersom de nye terminbeløpene blir for store, må hun forlenge nedbetalingstiden.

Oppgave 3c)

Hvor lang blir nedbetalingstiden dersom hun betaler 200 000 kroner hver termin etter at hun har utvidet lånet?
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Etter utvidelsen trengs 25 hele terminer og en mindre siste termin:
Etter utvidelsen: 26 terminer‾‾Nedbetalingstid: 31 a˚r‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Etter utvidelsen: } 26 \text{ terminer}}} \\ &\underline{\underline{\text{Nedbetalingstid: } 31 \text{ år}}} \end{aligned}
Vi bruker den nye gjelden fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Den nye gjelden er nåverdien av alle terminene på 200 000 kr. Vi løser likningen for antallet terminer ved å ta \( \ln \) på begge sider.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp likningen I b) fant vi den nye gjelden, \( 2\,727\,233{,}18 \) kr. Med \( \textcolor{green}{m} \) terminer på \( \textcolor{red}{200\,000} \) kr gir formelen fra a): \[ \begin{aligned} & 2\,727\,233{,}18 \\ &= \textcolor{red}{200\,000} \cdot \dfrac{1 - 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}}}{0{,}055} \end{aligned} \]
2. Løs med ln Vi ganger med \( 0{,}055 \) og deler på \( \textcolor{red}{200\,000}\text{.} \) På høyre side står da \( {1 - 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}}}\text{,} \) og på venstre: \[ \dfrac{2\,727\,233{,}18 \cdot 0{,}055}{\textcolor{red}{200\,000}} \approx 0{,}75 \]
Så tar vi \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, og bruker at: \[ \ln a^x = x \ln a \]
Det gir: \[ \begin{aligned} 1 - 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}} &\approx 0{,}75 \\ 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}} &\approx 0{,}25 \\ -\textcolor{green}{m} \cdot \ln 1{,}055 &\approx \ln 0{,}25 \\ \textcolor{green}{m} &\approx \dfrac{\ln 0{,}25}{-\ln 1{,}055} \approx 25{,}89 \end{aligned} \]
3. Tolk svaret Det trengs 25 hele terminer på 200 000 kr og en mindre termin til slutt, altså 26 terminer etter utvidelsen. Sammen med de 5 årene før utvidelsen blir nedbetalingstiden: \[ 5 + 26 = 31 \text{ år} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) løser vi likningen for \( \textcolor{green}{m} \) i CAS, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, her med NLøs og en startverdi:
Skriv inn i GeoGebra: NLøs(2727233.18 = 200000*(1 - 1.055^(-m))/0.055, m = 25)
Rad 4 gir \( {\textcolor{green}{m} \approx 25{,}89}\text{,} \) altså 26 terminer etter utvidelsen og \( {5 + 26 = 31} \) år i alt.

S2 høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

Oppgave 2a)

En uendelig geometrisk rekke a1+a2+a3+… {a_1 + a_2 + a_3 + \dots} konvergerer mot 8. 8\text{.}
Bestem summen av de fire første leddene, når du får vite at a1=4. {a_1 = 4}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
k=12, {k = \dfrac{1}{2}}\text{,} så
S4=4+2+1+12=152‾‾ \underline{\underline{S_4 = 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{15}{2}}}
Vi finner kvotienten fra summen av den uendelige rekka. Så legger vi sammen de fire første leddene.
1. Finn kvotienten Når \( {-1 < k < 1}\text{,} \) konvergerer en uendelig geometrisk rekke, og summen er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.
Plugger vi inn \( {S = 8} \) og \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{1 - \textcolor{red}{k}} &= 8 \\ 1 - \textcolor{red}{k} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]
2. Legg sammen de fire første leddene Hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} S_4 &= 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} \end{aligned} \]

Oppgave 2b)

I en aritmetisk rekke er a1+a4+a7=114. {a_1 + a_4 + a_7 = 114}\text{.}
Bestem a4. a_4\text{.}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
a1+a4+a7=3a4, {a_1 + a_4 + a_7 = 3a_4}\text{,} så
a4=1143=38‾‾ \underline{\underline{a_4 = \dfrac{114}{3} = 38}}
Vi skriver alle tre leddene med \( a_1 \) og differansen \( d\text{,} \) og ser at summen er tre ganger \( a_4\text{.} \)
1. Skriv leddene med differansen Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.
Da er \( {\textcolor{blue}{a_4 = a_1 + 3\textcolor{red}{d}}} \) og \( {a_7 = a_1 + 6\textcolor{red}{d}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} a_1 + a_4 + a_7 &= 3a_1 + 9\textcolor{red}{d} \\ &= 3(\textcolor{blue}{a_1 + 3\textcolor{red}{d}}) = 3\textcolor{blue}{a_4} \end{aligned} \]
Dermed er: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{blue}{a_4} &= 114 \\ \textcolor{blue}{a_4} &= 38 \end{aligned} \]

S2 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

Miriam har bestemt seg for å sette inn 20 000 kroner på en konto i begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet vil hun sette inn i begynnelsen av 2024, det andre beløpet i begynnelsen av 2025, og så videre. Anta at hun får en fast årlig rentesats på 3,5 prosent.

Oppgave 2a)

Vis at Miriam vil ha 565 594 kroner på kontoen like etter at hun har satt inn innskudd nummer 20.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Avrundet til hele kroner:
S20≈565 594 kr‾‾ \underline{\underline{S_{20} \approx 565\,594\,\text{kr}}}
Hvert innskudd vokser med vekstfaktoren \( 1{,}035 \) for hvert år det står på kontoen. Saldoen er summen av de 20 innskuddene med renter, og den summen er en geometrisk rekke.
Metode: Med kalkulator
1. Skriv saldoen som en rekke Vekstfaktoren for \( 3{,}5\,\% \) er \( 1{,}035\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Innskudd nummer 20 er nettopp satt inn og har ingen renter. Innskudd nummer 19 har stått i 1 år, og det første innskuddet i 19 år: \[ \begin{aligned} S_{20} = \ &20\,000 + 20\,000 \cdot \textcolor{red}{1{,}035} \\ &+ \ldots + 20\,000 \cdot \textcolor{red}{1{,}035}^{19} \end{aligned} \]Hvert ledd er det forrige ganget med vekstfaktoren, så rekken er geometrisk.
2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^{\textcolor{green}{n}} - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{20\,000} & \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{1{,}035} & \textcolor{green}{n} &= \textcolor{green}{20} \end{aligned} \]
Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{20} &= \textcolor{blue}{20\,000} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}035}^{\textcolor{green}{20}} - 1}{\textcolor{red}{1{,}035} - 1} \\ &\approx 565\,593{,}64 \end{aligned} \]Avrundet til hele kroner er det \( 565\,594 \) kr.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut summen i CAS Innskudd nummer \( {20 - j} \) har stått i \( j \) år, så vi lar Sum legge sammen \( {20\,000 \cdot 1{,}035^j} \) for \( {j = 0} \) til \( 19\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: Sum(20000*1.035^j, j, 0, 19)
Summen er omtrent \( 565\,594 \) kr.
Hermod har også bestemt seg for å spare. Han vil sette inn et fast beløp i begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet setter han inn i begynnelsen av 2024. Han får også en fast årlig rentesats på 3,5 prosent. Hermod har regnet ut at han vil ha 692 852 kroner på kontoen like etter at innskudd nummer 20 er satt inn.

Oppgave 2b)

Bestem beløpet Hermod må sette inn hvert år for at dette skal stemme.
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Avrundet til hele kroner må Hermod sette inn:
x≈24 500 kr‾‾ \underline{\underline{x \approx 24\,500\,\text{kr}}}
Det er den samme rekken som i a), men med et ukjent innskudd \( x \) i stedet for \( 20\,000\text{.} \) Vi setter summen lik \( 692\,852 \) og løser for \( x\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp likningen Med innskuddet \( \textcolor{blue}{x} \) er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{x}}\text{,} \) og ellers er alt som i a). Summeformelen fra a), som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel, forteller oss at: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1} \]
Det gir: \[ \textcolor{blue}{x} \cdot \dfrac{1{,}035^{20} - 1}{1{,}035 - 1} = 692\,852 \]
2. Finn innskuddet Vi regner ut brøken og deler: \[ \begin{aligned} \dfrac{1{,}035^{20} - 1}{0{,}035} &\approx 28{,}2797 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{692\,852}{28{,}2797} \approx 24\,500 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) løser vi likningen for \( x \) med Løs og \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: Løs(x*Sum(1.035^j, j, 0, 19) = 692852, x)
Rad 2 gir \( {x \approx 24\,500} \) kr.
Miriam ønsker at det skal være 1 000 000 kroner på kontoen like etter at hun har satt inn innskudd nummer 20. For å få til dette, vil hun øke innskuddet med et fast beløp hvert år. Første innskudd skal være 20 000 kroner.

Oppgave 2c)

Hvor mye må hun øke innskuddet med hvert år?
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
Avrundet til hele øre må hun øke innskuddet med:
d≈1836,33 kr‾‾ \underline{\underline{d \approx 1836{,}33\,\text{kr}}}
Vi bruker summen \( 565\,593{,}64 \) kr fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi kaller økningen \( d\text{.} \) De \( 20\,000 \) kronene i hvert innskudd gir saldoen fra a), og hver økning er et nytt fast innskudd fra et år og ut, altså en ny geometrisk rekke.
Metode: Med kalkulator
1. Del opp innskuddene Innskudd nummer \( n \) er \( {20\,000 + (n - 1)\textcolor{red}{d}}\text{.} \) Fra a) vet vi at \( 20\,000 \) kr hvert år gir: \[ \textcolor{blue}{565\,593{,}64} \]
Den første økningen \( \textcolor{red}{d} \) kommer i innskudd 2 og er med i alle innskuddene etter det. Det er som å sette inn \( \textcolor{red}{d} \) hvert år i 19 år. Den andre økningen er med fra innskudd 3, altså i 18 år, og så videre, til den siste, som bare er med i innskudd 20.
2. Summer hver økning En økning som er med i \( m \) innskudd, gir en geometrisk rekke med \( {a_1 = \textcolor{red}{d}}\text{,} \) \( {k = 1{,}035} \) og \( m \) ledd. Summeformelen forteller oss at: \[ S_m = a_1 \cdot \dfrac{k^m - 1}{k - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.
For én økning gir det: \[ \textcolor{red}{d} \cdot \dfrac{1{,}035^m - 1}{0{,}035} \]
Vi legger sammen for \( {m = 19, 18, \ldots, 1}\text{,} \) og setter \( \textcolor{red}{d} \) og \( \dfrac{1}{0{,}035} \) utenfor: \[ \dfrac{\textcolor{red}{d}}{0{,}035}\left(1{,}035 + \ldots + 1{,}035^{19} - 19\right) \]
Summen i parentesen er en geometrisk rekke med \( {a_1 = 1{,}035}\text{,} \) \( {k = 1{,}035} \) og 19 ledd: \[ \begin{aligned} 1{,}035 \cdot \dfrac{1{,}035^{19} - 1}{0{,}035} &\approx 27{,}27968 \\ \dfrac{27{,}27968 - 19}{0{,}035} &\approx \textcolor{darkorange}{236{,}5623} \end{aligned} \]Økningene gir altså til sammen \( \textcolor{darkorange}{236{,}5623}\textcolor{red}{d}\text{.} \)
3. Finn økningen Saldoen skal være \( 1\,000\,000 \) kr: \[ \textcolor{blue}{565\,593{,}64} + \textcolor{darkorange}{236{,}5623}\textcolor{red}{d} = 1\,000\,000 \]
Vi trekker fra \( \textcolor{blue}{565\,593{,}64} \) og deler: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{236{,}5623}\textcolor{red}{d} &= 434\,406{,}36 \\ \textcolor{red}{d} &\approx 1836{,}33 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Innskudd nummer \( n \) er \( {20\,000 + (n - 1)d} \) og har stått i \( {20 - n} \) år. Vi summerer for \( {n = 1} \) til \( 20\text{,} \) og løser for \( d \) med Løs og \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: Løs(Sum((20000 + (n - 1)*d)*1.035^(20 - n), n, 1, 20) = 1000000, d)
Rad 3 gir \( {d \approx 1836{,}33} \) kr.

S2 vår 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

Knut må hver dag ta en tablett som inneholder 7 mg av et virkestoff. I kroppen brytes 10 prosent av dette virkestoffet ned hvert døgn. Knut har lest at det kan være skadelig å ha mer enn 100 mg av virkestoffet i kroppen. Legen beroliger Knut med at dette ikke vil skje med den dosen Knut tar.
Avgjør om det legen sier, stemmer.
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Mengden i kroppen nærmer seg 70 mg, men kommer aldri over, så legen har rett:
71−0,9=70 mg<100 mg‾‾ \underline{\underline{\dfrac{7}{1 - 0{,}9} = 70\,\text{mg} < 100\,\text{mg}}}
Det som er igjen av hver tablett, blir ganget med 0,9 for hvert døgn. Mengden rett etter en tablett er derfor en geometrisk rekke, og vi finner hvor stor summen kan bli.
1. Sett opp mengden som en rekke Når 10 prosent brytes ned, er 90 prosent igjen, så vekstfaktoren per døgn er \( \textcolor{red}{0{,}9}\text{.} \) Rett etter tablett nummer \( n \) er den nye tabletten \( \textcolor{blue}{7} \) mg, det som er igjen av tabletten fra døgnet før, er \( {\textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9}} \) mg, og så videre: \[ \begin{aligned} S_n = \ &\textcolor{blue}{7} + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9} + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9}^2 \\ &+ \ldots + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9}^{n - 1} \end{aligned} \]Dette er en geometrisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{7}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}9}}\text{.} \)
2. Regn ut den uendelige summen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.
Siden \( {-1 < 0{,}9 < 1}\text{,} \) konvergerer rekken. Plugger vi inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{7}}{1 - \textcolor{red}{0{,}9}} = \dfrac{7}{0{,}1} = 70 \]
3. Sammenlign med grensen Alle leddene er positive, så hver delsum \( S_n \) er mindre enn den uendelige summen: \[ S_n < S = 70 < 100 \]Rett etter en tablett er det altså alltid mindre enn 70 mg i kroppen, og mellom tablettene er det enda mindre. Legen har derfor rett.

S2 vår 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

Anders tok opp et annuitetslån på 150 000 kroner for å kjøpe en bil. Lånet hadde en nedbetalingstid på 36 måneder med én termin per måned. Det hadde en månedlig rentesats på 0,49 prosent.

Oppgave 1a)

Hva var terminbeløpet?
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Terminbeløpet, avrundet til hele øre:
T≈4555,14 kr‾‾ \underline{\underline{T \approx 4555{,}14\,\text{kr}}}
Lånebeløpet er lik summen av nåverdiene av de 36 terminbeløpene. Den summen er en geometrisk rekke, som vi løser for terminbeløpet.
Metode: Med kalkulator
1. Skriv lånet som en rekke Terminbeløpet \( T \) er det Anders betaler hver måned, som forklart i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023, og i et annuitetslån er det like stort hver gang.
Med renten \( 0{,}49\,\% \) er vekstfaktoren \( 1{,}0049 \) per måned, så et terminbeløp som betales etter \( n \) måneder, er verdt \( \dfrac{T}{1{,}0049^n} \) i dag. Lånet er summen av disse nåverdiene: \[ \begin{aligned} 150\,000 = \ &\dfrac{T}{1{,}0049} + \dfrac{T}{1{,}0049^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{T}{1{,}0049^{36}} \end{aligned} \]Det er en geometrisk rekke med \( {\textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{\dfrac{T}{1{,}0049}}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}0049}}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{36}} \) ledd.
2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}\left(1 - \textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{n}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.
Plugger vi inn, med \( {\textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{36}} = 1{,}0049^{-36}}\text{,} \) og ganger med \( 1{,}0049 \) over og under brøkstreken, får vi: \[ \begin{aligned} 150\,000 &= \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{T}{1{,}0049}}\left(1 - 1{,}0049^{-\textcolor{green}{36}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}0049}}} \\ &= \dfrac{T\left(1 - 1{,}0049^{-36}\right)}{1{,}0049 - 1} \\ &= \dfrac{T\left(1 - 1{,}0049^{-36}\right)}{0{,}0049} \end{aligned} \]
3. Løs for terminbeløpet Vi ganger med \( 0{,}0049 \) og deler på parentesen: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{150\,000 \cdot 0{,}0049}{1 - 1{,}0049^{-36}} \\ &\approx 4555{,}14 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi skriver summen av nåverdiene med Sum og løser for \( T \) med Løs:
Skriv inn i GeoGebra: Løs(150000 = Sum(T/1.0049^k, k, 1, 36), T)
Rad 1 gir \( {T \approx 4555{,}14} \) kr.
Like etter at Anders hadde betalt inn terminbeløp 24 ble bilen totalskadet, og forsikringsselskapet betalte ut 55 000 kroner.

Oppgave 1b)

Var dette nok til å betale ned restlånet?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Restlånet, avrundet til hele kroner, er mindre enn utbetalingen:
Ja, 52 960 kr<55 000 kr‾‾ \underline{\underline{\text{Ja, } 52\,960\,\text{kr} < 55\,000\,\text{kr}}}
Vi bruker terminbeløpet \( {T \approx 4555{,}14} \) kr fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Restlånet etter 24 terminer er nåverdien av de 12 terminbeløpene som er igjen. Vi regner det ut med summeformelen og sammenligner med 55 000 kr.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp restlånet Etter terminbeløp 24 er det \( {36 - 24 = \textcolor{green}{12}} \) terminer igjen. Restlånet er det banken skal ha i dag for dem, altså summen av nåverdiene deres: \[ \begin{aligned} R = \ &\dfrac{T}{1{,}0049} + \dfrac{T}{1{,}0049^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{T}{1{,}0049^{\textcolor{green}{12}}} \end{aligned} \]
I a) fant vi at summeformelen, som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel, gjør en slik sum om til: \[ R = \dfrac{T\left(1 - 1{,}0049^{-\textcolor{green}{12}}\right)}{0{,}0049} \]
2. Regn ut og sammenlign Med \( {T \approx 4555{,}14} \) fra a) får vi: \[ \begin{aligned} R &= \dfrac{4555{,}14 \cdot \left(1 - 1{,}0049^{-12}\right)}{0{,}0049} \\ &\approx \textcolor{blue}{52\,960} \end{aligned} \]Restlånet er omtrent \( \textcolor{blue}{52\,960} \) kr, mindre enn \( \textcolor{red}{55\,000} \) kr. Utbetalingen var altså nok, og Anders har omtrent \( {55\,000 - 52\,960 = 2040} \) kr til overs.
Metode: Med GeoGebra
1. Summer nåverdiene i CAS Vi legger sammen nåverdiene av de 12 siste terminbeløpene med Sum, med terminbeløpet fra a) med fire desimaler:
Skriv inn i GeoGebra: Sum(4555.1392/1.0049^k, k, 1, 12)
Rad 2 gir \( 52\,959{,}7863\text{.} \) Restlånet er omtrent \( 52\,960 \) kr, mindre enn \( 55\,000 \) kr, så utbetalingen var nok.

S2 vår 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

Foreldrene til Hildegunn vil gi henne ukepenger. De gir henne to ulike tilbud. I tilbud 1 får hun 100 100 kroner den første uken. Beløpet an a_n som hun får i uke n, n\text{,} er gitt ved den rekursive formelen
an=an−1+10 a_n = a_{n-1} + 10
I tilbud 2 får hun 100 100 kroner den første uken. Beløpet bn b_n som hun får i uke n, n\text{,} er gitt ved den rekursive formelen
bn=bn−1⋅1,05 b_n = b_{n-1} \cdot 1{,}05

Oppgave 4a)

Bestem det ukentlige beløpet hun får de fire første ukene med hvert av de to tilbudene.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
I kroner, an a_n med tilbud 1 og bn b_n med tilbud 2, med b4 b_4 avrundet til hele øre:
an:  100, 110, 120, 130bn:  100, 105, 110,25, 115,76‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} a_n&\text{:} \ \ 100,\ 110,\ 120,\ 130 \\ b_n&\text{:} \ \ 100,\ 105,\ 110{,}25,\ 115{,}76 \end{aligned}}}
Vi starter med \( 100 \) kroner og bruker den rekursive formelen tre ganger: legg til \( 10 \) i tilbud 1, og gang med \( 1{,}05 \) i tilbud 2.
Metode: For hånd
1. Tilbud 1 Hver uke får hun \( \textcolor{red}{10} \) kroner mer enn uka før: \[ \begin{aligned} a_1 &= 100 \\ a_2 &= 100 + \textcolor{red}{10} = 110 \\ a_3 &= 110 + \textcolor{red}{10} = 120 \\ a_4 &= 120 + \textcolor{red}{10} = 130 \end{aligned} \]
2. Tilbud 2 Hver uke får hun \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) ganger det hun fikk uka før: \[ \begin{aligned} b_1 &= 100 \\ b_2 &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 105 \\ b_3 &= 105 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 110{,}25 \\ b_4 &= 110{,}25 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} \approx 115{,}76 \end{aligned} \]

Oppgave 4b)

Hvor mange uker tar det før tilbud 2 vil gi mer ukelønn enn tilbud 1?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
b27≈355,57<360=a27 {b_{27} \approx 355{,}57 < 360 = a_{27}} og b28≈373,35>370=a28, {b_{28} \approx 373{,}35 > 370 = a_{28}}\text{,} så tilbud 2 gir mer ukelønn fra
uke 28‾‾ \underline{\underline{\text{uke } 28}}
Fra a) øker tilbud 1 med \( \textcolor{red}{10} \) kroner hver uke, og tilbud 2 ganges med \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) hver uke. Begge starter på \( 100 \) kroner.
Vi skriver begge beløpene som eksplisitte formler for uke \( n\text{,} \) og finner den første uka der \( {b_n > a_n}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Skriv formlene eksplisitt Tilbud 1 er en aritmetisk følge med \( {d = \textcolor{red}{10}}\text{,} \) og tilbud 2 er en geometrisk følge med \( {k = \textcolor{blue}{1{,}05}}\text{.} \) Formlene for ledd nummer \( n \) er: \[ \begin{aligned} a_n &= a_1 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \\ b_n &= b_1 \cdot \textcolor{blue}{k}^{n - 1} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på \( a_n\text{,} \) kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.
Med \( {a_1 = b_1 = 100} \) får vi: \[ \begin{aligned} a_n &= 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10} \\ b_n &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1} \end{aligned} \]
2. Prøv oss fram Likningen \( {b_n = a_n} \) kan vi ikke løse med algebra, så vi prøver oss fram med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} n = 27&\text{:} \quad a_{27} = 360, \quad b_{27} \approx 355{,}57 \\ n = 28&\text{:} \quad a_{28} = 370, \quad b_{28} \approx 373{,}35 \end{aligned} \]
I uke \( 27 \) er tilbud 1 fortsatt best, men i uke \( 28 \) gir tilbud 2 mest. Etter det øker tilbud 2 med \( 5\,\% \) av over \( 373 \) kroner, altså mer enn \( 18 \) kroner i uka, mens tilbud 1 øker med \( 10\text{.} \) Tilbud 2 holder seg derfor foran.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi skriver de eksplisitte formlene, og løser \( {b(n) = a(n)} \) med en startverdi:
Skriv inn i GeoGebra: a(n) := 100 + 10(n - 1) b(n) := 100*1.05^(n - 1) NLøs(b(n) = a(n), n = 30)
Beløpene er like ved \( {n \approx 27{,}58}\text{,} \) så den første hele uka der tilbud 2 gir mest, er uke \( 28\text{.} \)

Oppgave 4c)

Hvor mange uker tar det før tilbud 2 til sammen vil gi mer lønn enn tilbud 1?
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
Etter 38 38 uker er tilbud 1 fortsatt foran, men etter 39 39 uker har tilbud 2 gitt omtrent 11 410 11\,410 kr mot 11 310 11\,310 kr:
39 uker‾‾ \underline{\underline{39 \text{ uker}}}
Fra b) er \( {a_n = 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10}} \) og \( {b_n = 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1}}\text{.} \)
Det hun har fått til sammen etter \( n \) uker, er summen av de \( n \) første leddene. Vi bruker sumformlene for aritmetiske og geometriske rekker, og prøver oss fram.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp summene Summen av en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} \]som i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel. Med \( {a_1 = 100} \) og \( {a_n = 100 + 10(n - 1)} \) får vi for tilbud 1: \[ \begin{aligned} S_n^{(1)} &= \dfrac{n(100 + 100 + 10(n - 1))}{2} \\ &= 5n^2 + 95n \end{aligned} \]
Summen av en geometrisk rekke er: \[ S_n = b_1 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{k}^n}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel. Med \( {b_1 = 100} \) og \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{1{,}05}} \) får vi for tilbud 2: \[ \begin{aligned} S_n^{(2)} &= 100 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}^n}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}} \\ &= 2000(\textcolor{blue}{1{,}05}^n - 1) \end{aligned} \]
2. Prøv oss fram Med kalkulatoren regner vi ut summene etter \( 38 \) og \( 39 \) uker: \[ \begin{aligned} S_{38}^{(1)} &= 10\,830, & S_{38}^{(2)} &\approx 10\,771 \\ S_{39}^{(1)} &= 11\,310, & S_{39}^{(2)} &\approx 11\,410 \end{aligned} \]
Etter \( 38 \) uker har tilbud 1 gitt mest, men etter \( 39 \) uker har tilbud 2 gitt mest til sammen.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen for summene i CAS Vi bruker \( a(n) \) og \( b(n) \) fra b), og lar CAS summere:
Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Sum(b(k), k, 1, n) = Sum(a(k), k, 1, n), n = 40)
Summene er like ved \( {n \approx 38{,}39}\text{,} \) så tilbud 2 har gitt mest til sammen fra uke \( 39\text{.} \)