Eksamensoppgaver etter tema

Økningen i salget er den deriverte \( f'(t)\text{.} \) Vi deriverer med kjerneregelen og finner når \( f'(t) \) er størst.

1. Deriver med kjerneregelen Vi skriver \( {f(t) = 700(1 + \textcolor{green}{u})^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{20e^{-0{,}12t}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ f'(t) = g'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er den ytre funksjonen \( g \) og kjernen, der \( {\left(e^{-0{,}12t}\right)' = -0{,}12e^{-0{,}12t}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(\textcolor{green}{u}) &= 700(1 + \textcolor{green}{u})^{-1} \\ g'(\textcolor{green}{u}) &= -700(1 + \textcolor{green}{u})^{-2} \\ \textcolor{green}{u}' &= -0{,}12 \cdot \textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(t) &= -700 \cdot \left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^{-2} \cdot (-0{,}12\textcolor{green}{u}) \\ &= \dfrac{84\textcolor{green}{u}}{\left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^2} \end{aligned} \]

2. Finn den største økningen Brøken \( {\dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2}} \) er aldri større enn \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) og er lik \( \dfrac{1}{4} \) bare når \( {\textcolor{green}{u} = 1}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2} \le \dfrac{1}{4} \iff (1 - \textcolor{green}{u})^2 \ge 0 \]Den største økningen er derfor: \[ f'(t) = \dfrac{84 \cdot 1}{2^2} = 21 \]

3. Finn når økningen er størst Vi setter \( {\textcolor{green}{20e^{-0{,}12t}} = 1} \) og tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} e^{-0{,}12t} &= \dfrac{1}{20} \\ -0{,}12t &= -\ln 20 \\ t &= \dfrac{\ln 20}{0{,}12} \approx 24{,}96 \end{aligned} \]Etter omtrent 25 uker økte salget med 21 enheter per uke for hver uke.

1. Finn vendepunktet i CAS Salget øker raskest i vendepunktet, der \( {f''(t) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi løser med NLøs og setter løsningen inn i \( f'\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 700/(1 + 20*ℯ^(-0.12t)) NLøs(f''(t) = 0, t = 25) f'(24.9644)

Rad 2 gir \( {t \approx 24{,}96} \) uker, og rad 3 gir økningen \( 21 \) enheter per uke per uke.

\( f \) er enheter per uke, så integralet av \( f \) er det samlede salget. Vi finner en antiderivert med substitusjon og løser likningen der integralet er 2000.

1. Sett opp likningen Det samlede salget er integralet av salget per uke, som når strekningen er integralet av farten i videoen Eksamen 2018 August oppgave 2a. Etter \( \textcolor{blue}{x} \) uker er det samlede salget 2000 når: \[ \int_0^{\textcolor{blue}{x}} f(t)\,dt = 2000 \]

2. Finn en antiderivert Vi ganger teller og nevner med \( e^{0{,}12t}\text{:} \) \[ f(t) = \dfrac{700e^{0{,}12t}}{\textcolor{green}{e^{0{,}12t} + 20}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{0{,}12t} + 20}} \) er \( {\textcolor{green}{u}' = 0{,}12e^{0{,}12t}}\text{,} \) så telleren er \( \dfrac{700}{0{,}12} \) ganger den deriverte av nevneren. Da bruker vi substitusjon, som i videoen Substitusjon, og at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt = \ln \textcolor{green}{u} + c \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \int f(t)\,dt &= \dfrac{700}{0{,}12} \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt \\ &= \dfrac{700}{0{,}12}\ln \textcolor{green}{u} + c \end{aligned} \]

3. Løs likningen I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 1 + 20 = 21}\text{.} \) Setter vi inn grensene, får vi: \[ \dfrac{700}{0{,}12}\left(\ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} - \ln 21\right) = 2000 \]

Vi ganger med \( \dfrac{0{,}12}{700} \) og løser for \( \textcolor{blue}{x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} &= \ln 21 + \dfrac{240}{700} \\ &\approx 3{,}3874 \\ e^{0{,}12\textcolor{blue}{x}} + 20 &\approx e^{3{,}3874} \approx 29{,}589 \\ e^{0{,}12\textcolor{blue}{x}} &\approx 9{,}589 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{\ln 9{,}589}{0{,}12} \approx \textcolor{blue}{18{,}84} \end{aligned} \]Det samlede salget passerte 2000 enheter etter omtrent 18,8 uker, altså i uke 19.

1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) løser vi likningen \( {\int_0^{x} f(t)\,dt = 2000} \) i CAS, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, her med NLøs og en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Integral(f(t), t, 0, x) = 2000, x = 19)

Rad 4 gir \( {\textcolor{blue}{x} \approx \textcolor{blue}{18{,}84}} \) uker.

Vi bruker den antideriverte fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner det første året som 52 uker. Integralet av \( f \) fra 0 til 52 er antallet enheter solgt det året, og prisen er inntekten delt på antallet.

1. Regn ut salget det første året I b) fant vi en antiderivert med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{0{,}12t} + 20}}\text{:} \) \[ \int f(t)\,dt = \dfrac{700}{0{,}12}\ln \textcolor{green}{u} + c \]

I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 21}\text{,} \) og i \( {t = 52} \) er \( {\textcolor{green}{u} = e^{6{,}24} + 20 \approx 532{,}86}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} & \int_0^{52} f(t)\,dt \\ &= \dfrac{700}{0{,}12}\left(\ln 532{,}86 - \ln 21\right) \\ &= \dfrac{700}{0{,}12}\ln\left(\dfrac{532{,}86}{21}\right) \\ &\approx \textcolor{blue}{18\,863} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {\ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)}\text{.} \)

2. Regn ut prisen Inntekten er pris ganger antall solgte enheter, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Prisen er da: \[ p = \dfrac{1\,000\,000}{\textcolor{blue}{18\,863}} \approx 53{,}01 \]Butikken har solgt produktet for omtrent 53 kr per enhet.

Kontroll: Med et år på \( {\dfrac{365}{7} \approx 52{,}14} \) uker blir salget omtrent \( 18\,960 \) og prisen omtrent \( 52{,}74 \) kr, også 53 kr avrundet til hele kroner.

1. Regn ut integralet i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut salget det første året med \( {\approx} \) og deler inntekten på det:

Skriv inn i GeoGebra: Integral(f(t), t, 0, 52) 1000000/18863.4454

Rad 5 gir \( \textcolor{blue}{18\,863} \) enheter det første året, og rad 6 gir prisen \( 53{,}01 \) kr.

Enhetskostnaden er kostnaden delt på antall enheter. Vi finner \( K(40) \) fra linja som går gjennom \( A\text{.} \)

1. Finn kostnaden ved 40 enheter På figuren ligger \( A \) på grafen til \( K \) med \( {x = 40}\text{.} \) Både den grønne linja \( f \) og den røde linja \( h \) går gjennom \( A\text{,} \) og de gir samme verdi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{f(40)} &= 31 \cdot 40 + 2030 = 3270 \\ \textcolor{red}{h(40)} &= 81{,}75 \cdot 40 = 3270 \end{aligned} \]Kostnaden ved 40 enheter er altså \( {K(40) = 3270}\text{.} \)

2. Del på antall enheter Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} \]

Plugger vi inn \( {x = 40}\text{,} \) får vi: \[ E(40) = \dfrac{K(40)}{40} = \dfrac{3270}{40} = \textcolor{red}{81{,}75} \]Det er stigningstallet til den røde linja \( h\text{,} \) som går fra origo til \( A\text{.} \)

Grensekostnaden er den deriverte \( K'(40)\text{.} \) Den er stigningstallet til tangenten i \( A\text{,} \) og den tangenten er \( f\text{.} \)

1. Finn tangenten Grensekostnaden er den deriverte av kostnaden: \[ \text{grensekostnad} = K'(x) \]

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten der. I videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023 betyr \( {K'(500) = 200} \) at én enhet til koster omtrent 200 kr mer.

Den røde linja \( h \) går også gjennom \( A\text{,} \) men den krysser grafen der og er ikke en tangent. Det er den grønne linja \( f \) som tangerer grafen til \( K \) i \( {A = (40, 3270)}\text{.} \)

2. Les av stigningstallet \( {f(x) = \textcolor{green}{31}x + 2030} \) har stigningstallet \( \textcolor{green}{31}\text{,} \) så: \[ K'(40) = f'(40) = \textcolor{green}{31} \]Når bedriften produserer 40 enheter, koster én enhet til omtrent 31 kr.

Enhetskostnaden er stigningstallet til linja fra origo til et punkt på grafen til \( K\text{.} \) Den er minst når linja så vidt rører grafen, altså er en tangent.

1. Se enhetskostnaden som et stigningstall Enhetskostnaden kan skrives: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} = \dfrac{K(x) - 0}{x - 0} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (x, K(x)) \) på grafen. I a) var det den røde linja \( h \) til \( A\text{.} \)

2. Finn den slakeste linja fra origo Vi dreier linja fra origo ned mot grafen. Stigningstallet er minst når linja bare så vidt rører grafen, altså når den er tangent. Den blå linja \( {g(x) = \textcolor{blue}{60}x} \) går gjennom origo og tangerer grafen i \( {B = (100, 6000)}\text{.} \) Alle andre linjer fra origo til grafen er brattere.

Den minste enhetskostnaden er da: \[ E(100) = \dfrac{K(100)}{100} = \dfrac{6000}{100} = \textcolor{blue}{60} \]

I \( B \) er grensekostnaden lik enhetskostnaden, fordi tangenten \( g \) går gjennom origo: \[ K'(100) = g'(100) = \textcolor{blue}{60} = E(100) \]

Etterspørselen blir ganget med omtrent det samme tallet for hver 10 kr, så vi finner en eksponentiell modell med regresjon. Gyldighetsområdet vurderer vi ut fra prisene i tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du legge en eksponentiell modell gjennom to av punktene: med det første og det siste er \( {b^{40} = \dfrac{12}{237}}\text{,} \) så \( {b \approx 0{,}928} \) og \( {a = \dfrac{237}{b^{10}} \approx 500}\text{.} \)

1. Lag modellen med regresjon Vi deler hvert tall i tabellen på det forrige: \[ \begin{aligned} \dfrac{111}{237} &\approx 0{,}47 & \dfrac{49}{111} &\approx 0{,}44 \\ \dfrac{22}{49} &\approx 0{,}45 & \dfrac{12}{22} &\approx 0{,}55 \end{aligned} \]

Etterspørselen blir altså ganget med omtrent det samme tallet hver gang, og da passer en eksponentiell modell: \[ q(p) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^p \]

Vi lager en liste med punktene og bruker RegEksp, på samme måte som videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 bruker RegLogist for en logistisk modell. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. GeoGebra bruker \( x \) for prisen \( p\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(10, 237), (20, 111), (30, 49), (40, 22), (50, 12)} q(x) = RegEksp(l1)

Med \( \textcolor{blue}{a} \) avrundet til to desimaler og \( \textcolor{red}{b} \) til tre er modellen: \[ q(p) \approx \textcolor{blue}{494{,}98} \cdot \textcolor{red}{0{,}927}^p \]Etterspørselen synker altså med omtrent \( 7{,}3\,\% \) for hver krone prisen øker.

2. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har priser fra 10 kr til 50 kr, og der ligger modellen nær punktene. Utenfor vet vi lite, som når gyldighetsområdet vurderes i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Med gratis vare, \( {p = 0}\text{,} \) gir modellen omtrent 495, men tabellen sier ingenting om så lave priser. Modellen blir heller aldri 0, uansett hvor høy prisen er. Vi sier derfor at modellen gjelder for priser fra 10 kr til 50 kr.

Merk – Andre modeller: Andre modeller kan også være riktige når valget er begrunnet, for eksempel en eksponentiell modell gjennom det første og det siste punktet, \( {q \approx 500 \cdot 0{,}928^p}\text{.} \) En potensmodell \( {q = c \cdot p^r} \) passer dårligere: den gir omtrent 299 i stedet for 237 når prisen er 10 kr.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi løser likningen \( {q(p) = 70}\text{.} \) Den ukjente står i eksponenten, så vi tar \( \ln \) på begge sider.

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ q(p) \approx 494{,}98 \cdot 0{,}927^p \]

Bedriften skal selge 70 enheter, så vi setter \( {q(p) = 70} \) og deler på \( 494{,}98\text{:} \) \[ \begin{aligned} 494{,}98 \cdot 0{,}927^p &= 70 \\ 0{,}927^p &= \dfrac{70}{494{,}98} \end{aligned} \]

2. Løs med ln Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen forteller oss at: \[ \ln\left(\textcolor{red}{b}^{\textcolor{green}{p}}\right) = \textcolor{green}{p} \cdot \ln \textcolor{red}{b} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{p} \cdot \ln \textcolor{red}{0{,}927} &= \ln\left(\dfrac{70}{494{,}98}\right) \\ \textcolor{green}{p} &= \dfrac{\ln\left(\dfrac{70}{494{,}98}\right)}{\ln \textcolor{red}{0{,}927}} \\ &\approx \dfrac{-1{,}9560}{-0{,}0758} \approx 25{,}8 \end{aligned} \]

1. Finn skjæringspunktet Vi tegner linja \( {y = 70} \) og finner skjæringspunktet med modellen \( {q(p) \approx 494{,}98 \cdot 0{,}927^p} \) fra a) med Skjæring, som «skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g: y = 70 A = Skjæring(q, g)

Skjæringspunktet er \( {A \approx (25{,}79;\ 70)}\text{,} \) så prisen bør være omtrent \( 25{,}8 \) kr.

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter. Vi skriver den som en funksjon av \( x\text{,} \) deriverer og setter den deriverte lik null.

1. Sett opp inntekten Bedriften selger \( x \) enheter til prisen \( p\text{,} \) så inntekten er: \[ \begin{aligned} I(x) &= x \cdot p \\ &= x(79 - 12{,}2\ln x) \\ &= 79x - 12{,}2\,\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} \end{aligned} \]

2. Deriver med produktregelen Det siste leddet er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u}' \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

\( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som er regelen for \( \ln u \) med \( {u = x} \) i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I'(x) &= 79 - 12{,}2\left(\textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}}\right) \\ &= 79 - 12{,}2\ln x - 12{,}2 \\ &= 66{,}8 - 12{,}2\ln x \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null \[ \begin{aligned} 66{,}8 - 12{,}2\ln x &= 0 \\ 12{,}2\ln x &= 66{,}8 \\ x &= e^{66{,}8/12{,}2} \approx 238{,}7 \end{aligned} \]\( I'(x) \) er positiv før dette punktet og negativ etter, fordi \( \ln x \) vokser. Inntekten er derfor størst her.

4. Finn prisen Vi trenger ikke regne ut \( x \) først, for prisen inneholder \( 12{,}2\ln x\text{,} \) som vi nettopp fant: \[ \begin{aligned} p &= 79 - 12{,}2\ln x \\ &= 79 - 66{,}8 = 12{,}2 \end{aligned} \]

1. Løs i CAS Vi definerer prisen og inntekten, løser \( {I'(x) = 0} \) og setter løsningen inn i \( p\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: p(x) := 79 - 12.2 ln(x) I(x) := x p(x) Løs(I'(x) = 0, x) p(238.7483)

Rad 3 gir \( {x \approx 238{,}7}\text{,} \) og rad 4 gir prisen \( 12{,}2 \) kr.

Vi bruker grenseinntekten \( I'(x) \) fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grenseinntekten er \( I'(x) \) og grensekostnaden er \( K'(x)\text{.} \) Vi setter dem like og løser likningen. Der er overskuddet størst.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen har både \( \ln x \) og \( x\text{,} \) så vi kan ikke få \( x \) alene med regnereglene i S2. Uten PC kan du prøve deg fram med kalkulatoren: med \( {x = 79} \) er \( {I'(x) - K'(x) \approx 0{,}17}\text{,} \) og med \( {x = 80} \) er den omtrent \( {-0{,}02}\text{,} \) så løsningen ligger mellom 79 og 80, nærmest 80.

1. Sett opp likningen I c) fant vi \( \textcolor{blue}{\text{grenseinntekten}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{I'(x)} = \textcolor{blue}{66{,}8 - 12{,}2\ln x} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer \( K \) ledd for ledd og får \( \textcolor{red}{\text{grensekostnaden}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{K'(x)} = \textcolor{red}{0{,}042x + 10} \]

Vi setter dem like: \[ \textcolor{blue}{66{,}8 - 12{,}2\ln x} = \textcolor{red}{0{,}042x + 10} \]

2. Løs i CAS På samme CAS-ark som i c) definerer vi \( K \) og løser likningen, som med Løs i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Her bruker vi NLøs med en startverdi, fordi likningen har både \( \ln x \) og \( x\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 0.021x^2 + 10x + 910 NLøs(I'(x) = K'(x), x = 80)

Rad 6 gir \( {x \approx 79{,}9}\text{,} \) altså omtrent 80 enheter per dag.

3. Tolk svaret Overskuddet er inntekt minus kostnad, så: \[ O'(x) = I'(x) - K'(x) \]

For færre enn 80 enheter er grenseinntekten større enn grensekostnaden, så én enhet til øker overskuddet. For flere enn 80 er det omvendt. Overskuddet er derfor størst ved omtrent 80 enheter per dag, og da er prisen omtrent \( {79 - 12{,}2\ln 80 \approx 25{,}5} \) kr.

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen, altså stigningstallet til tangenten. Vi tegner tangenten i \( {x = 40} \) og leser av stigningstallet.

1. Tegn tangenten Vi kaller kostnadsfunksjonen \( K\text{.} \) Grensekostnaden ved 40 enheter er \( K'(40)\text{,} \) stigningstallet til tangenten til grafen i \( {x = 40}\text{.} \) Den forteller omtrent hvor mye én enhet til koster, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Grafen går gjennom \( (40, 3000)\text{.} \) Der legger vi en linjal inntil grafen, slik at den bare så vidt rører den, og tegner den grønne tangenten:

2. Les av stigningstallet Stigningstallet til en linje gjennom \( (x_1, y_1) \) og \( (x_2, y_2) \) er: \[ a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Den grønne tangenten går gjennom \( (40, 3000) \) og omtrent gjennom \( (100, 7600)\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} K'(40) &\approx \dfrac{7600 - 3000}{100 - 40} \\ &= \dfrac{4600}{60} \approx \textcolor{green}{77} \end{aligned} \]Når det produseres 40 enheter, koster én enhet til altså omtrent 77 kr. Tangenten er tegnet for hånd, så en avlesning litt over eller under er like god.

Overskuddet er avstanden fra kostnadsgrafen opp til inntektsgrafen. Vi sammenligner stigningstallene til de to grafene og ser hvor avstanden slutter å øke.

1. Sammenlign stigningstallene Med inntektsfunksjonen \( I \) og kostnadsfunksjonen \( K \) er overskuddet inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ O(x) = \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \]

Vi deriverer: \[ O'(x) = \textcolor{blue}{I'(x)} - \textcolor{red}{K'(x)} \]

Inntektsgrafen er en rett linje gjennom \( (0, 0) \) og \( (100, 10\,000)\text{,} \) så stigningstallet er det samme overalt: \[ \textcolor{blue}{I'(x)} = \dfrac{10\,000}{100} = \textcolor{blue}{100} \]

Kostnadsgrafen krummer oppover, så stigningstallet \( \textcolor{red}{K'(x)} \) øker. Der det er mindre enn \( \textcolor{blue}{100}\text{,} \) øker overskuddet, og der det er større, minker overskuddet: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{K'(x)} < \textcolor{blue}{100}&\text{:} \quad O'(x) > 0 \\ \textcolor{red}{K'(x)} > \textcolor{blue}{100}&\text{:} \quad O'(x) < 0 \end{aligned} \]Overskuddet er derfor størst der \( {O'(x) = 0}\text{,} \) som for ekstremalpunktet i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Det er der \( {\textcolor{red}{K'(x)} = \textcolor{blue}{100}}\text{,} \) altså der tangenten til kostnadsgrafen er parallell med inntektslinja.

2. Finn punktet på figuren Vi skyver en linjal parallelt med inntektslinja ned til den så vidt rører kostnadsgrafen. Den grønne linja rører grafen omtrent i \( {x = 57{,}5}\text{:} \)

Der er den prikkede avstanden opp til inntektslinja størst. Bedriften må altså produsere og selge omtrent 57 eller 58 enheter. Linja er tegnet for hånd, så en avlesning litt over eller under er like god.