Eksamensoppgaver etter tema

Vi starter med \( {a_1 = 5} \) og bruker den rekursive sammenhengen fem ganger i en løkke, slik at vi får ledd nummer 2 til 6.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å regne ut de første leddene for hånd, og på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( \texttt{a} \) lik det første leddet, \( {a_1 = 5}\text{,} \) og linje 2 skriver det ut.

Løkka i linje 3 går gjennom \( {n = 2, 3, 4, 5, 6}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(2, 7)} \) stopper før 7, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 4 bruker den rekursive sammenhengen: \[ \textcolor{blue}{a_n} = (\textcolor{red}{a_{n-1}} - 1)^2 \]\( \textcolor{red}{\texttt{a}} \) på høyre side er det forrige leddet, og \( \textcolor{blue}{\texttt{a}} \) på venstre side blir det nye. Linje 5 skriver ut hvert nytt ledd.

2. Kjør programmet Programmet skriver ut de seks leddene: \( 5\text{,} \) \( 16\text{,} \) \( 225\text{,} \) \( 50\,176\text{,} \) \( 2\,517\,530\,625 \) og \( 6\,337\,960\,442\,777\,829\,376\text{.} \) De første kan vi sjekke for hånd: \( {(5 - 1)^2 = 16}\text{,} \) \( {(16 - 1)^2 = 225} \) og \( {(225 - 1)^2 = 50\,176}\text{.} \)

En uendelig rekke kan bare konvergere hvis leddene går mot \( 0\text{.} \) Vi undersøker derfor om leddene kan gå mot \( 0 \) når \( a_1 \) er et heltall.

1. Sjekk om leddene går mot null For at summen \( {a_1 + a_2 + a_3 + \dots} \) skal konvergere, må leddene gå mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]Går de ikke mot \( 0\text{,} \) divergerer rekken, som i videoen Konvergens & divergens intro.

Når \( a_1 \) er et heltall, blir alle leddene heltall, fordi vi bare trekker fra \( 1 \) og kvadrerer. Heltall som går mot \( 0\text{,} \) må fra et ledd av være \( 0 \) hele tiden: \[ a_n = 0 \quad \text{for alle } n \ge N \]

2. Se hva som kommer etter null Hvis et ledd er \( \textcolor{blue}{0}\text{,} \) blir de to neste: \[ (\textcolor{blue}{0} - 1)^2 = \textcolor{red}{1} \qquad (\textcolor{red}{1} - 1)^2 = \textcolor{blue}{0} \]Leddene veksler da mellom \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) og blir aldri \( 0 \) hele tiden. Med \( {a_1 = 1} \) blir rekken for eksempel \( {\textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \dots}\text{,} \) som vokser uten grense.

Leddene kan altså aldri gå mot \( 0\text{,} \) uansett hvilket heltall \( a_1 \) er. Da divergerer rekken for alle heltall \( a_1\text{.} \)

Vi ser at rekken øker med \( 3 \) for hvert ledd. Vi finner derfor antall ledd med formelen for det \( n \)-te leddet, og bruker summeformelen for aritmetiske rekker.

1. Finn antall ledd Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{-3}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{3}}\text{,} \) og det siste leddet er \( 69\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-3} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{3} &= 69 \\ (n - 1) \cdot 3 &= 72 \\ n &= 25 \end{aligned} \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = n \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{a_1} + a_n}{2} \]Hvis du er usikker på summeformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 25}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{-3}} \) og \( {a_{25} = 69}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} S_{25} &= 25 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{-3} + 69}{2} \\ &= 25 \cdot 33 = 825 \end{aligned} \]

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser ulikheten for \( x\text{.} \)

1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med det samme tallet, så kvotienten er: \[ \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - x} \]

2. Løs ulikheten En uendelig geometrisk rekke konvergerer når: \[ -1 < \textcolor{red}{k} < 1 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn kvotienten, får vi: \[ \begin{aligned} -1 < \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - x} &< 1 \\ -\dfrac{3}{2} < -x &< \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2} < x &< \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]Vi trakk fra \( \dfrac{1}{2} \) og ganget med \( {-1}\text{.} \) Da snur ulikhetstegnene.

Etter det første fallet går ballen like langt opp som ned hver gang. Høydene den spretter, er en uendelig geometrisk rekke med \( {k = 0{,}75}\text{.} \)

1. Sett opp strekningene Ballen faller først \( 2\,\text{m}\text{.} \) Så spretter den \( {2 \cdot 0{,}75 = 1{,}5\,\text{m}} \) opp og faller like langt ned, så \( {1{,}5 \cdot 0{,}75\,\text{m}} \) opp og ned, og så videre: \[ \begin{aligned} s = 2 + 2 \cdot (&\textcolor{blue}{1{,}5} + 1{,}5 \cdot \textcolor{red}{0{,}75} \\ &+ 1{,}5 \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^2 + \dots) \end{aligned} \]

2. Summer rekken Summen av en uendelig geometrisk rekke med \( {-1 < k < 1} \) er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på summen av en uendelig geometrisk rekke, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}5}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}75}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s &= 2 + 2 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}5}}{1 - \textcolor{red}{0{,}75}} \\ &= 2 + 2 \cdot 6 = 14 \end{aligned} \]

Et integral regner arealet under \( x \)-aksen som negativt. Vi ser derfor på figuren hvor grafen ligger over og under \( x \)-aksen.

1. Se hvor grafen ligger Fra figuren ser vi at grafen ligger over \( x \)-aksen fra \( {x = -2} \) til \( {x = 0}\text{,} \) og under \( x \)-aksen fra \( {x = 0} \) til \( {x = 1}\text{.} \) Vi kaller arealet over \( x \)-aksen \( \textcolor{blue}{A_1} \) og arealet under \( \textcolor{red}{A_2}\text{.} \)

Der grafen ligger over \( x \)-aksen, er integralet lik arealet, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Der den ligger under, er integralet negativt, så arealet er minus integralet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A_1} &= \int_{-2}^0 f(x)\,dx \\ \textcolor{red}{A_2} &= -\int_0^1 f(x)\,dx \end{aligned} \]

2. Sett sammen arealet Arealet av det markerte området er derfor: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{blue}{A_1} + \textcolor{red}{A_2} \\ &= \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} - \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} \end{aligned} \]Det er uttrykk 4.

Uttrykk 1 og 3 er like, og trekker arealet under \( x \)-aksen fra i stedet for å legge det til. Uttrykk 2 blir \( {\int_{-2}^{0} f(x)\,dx}\text{,} \) bare den delen som ligger over.

Vi bruker uttrykket for arealet fra a).

Vi finner en antiderivert til \( f \) og regner ut de to integralene i uttrykket fra a) hver for seg.

1. Finn en antiderivert Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen for integraler: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( \textcolor{green}{n} \) lik \( 3\text{,} \) \( 2 \) og \( 1 \) i de tre leddene. Det gir oss: \[ F(x) = \dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 \]

2. Regn ut de to integralene I a) fant vi at arealet er: \[ A = \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} - \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} \]

Et bestemt integral regner vi ut med den antideriverte: \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Vi setter inn grensene. Her er \( {F(0) = 0}\text{,} \) og: \[ \begin{aligned} F(-2) &= 4 - \dfrac{8}{3} - 4 = -\dfrac{8}{3} \\ F(1) &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{5}{12} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} &= F(0) - F(-2) = \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} &= F(1) - F(0) = \textcolor{red}{-\dfrac{5}{12}} \end{aligned} \]

3. Sett sammen arealet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} - \left(\textcolor{red}{-\dfrac{5}{12}}\right) \\ &= \dfrac{32}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{37}{12} \end{aligned} \]

Vi bruker de to integralene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Integralet er null når arealet over \( x \)-aksen er like stort som arealet under. Vi ser på figuren hvor det kan skje.

1. Forklar hvorfor det finnes to løsninger Vi deler integralet i to ved \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_a^1 f(x)\,dx &= \int_a^0 f(x)\,dx \\ &\quad + \textcolor{red}{\int_0^1 f(x)\,dx} \end{aligned} \]I b) fant vi at \( {\textcolor{red}{\int_0^1 f(x)\,dx = -\dfrac{5}{12}}}\text{,} \) så integralet er null når: \[ \int_a^0 f(x)\,dx = \dfrac{5}{12} \]

Når \( a \) går fra \( 0 \) mot \( {-2}\text{,} \) ligger grafen over \( x \)-aksen, så \( \int_a^0 f(x)\,dx \) vokser fra \( 0 \) til \( \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}}\text{,} \) som vi fant i b). Den passerer \( \dfrac{5}{12} \) én gang, ved \( {a \approx -0{,}6}\text{,} \) som Kristian fant.

Til venstre for \( {x = -2} \) ligger grafen under \( x \)-aksen og går stadig lenger ned, så arealet mellom grafen og \( x \)-aksen fra \( a \) til \( {-2} \) blir så stort vi vil når \( a \) går mot venstre. Integralet blir da mindre igjen, og det er \( \dfrac{5}{12} \) igjen når dette arealet er: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{32}{12} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{4} \]Da er integralet null en gang til, så Unni har rett.

2. Anslå den andre løsningen Fra figuren er grafen omtrent \( {-4{,}4} \) ved \( {x = -2{,}5}\text{,} \) og omtrent \( {-7} \) ved \( {x = -2{,}7}\text{.} \) Vi regner området mellom grafen og \( x \)-aksen som en trekant fra \( a \) til \( {-2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} a = -2{,}5\text{:} \quad & \dfrac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 4{,}4 = 1{,}1 \\ a = -2{,}7\text{:} \quad & \dfrac{1}{2} \cdot 0{,}7 \cdot 7 = 2{,}45 \end{aligned} \]Grafen bøyer seg inn mot \( x \)-aksen, så det virkelige arealet er litt mindre enn trekanten. Trekanten ved \( {a = -2{,}7} \) er litt større enn \( {\dfrac{9}{4} = 2{,}25}\text{,} \) så arealet blir \( \dfrac{9}{4} \) nær \( {a = -2{,}7}\text{.} \)

Vi trekker 2 fra poengene for hver farge. Terningen har fire sider, så hver side kommer opp med sannsynligheten \( \dfrac{1}{4}\text{.} \)

1. Finn endringen for hver farge Endringen er \( \textcolor{blue}{\text{poengene fra kastet}} \) minus de \( \textcolor{red}{2} \) poengene kastet koster: \[ \begin{aligned} \text{Gul:} \quad & \textcolor{blue}{0} - \textcolor{red}{2} = -2 \\ \text{Grønn:} \quad & \textcolor{blue}{1} - \textcolor{red}{2} = -1 \\ \text{Blå:} \quad & \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{2} = 0 \\ \text{Rød:} \quad & \textcolor{blue}{3} - \textcolor{red}{2} = 1 \end{aligned} \]

2. Finn sannsynlighetene Hver av de fire sidene kommer opp like ofte, så hver verdi har sannsynligheten \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) som tabellen allerede viser for \( {-1}\text{.} \) Summen er \( {4 \cdot \dfrac{1}{4} = 1}\text{,} \) og summen av sannsynlighetene skal alltid være 1, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Vi bruker tabellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Forventningsverdien er hver verdi ganget med sannsynligheten sin, summert. Den sier hvor mye poengsummen endrer seg i gjennomsnitt per kast i det lange løp.

1. Regn ut forventningsverdien Forventningsverdien er: \[ E(X) = \sum \textcolor{blue}{x_i} \cdot \textcolor{red}{P(X = x_i)} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

I a) fant vi at verdiene er \( {\textcolor{blue}{-2}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{-1}}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{blue}{1}\text{,} \) hver med sannsynligheten \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}\text{.} \) Siden alle har samme sannsynlighet, setter vi \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \) utenfor en parentes: \[ \begin{aligned} E(X) &= \left(\textcolor{blue}{-2 - 1 + 0 + 1}\right) \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \\ &= -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Tolk svaret Forventningsverdien er negativ. Spiller du mange ganger, taper du i gjennomsnitt et halvt poeng per kast.

Vi bruker tabellen fra a) og \( {E(X) = -\dfrac{1}{2}} \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi bruker at variansen er forventningen til \( X^2 \) minus forventningen i andre.

1. Skriv opp formelen Variansen er: \[ \text{Var}(X) = \textcolor{green}{E(X^2)} - \textcolor{blue}{E(X)}^2 \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

2. Regn ut forventningen til kvadratet Forventningen til \( X^2 \) regner vi ut som \( E(X)\text{,} \) men med hver verdi kvadrert: \[ \textcolor{green}{E(X^2)} = \sum x_i^2 \cdot P(X = x_i) \]

Alle sannsynlighetene er \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) så vi kvadrerer hver verdi og deler summen på \( 4\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{E(X^2)} &= \dfrac{(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2}{4} \\ &= \dfrac{6}{4} = \textcolor{green}{\dfrac{3}{2}} \end{aligned} \]

3. Sett sammen I b) fant vi \( {\textcolor{blue}{E(X) = -\dfrac{1}{2}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \text{Var}(X) &= \textcolor{green}{\dfrac{3}{2}} - \left(\textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}}\right)^2 \\ &= \dfrac{6}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4} \end{aligned} \]

Kurvene har samme form, så det er tallene på \( x \)-aksen som skiller dem. I en normalfordeling ligger nesten alle verdiene innenfor tre standardavvik fra forventningsverdien.

1. Finn hvor nesten alle høydene ligger Høyden \( X \) til én elev er normalfordelt med forventningsverdi \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{170}} \) og standardavvik \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{5}}\text{.} \) I en normalfordeling ligger nesten alle verdiene innenfor tre standardavvik fra forventningsverdien: \[ \textcolor{blue}{\mu} - 3\textcolor{red}{\sigma} < X < \textcolor{blue}{\mu} + 3\textcolor{red}{\sigma} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{170} - 3 \cdot \textcolor{red}{5} &= 155 \\ \textcolor{blue}{170} + 3 \cdot \textcolor{red}{5} &= 185 \end{aligned} \]

2. Velg figuren I figur C går kurven fra omtrent 155 til 185, med toppen i 170. De andre kurvene er for smale (A og B) eller for brede (D).

Gjennomsnittet av mange elever varierer mindre enn høyden til én elev. Vi finner standardavviket til gjennomsnittet og ser hvilken figur som passer.

1. Finn standardavviket til gjennomsnittet Gjennomsnittet \( \bar{X} \) av \( \textcolor{green}{n} \) uavhengige høyder har forventningsverdi \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik: \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet.

Her er \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{5}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{5}}{\sqrt{\textcolor{green}{25}}} = \dfrac{5}{5} = 1 \]

2. Velg figuren Gjennomsnittet har forventningsverdi \( \textcolor{blue}{170} \) og standardavvik \( 1\text{,} \) så nesten alle verdiene ligger mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{170} - 3 \cdot 1 &= 167 \\ \textcolor{blue}{170} + 3 \cdot 1 &= 173 \end{aligned} \]Det passer med figur B.

Formen er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra. Uke 17 er \( {t = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du øve på å gjøre om ukene til \( t\text{,} \) og på å lese av en logistisk modell: \( B \) er verdien grafen flater ut på, og \( {I(0) = \dfrac{B}{1 + a}}\text{.} \)

1. Lag modellen med regresjon Vi gjør om ukene til \( {t = \text{uke} - 17}\text{,} \) så uke 17 til 24 blir \( {t = 0} \) til \( 7\text{.} \) Formen er logistisk, så vi lager en liste med punktene og bruker RegLogist, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Regresjonen finner tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 2900), (1, 4400), (2, 12200), (3, 23400), (4, 28800), (5, 34600), (6, 41000), (7, 40800)} I(x) = RegLogist(l1)

Med \( \textcolor{red}{B} \) til hele kroner, \( \textcolor{blue}{a} \) med to desimaler og \( \textcolor{green}{k} \) med fire desimaler er modellen: \[ I(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{41\,999}}{1 + \textcolor{blue}{14{,}76} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}9035}t}} \]I b) og c) regner vi videre med modellen slik GeoGebra har den, uten avrunding.

2. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har tall fra \( {t = 0} \) til \( {t = 7}\text{,} \) og der ligger punktene nær grafen.

Modellen sier at inntekten flater ut på omtrent \( \textcolor{red}{42\,000} \) kr per uke og holder seg der. Salget av planter er størst om våren og sommeren, så utover høsten vil inntekten trolig falle igjen.

Før uke 17 var det ikke noe salg, men modellen gir positive verdier også for \( {t < 0}\text{.} \) Modellen gjelder derfor bare for de ukene i sesongen der salget holder seg, fra \( {t = 0} \) og noen uker etter \( {t = 7}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Merk – Åpen vurdering: Hvor langt fram modellen gjelder, kan ikke tabellen avgjøre. Andre grenser kan også være riktige når de er begrunnet.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Hvor fort inntekten øker, er den deriverte \( I'(t)\text{.} \) Vi finner toppunktet til grafen til \( I'\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du bruke at en logistisk funksjon vokser raskest der den er halvveis opp, \( {I(t) = \dfrac{B}{2}}\text{.} \) Det gir \( {a \cdot e^{-kt} = 1}\text{,} \) altså \( {t = \dfrac{\ln a}{k} \approx 2{,}98}\text{,} \) og veksten der er \( {\dfrac{B \cdot k}{4}}\text{,} \) omtrent 9487 med tallene i svaret i a).

1. Finn toppunktet til den deriverte I a) fant vi modellen: \[ I(t) \approx \dfrac{41\,999}{1 + 14{,}76 \cdot e^{-0{,}9035t}} \]Veksten i inntekten er \( \textcolor{red}{I'(t)}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi skriver inn den deriverte og finner toppunktet med Maks:

Skriv inn i GeoGebra: D(x) = I'(x) M = Maks(D, 0, 10)

Toppunktet er \( {M \approx (2{,}98;\ 9486)}\text{.} \)

2. Tolk svaret \( {t \approx 2{,}98} \) er omtrent 3 uker etter uke 17, altså i uke 20. Da økte inntekten med omtrent \( \textcolor{red}{9486} \) kr per uke for hver uke som gikk.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( I(t) \) er inntekten i kroner per uke, så integralet fra \( 0 \) til \( x \) er den samlede inntekten de \( x \) første ukene. Vi finner en antiderivert med substitusjon og løser likningen med \( \ln\text{.} \)

1. Finn en antiderivert Modellen er \( {I(t) = \dfrac{B}{1 + a \cdot e^{-kt}}}\text{.} \) Vi ganger teller og nevner med \( e^{kt}\text{:} \) \[ I(t) = \dfrac{B \cdot e^{kt}}{\textcolor{green}{e^{kt} + a}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{kt} + a}} \) er \( {\textcolor{green}{u}' = k \cdot e^{kt}}\text{,} \) så telleren er \( \dfrac{B}{k} \) ganger den deriverte av nevneren. Da bruker vi substitusjon, som i videoen Substitusjon, og at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt = \ln \textcolor{green}{u} + c \]

Det gir: \[ \int I(t)\,dt = \dfrac{B}{k}\ln\left(\textcolor{green}{e^{kt} + a}\right) + c \]

2. Løs likningen I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 1 + a}\text{.} \) Setter vi inn grensene og ganger med \( \dfrac{k}{B}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\textcolor{green}{e^{k\textcolor{blue}{x}} + a}\right) &- \ln(\textcolor{green}{1 + a}) \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{65\,000} \cdot k}{B} \end{aligned} \]

Med tallene i svaret i a), \( {B = 41\,999}\text{,} \) \( {a = 14{,}76} \) og \( {k = 0{,}9035}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\textcolor{green}{e^{k\textcolor{blue}{x}} + a}\right) &= \ln 15{,}76 \\ &\quad + \dfrac{\textcolor{red}{65\,000} \cdot 0{,}9035}{41\,999} \\ &\approx 4{,}1558 \end{aligned} \]

Vi opphøyer \( e \) i begge sider og løser for \( \textcolor{blue}{x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} e^{0{,}9035\textcolor{blue}{x}} + 14{,}76 &\approx e^{4{,}1558} \approx 63{,}80 \\ e^{0{,}9035\textcolor{blue}{x}} &\approx 49{,}04 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{\ln 49{,}04}{0{,}9035} \approx \textcolor{blue}{4{,}31} \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Arealet under grafen til \( I \) er den samlede inntekten, på samme måte som arealet under en fartsgraf er strekningen, som i videoen Hva er integrasjon. Ifølge modellen har hagesenteret tjent \( \textcolor{red}{65\,000} \) kr til sammen på plantene omtrent \( \textcolor{blue}{4{,}3} \) uker etter at salget startet, altså i løpet av uke 21.

1. Løs likningen i CAS I a) fant vi modellen: \[ I(t) \approx \dfrac{41\,999}{1 + 14{,}76 \cdot e^{-0{,}9035t}} \]Den står i Algebrafeltet fra a), og CAS kan bruke den. Vi løser likningen med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, med startverdien \( {x = 4}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Integral(I(t), t, 0, x) = 65000, x = 4)

Rad 1 gir \( {\textcolor{blue}{x \approx 4{,}31}}\text{,} \) det samme som med kalkulatoren. Hagesenteret har altså tjent \( \textcolor{red}{65\,000} \) kr på plantene i løpet av uke 21.

Vi deriverer med kjerneregelen og setter inn \( {x = 150}\text{.} \) \( K'(x) \) sier hvor mye kostnaden øker per ekstra enhet.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\dfrac{x}{200}}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{\dfrac{1}{200}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} K'(x) &= 700 \cdot e^{\textcolor{green}{\tfrac{x}{200}}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1}{200}} \\ &= 3{,}5 \cdot e^{\tfrac{x}{200}} \end{aligned} \]

2. Regn ut og tolk \[ K'(150) = 3{,}5 \cdot e^{0{,}75} \approx 7{,}41 \]Når bedriften produserer 150 enheter per dag, øker kostnaden med omtrent 7,41 kr for hver ekstra enhet den produserer.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS og regner ut \( K'(150) \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 700*ℯ^(x/200) K'(150)

Rad 2 gir \( {K'(150) \approx 7{,}41}\text{.} \)

Enhetskostnaden er kostnaden delt på antall enheter. Vi deriverer den med kvotientregelen og setter den deriverte lik null.

1. Sett opp enhetskostnaden Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} = \dfrac{700 \cdot e^{\tfrac{x}{200}}}{x} \]

2. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er, med \( u' \) fra kjerneregelen som i a): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{700e^{\tfrac{x}{200}}} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og faktoriserer ut \( 3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} E'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}} \cdot \textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{700e^{\tfrac{x}{200}}} \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}(x - 200)}{x^2} \end{aligned} \]

3. Finn bunnpunktet Brøken er null når telleren er null, og \( 3{,}5e^{\tfrac{x}{200}} \) er aldri null: \[ \begin{aligned} E'(x) &= 0 \\ x - 200 &= 0 \\ x &= 200 \end{aligned} \]

\( e^{\tfrac{x}{200}} \) og \( x^2 \) er positive for \( {x > 0}\text{,} \) så \( E'(x) \) har samme fortegn som \( {x - 200}\text{.} \) Den er negativ for \( {x < 200} \) og positiv for \( {x > 200}\text{,} \) så enhetskostnaden synker fram til \( {x = 200} \) og stiger etterpå. Den laveste enhetskostnaden er: \[ E(200) = \dfrac{700 \cdot e^{1}}{200} = 3{,}5e \approx 9{,}51 \]

1. Løs i CAS På samme CAS-ark som i a) definerer vi \( E\text{,} \) løser \( {E'(x) = 0} \) og regner ut \( E(200)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: E(x) := K(x)/x Løs(E'(x) = 0, x) E(200)

Rad 4 gir \( {x = 200}\text{,} \) og rad 5 gir \( {E(200) \approx 9{,}51}\text{.} \) Fortegnet til \( E' \) skifter fra minus til pluss i \( {x = 200}\text{,} \) som i kalkulatorruten, så det er et bunnpunkt.

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Vi finner hvor overskuddet er positivt, og det gjør vi med grafen og Nullpunkt i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen \( {O(x) = 0} \) kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du prøve deg fram med kalkulatoren: \( {O(9) \approx -20} \) og \( {O(10) \approx 54}\text{.} \) Grafen til \( O \) krummer nedover, fordi \( {O''(x) < 0}\text{,} \) og \( {O(500) \approx 6472}\text{,} \) så overskuddet er positivt hele veien opp til 500.

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \\ &= \textcolor{blue}{80x - 0{,}10x^2} - \textcolor{red}{700e^{\tfrac{x}{200}}} \end{aligned} \]

2. Finn hvor overskuddet er positivt Vi tegner \( O \) for \( x \) fra 0 til 500 og finner nullpunktet med Nullpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = Funksjon(80x - 0.1x^2 - 700*ℯ^(x/200), 0, 500) N = Nullpunkt(O, 0, 100) P = (500, O(500))

Grafen krysser \( x \)-aksen i \( {N \approx (9{,}27;\ 0)} \) og ligger over \( x \)-aksen resten av veien til \( {P = (500;\ 6472)}\text{.} \) Overskuddet er altså positivt for \( {9{,}27 < x \le 500}\text{.} \) Bedriften produserer hele enheter, så det minste antallet er 10.

Vi setter opp hypotesene og regner ut hvor sannsynlig det er å få minst én feil blant 20 hvis MASK har rett. Er det ikke svært usannsynlig, er klagen ikke velbegrunnet.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som oppgitt, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. La \( p \) være andelen feilproduserte komponenter: \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } p = 0{,}01} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } p > 0{,}01} \]Vi velger signifikansnivået \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \)

2. Regn ut P-verdien Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet feil \( X \) blant 20 komponenter binomisk fordelt med \( {n = 20} \) og \( {p = 0{,}01}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet). P-verdien er sannsynligheten for minst én feil: \[ \begin{aligned} P(X \ge 1) &= 1 - P(X = 0) \\ &= 1 - 0{,}99^{20} \\ &\approx 0{,}182 \end{aligned} \]

3. Konkluder P-verdien \( 0{,}182 \) er større enn \( {\alpha = 0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Minst én feil blant 20 skjer i omtrent \( 18\,\% \) av tilfellene selv når andelen feil er \( 1\,\%\text{.} \) Bedriften har derfor ikke grunnlag for klagen.

1. Regn ut P-verdien i CAS Med de samme hypotesene regner vi ut \( {1 - 0{,}99^{20}} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - 0.99^20

P-verdien er omtrent \( 0{,}182\text{,} \) større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

Vi ser påstanden som en hypotesetest med \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \) Høyst én feil blant \( n \) komponenter må da skje i mindre enn \( 5\,\% \) av tilfellene når andelen feil er \( 1\,\%\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for \( n \) kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du sette opp \( {P(X \le 1)} \) og prøve deg fram med kalkulatoren: \( {n = 472} \) gir omtrent \( 0{,}0502 \) og \( {n = 473} \) omtrent \( 0{,}0498\text{.} \)

1. Sett opp hypotesene og P-verdien Kontrolløren vil vise at andelen er under \( 1\,\%\text{,} \) så det blir \( H_1\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } p = 0{,}01} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } p < 0{,}01} \]Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet feil \( X \) blant \( \textcolor{green}{n} \) komponenter binomisk fordelt, som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet): \[ P(X = x) = \binom{\textcolor{green}{n}}{x} \cdot p^x \cdot (1 - p)^{\textcolor{green}{n} - x} \]Med \( {p = 0{,}01} \) er \( {\binom{n}{0} = 1} \) og \( {\binom{n}{1} = n}\text{,} \) så P-verdien, sannsynligheten for høyst én feil, er: \[ \begin{aligned} P(X \le 1) &= 0{,}99^{\textcolor{green}{n}} \\ &\quad + \textcolor{green}{n} \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}99^{\textcolor{green}{n} - 1} \end{aligned} \]

2. Løs likningen i CAS Vi finner \( n \) der P-verdien er \( 0{,}05 \) med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, og sjekker de hele tallene på hver side:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(0.99^n + n*0.01*0.99^(n - 1) = 0.05, n = 470) 0.99^472 + 472*0.01*0.99^471 0.99^473 + 473*0.01*0.99^472

Med \( {n = 472} \) er P-verdien \( 0{,}0502\text{,} \) litt over \( 0{,}05\text{,} \) og med \( {n = 473} \) er den \( 0{,}0498\text{,} \) under. Kontrolløren må altså ha testet minst 473 komponenter for å forkaste \( H_0\text{.} \)

Lånet er like mye verdt som alle terminbeløpene, når hvert av dem regnes tilbake til i dag. Disse nåverdiene danner en geometrisk rekke, og summeformelen gir terminbeløpet.

1. Sett opp rekken Et terminbeløp \( \textcolor{red}{T} \) som betales om \( n \) år, er i dag verdt \( \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04^n}\text{.} \) Summen av nåverdiene av de åtte terminbeløpene skal være prisen på bilen: \[ \begin{aligned} 357\,000 = \ &\dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04^8} \end{aligned} \]Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}04}}}\text{,} \) så rekken er geometrisk med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{8}} \) ledd og første ledd \( {a_1 = \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04}}\text{.} \)

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{a_1\left(1 - \textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{n}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} 357\,000 &= \dfrac{\dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04}\left(1 - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}04}}\right)^{\textcolor{green}{8}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}04}}} \\ &= \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - 1{,}04^{-8}}{0{,}04} \end{aligned} \]

I den siste linja har vi ganget teller og nevner med \( 1{,}04\text{,} \) så nevneren blir \( {1{,}04 - 1 = 0{,}04}\text{.} \)

3. Løs for terminbeløpet \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \dfrac{357\,000 \cdot 0{,}04}{1 - 1{,}04^{-8}} \\ &\approx 53\,024{,}44 \end{aligned} \]

1. Løs i CAS Vi skriver rekken med Sum og løser for \( T \) med NLøs:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(357000 = Sum(T/1.04^k, k, 1, 8), T = 50000)

Terminbeløpet er omtrent \( 53\,024{,}44 \) kr.

Som i a) er prisen lik summen av nåverdiene av terminbeløpene, nå med ukjent rente. Likningen for renten løser vi med NLøs.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for renten kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du sette opp likningen og prøve deg fram med kalkulatoren: \( {r = 0{,}027} \) gir en nåverdi på omtrent \( 450\,440 \) kr og \( {r = 0{,}028} \) omtrent \( 448\,133 \) kr, så renten ligger mellom \( 2{,}7\,\% \) og \( 2{,}8\,\%\text{.} \)

1. Sett opp likningen Med renten \( \textcolor{blue}{r} \) er et terminbeløp om \( n \) år i dag verdt \( {\dfrac{52\,000}{(1 + \textcolor{blue}{r})^n}}\text{.} \) Summen av nåverdiene av de ti terminbeløpene skal være prisen: \[ \begin{aligned} 450\,000 = \ &\dfrac{52\,000}{1 + \textcolor{blue}{r}} + \dfrac{52\,000}{(1 + \textcolor{blue}{r})^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{52\,000}{(1 + \textcolor{blue}{r})^{10}} \end{aligned} \]

2. Løs likningen i CAS Vi løser likningen med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, med startverdien \( {r = 0{,}03}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(450000 = Sum(52000/(1 + r)^k, k, 1, 10), r = 0.03)

Rad 2 gir \( {\textcolor{blue}{r} \approx 0{,}0272}\text{,} \) altså omtrent \( 2{,}72\,\%\text{.} \)

Vi bruker terminbeløpet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Alt Mathias betaler utover prisen på bilen, er renter. Vi regner ut alle terminbeløpene til sammen minus lånet for hvert tilbud.

1. Regn ut rentene for hvert tilbud Hvert terminbeløp er renter pluss avdrag, og avdragene til sammen er lånet, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. De totale rentene er derfor: \[ \begin{aligned} \text{renter} &= \text{alle terminbeløpene} \\ &\quad - \text{lånet} \end{aligned} \]

I a) fant vi terminbeløpet \( {T \approx 53\,024{,}44} \) kr for tilbud 1. Det er beløpet Mathias betaler hvert år, i kroner og øre, så vi regner med det. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\text{Tilbud 1:}} \\ &8 \cdot 53\,024{,}44 - 357\,000 = \textcolor{blue}{67\,195{,}52} \\ &\textcolor{red}{\text{Tilbud 2:}} \\ &10 \cdot 52\,000 - 450\,000 = \textcolor{red}{70\,000} \end{aligned} \]

Merk – Avrunding: Med terminbeløpet rundet til hele kroner, 53 024 kr, blir rentene for tilbud 1 \( 67\,192 \) kr. Tilbud 2 gir mest renter uansett.

2. Sammenlign \( \textcolor{red}{70\,000} \) kr er mer enn \( \textcolor{blue}{67\,195{,}52} \) kr, så tilbud 2 gir mest renter totalt.

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) regner vi ut rentene for begge tilbudene, med terminbeløpet slik det betales, 53 024,44 kr fra a):

Skriv inn i GeoGebra: 8*53024.44 - 357000 10*52000 - 450000

Tilbud 1 gir \( 67\,195{,}52 \) kr i renter og tilbud 2 \( 70\,000 \) kr, så tilbud 2 gir mest.