Eksamensoppgaver etter tema

Formen i oppgaven er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre potensregresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver radiusen i kolonne A og volumet i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør potensregresjon Potensregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = RegPot(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ V(x) = \textcolor{red}{a} \cdot x^{\textcolor{blue}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{31{,}9554}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{2{,}0968}}\text{.} \)

I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Runder vi \( b \) av til \( 2{,}1\text{,} \) blir svaret i b) omtrent \( 308 \) i stedet for \( 307\text{,} \) og økningen i c) omtrent \( 329\,\% \) i stedet for \( 328\,\%\text{.} \)

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( V'(4) \) er hvor fort volumet vokser når radien er \( 4 \) cm. Vi deriverer modellen med potensregelen og setter inn \( {x = 4}\text{.} \)

1. Deriver modellen I a) fant vi modellen: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}96} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}097}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og setter inn tallene til slutt.

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^{\textcolor{blue}{n}})' = \textcolor{blue}{n} \cdot x^{\textcolor{blue}{n} - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{b}}\text{.} \) Konstanten \( \textcolor{red}{a} \) står ganget med potensen, så den blir stående: \[ V'(x) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot x^{\textcolor{blue}{b} - 1} \]

2. Sett inn tallene Plugger vi inn tallene fra svaret i a), får vi: \[ \begin{aligned} V'(4) &\approx \textcolor{red}{31{,}96} \cdot \textcolor{blue}{2{,}097} \cdot 4^{\textcolor{blue}{2{,}097} - 1} \\ V'(4) &\approx 306{,}7 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Radien \( x \) er i cm og volumet i mL, så \( V'(4) \) er i mL per cm. Når radien er \( 4 \) cm, øker volumet med omtrent \( 307 \) mL for hver centimeter radien øker.

1. Regn ut den deriverte I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}9554} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}0968}} \]Vi skriver den deriverte i \( {x = 4} \) inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: d = V'(4)

GeoGebra gir \( {V'(4) \approx 306{,}5292}\text{,} \) altså omtrent \( 307 \) mL per cm.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter inn \( 2x \) i stedet for \( x \) i modellen og sammenligner med \( V(x)\text{.} \) Svaret blir det samme for alle radier.

1. Sett inn den doble radien I a) fant vi modellen: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}96} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}097}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og setter inn tallene til slutt. Med radien \( 2x \) blir volumet \( {V(2x) = \textcolor{red}{a} \cdot (2x)^{\textcolor{blue}{b}}}\text{.} \)

En potens av et produkt er produktet av potensene: \[ (2 \cdot x)^{\textcolor{blue}{b}} = 2^{\textcolor{blue}{b}} \cdot x^{\textcolor{blue}{b}} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} V(2x) &= 2^{\textcolor{blue}{b}} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot x^{\textcolor{blue}{b}} \\ V(2x) &= 2^{\textcolor{blue}{b}} \cdot V(x) \end{aligned} \]

2. Regn ut faktoren Med \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{2{,}097}} \) fra svaret i a) gir kalkulatoren: \[ 2^{\textcolor{blue}{2{,}097}} \approx 4{,}28 \]Volumet blir altså omtrent \( 4{,}28 \) ganger så stort. Det øker med \( {4{,}28 - 1 = 3{,}28} \) ganger det første volumet, altså med omtrent \( 328\,\%\text{.} \)

1. Forenkle forholdet i CAS I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}9554} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}0968}} \]

Vi lar CAS forenkle \( \dfrac{V(2x)}{V(x)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Forenkle(V(2x)/V(x))

CAS gir \( 4{,}2777\text{,} \) uten noen \( x\text{.} \) Volumet blir omtrent \( 4{,}28 \) ganger så stort, uansett radius, og øker med omtrent \( 328\,\%\text{.} \)

Formen i oppgaven er en eksponentialfunksjon, så vi bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra. Først gjør vi årene om til år etter 1910.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre eksponentiell regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Gjør årene om til t \( t \) er antall år etter 1910, så 1910 blir \( {t = 0}\text{,} \) 1913 blir \( {t = 3} \) og så videre, til 1935, som blir \( {t = 25}\text{.} \)

Vi skriver \( t \) i kolonne A og folketallet i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I GeoGebra heter kommandoen RegEksp, og den gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegEksp(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ F(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{820{,}6398}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{1{,}0510}}\text{.} \)

I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {b \approx 1{,}05}\text{.} \) Regner vi videre med \( 1{,}05\text{,} \) blir svaret i b) 1925 i stedet for 1924, og i c) 26 år i stedet for 25.

3. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har tall fra 1910 til 1935, altså for \( {0 \le t \le 25}\text{.} \) Der går grafen nær punktene.

Framover vokser modellen med omtrent \( 5{,}1\,\% \) hvert år, uten stopp, og folketallet i en bygd kan ikke vokse slik for alltid. Vi har ingen tall før 1910 eller etter 1935, så modellen gjelder bare for årene vi har data for.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Økningen per år er vekstfarten \( F'(t)\text{.} \) Vi finner når \( {F'(t) = 80}\text{,} \) og ser fra hvilket år vekstfarten er over 80.

1. Deriver modellen I a) fant vi modellen: \[ F(t) \approx \textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t \]Vi regner med \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og setter inn tallene til slutt.

Vi skriver \( {\textcolor{blue}{b}^t = e^{t \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{t \cdot \ln b}} \) er \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\ln b}}\text{,} \) så \( {(b^t)' = b^t \cdot \ln b}\text{.} \) Det gir oss: \[ F'(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]

2. Sett den deriverte lik 80 Vi setter \( {F'(t) = 80} \) og deler på \( {\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{b}^t = \dfrac{80}{\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen \( {\ln\left(b^t\right) = t \cdot \ln b} \) flytter \( t \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{80}{\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}\right)}{\ln \textcolor{blue}{b}} \]

3. Sett inn tallene Med tallene fra svaret i a) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{821} \cdot \ln \textcolor{blue}{1{,}051} &\approx 40{,}84 \\ t &\approx \dfrac{\ln\left(\dfrac{80}{40{,}84}\right)}{\ln \textcolor{blue}{1{,}051}} \approx 13{,}5 \end{aligned} \]

Siden \( {\textcolor{blue}{b} > 1}\text{,} \) vokser \( F'(t) \) hele tiden, så \( {F'(t) > 80} \) når \( {t > 13{,}5}\text{.} \) Det er midt i 1923. Det første hele året med vekst på mer enn 80 personer er \( {t = 14}\text{,} \) altså 1924, og det gjelder resten av perioden modellen gjelder for.

1. Finn skjæringspunktet med linja I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ F(t) \approx \textcolor{red}{820{,}6398} \cdot \textcolor{blue}{1{,}0510}^t \]

Vi lar GeoGebra derivere den, tegner linja \( {y = 80} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(F) g: y = 80

Skjæringspunktet er \( {K \approx (13{,}5382,\ 80)}\text{,} \) og grafen til \( F' \) ligger over linja til høyre for det. Vekstfarten er over 80 personer per år fra \( {t \approx 13{,}5}\text{,} \) midt i 1923, så det første hele året er 1924.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den gjennomsnittlige veksten fra 1910 er endringen i folketallet delt på antall år. Vi regner den ut for hele år, og ser når den blir større enn 80.

1. Sett opp gjennomsnittet Den gjennomsnittlige veksten er endringen i folketallet delt på endringen i tid, som stigningstallet \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \) i videoen Definisjonen til den deriverte. Fra 1910, der \( {t = 0}\text{,} \) til \( t \) år etter er den: \[ G(t) = \dfrac{F(t) - F(0)}{t - 0} \]

I a) fant vi \( {F(t) \approx \textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t}\text{,} \) så \( {F(0) = \textcolor{red}{821}} \) og: \[ G(t) = \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t - \textcolor{red}{821}}{t} \]

2. Prøv deg fram med hele år Likningen \( {G(t) = 80} \) kan vi ikke løse for hånd, fordi \( t \) står både i eksponenten og i nevneren. Grafen til \( F \) blir stadig brattere, så gjennomsnittet vokser med \( t\text{.} \) Vi prøver oss fram med hele år, som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} G(24) &= \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^{24} - \textcolor{red}{821}}{24} \approx 78{,}7 \\ G(25) &= \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^{25} - \textcolor{red}{821}}{25} \approx 81{,}0 \end{aligned} \]Etter 24 år, i 1934, var gjennomsnittet under 80, og etter 25 år, i 1935, var det over. Det gikk altså 25 år.

1. Løs likningen og sjekk hele år I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi løser \( {G(t) = 80} \) med NLøs og startverdien \( {t = 20}\text{,} \) og regner ut gjennomsnittet etter 24 og 25 år med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs((F(t) - F(0))/t = 80, t = 20) (F(24) - F(0))/24 (F(25) - F(0))/25

CAS gir \( {t \approx 24{,}5995}\text{,} \) og gjennomsnittet er omtrent \( 78{,}59 \) etter 24 år og \( 80{,}96 \) etter 25 år. Det gikk altså 25 år, til 1935.

Den totale verdien vokser stadig raskere, omtrent med den samme prosenten hvert år. Vi leser av verdiene i figuren og lager en eksponentiell modell med regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Da kan vi lage en eksponentiell modell gjennom to punkter vi leser av, og øve på b) og c) med kalkulator.

1. Begrunn valget av modell Linja «Totalt» krummer oppover: verdien vokser mer for hvert år. Fra 1998 til 2008 økte den med omtrent 2 100 milliarder kroner, og fra 2014 til 2024 med omtrent 13 300. Fra 2008 til 2013, fra 2013 til 2019 og fra 2019 til 2024 ble verdien omtrent doblet hver gang. Når noe vokser med omtrent den samme prosenten hvert år, passer en eksponentiell modell: \[ O(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]der \( t \) er antall år etter 1998. En lineær modell passer ikke, fordi den vokser like mye hvert år.

2. Les av verdiene Vi leser av den totale verdien hvert år, avrundet til hele hundre milliarder kroner: \[ \begin{array}{rr|rr|rr} t & O & t & O & t & O \\ \hline 0 & 200 & 9 & 2000 & 18 & 7500 \\ 1 & 200 & 10 & 2300 & 19 & 8500 \\ 2 & 400 & 11 & 2600 & 20 & 8300 \\ 3 & 600 & 12 & 3100 & 21 & 10100 \\ 4 & 600 & 13 & 3300 & 22 & 10900 \\ 5 & 800 & 14 & 3800 & 23 & 12300 \\ 6 & 1000 & 15 & 5100 & 24 & 12500 \\ 7 & 1400 & 16 & 6400 & 25 & 15800 \\ 8 & 1800 & 17 & 7500 & 26 & 19700 \end{array} \]

Vi skriver \( t \) i kolonne A og verdiene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

3. Kjør eksponentiell regresjon Regresjonen finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp formen \( {\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^x}\text{,} \) med \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = RegEksp(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen: \[ O(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{344{,}70}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{1{,}1786}}\text{.} \) Vekstfaktoren betyr at verdien vokser med omtrent \( 18\,\% \) per år i modellen, og grafen følger punktene omtrent i hele perioden. Leser du av litt andre verdier, får du litt andre tall for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) og det er også riktig.

\( V(20) \) er verdien 20 år etter 1998, altså i 2018. \( V'(20) \) er hvor fort verdien vokser da, i milliarder kroner per år.

1. Regn ut verdien Vi setter \( {t = 20} \) inn i modellen: \[ V(20) = 330 \cdot 1{,}1787^{20} \approx 8842{,}59 \]

2. Deriver modellen Siden \( {1{,}1787 = e^{\ln 1{,}1787}}\text{,} \) kan vi skrive potensen med \( e\text{:} \) \[ 1{,}1787^t = e^{\textcolor{green}{t \cdot \ln 1{,}1787}} \]

Kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{t \cdot \ln 1{,}1787}}\text{,} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\ln 1{,}1787}}\text{,} \) et tall. Det gir oss: \[ V'(t) = 330 \cdot 1{,}1787^t \cdot \textcolor{green}{\ln 1{,}1787} \]

Med \( {V(20) \approx 8842{,}59} \) og \( {\textcolor{green}{\ln 1{,}1787} \approx \textcolor{green}{0{,}164412}} \) er: \[ \begin{aligned} V'(20) &\approx 8842{,}59 \cdot \textcolor{green}{0{,}164412} \\ &\approx 1453{,}83 \end{aligned} \]

3. Tolk svarene \( {V(20) \approx 8843}\text{:} \) ifølge modellen var oljefondet verdt omtrent 8 843 milliarder kroner i 2018.

\( {V'(20) \approx 1454}\text{:} \) den deriverte er vekstfarten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. I 2018 økte verdien altså med omtrent 1 454 milliarder kroner per år.

1. Regn ut i Algebrafeltet Vi skriver inn modellen og regner ut verdien og den deriverte i \( {t = 20}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = 330*1.1787^x v_1 = V(20) d_1 = V'(20)

GeoGebra gir \( {V(20) \approx 8842{,}5925} \) og \( {V'(20) \approx 1453{,}8295}\text{.} \) I 2018 var verdien omtrent 8 843 milliarder kroner, og den økte med omtrent 1 454 milliarder kroner per år.

Den gjennomsnittlige vekstfarten er endringen i verdi delt på endringen i tid. Vi regner ut den for begge intervallene og sammenligner.

1. Regn ut de to vekstfartene Den gjennomsnittlige vekstfarten fra \( {t = r} \) til \( {t = s} \) er stigningstallet til linja mellom de to punktene på grafen, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta V}{\Delta t} = \dfrac{V(s) - V(r)}{s - r} \]

Med \( {V(t) = 330 \cdot 1{,}1787^t} \) er: \[ \begin{aligned} V(0) &= 330 \\ V(10) &\approx 1708{,}23 \\ V(16) &\approx 4581{,}07 \\ V(26) &\approx 23\,713{,}70 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\dfrac{V(10) - V(0)}{10 - 0}} &\approx \dfrac{1378{,}23}{10} \\ &\approx \textcolor{blue}{137{,}8} \\ \textcolor{red}{\dfrac{V(26) - V(16)}{26 - 16}} &\approx \dfrac{19\,132{,}63}{10} \\ &\approx \textcolor{red}{1913{,}3} \end{aligned} \]

2. Sammenlign Vi deler den siste på den første: \[ \dfrac{\textcolor{red}{1913{,}3}}{\textcolor{blue}{137{,}8}} \approx 13{,}9 \]Fra 1998 til 2008 vokste verdien i gjennomsnitt med omtrent 138 milliarder kroner per år. Fra 2014 til 2024 vokste den med omtrent 1 913 milliarder kroner per år, nesten 14 ganger så mye.

1. Regn ut i CAS Vi skriver inn modellen og regner ut de to brøkene med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: V(t) := 330*1.1787^t (V(10) - V(0))/10 (V(26) - V(16))/10

CAS gir \( 137{,}8232 \) og \( 1913{,}2634\text{.} \) Den gjennomsnittlige vekstfarten er nesten 14 ganger så stor i \( [16, 26] \) som i \( [0, 10]\text{.} \)

Vi ser på hvordan tallene endrer seg fra år til år. Endrer de seg med omtrent like mye hvert år, passer en lineær modell. Endrer de seg med omtrent samme prosent, passer en eksponentiell modell.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Øv heller på å lage modellene fra to av årene: en rett linje for bensin, og vekstfaktoren for elbilene med en rot, for eksempel \( {\left(\dfrac{5363}{557}\right)^{\tfrac{1}{7}} \approx 1{,}38} \) fra 2015 til 2022.

1. Velg modellene Bensinbilene blir færre hvert år, med mellom 193 og 895 biler, i snitt omtrent 457 per år. Nedgangen er omtrent like stor hvert år, så vi velger en lineær modell for bensin.

Elbilene blir stadig flere. Fram til 2015 var det få elbiler, og antallet ble mellom 1,8 og 7 ganger så stort hvert år. Fra 2015 ble det mellom 1,33 og 1,43 ganger så stort hvert år, altså omtrent samme prosent. Da er antallet startverdien ganget med en fast vekstfaktor én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. Vi velger derfor en eksponentiell modell for elbilene, fra 2015, da \( {t = 5}\text{.} \)

2. Lag modellene med regresjon Vi skriver \( t \) og bensintallene i regnearket og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Det samme gjør vi med elbilene fra 2015. Regresjonen finner den linja og den eksponentialfunksjonen som går nærmest punktene, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: B(x) = RegLin(l1) E(x) = RegEksp(l2)

GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{.} \) Det gir modellene: \[ \begin{aligned} B(t) &\approx \textcolor{blue}{-451{,}79}t + 14\,243{,}25 \\ E(t) &\approx 107{,}76 \cdot \textcolor{red}{1{,}3868}^t \end{aligned} \]Bensinbilene blir omtrent \( \textcolor{blue}{452} \) færre hvert år, og elbilene blir omtrent \( \textcolor{red}{39\,\%} \) flere hvert år fra 2015. Andre begrunnede modeller kan også være riktige, for eksempel en andregradsfunksjon for elbilene.

Vi bruker modellene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser hva modellene sier om noen år, og sammenligner med hvor mange biler som finnes.

1. Se på bensinmodellen I a) fant vi modellen: \[ B(t) \approx \textcolor{blue}{-452}t + \textcolor{blue}{14\,243} \]Den gir \( {B(t) = 0} \) når \[ t = \dfrac{\textcolor{blue}{14\,243}}{\textcolor{blue}{452}} \approx 31{,}5 \]Ifølge modellen er bensinbilene borte rundt 2041. Etter det gir den et negativt antall, så den kan ikke brukes så langt. Nedgangen vil trolig også endre seg når det blir færre bensinbiler igjen.

2. Se på elbilmodellen I a) fant vi modellen: \[ E(t) \approx 107{,}8 \cdot \textcolor{red}{1{,}387}^t \]Vekstfaktoren \( {\textcolor{red}{1{,}387} = 1 + 0{,}387} \) betyr at elbilene blir omtrent \( 39\,\% \) flere hvert år, som i videoen Vekstfaktor. I 2030 er \( {t = 20}\text{:} \) \[ E(20) \approx 107{,}8 \cdot \textcolor{red}{1{,}387}^{20} \approx 74\,800 \]

I 2022 var det til sammen dette antallet personbiler i Moss: \[ \begin{aligned} &8705 + 8533 + 0 \\ &+ 2 + 5363 + 3414 \\ &= 26\,017 \end{aligned} \]Modellen gir nesten tre ganger så mange elbiler i 2030. Så mange biler blir det ikke, så veksten må flate ut. Den eksponentielle modellen gjelder derfor bare noen få år framover.

1. Bruk modellene i GeoGebra I a) lagret vi modellene som \( B \) og \( E \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi finner nullpunktet til \( B \) og regner ut \( E(20)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: N = Nullpunkt(B) e = E(20)

Nullpunktet er \( {N \approx (31{,}5266,\ 0)}\text{,} \) altså rundt 2041, og \( {E(20) \approx 74\,578}\text{:} \) nesten tre ganger alle de 26 017 personbilene i Moss i 2022.

Overskuddet er inntekten minus kostnadene. Med kalkulator sammenligner vi modellen med overskuddet i tabellen, og i GeoGebra lager vi en modell for kostnadene med regresjon, som i videoen.

1. Sett opp overskuddet 0:51 Overskuddet er det fabrikken får for sofaene, minus det de koster å lage: \[ \text{overskudd} = \textcolor{blue}{\text{inntekt}} - \textcolor{red}{\text{kostnader}} \]

Alt regnes i tusen kroner, som i tabellen. Hver sofa gir \( 28 \) tusen kroner, så \( x \) sofaer gir inntekten \( \textcolor{blue}{28x}\text{.} \) Kostnadene \( \textcolor{red}{K} \) står i tabellen.

2. Sammenlign med tabellen For hver verdi av \( x \) i tabellen regner vi ut det virkelige overskuddet \( {\textcolor{blue}{28x} - \textcolor{red}{K}} \) og modellen \( O(x)\text{.} \) For \( {x = 40} \) er for eksempel: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{28 \cdot 40} - \textcolor{red}{870} &= 250 \\ O(40) &= 271{,}4 \end{aligned} \]

Gjør vi det samme for alle sju verdiene, får vi: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \textcolor{blue}{28x} - \textcolor{red}{K} & O(x) \\ \hline 10 & 10 & 2{,}9 \\ 25 & 150 & 146{,}4 \\ 40 & 250 & 271{,}4 \\ 70 & 460 & 466{,}1 \\ 100 & 600 & 587{,}0 \\ 140 & 620 & 633{,}4 \\ 180 & 540 & 548{,}6 \end{array} \]Modellen ligger høyst 21,4 tusen kroner fra det virkelige overskuddet, som går opp til 620 tusen kroner, og den stiger, flater ut og synker som tabellen. \( O(x) \) er derfor en god modell.

1. Lag en modell for kostnadene 2:14 \( O(x) \) er en andregradsfunksjon, og inntekten \( 28x \) er lineær, så kostnadene må også være en andregradsfunksjon. Vi skriver tabellen inn i regnearket, lager en liste med punkt og bruker andregradsregresjon. Regresjonen finner den andregradsfunksjonen som ligger nærmest punktene:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = RegPoly(l1, 2)

2. Trekk kostnadene fra inntekten 4:43 Overskuddet er inntekten \( \textcolor{blue}{28x} \) minus kostnadene \( \textcolor{red}{K(x)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = Polynom(28x - K(x))

Avrundet er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{K(x)} &\approx 0{,}041x^2 + 17{,}05x + 102{,}7 \\ O(x) &\approx -0{,}041x^2 + 10{,}95x - 102{,}7 \end{aligned} \]Avrunder vi de to siste tallene i \( O(x) \) til hele tall, får vi modellen fra oppgaven. Den er altså god.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Overskuddet er størst i toppunktet til \( O\text{,} \) der \( {O'(x) = 0}\text{.} \) Antall sofaer er et helt tall, så vi sammenligner de to hele tallene på hver side av toppunktet.

Merk – Modellen i videoen: Videoen regner med regresjonen fra a) i stedet for \( O(x)\text{,} \) og får toppunktet i \( {x \approx 133{,}55}\text{,} \) men også der gir 134 sofaer størst overskudd.

1. Deriver og sett lik null Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ O(x) = -0{,}041x^2 + 11x - 103 \]

Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ O'(x) = -0{,}082x + 11 \]

Vi setter \( {O'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}082x + 11 &= 0 \\ x &= \dfrac{11}{0{,}082} \approx 134{,}15 \end{aligned} \]Grafen er en parabel som vender ned, fordi \( {-0{,}041 < 0}\text{,} \) så dette er et toppunkt.

2. Sjekk hele sofaer 0:46 Fabrikken kan ikke lage \( 134{,}15 \) sofaer, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{134}) &= \textcolor{blue}{634{,}804} \\ O(\textcolor{red}{135}) &= \textcolor{red}{634{,}775} \end{aligned} \]\( \textcolor{blue}{134} \) sofaer gir størst overskudd, omtrent 634 800 kroner.

1. Finn toppunktet i GeoGebra 0:17 Vi skriver inn \( O\text{,} \) finner toppunktet med Ekstremalpunkt og regner ut \( O(134) \) og \( O(135)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = -0.041x^2 + 11x - 103 T = Ekstremalpunkt(O) o_1 = O(134) o_2 = O(135)

Toppunktet er \( {T \approx (134{,}1463,\ 634{,}8049)}\text{,} \) og \( {O(134) = 634{,}804} \) er større enn \( {O(135) = 634{,}775}\text{.} \) 134 sofaer gir størst overskudd.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Kostnadene er de samme, men prisen \( v \) per sofa endres. Prisen er lavest når det største overskuddet akkurat blir 1000 tusen kroner, så vi krever det i toppunktet.

Merk – Modellen i videoen: Videoen regner med kostnadene fra regresjonen i a) med alle desimalene og får omtrent 30 500 kroner, fordi tallene i \( O(x) \) er avrundet.

1. Sett opp overskuddet med ny pris 0:47 Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ O(x) = -0{,}041x^2 + 11x - 103 \]

Kostnadene \( K(x) \) er inntekten minus overskuddet: \[ \begin{aligned} K(x) &= 28x - O(x) \\ K(x) &= 0{,}041x^2 + 17x + 103 \end{aligned} \]

Får fabrikken \( \textcolor{blue}{v} \) tusen kroner per sofa, blir det nye overskuddet \( {O_2(x) = \textcolor{blue}{v}x - K(x)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_2(x) = {} &-0{,}041x^2 \\ &+ (\textcolor{blue}{v} - 17)x - 103 \end{aligned} \]

2. Finn toppunktet 1:30 Toppunktet ligger der den deriverte er null. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ O_2'(x) = -0{,}082x + \textcolor{blue}{v} - 17 = 0 \]Det gir \( {\textcolor{blue}{v} - 17 = 0{,}082x} \) i toppunktet.

3. Krev 1 million i toppunktet 4:08 Vi setter \( {\textcolor{blue}{v} - 17 = 0{,}082x} \) inn i \( O_2(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_2(x) &= -0{,}041x^2 + 0{,}082x^2 - 103 \\ &= 0{,}041x^2 - 103 \end{aligned} \]

1 million kroner er 1000 tusen kroner, så overskuddet i toppunktet skal være 1000: \[ \begin{aligned} 0{,}041x^2 - 103 &= 1000 \\ x^2 &= \dfrac{1103}{0{,}041} \\ x &\approx 164{,}02 \end{aligned} \]Antall sofaer er positivt, så vi bruker bare den positive roten.

4. Finn prisen 6:03 Vi setter \( {x \approx 164{,}02} \) inn i \( {\textcolor{blue}{v} - 17 = 0{,}082x}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{v} \approx 17 + 0{,}082 \cdot 164{,}02 \approx 30{,}4496 \]Prisen må være omtrent \( 30{,}45 \) tusen kroner, altså 30 450 kroner per sofa. Da lager de 164 sofaer.

1. Løs i CAS 1:50 Vi skriver inn det nye overskuddet med prisen \( v \) i CAS, som i videoen. Rad 4 gir toppunktet uttrykt ved \( v\text{,} \) og rad 6 setter overskuddet der lik 1000, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) := -0.041x^2 + 11x - 103 K(x) := 28x - O(x) O_2(x) := v*x - K(x) Løs(O_2'(x) = 0, x) E(v) := 500/41*v - 8500/41 Løs(O_2(E(v)) = 1000, v) {E(3.5504), E(30.4496)}

CAS gir \( {v \approx 3{,}5504} \) eller \( {v \approx 30{,}4496}\text{.} \) Med \( {v \approx 3{,}5504} \) ligger toppunktet i en negativ \( x\text{,} \) så den løsningen forkaster vi. Prisen er omtrent 30 450 kroner per sofa.