Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

polynomer

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

2 oppgaver i S1 om polynomer

Oppgavene

S1 vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

3 poeng

Amalie arbeider med en funksjon f f med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.
Hun husker at f f er kontinuerlig for alle x∈R. x \in \mathbb{R}\text{.} Hun husker også at uttrykket i midten er et tredjegradspolynom. I tillegg husker hun at f′(−2)=−9 {f'(-2) = -9} og f′(1)=0. {f'(1) = 0}\text{.}
Bruk dette til å bestemme hele funksjonsuttrykket til f. f\text{.}
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Hele funksjonsuttrykket er
f(x)=−9x−15 na˚r x<−2‾‾f(x)=p(x) na˚r −2≤x≤1‾‾f(x)=x22−x−72 na˚r x>1‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{f(x) = -9x - 15 \text{ når } x < -2}} \\ &\underline{\underline{f(x) = p(x) \text{ når } -2 \le x \le 1}} \\ &\underline{\underline{f(x) = \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2} \text{ når } x > 1}} \end{aligned}
der uttrykket i midten er
p(x)=−1327x3+79x2−19x−11327‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} p(x) = {} & -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 \\ & - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27} \end{aligned}}}
Uttrykket i midten er et tredjegradspolynom med fire ukjente koeffisienter. Kontinuiteten i de to skjøtene og de to deriverte vi kjenner, gir fire likninger.
Metode: For hånd
1. Skriv opp kravene Vi kaller uttrykket i midten \[ p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \]Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]
\( f \) er kontinuerlig der den skifter uttrykk når uttrykkene på hver side går mot samme verdi, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I \( {x = -2} \) og \( {x = 1} \) gjelder \( p(x)\text{,} \) så \( p \) må ha de verdiene de ytre uttrykkene går mot: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -2^-} f(x) &= -9 \cdot (-2) - 15 = \textcolor{blue}{3} \\ \lim_{x \to 1^+} f(x) &= \dfrac{1}{2} - 1 - \dfrac{7}{2} = \textcolor{red}{-4} \end{aligned} \]
De deriverte i de to punktene er gitt, \( {f'(-2) = \textcolor{blue}{-9}} \) og \( {f'(1) = \textcolor{red}{0}}\text{,} \) og der gjelder \( p(x)\text{.} \) Kravene \( {p(-2) = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {p'(-2) = \textcolor{blue}{-9}}\text{,} \) \( {p(1) = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {p'(1) = \textcolor{red}{0}} \) gir fire likninger: \[ \begin{aligned} \text{I: } & -8a + 4b - 2c + d = \textcolor{blue}{3} \\ \text{II: } & 12a - 4b + c = \textcolor{blue}{-9} \\ \text{III: } & a + b + c + d = \textcolor{red}{-4} \\ \text{IV: } & 3a + 2b + c = \textcolor{red}{0} \end{aligned} \]
2. Uttrykk b og c ved a Vi trekker I fra III og II fra IV: \[ \begin{aligned} \text{III} - \text{I: } & 9a - 3b + 3c = -7 \\ \text{IV} - \text{II: } & -9a + 6b = 9 \end{aligned} \]Den siste gir \( {b = \dfrac{3 + 3a}{2}}\text{,} \) og IV gir \( {c = -3a - 2b = -6a - 3}\text{.} \)
3. Finn koeffisientene Vi setter \( b \) og \( c \) inn i \( {9a - 3b + 3c = -7}\text{:} \) \[ 9a - \dfrac{9 + 9a}{2} - 18a - 9 = -7 \]
Vi ganger med \( 2 \) og trekker sammen: \[ \begin{aligned} 18a - 9 - 9a - 36a - 18 &= -14 \\ -27a &= 13 \\ a &= -\dfrac{13}{27} \end{aligned} \]
Det gir resten: \[ \begin{aligned} b &= \dfrac{1}{2}\left(3 - \dfrac{13}{9}\right) = \dfrac{7}{9} \\ c &= -6 \cdot \left(-\dfrac{13}{27}\right) - 3 = -\dfrac{1}{9} \\ d &= -4 - a - b - c = -\dfrac{113}{27} \end{aligned} \]
Uttrykket i midten er altså: \[ p(x) = -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs kravene i CAS Vi skriver de to uttrykkene vi kjenner og polynomet inn i CAS, setter opp de fire kravene i hver sin rad og løser dem med Løs, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: g(x) := -9x - 15 h(x) := x^2/2 - x - 7/2 p(x) := a*x^3 + b*x^2 + c*x + d p(-2) = g(-2) p'(-2) = -9 p(1) = h(1) p'(1) = 0 Løs({$4, $5, $6, $7}, {a, b, c, d})
CAS gir \( {a = -\dfrac{13}{27}}\text{,} \) \( {b = \dfrac{7}{9}}\text{,} \) \( {c = -\dfrac{1}{9}} \) og \( {d = -\dfrac{113}{27}}\text{.} \)

S1 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

La f f være en tredjegradsfunksjon.
Avgjør for hver av påstandene nedenfor om den er sann eller usann. Begrunn svaret.

Oppgave 6a)

Påstand 1: Grafen til f f har minst ett ekstremalpunkt.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
f(x)=x3+x {f(x) = x^3 + x} har f′(x)=3x2+1>0 {f'(x) = 3x^2 + 1 > 0} og ingen ekstremalpunkter:
Pa˚standen er usann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er usann}}}
Oppgave 6A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, video, 05:59
Påstanden gjelder alle tredjegradsfunksjoner. Ekstremalpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{,} \) så vi ser etter en tredjegradsfunksjon der den deriverte aldri er null.
Metode: For hånd
1. Deriver tredjegradsfunksjonen 0:13 En tredjegradsfunksjon kan skrives \( {f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {a \neq 0}\text{.} \) Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]Den deriverte er et andregradsuttrykk.
2. Se når den deriverte er null 3:13 Bokstavene \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) er brukt, så vi kaller koeffisientene i \( f'(x) \) for \( {\textcolor{blue}{p} = 3a}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = 2b} \) og \( {\textcolor{green}{r} = c}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {f'(x) = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Er tallet under rottegnet negativt, finnes det ingen løsning, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Da er \( f'(x) \) aldri null, og grafen har ingen ekstremalpunkter.
3. Finn et moteksempel Vi velger \( {f(x) = x^3 + x}\text{.} \) Da er: \[ f'(x) = 3x^2 + 1 \]Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{0}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{1}}\text{,} \) så tallet under rottegnet er \( {\textcolor{red}{0}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{green}{1} = -12 < 0}\text{.} \)
Siden \( {x^2 \ge 0}\text{,} \) er \( {f'(x) \ge 1} \) for alle \( x\text{.} \) Grafen stiger hele tiden og har ingen ekstremalpunkter. Det er et moteksempel, så påstanden er usann.

Oppgave 6b)

Påstand 2: Alle linjer på formen y=ax+b, {y = ax + b}\text{,} der a,b∈R, a, b \in \mathbb{R}\text{,} vil skjære grafen til f. f\text{.}
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
f(x) f(x) minus linja er en tredjegradsfunksjon, og den har alltid minst ett nullpunkt:
Pa˚standen er sann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}
Oppgave 6B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, video, 06:56
Linja skjærer grafen der \( f(x) \) er lik linja. Samler vi alt på én side, får vi en tredjegradslikning, og en tredjegradsfunksjon har alltid minst ett nullpunkt.
Metode: For hånd
1. Se hvor grafen kommer fra 1:50 Vi skriver \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Når \( x \) blir stor i tallverdi, bestemmer leddet \( \textcolor{blue}{a}x^3 \) hvor grafen går. Er \( {\textcolor{blue}{a} > 0}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f(x) &= -\infty \\ \lim_{x \to \infty} f(x) &= \infty \end{aligned} \]Er \( {\textcolor{blue}{a} < 0}\text{,} \) er det omvendt.
Grafen henger sammen, så på veien fra \( {-\infty} \) til \( \infty \) må den krysse \( x \)-aksen minst én gang. En tredjegradsfunksjon har altså alltid minst ett nullpunkt.
2. Sett funksjonen lik linja 4:16 Bokstavene \( a \) og \( b \) er brukt i \( f\text{,} \) så vi skriver linja \( {y = kx + m}\text{.} \) Den skjærer grafen der \( {f(x) = kx + m}\text{,} \) altså der \( {g(x) = 0} \) med: \[ \begin{aligned} g(x) &= f(x) - kx - m \\ &= \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 \\ &\quad + (c - k)x + (d - m) \end{aligned} \]
\( g \) er en tredjegradsfunksjon, fordi \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Den har minst ett nullpunkt, så linja skjærer grafen minst én gang, uansett hva \( k \) og \( m \) er. Påstanden er derfor sann.

Oppgave 6c)

Påstand 3: Dersom grafen til f f har et vendepunkt for x=3, {x = 3}\text{,} er f′(1)=f′(5). {f'(1) = f'(5)}\text{.}
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Vendepunktet gir f′′(3)=0, {f''(3) = 0}\text{,} og da er f′(1)=f′(5): {f'(1) = f'(5)}\text{:}
Pa˚standen er sann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}
Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, video, 07:50
Et vendepunkt ligger der \( {f''(x) = 0}\text{.} \) Vi deriverer \( f \) to ganger, bruker at \( {f''(3) = 0}\text{,} \) og regner ut \( f'(1) \) og \( f'(5)\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Deriver to ganger 0:30 Med \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + \textcolor{red}{b}x^2 + cx + d} \) og potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 3\textcolor{blue}{a}x^2 + 2\textcolor{red}{b}x + c \\ f''(x) &= 6\textcolor{blue}{a}x + 2\textcolor{red}{b} \end{aligned} \]
2. Bruk vendepunktet 1:44 Vendepunktet i \( {x = 3} \) gir \( {f''(3) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 6\textcolor{blue}{a} \cdot 3 + 2\textcolor{red}{b} &= 0 \\ \textcolor{red}{b} &= -9\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]
3. Regn ut de to deriverte 4:40 Vi setter inn \( {x = 1} \) og \( {\textcolor{red}{b} = -9\textcolor{blue}{a}} \) i \( f'(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} + 2\textcolor{red}{b} + c \\ f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} - 18\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]
Og så \( {x = 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} + 10\textcolor{red}{b} + c \\ f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} - 90\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]
Begge er \( {c - 15\textcolor{blue}{a}}\text{,} \) så \( {f'(1) = f'(5)}\text{,} \) og påstanden er sann. Det passer med at grafen til \( f' \) er en parabel med toppunkt eller bunnpunkt i \( {x = 3}\text{,} \) og 1 og 5 ligger like langt fra 3.