Eksamensoppgaver etter tema

Hver oppgave blir riktig med sannsynlighet \( \dfrac{1}{3} \) og feil med \( \dfrac{2}{3}\text{,} \) uavhengig av de andre. Vi regner ut én rekkefølge med ett riktig svar, og ganger med antall rekkefølger.

1. Regn ut én rekkefølge Ole velger ett av tre alternativer, og ett av dem er riktig: \[ P(\text{riktig}) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \qquad P(\text{feil}) = \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \]

Valgene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene for hver oppgave, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B) \]

Riktig på den første oppgaven og feil på de to andre gir: \[ P(\text{RFF}) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{4}{27} \]

2. Tell rekkefølgene Det ene riktige svaret kan være på oppgave 1, 2 eller 3, altså RFF, FRF eller FFR. Alle tre har sannsynligheten \( \dfrac{4}{27}\text{,} \) så vi legger sammen: \[ 3 \cdot \dfrac{4}{27} = \dfrac{12}{27} = \dfrac{4}{9} \]Det er binomisk sannsynlighet med \( {n = 3} \) forsøk og \( {p = \dfrac{1}{3}}\text{.} \)

Vi finner hvor mange elever som har valgt minst ett av fagene. Resten har valgt verken tysk eller S1.

1. Tell elevene med minst ett fag Legger vi sammen de \( \textcolor{blue}{8} \) som har tysk og de \( \textcolor{red}{10} \) som har S1, teller vi de \( \textcolor{darkorange}{3} \) som har begge fagene, to ganger. Vi trekker dem derfor fra én gang: \[ \textcolor{blue}{8} + \textcolor{red}{10} - \textcolor{darkorange}{3} = 15 \]Altså har 15 elever valgt tysk, S1 eller begge.

2. Regn ut sannsynligheten Da har \( {20 - 15 = 5} \) elever valgt verken tysk eller S1. Hver elev har samme sannsynlighet for å bli valgt, så: \[ P = \dfrac{\text{antall gunstige}}{\text{antall mulige}} \]

Her er 5 elever gunstige og 20 mulige: \[ P(\text{verken tysk eller S1}) = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4} \]

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hvor mange treff det kan bli. Programmet skriver ut antall treff delt på antall skudd.

1. Les løkka Linje 7 setter \( {\textcolor{blue}{\texttt{skuddserie}} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) så løkka i linje 10 til 13 går tre ganger, én gang for hvert skudd, som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang trekker \( \texttt{choice} \) et tilfeldig element fra lista i linje 4. Er det \( \texttt{"treff"}\text{,} \) øker linje 13 \( \textcolor{red}{\texttt{antall\_treff}} \) med 1.

Linje 8 starter tellingen på 0, så etter løkka er \( \textcolor{red}{\texttt{antall\_treff}} \) lik \( \textcolor{red}{0}\text{,} \) \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) \( \textcolor{red}{2} \) eller \( \textcolor{red}{3}\text{.} \)

2. Regn ut utskriftene Linje 15 står utenfor løkka og skriver ut ett tall: \( \textcolor{red}{\text{antall treff}} \) delt på \( {\textcolor{blue}{\texttt{skuddserie}} = \textcolor{blue}{3}}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{0}}{\textcolor{blue}{3}} = 0 \qquad \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{3}} \qquad \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3}} \qquad \dfrac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{3}} = 1 \]Programmet skriver dem som desimaltall, så tre treff gir \( 1{,}0\text{,} \) som i b).

Programmet skriver ut \( 1{,}0 \) når alle tre skuddene er treff. Hvert skudd er treff med samme sannsynlighet, uavhengig av de andre, så vi ganger.

1. Finn sannsynligheten for ett treff Lista i linje 4 har 5 elementer, og 2 av dem er \( \texttt{"treff"}\text{.} \) \( \texttt{choice} \) velger hvert element med samme sannsynlighet, så sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P(\text{treff}) = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \]

2. Gang sammen for tre skudd Lista endrer seg ikke, så skuddene er uavhengige. Vi ganger sannsynlighetene for hvert skudd, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(\text{tre treff}) = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{8}{125} \]Antallet treff er altså binomisk fordelt med \( {n = 3} \) skudd og \( {p = \dfrac{2}{5}}\text{.} \)

«Minst ett mål» er det motsatte av «ingen mål». Vi finner sannsynligheten for at Einar bommer på alle straffesparkene, og prøver oss fram med antallet.

1. Bruk den motsatte hendelsen Einar bommer med sannsynligheten \( {1 - 0{,}3 = \textcolor{red}{0{,}7}}\text{.} \) Enten scorer han minst ett mål, eller så bommer han på alle, så vi teller det motsatte og trekker fra, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} &P(\text{minst ett mål}) \\ &= 1 - P(\text{ingen mål}) \end{aligned} \]

Straffesparkene er uavhengige, så med \( n \) straffespark ganger vi \( \textcolor{red}{0{,}7} \) med seg selv \( n \) ganger: \[ P(\text{minst ett mål}) = 1 - \textcolor{red}{0{,}7}^n \]

2. Prøv deg fram Med ett straffespark er sannsynligheten \( {1 - \textcolor{red}{0{,}7} = 0{,}3}\text{,} \) som er for lite. Med to får vi: \[ \begin{aligned} 1 - \textcolor{red}{0{,}7}^2 &= 1 - 0{,}49 \\ &= 0{,}51 \end{aligned} \]Det er mer enn \( 0{,}5\text{,} \) altså over \( 50\,\%\text{.} \)

Skuddene er uavhengige av hverandre, så vi ganger sannsynlighetene for de to skuddene. Det tredje skuddet spiller ingen rolle her.

1. Gang sannsynlighetene Arne treffer med sannsynlighet \( \textcolor{blue}{0{,}8} \) på hvert skudd. Skuddene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B) \]

Treff på det første og treff på det andre skuddet gir: \[ P(\text{treff, treff}) = \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{blue}{0{,}8} = 0{,}64 \]Det tredje skuddet kan bli treff eller bom, så det kommer ikke inn.

Bommen kan komme på det første, det andre eller det tredje skuddet. Vi regner ut én rekkefølge, og ganger med antall rekkefølger.

1. Regn ut én rekkefølge Arne treffer med sannsynlighet \( \textcolor{blue}{0{,}8} \) og bommer med \( {1 - 0{,}8 = \textcolor{red}{0{,}2}}\text{.} \) Skuddene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Treff, treff og så bom gir: \[ P(\text{TTB}) = \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} = 0{,}128 \]

2. Tell rekkefølgene Bommen kan komme på skudd 1, 2 eller 3, altså BTT, TBT eller TTB. Alle tre har sannsynligheten \( 0{,}128\text{,} \) så vi legger sammen: \[ 3 \cdot 0{,}128 = 0{,}384 \]Det er binomisk sannsynlighet med \( {n = 3} \) skudd og \( {p = 0{,}8}\text{.} \)

«Høyst ett» betyr null eller ett treff. Vi regner ut begge sannsynlighetene og legger dem sammen.

1. Regn ut null treff Null treff betyr bom på alle tre skuddene. Arne bommer med sannsynlighet \( \textcolor{red}{0{,}2}\text{,} \) og skuddene er uavhengige, så vi ganger, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(\text{BBB}) = \textcolor{red}{0{,}2} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} = \underline{0{,}008} \]

2. Regn ut ett treff Treffet kan komme på skudd 1, 2 eller 3, altså TBB, BTB eller BBT. Hver rekkefølge har sannsynligheten: \[ \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} = 0{,}032 \]Tre rekkefølger gir \( {3 \cdot 0{,}032 = \underline{0{,}096}}\text{.} \)

3. Legg sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ 0{,}008 + 0{,}096 = 0{,}104 \]

Hver person stemte enten Fremskrittspartiet eller ikke, og det er så mange velgere at sannsynligheten er \( 0{,}113 \) for hver person vi plukker. Antallet som stemte Fremskrittspartiet, er derfor binomisk fordelt.

1. Kjenn igjen binomisk fordeling La \( X \) være antallet av de 10 som stemte Fremskrittspartiet. Vi sjekker de fire kravene, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: hver person stemte Fremskrittspartiet eller ikke, vi plukker et fast antall, \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{10}}\text{,} \) sannsynligheten er \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}113}} \) for hver av dem, og de påvirker ikke hverandre. Det er så mange velgere at sannsynligheten nesten ikke endrer seg når vi plukker 10.

Sannsynligheten for nøyaktig \( k \) er da: \[ P(X = k) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{k} \cdot \textcolor{red}{p}^k \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - k} \]

2. Regn ut det motsatte «Minst 4» er det motsatte av høyst 3: \[ P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \]

Med \( {1 - \textcolor{red}{0{,}113} = 0{,}887} \) og nCr på kalkulatoren er: \[ \begin{aligned} P(X = 0) &= 0{,}887^{10} \approx 0{,}3015 \\ P(X = 1) &= 10 \cdot 0{,}113 \cdot 0{,}887^9 \\ &\approx 0{,}3841 \\ P(X = 2) &= 45 \cdot 0{,}113^2 \cdot 0{,}887^8 \\ &\approx 0{,}2202 \\ P(X = 3) &= 120 \cdot 0{,}113^3 \cdot 0{,}887^7 \\ &\approx 0{,}0748 \end{aligned} \]

Legger vi dem sammen med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ P(X \ge 4) \approx 1 - 0{,}9805 = 0{,}0195 \]

1. Regn ut i CAS FordelingBinomial med \( {n = 10}\text{,} \) \( {p = 0{,}113}\text{,} \) verdien 3 og true til slutt gir \( {P(X \le 3)}\text{.} \) Vi regner ut \( {1 - P(X \le 3)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(10, 0.113, 3, true)

CAS gir \( {P(X \ge 4) \approx 0{,}0195}\text{.} \) Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra gir det samme, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

I valgkretsen er det bare 243 velgere, og vi plukker 10 forskjellige av dem. Sannsynligheten endrer seg litt for hver person vi plukker, så antallet som stemte Arbeiderpartiet, er hypergeometrisk fordelt.

1. Begrunn valget av metode Vi regner med antall stemmer, ikke prosenten i bildet. Av de \( \textcolor{blue}{243} \) som stemte, stemte \( \textcolor{red}{100} \) Arbeiderpartiet og \( {243 - 100 = \textcolor{green}{143}} \) noe annet. Den første vi plukker, stemte Arbeiderpartiet med sannsynligheten \( \dfrac{100}{243}\text{.} \) Stemte den første Arbeiderpartiet, er sannsynligheten for den neste bare \( \dfrac{99}{242}\text{.} \)

I a) var sannsynligheten den samme for hver person, og da var fordelingen binomisk, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Her trekker vi uten tilbakelegging fra få velgere, så sannsynligheten endrer seg. Antallet \( X \) av de 10 som stemte Arbeiderpartiet, er derfor hypergeometrisk fordelt: \[ P(X = k) = \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{k} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{10 - k}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \]Telleren er antall måter å velge \( k \) av de \( \textcolor{red}{100} \) og \( {10 - k} \) av de \( \textcolor{green}{143} \) andre på. Nevneren er antall måter å velge 10 av alle \( \textcolor{blue}{243} \) på.

2. Regn ut det motsatte «Minst 4» er det motsatte av høyst 3: \[ P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \]

Med nCr på kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} P(X = 0) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{0} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{10}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}0044 \\ P(X = 1) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{1} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{9}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}0325 \\ P(X = 2) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{2} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{8}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}1073 \\ P(X = 3) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{3} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{7}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}2061 \end{aligned} \]

Legger vi dem sammen med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ P(X \ge 4) \approx 1 - 0{,}3502 = 0{,}6498 \]

1. Regn ut i CAS FordelingHypergeometrisk med populasjonen 243, antall treff 100, utvalget 10, verdien 3 og true til slutt gir \( {P(X \le 3)}\text{.} \) Vi regner ut \( {1 - P(X \le 3)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(243, 100, 10, 3, true)

CAS gir \( {P(X \ge 4) \approx 0{,}6498}\text{.} \)

Hver dag vinner Hassan eller ikke, med samme sannsynlighet og uavhengig av de andre dagene. Antall reiser han vinner, er derfor binomisk fordelt. Vi finner hvor mange dager som skal til før sannsynligheten for minst én reise blir \( 20\,\%\text{.} \)

1. Begrunn modellen La \( X \) være antall reiser Hassan vinner på \( \textcolor{blue}{n} \) dager. Vi sjekker de fire kravene til en binomisk fordeling, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver pakke har gavekort eller ikke, vi har et fast antall forsøk, \( \textcolor{blue}{n} \) pakker, sannsynligheten er den samme hver dag, \( {\textcolor{red}{p} = \dfrac{1}{1000} = \textcolor{red}{0{,}001}}\text{,} \) og pakkene påvirker ikke hverandre, fordi det selges svært mange pakker. \( X \) er altså binomisk fordelt.

2. Sett opp sannsynligheten for minst én Minst én reise er det motsatte av ingen reiser, og ingen reiser betyr at alle \( \textcolor{blue}{n} \) pakkene er uten gavekort: \[ \begin{aligned} P(X \ge 1) &= 1 - P(X = 0) \\ &= 1 - (1 - \textcolor{red}{0{,}001})^{\textcolor{blue}{n}} \\ &= 1 - 0{,}999^{\textcolor{blue}{n}} \end{aligned} \]

Den skal være \( 0{,}2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 - 0{,}999^{n} &= 0{,}2 \\ 0{,}999^{n} &= 0{,}8 \end{aligned} \]

3. Løs med ln Vi tar \( \ln \) på begge sider. Regneregelen \( {\ln\left(a^n\right) = n \cdot \ln a} \) flytter eksponenten ned foran, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ \begin{aligned} \ln\left(0{,}999^{n}\right) &= \ln 0{,}8 \\ n \cdot \ln 0{,}999 &= \ln 0{,}8 \\ n &= \dfrac{\ln 0{,}8}{\ln 0{,}999} \approx 223{,}03 \end{aligned} \]

Antall dager er et helt tall, og sannsynligheten øker for hver dag. Etter 223 dager er den \( {1 - 0{,}999^{223} \approx 19{,}997\,\%}\text{,} \) som er litt under \( 20\,\%\text{.} \) Etter 224 dager er den \( {1 - 0{,}999^{224} \approx 20{,}08\,\%}\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Vi løser \( {1 - 0{,}999^n = 0{,}2} \) i CAS, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(1 - 0.999^n = 0.2, n)

CAS gir \( {n \approx 223{,}03}\text{.} \) Sannsynligheten øker for hver dag, så etter 223 dager er den fortsatt litt under \( 20\,\%\text{.} \) Det tar altså 224 dager.

Overskuddet per pakke er prisen minus det pakken koster å lage, og minus det reisene koster i gjennomsnitt per pakke. Vi finner overskuddet for de vanlige pakkene og krever det samme for Gullknekk.

1. Finn overskuddet for de vanlige pakkene Overskuddet er inntekten minus kostnadene, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Én av 1000 pakker gir en reise til 5000 kroner, så reisene koster i gjennomsnitt: \[ \dfrac{5000}{1000} = \textcolor{blue}{5} \text{ kroner per pakke} \]

Overskuddet per vanlig pakke blir: \[ 40 - 10 - \textcolor{blue}{5} = 25 \text{ kroner} \]

2. Krev det samme for Gullknekk Én av 100 pakker Gullknekk gir en reise, så reisene koster i gjennomsnitt: \[ \dfrac{5000}{100} = \textcolor{red}{50} \text{ kroner per pakke} \]

Med prisen \( x \) kroner skal overskuddet også være 25 kroner per pakke: \[ \begin{aligned} x - 10 - \textcolor{red}{50} &= 25 \\ x &= 85 \end{aligned} \]

Vi lager et program som kjøper knekkebrød i 52 uker mange ganger, og teller hvor ofte Hassan vinner minst én reise. Andelen er omtrent sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive de 52 ukene som en funksjon, og på å forklare hva løkkene gjør.

1. Skriv programmet Her er programmet, med utskriften fra én kjøring:

2. Forklar de 52 ukene Funksjonen \( \texttt{vinner\_reise()} \) i linje 3 til 13 går gjennom 52 uker. Hver uke kjøper Hassan 5 vanlige pakker og 2 Gullknekk. \( \texttt{randint(1, 1001)} \) i linje 6 gir et tilfeldig heltall fra 1 til 1000, fordi den øvre grensen ikke er med, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Tallet er 1 med sannsynlighet \( \dfrac{1}{1000}\text{,} \) som gavekortet i en vanlig pakke. På samme måte gir \( \texttt{randint(1, 101)} \) gavekort med sannsynlighet \( \dfrac{1}{100} \) i linje 10. Funksjonen returnerer \( \texttt{True} \) så snart Hassan vinner, og \( \texttt{False} \) hvis han ikke vinner noe på 52 uker.

3. Tell forsøkene Løkka i linje 18 til 20 går gjennom de 52 ukene \( \textcolor{red}{100\,000} \) ganger og teller i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_vinner}} \) hvor mange ganger Hassan vinner minst én reise, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 22 regner ut andelen i prosent: \[ P \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{forsøk med reise}}}{\textcolor{red}{\text{alle forsøk}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at Hassan vant minst én reise i omtrent \( 72{,}8\,\% \) av forsøkene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 73\,\%\text{.} \)

Kontroll: På 52 uker kjøper Hassan \( {52 \cdot 5 = 260} \) vanlige pakker og \( {52 \cdot 2 = 104} \) Gullknekk. Sannsynligheten for minst én reise er da nøyaktig \( {1 - 0{,}999^{260} \cdot 0{,}99^{104}}\text{,} \) altså omtrent \( 0{,}7289\text{.} \)

Hver gutt er enten venstrehendt eller ikke, med samme sannsynlighet 0,1, og guttene påvirker ikke hverandre. Antall venstrehendte gutter er derfor binomisk fordelt.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke legge sammen så mange sannsynligheter. Øv heller på å kjenne igjen en binomisk fordeling, og på å regne den ut for små tall med formelen, som i b).

1. Kjenn igjen binomisk fordeling 1:10 La \( X \) være antall venstrehendte gutter. Vi sjekker de fire kravene til en binomisk fordeling: hver gutt er venstrehendt eller høyrehendt, vi har et fast antall forsøk, \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{280}} \) gutter, sannsynligheten er den samme for hver gutt, \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}1}}\text{,} \) og guttene påvirker ikke hverandre.

\( X \) er altså binomisk fordelt, og sannsynligheten for nøyaktig \( k \) venstrehendte er: \[ P(X = k) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{k} \cdot \textcolor{red}{p}^k \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - k} \]

2. Regn ut i GeoGebra 2:51 «Minst 25» er 25 eller flere. Det er det motsatte av høyst 24: \[ P(X \ge 25) = 1 - P(X \le 24) \]

I CAS gir FordelingBinomial med true sannsynligheten for høyst 24. Vi bruker knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(280, 0.1, 24, true)

CAS gir \( {P(X \ge 25) \approx 0{,}7528}\text{.} \) Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra gir det samme, som i videoen.

Antall venstrehendte gutter i klassen er binomisk fordelt med \( {p = 0{,}1}\text{.} \) Vi prøver oss fram med antall gutter \( n \) til \( {P(X \ge 3)} \) blir større enn 0,2.

1. Skriv opp sannsynligheten \( X \) er antall venstrehendte blant \( \textcolor{blue}{n} \) gutter. \( X \) er binomisk fordelt med \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}1}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(X = k) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{k} \cdot \textcolor{red}{0{,}1}^k \cdot 0{,}9^{\textcolor{blue}{n} - k} \]

Det er enklest å regne ut det motsatte, høyst 2 venstrehendte: \[ P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \]Her er \( {P(X \le 2)} \) summen av \( {P(X = 0)}\text{,} \) \( {P(X = 1)} \) og \( {P(X = 2)}\text{.} \)

2. Prøv med 15 og 16 gutter 0:52 Vi prøver oss fram. Med \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{15}} \) og \( {\binom{15}{2} = 105} \) er: \[ \begin{aligned} P(X \le 2) &= 0{,}9^{15} + 15 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{14} \\ &\quad + 105 \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^{13} \\ &\approx 0{,}816 \\ P(X \ge 3) &\approx 1 - 0{,}816 = 0{,}184 \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{16}} \) og \( {\binom{16}{2} = 120} \) er: \[ \begin{aligned} P(X \le 2) &= 0{,}9^{16} + 16 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{15} \\ &\quad + 120 \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^{14} \\ &\approx 0{,}789 \\ P(X \ge 3) &\approx 1 - 0{,}789 = 0{,}211 \end{aligned} \]Med 15 gutter er sannsynligheten under 20 %, og med 16 er den over. Sannsynligheten vokser når \( n \) øker, så det må være minst 16 gutter.

1. Prøv deg fram i CAS 0:14 Vi regner ut \( {P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)} \) for 15 og 16 gutter, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(15, 0.1, 2, true) 1 - FordelingBinomial(16, 0.1, 2, true)

CAS gir omtrent 0,1841 med 15 gutter og 0,2108 med 16. Det må altså være minst 16 gutter.

Guttene og jentene har ulik sannsynlighet for å være venstrehendte, så vi ser på dem hver for seg. Vi deler opp etter hvor mange av de tre venstrehendte som er gutter, og legger sammen.

Merk – Metoden i videoen: I videoen bruker vi én sannsynlighet for hele klassen og runder den av fra 0,0887 til 0,09, og det er mest den avrundingen som gjør at vi får 0,2319 og ikke 0,2309.

1. Skriv opp de to fordelingene 0:08 La \( \textcolor{blue}{G} \) være antall venstrehendte blant de 13 guttene og \( \textcolor{red}{J} \) antall venstrehendte blant de 17 jentene. Hver for seg er de binomisk fordelt, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{G} = g) &= \binom{13}{g} \cdot 0{,}1^g \cdot 0{,}9^{13 - g} \\ P(\textcolor{red}{J} = j) &= \binom{17}{j} \cdot 0{,}08^j \cdot 0{,}92^{17 - j} \end{aligned} \]

2. Del opp etter antall gutter Tre venstrehendte i klassen kan være 0, 1, 2 eller 3 gutter, og resten jenter. Guttene og jentene påvirker ikke hverandre, så vi ganger og legger sammen: \[ \begin{aligned} P = {} & P(\textcolor{blue}{G} = 0) \cdot P(\textcolor{red}{J} = 3) \\ &+ P(\textcolor{blue}{G} = 1) \cdot P(\textcolor{red}{J} = 2) \\ &+ P(\textcolor{blue}{G} = 2) \cdot P(\textcolor{red}{J} = 1) \\ &+ P(\textcolor{blue}{G} = 3) \cdot P(\textcolor{red}{J} = 0) \end{aligned} \]

3. Regn ut og legg sammen Hvert ledd regner vi ut med formlene fra steg 1 og kalkulatoren. For eksempel er \( {\binom{17}{3} = 680}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{red}{J} = 3) &= 680 \cdot 0{,}08^3 \cdot 0{,}92^{14} \\ &\approx 0{,}1083 \end{aligned} \]

Ganger vi \( {\textcolor{blue}{P(G = g)}} \) med \( {\textcolor{red}{P(J = 3 - g)}} \) for hver \( g\text{,} \) får vi, avrundet til fire desimaler: \[ \begin{aligned} g = 0\text{:} \quad & \textcolor{blue}{0{,}2542} \cdot \textcolor{red}{0{,}1083} \approx 0{,}0275 \\ g = 1\text{:} \quad & \textcolor{blue}{0{,}3672} \cdot \textcolor{red}{0{,}2492} \approx 0{,}0915 \\ g = 2\text{:} \quad & \textcolor{blue}{0{,}2448} \cdot \textcolor{red}{0{,}3582} \approx 0{,}0877 \\ g = 3\text{:} \quad & \textcolor{blue}{0{,}0997} \cdot \textcolor{red}{0{,}2423} \approx 0{,}0242 \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ \begin{aligned} P &\approx 0{,}0275 + 0{,}0915 \\ &\quad + 0{,}0877 + 0{,}0242 \\ &\approx 0{,}2309 \end{aligned} \]

1. Regn ut summen i CAS Vi lager en liste med \( {P(G = 0)} \) til \( {P(G = 3)}\text{,} \) og en med \( {P(J = 3)} \) ned til \( {P(J = 0)}\text{.} \) Summen av produktene er sannsynligheten. Vi bruker knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: G := Følge(FordelingBinomial(13, 0.1, g, false), g, 0, 3) J := Følge(FordelingBinomial(17, 0.08, 3 - g, false), g, 0, 3) Sum(G*J)

CAS gir sannsynligheten omtrent 0,2309.