Eksamensoppgaver etter tema

Hvert år blir beløpet ganget med vekstfaktoren 1,03. Vi setter opp en likning for beløpet etter 8 år og løser den for beløpet Per setter inn.

1. Sett opp likningen 1:51 Med 3 % rente har Per 100 % + 3 % av beløpet etter ett år. Vekstfaktoren er derfor: \[ V = 1 + \dfrac{3}{100} = \textcolor{blue}{1{,}03} \]

Hvert år ganges beløpet med vekstfaktoren, så etter \( x \) år er det ganget med \( \textcolor{blue}{1{,}03}^x\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Per setter inn \( \textcolor{red}{b} \) kroner og skal ha \( 30\,000 \) kroner etter 8 år: \[ \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{blue}{1{,}03}^8 = 30\,000 \]

2. Løs for beløpet Vi deler begge sider på \( \textcolor{blue}{1{,}03}^8\text{:} \) \[ \textcolor{red}{b} = \dfrac{30\,000}{\textcolor{blue}{1{,}03}^8} \approx 23\,682{,}28 \]

1. Løs likningen i CAS 0:30 Vi løser likningen \( {b \cdot 1{,}03^8 = 30\,000} \) i CAS, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(b*1.03^8 = 30000, b)

CAS gir \( {b \approx 23\,682{,}277}\text{,} \) altså omtrent 23 682,28 kroner.

Vi skriver opp beløpene til Per og Kåre etter \( x \) år. Er påstanden riktig, har Per doblet beløpet sitt etter \( 2x \) år når Kåre har doblet sitt etter \( x \) år.

1. Skriv opp beløpene 0:09 Begge setter inn beløpet \( b\text{.} \) Med vekstfaktorene \( \textcolor{blue}{1{,}03} \) og \( \textcolor{red}{1{,}06} \) har de etter \( x \) år: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{Per: }} & b \cdot \textcolor{blue}{1{,}03}^x \\ \textcolor{red}{\text{Kåre: }} & b \cdot \textcolor{red}{1{,}06}^x \end{aligned} \]

2. Sett opp påstanden som en likning 0:43 La Kåre ha doblet beløpet sitt etter \( x \) år. Ifølge påstanden har Per da doblet sitt etter \( 2x \) år, og de har begge \( 2b\text{.} \) Det gir likningen: \[ b \cdot \textcolor{blue}{1{,}03}^{2x} = b \cdot \textcolor{red}{1{,}06}^x \]

3. Sammenlign vekstfaktorene 1:56 Vi deler på \( b\text{.} \) En potens opphøyd i en ny potens gir produktet av eksponentene, \( {(p^m)^n = p^{m \cdot n}}\text{,} \) som i videoen Flere regneregler med Potenser. Da er \( {\textcolor{blue}{1{,}03}^{2x} = (\textcolor{blue}{1{,}03}^2)^x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{1{,}03}^2)^x &= \textcolor{red}{1{,}06}^x \\ 1{,}0609^x &= \textcolor{red}{1{,}06}^x \end{aligned} \]Siden \( {1{,}0609 > 1{,}06}\text{,} \) er venstresiden større enn høyresiden for alle \( {x > 0}\text{.} \) Likningen stemmer aldri: når det har gått dobbelt så lang tid, har Per mer enn doblet beløpet sitt. Påstanden er derfor ikke riktig.

Alternativ metode: Regn ut doblingstidene Beløpet er doblet når vekstfaktoren opphøyd i antall år er 2. Med \( \lg \) på begge sider får vi doblingstidene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1{,}03}^x = 2 \;&\Rightarrow\; x = \dfrac{\lg 2}{\lg 1{,}03} \approx 23{,}4 \\ \textcolor{red}{1{,}06}^x = 2 \;&\Rightarrow\; x = \dfrac{\lg 2}{\lg 1{,}06} \approx 11{,}9 \end{aligned} \]Dobbelt så lang tid som Kåre ville vært \( {2 \cdot 11{,}9 = 23{,}8} \) år, ikke 23,4. Metoden viser også hvor stor forskjellen er.

Til sammen satte de inn \( 2b\text{,} \) så dobbelt så mye er \( 4b\text{.} \) Vi setter opp en likning for når summen av beløpene er \( 4b\text{,} \) og løser den i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen kan ikke løses med logaritmer, fordi grunntallene er ulike. Uten PC kan vi prøve oss fram med kalkulatoren: etter 15 år er summen \( 3{,}95b \) og etter 16 år \( 4{,}15b\text{,} \) så svaret ligger mellom 15 og 16 år.

1. Sett opp likningen 0:16 Etter \( x \) år har Per \( {b \cdot \textcolor{blue}{1{,}03}^x} \) og Kåre \( {b \cdot \textcolor{red}{1{,}06}^x}\text{.} \) De satte inn \( 2b \) til sammen, og dobbelt så mye er \( 4b\text{:} \) \[ b \cdot \textcolor{blue}{1{,}03}^x + b \cdot \textcolor{red}{1{,}06}^x = 4b \]

Faktoriserer vi ut \( b \) og deler på \( b\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{blue}{1{,}03}^x + \textcolor{red}{1{,}06}^x = 4 \]

2. Løs likningen i CAS 2:33 Vi løser likningen numerisk med NLøs og startverdien \( {x = 15}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(1.03^x + 1.06^x = 4, x = 15)

CAS gir \( {x \approx 15{,}2434}\text{.} \) Det går omtrent 15,2 år, altså i løpet av det 16. året, før de til sammen har dobbelt så mye som de satte inn.

«Minst to like» dekker alle tilfellene unntatt ett: at alle fem terningene viser forskjellig. Vi finner sannsynligheten for det og trekker den fra 1.

1. Bruk den motsatte hendelsen 0:20 Enten viser alle fem terningene forskjellig antall øyne, eller så viser minst to av dem det samme. Sannsynlighetene for de to tilfellene blir til sammen 1: \[ \begin{aligned} &P(\text{minst to like}) \\ &= 1 - \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} \end{aligned} \]

2. Finn sannsynligheten for alle ulike 1:39 Vi tar terningene én om gangen, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Hver ny terning må vise et antall øyne som ikke er brukt: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} &= \dfrac{6}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \\ \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} &= \dfrac{720}{7776} = \textcolor{blue}{\dfrac{5}{54}} \end{aligned} \]

3. Trekk fra 1 4:13 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\text{minst to like}) &= 1 - \textcolor{blue}{\dfrac{5}{54}} \\ &= \dfrac{49}{54} \approx 0{,}907 \end{aligned} \]

Sannsynligheten er omtrent andelen av mange forsøk der summen blir over 20. Vi lar programmet kaste fem terninger svært mange ganger og telle, som i videoen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir: en funksjon, en løkke og en teller.

1. Simuler fem terninger 4:02 Her er programmet, med utskriften fra én kjøring:

Funksjonen \( \texttt{kast} \) i linje 3 til 12 kaster fem terninger og returnerer summen. \( \texttt{np.random.randint(1, 7)} \) gir et tilfeldig heltall fra 1 til 6, fordi tallet 7 ikke er med.

2. Tell forsøkene med sum over 20 8:18 Løkka i linje 17 til 21 kaster fem terninger \( \textcolor{red}{10\,000\,000} \) ganger, antall forsøk fra linje 14. Hver gang summen er over 20, øker telleren \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_over\_20}} \) med 1.

3. Regn ut sannsynligheten 14:13 Linje 23 deler antallet over 20 på antall forsøk: \[ P(X > 20) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{antall over } 20}}{\textcolor{red}{\text{antall forsøk}}} \]Linje 23 ganger også med 100, så programmet skriver ut sannsynligheten i prosent.

Programmet gir omtrent 22,1 %. Svaret varierer litt fra kjøring til kjøring, og jo flere forsøk, jo mindre varierer det.

Kontroll: Teller vi alle \( {6^5 = 7776} \) like sannsynlige kast i stedet for å trekke tilfeldige, har 1722 av dem sum over 20, så sannsynligheten er \( {\dfrac{287}{1296} \approx 0{,}2215}\text{.} \)

Vi bygger videre på programmet fra b).

\( {P(X \ge k)} \) blir mindre når \( k \) øker. Vi lar et program regne ut sannsynligheten for \( {k = 1, 2, 3} \) og så videre, og stoppe når den ikke lenger er større enn 0,8.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir, særlig while-løkker som stopper når et krav ikke lenger holder.

1. Lag en funksjon for sannsynligheten 4:38 Her er programmet:

Vi flytter tellingen fra b) inn i funksjonen \( \texttt{sannsynlighet(k)} \) i linje 18 til 28. Den kaster fem terninger \( \textcolor{red}{10\,000} \) ganger, teller kastene med sum minst \( k \) i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_over\_k}} \) og returnerer andelen: \[ P(X \ge k) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{antall med sum} \ge k}}{\textcolor{red}{10\,000}} \]

2. La en løkke øke k 6:30 While-løkka i linje 30 til 33 starter med \( {k = 1} \) og øker \( k \) med 1 så lenge sannsynligheten er større enn 0,8. For hver \( k \) skriver den ut \( k \) og sannsynligheten. Kjører vi programmet, skriver det ut:

Den siste \( k \) som skrives ut, er 14. For \( {k = 15} \) er sannsynligheten ikke lenger over 0,8, så løkka stopper.

Kontroll: Teller vi alle 7776 kast, er \( {P(X \ge 14) = \dfrac{1099}{1296} \approx 0{,}848} \) og \( {P(X \ge 15) = \dfrac{1009}{1296} \approx 0{,}779}\text{.} \)

Med bunnsider på 5 dm blir volumet større jo høyere kassen er. Høyden begrenses av at platene til sammen kan være høyst \( 120\,\text{dm}^2\text{.} \)

1. Skriv opp volum og areal 1:15 Vi kaller sidene i bunnen \( \textcolor{blue}{s} \) og høyden \( \textcolor{red}{h}\text{.} \) Volumet er grunnflaten ganget med høyden. Platene er bunnen og de fire sideflatene, men ikke lokket: \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h} \\ A &= \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h} \end{aligned} \]

2. Finn den største høyden 4:30 Med \( {\textcolor{blue}{s} = \textcolor{blue}{5}} \) kan arealet være høyst 120: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{5}^2 + 4 \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{h} &\le 120 \\ 20\textcolor{red}{h} &\le 95 \\ \textcolor{red}{h} &\le 4{,}75 \end{aligned} \]

3. Regn ut volumet 6:30 Volumet er størst når \( \textcolor{red}{h} \) er størst, altså \( {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{4{,}75}\,\text{dm}}\text{.} \) Vi ganger tallene og enhetene hver for seg, og \( {\text{dm} \cdot \text{dm} \cdot \text{dm} = \text{dm}^3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{5}\,\text{dm} \cdot \textcolor{blue}{5}\,\text{dm} \cdot \textcolor{red}{4{,}75}\,\text{dm} \\ V &= 118{,}75\,\text{dm}^3 \end{aligned} \]

Volumet blir størst når hele arealet på \( 120\,\text{dm}^2 \) brukes. Vi uttrykker høyden ved \( s\text{,} \) skriver volumet som en funksjon av \( s \) og finner toppunktet.

1. Uttrykk høyden ved sidene 0:36 Med sidene \( \textcolor{blue}{s} \) i bunnen og høyden \( \textcolor{red}{h} \) er volumet \( {V = \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h}} \) og arealet \( {A = \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h}}\text{.} \) Vi setter arealet lik 120 og løser for \( \textcolor{red}{h}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h} &= 120 \\ \textcolor{red}{h} &= \textcolor{red}{\dfrac{120 - s^2}{4s}} \end{aligned} \]

2. Skriv volumet som en funksjon 1:36 Plugger vi høyden inn i volumet og stryker en \( s\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} V(s) &= s^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{120 - s^2}{4s}} \\ V(s) &= \dfrac{s(120 - s^2)}{4} = 30s - \dfrac{1}{4}s^3 \end{aligned} \]Sidene må være mellom 0 og \( {\sqrt{120} \approx 10{,}95} \) dm, ellers blir høyden negativ.

3. Finn toppunktet 3:20 Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} V'(s) = 30 - \dfrac{3}{4}s^2 &= 0 \\ s^2 &= 40 \\ s &= \sqrt{40} \approx 6{,}32 \end{aligned} \]Vi sjekker fortegnet på hver side av \( {s = \sqrt{40} \approx 6{,}32}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V'(6) &= 30 - \dfrac{3}{4} \cdot 36 = 3 > 0 \\ V'(7) &= 30 - \dfrac{3}{4} \cdot 49 = -6{,}75 < 0 \end{aligned} \]Volumet vokser før og avtar etter, så det er et toppunkt.

4. Regn ut volumet Vi setter \( {s = \sqrt{40}} \) inn i \( V(s)\text{.} \) Siden \( {(\sqrt{40})^3 = 40\sqrt{40}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} V(\sqrt{40}) &= 30\sqrt{40} - \dfrac{1}{4} \cdot 40\sqrt{40} \\ V(\sqrt{40}) &= 20\sqrt{40} \approx 126{,}49 \end{aligned} \]

1. Finn toppunktet i GeoGebra 2:16 Med høyden fra kalkulatorruten er \( {V(s) = s^2 \cdot \dfrac{120 - s^2}{4s}}\text{.} \) Vi tegner funksjonen for \( {0 \le s \le \sqrt{120}} \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: V(s) = Funksjon(s^2*(120 - s^2)/(4s), 0, sqrt(120)) T = Ekstremalpunkt(V, 0, 10)

Toppunktet er \( {T \approx (6{,}3246,\ 126{,}4911)}\text{.} \) Det største volumet er omtrent \( 126{,}49\,\text{dm}^3\text{.} \)

Nå er volumet fast. Vi uttrykker høyden ved \( s\text{,} \) skriver arealet som en funksjon av \( s \) og finner bunnpunktet.

1. Uttrykk høyden ved sidene 0:56 Med sidene \( \textcolor{blue}{s} \) i bunnen og høyden \( \textcolor{red}{h} \) er volumet \( {V = \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h}} \) og arealet \( {A = \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h}}\text{.} \) Volumet skal være 80: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h} &= 80 \\ \textcolor{red}{h} &= \textcolor{red}{\dfrac{80}{s^2}} \end{aligned} \]

2. Skriv arealet som en funksjon 1:39 Plugger vi høyden inn i arealet, får vi: \[ \begin{aligned} A(s) &= s^2 + 4s \cdot \textcolor{red}{\dfrac{80}{s^2}} \\ A(s) &= s^2 + \dfrac{320}{s} \end{aligned} \]for \( {s > 0}\text{.} \)

3. Finn bunnpunktet 3:48 Vi skriver \( {\dfrac{320}{s} = 320s^{-1}}\text{,} \) så potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) gir: \[ \begin{aligned} A'(s) = 2s - \dfrac{320}{s^2} &= 0 \\ 2s^3 &= 320 \\ s^3 &= 160 \\ s &= \sqrt[3]{160} \approx 5{,}43 \end{aligned} \]Vi sjekker fortegnet på hver side av \( {s = \sqrt[3]{160} \approx 5{,}43}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A'(5) &= 10 - \dfrac{320}{25} = -2{,}8 < 0 \\ A'(6) &= 12 - \dfrac{320}{36} \approx 3{,}11 > 0 \end{aligned} \]Arealet avtar før og vokser etter, så det er et bunnpunkt.

4. Regn ut arealet Vi setter \( {s = \sqrt[3]{160}} \) inn i \( A(s) \) med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} A\left(\sqrt[3]{160}\right) &= \left(\sqrt[3]{160}\right)^2 + \dfrac{320}{\sqrt[3]{160}} \\ A\left(\sqrt[3]{160}\right) &\approx 88{,}42 \end{aligned} \]

1. Finn bunnpunktet i GeoGebra 2:40 Med høyden fra kalkulatorruten er \( {A(s) = s^2 + \dfrac{320}{s}}\text{.} \) Vi tegner funksjonen for \( {0 \le s \le 20} \) og finner bunnpunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: A(s) = Funksjon(s^2 + 320/s, 0, 20) B = Ekstremalpunkt(A, 0, 20)

Bunnpunktet er \( {B \approx (5{,}4288,\ 88{,}4168)}\text{.} \) Det minste arealet er omtrent \( 88{,}42\,\text{dm}^2\text{.} \)

Påstanden gjelder alle tredjegradsfunksjoner. Ekstremalpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{,} \) så vi ser etter en tredjegradsfunksjon der den deriverte aldri er null.

1. Deriver tredjegradsfunksjonen 0:13 En tredjegradsfunksjon kan skrives \( {f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {a \neq 0}\text{.} \) Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]Den deriverte er et andregradsuttrykk.

2. Se når den deriverte er null 3:13 Bokstavene \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) er brukt, så vi kaller koeffisientene i \( f'(x) \) for \( {\textcolor{blue}{p} = 3a}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = 2b} \) og \( {\textcolor{green}{r} = c}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {f'(x) = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Er tallet under rottegnet negativt, finnes det ingen løsning, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Da er \( f'(x) \) aldri null, og grafen har ingen ekstremalpunkter.

3. Finn et moteksempel Vi velger \( {f(x) = x^3 + x}\text{.} \) Da er: \[ f'(x) = 3x^2 + 1 \]Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{0}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{1}}\text{,} \) så tallet under rottegnet er \( {\textcolor{red}{0}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{green}{1} = -12 < 0}\text{.} \)

Siden \( {x^2 \ge 0}\text{,} \) er \( {f'(x) \ge 1} \) for alle \( x\text{.} \) Grafen stiger hele tiden og har ingen ekstremalpunkter. Det er et moteksempel, så påstanden er usann.

Linja skjærer grafen der \( f(x) \) er lik linja. Samler vi alt på én side, får vi en tredjegradslikning, og en tredjegradsfunksjon har alltid minst ett nullpunkt.

1. Se hvor grafen kommer fra 1:50 Vi skriver \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Når \( x \) blir stor i tallverdi, bestemmer leddet \( \textcolor{blue}{a}x^3 \) hvor grafen går. Er \( {\textcolor{blue}{a} > 0}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f(x) &= -\infty \\ \lim_{x \to \infty} f(x) &= \infty \end{aligned} \]Er \( {\textcolor{blue}{a} < 0}\text{,} \) er det omvendt.

Grafen henger sammen, så på veien fra \( {-\infty} \) til \( \infty \) må den krysse \( x \)-aksen minst én gang. En tredjegradsfunksjon har altså alltid minst ett nullpunkt.

2. Sett funksjonen lik linja 4:16 Bokstavene \( a \) og \( b \) er brukt i \( f\text{,} \) så vi skriver linja \( {y = kx + m}\text{.} \) Den skjærer grafen der \( {f(x) = kx + m}\text{,} \) altså der \( {g(x) = 0} \) med: \[ \begin{aligned} g(x) &= f(x) - kx - m \\ &= \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 \\ &\quad + (c - k)x + (d - m) \end{aligned} \]

\( g \) er en tredjegradsfunksjon, fordi \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Den har minst ett nullpunkt, så linja skjærer grafen minst én gang, uansett hva \( k \) og \( m \) er. Påstanden er derfor sann.

Et vendepunkt ligger der \( {f''(x) = 0}\text{.} \) Vi deriverer \( f \) to ganger, bruker at \( {f''(3) = 0}\text{,} \) og regner ut \( f'(1) \) og \( f'(5)\text{.} \)

1. Deriver to ganger 0:30 Med \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + \textcolor{red}{b}x^2 + cx + d} \) og potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 3\textcolor{blue}{a}x^2 + 2\textcolor{red}{b}x + c \\ f''(x) &= 6\textcolor{blue}{a}x + 2\textcolor{red}{b} \end{aligned} \]

2. Bruk vendepunktet 1:44 Vendepunktet i \( {x = 3} \) gir \( {f''(3) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 6\textcolor{blue}{a} \cdot 3 + 2\textcolor{red}{b} &= 0 \\ \textcolor{red}{b} &= -9\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]

3. Regn ut de to deriverte 4:40 Vi setter inn \( {x = 1} \) og \( {\textcolor{red}{b} = -9\textcolor{blue}{a}} \) i \( f'(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} + 2\textcolor{red}{b} + c \\ f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} - 18\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]

Og så \( {x = 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} + 10\textcolor{red}{b} + c \\ f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} - 90\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]

Begge er \( {c - 15\textcolor{blue}{a}}\text{,} \) så \( {f'(1) = f'(5)}\text{,} \) og påstanden er sann. Det passer med at grafen til \( f' \) er en parabel med toppunkt eller bunnpunkt i \( {x = 3}\text{,} \) og 1 og 5 ligger like langt fra 3.