Eksamensoppgaver etter tema

Volumet er størst når både høyden og grunnflaten er så store som mulig. Toppen legger vi øverst på halvkulen, og hjørnene i grunnflaten på randen av snittflaten.

1. Finn den største høyden Det høyeste punktet på halvkulen er toppen, rett over sentrum. Legger vi toppen av pyramiden der, er høyden størst: \[ h = r \]

2. Uttrykk grunnflaten ved én side Et rektangel i snittflaten kan gjøres større til hjørnene ligger på randen. Da går diagonalene gjennom sentrum, så hver diagonal er en diameter, \( 2r\text{.} \) Med sidene \( x \) og \( y \) gir Pytagoras: \[ \begin{aligned} x^2 + y^2 &= (2r)^2 \\ y &= \sqrt{4r^2 - x^2} \end{aligned} \]

Vi setter \( y \) inn i grunnflaten, som når kravet brukes til å få én variabel i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ G(x) = \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - x^2}} \]

3. Deriver med produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Roten deriverer vi med kjerneregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\sqrt{\textcolor{green}{k}}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{green}{k}}} \cdot \textcolor{green}{k'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Med kjernen \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{4r^2 - x^2}} \) og \( {\textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{-2x}} \) blir den deriverte av roten \( {\dfrac{\textcolor{green}{-2x}}{2\sqrt{4r^2 - x^2}} = \dfrac{-x}{\sqrt{4r^2 - x^2}}}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - x^2}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{-x}{\sqrt{4r^2 - x^2}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og setter på felles brøkstrek, får vi: \[ \begin{aligned} G'(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - x^2}} \\ &\quad + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{-x}{\sqrt{4r^2 - x^2}}} \\ &= \dfrac{4r^2 - 2x^2}{\sqrt{4r^2 - x^2}} \end{aligned} \]

4. Finn det største volumet \( {G'(x) = 0} \) når telleren er 0. Siden \( {x > 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 4r^2 - 2x^2 &= 0 \\ x &= \sqrt{2}\,r \end{aligned} \]Telleren er positiv når \( {x < \sqrt{2}\,r} \) og negativ når \( {x > \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så det er et toppunkt. Da er \( {y = \sqrt{4r^2 - 2r^2} = \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så grunnflaten er et kvadrat med \( {G = \sqrt{2}\,r \cdot \sqrt{2}\,r = 2r^2}\text{.} \)

Med \( {h = r} \) gir formelen fra oppgaven: \[ V = \dfrac{h \cdot G}{3} = \dfrac{r \cdot 2r^2}{3} = \dfrac{2r^3}{3} \]

1. Finn toppunktet i CAS Vi skriver inn grunnflaten \( G(x) \) fra ruten for hånd, løser \( {G'(x) = 0}\text{,} \) og regner ut grunnflaten og volumet med \( {h = r}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: G(x) := x*sqrt(4r^2 - x^2) Løs(G'(x) = 0, x) G(sqrt(2)*r) r*G(sqrt(2)*r)/3

Siden \( {x > 0}\text{,} \) er \( {x = \sqrt{2}\,r}\text{.} \) CAS skriver \( |r|\text{,} \) fordi den ikke vet at radien er positiv. Med \( {|r| = r} \) er \( {G = 2r^2} \) og \( {V = \dfrac{2r^3}{3}}\text{.} \)

Vi ser at uttrykket er to brøker ganget sammen, og hver av dem er opphøyd i en potens. Vi forenkler dem hver for seg og ganger dem sammen til slutt.

1. Regn ut den første faktoren 0:16 Å opphøye brøken i andre er å gange den med seg selv. Vi ganger teller med teller og nevner med nevner, som i videoen Oppgave 3: Forenkle uttrykket (brøk + negative potenser).

Potenser med samme grunntall ganger vi ved å legge sammen eksponentene: \[ p^m \cdot p^n = p^{m + n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{3a^2}{2b^3}\right)^2 &= \dfrac{3a^2 \cdot 3a^2}{2b^3 \cdot 2b^3} \\ &= \dfrac{9a^{2 + 2}}{4b^{3 + 3}} = \textcolor{blue}{\dfrac{9a^4}{4b^6}} \end{aligned} \]

2. Snu den andre faktoren 2:04 En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ p^{-n} = \dfrac{1}{p^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Inni parentesen er altså \( {b^{-5} = \dfrac{1}{b^5}}\text{,} \) så \( b^5 \) havner i nevneren: \[ \dfrac{a^2b^{-5}}{4} = \dfrac{a^2}{4b^5} \]

En brøk opphøyd i \( {-1} \) er én delt på brøken, altså den samme brøken snudd opp ned: \[ \left(\dfrac{a^2}{4b^5}\right)^{-1} = \textcolor{red}{\dfrac{4b^5}{a^2}} \]

3. Gang sammen og forkort 5:51 Vi ganger brøkene sammen. Med regelen fra steg 1 er \( {a^4 = a^2 \cdot a^2} \) og \( {b^6 = b^5 \cdot b}\text{,} \) så \( \textcolor{darkorange}{4}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{a^2} \) og \( \textcolor{darkorange}{b^5} \) står både oppe og nede. Vi stryker dem: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\dfrac{9a^4}{4b^6}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{4b^5}{a^2}} &= \dfrac{9 \cdot \textcolor{darkorange}{4} \cdot a^2 \cdot \textcolor{darkorange}{a^2} \cdot \textcolor{darkorange}{b^5}}{\textcolor{darkorange}{4} \cdot \textcolor{darkorange}{b^5} \cdot b \cdot \textcolor{darkorange}{a^2}} \\ &= \dfrac{9a^2}{b} \end{aligned} \]

Vi tar for oss uttrykkene hver for seg og finner verdien, eller to tall den ligger mellom. Så sorterer vi dem.

1. Regn ut det første uttrykket 0:33 \( \ln \) er logaritmen med grunntall \( e\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer. Derfor opphever \( \ln \) og \( e \) hverandre: \[ \ln\left(e^x\right) = x \qquad e^{\ln x} = x \]

\( \textcolor{blue}{2\ln e^3}\text{:} \) Med regelen er \( {\ln\left(e^3\right) = 3}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{\underline{2\ln e^3 = 2 \cdot 3 = 6}} \]

2. Avgrens det andre uttrykket 1:15 \( \lg x \) er tallet vi må opphøye 10 i for å få \( x\text{:} \) \[ 10^{\lg x} = x \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

\( \textcolor{red}{3\lg 70}\text{:} \) Vi kan ikke regne ut \( \lg 70 \) uten kalkulator, så vi bruker litt logikk. \( \lg \) er voksende, og \( {10 < 70 < 100}\text{,} \) så: \[ 1 = \lg 10 < \lg 70 < \lg 100 = 2 \]

Ganger vi med 3, får vi: \[ \textcolor{red}{\underline{3 < 3\lg 70 < 6}} \]

3. Regn ut det tredje uttrykket 4:22 Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(x^n\right) = n \cdot \ln x \quad \text{for } x > 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

\( \textcolor{green}{e^{3\ln 2}}\text{:} \) Baklengs gir regelen \( {3\ln 2 = \ln\left(2^3\right) = \ln 8}\text{,} \) og siden \( e \) og \( \ln \) opphever hverandre, er \( {e^{\ln 8} = 8}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\underline{e^{3\ln 2} = e^{\ln 8} = 8}} \]

4. Sorter verdiene 5:50 Slår vi dette sammen, får vi: \[ \textcolor{red}{3\lg 70} < 6 = \textcolor{blue}{2\ln e^3} < 8 = \textcolor{green}{e^{3\ln 2}} \]

Begge delene er polynomer, så grafen kan bare få et brudd i \( {x = 1}\text{,} \) der forskriften skifter. Der må de to delene gi samme verdi.

1. Skriv opp kravet 0:08 \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 1} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) \]For en delt forskrift betyr det at den øverste og den nederste delen gir samme verdi når vi setter inn \( {x = 1}\text{,} \) som i videoen For hvilke verdier av a blir f en kontinuerlig funksjon.

2. Finn verdien til den nederste delen 1:40 For \( {x \ge 1} \) gjelder \( {x - 1}\text{,} \) så: \[ f(1) = 1 - 1 = \textcolor{blue}{0} \]

3. Sett den øverste delen lik null 2:14 Den øverste delen må også gi \( \textcolor{blue}{0} \) når vi setter inn \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1^2 + 3 \cdot 1 - a^2 &= \textcolor{blue}{0} \\ 4 - a^2 &= 0 \\ a^2 &= 4 \end{aligned} \]

Både \( {2^2 = 4} \) og \( {(-2)^2 = 4}\text{,} \) så likningen har to løsninger.

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør. Brøken i løkka kjenner vi igjen fra definisjonen av den deriverte.

1. Les programmet linje for linje 0:23 Linje 1 og 2 definerer \( K(x)\text{.} \) Løkka i linje 8 og 9 starter med \( {\textcolor{blue}{a} = 1} \) og øker \( \textcolor{blue}{a} \) med 1 så lenge \( \textcolor{red}{\text{brøken}} \) i linje 8 er mindre enn \( {\texttt{grense} = 200}\text{.} \) Når den blir 200 eller mer, stopper løkka, og linje 11 skriver ut \( \textcolor{blue}{a}\text{.} \)

2. Kjenn igjen den deriverte 1:35 Brøken i linje 8 er stigningstallet mellom to punkter på grafen som ligger svært nær hverandre, fordi \( {h = 0{,}00001}\text{.} \) Den deriverte er den samme brøken når \( h \) går mot 0: \[ K'(\textcolor{blue}{a}) = \lim_{h \to 0} \textcolor{red}{\dfrac{K(\textcolor{blue}{a} + h) - K(\textcolor{blue}{a})}{h}} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

\( \textcolor{red}{\text{Brøken}} \) i linje 8 er derfor nesten lik \( K'(\textcolor{blue}{a})\text{.} \) Programmet leter etter den første \( \textcolor{blue}{a} \) der \( {K'(\textcolor{blue}{a}) \ge 200}\text{.} \)

3. Deriver og løs ulikheten 2:35 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd. Konstanten \( 9000 \) har derivert 0: \[ \begin{aligned} K'(x) &= 0{,}1 \cdot 2x + 100 \\ K'(x) &= 0{,}2x + 100 \end{aligned} \]

Løkka stopper når \( {K'(a) \ge 200}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}2\textcolor{blue}{a} + 100 &\ge 200 \\ 0{,}2\textcolor{blue}{a} &\ge 100 \\ \textcolor{blue}{a} &\ge \dfrac{100}{0{,}2} = 500 \end{aligned} \]Den første hele \( \textcolor{blue}{a} \) som oppfyller dette, er 500, så programmet skriver ut 500.

Kontroll: Regner vi ut brøken, blir den nøyaktig \( {0{,}2a + 100 + 0{,}1h}\text{.} \) Den er \( 199{,}800001 \) for \( {a = 499} \) og \( 200{,}000001 \) for \( {a = 500}\text{,} \) så løkka stopper akkurat på 500.

4. Tolk svaret 5:37 \( {K'(500) = 200} \) betyr at når bedriften produserer 500 enheter per dag, vokser kostnadene med omtrent 200 kroner per ekstra enhet. Å lage den 501. enheten koster altså omtrent 200 kroner ekstra.