Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

integrasjon

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

32 oppgaver i R2 om integrasjon · viser 1–10

Oppgavene

R2 vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

4 poeng

Bestem integralene

Oppgave 1a)

∫02(e2x+x)dx \int_0^2 \left(e^{2x} + x\right) dx
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
∫02(e2x+x)dx=e4+32‾‾ \underline{\underline{\int_0^2 \left(e^{2x} + x\right) dx = \dfrac{e^4 + 3}{2}}}
Vi ser at integralet består av to ledd. Vi finner derfor en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene til slutt.
1. Finn en antiderivert ledd for ledd Når eksponenten er \( kx\text{,} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int e^{\textcolor{green}{k}x}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}e^{\textcolor{green}{k}x} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
\( \textcolor{blue}{e^{2x}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) så integrert blir den \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}}}\text{.} \)
\( \textcolor{red}{x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^2}}\text{,} \) fordi \( {\left(\dfrac{1}{2}x^2\right)' = x}\text{.} \)
2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]
Plugger vi inn antiderivertene og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_0^2 \left(e^{2x} + x\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^2}\right]_0^2 \\ &= \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{4}} + \textcolor{red}{2}\right) - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} + \textcolor{red}{0}\right) \\ &= \dfrac{e^4 + 3}{2} \end{aligned} \]Da vi satte inn \( {x = 0}\text{,} \) brukte vi at \( {e^0 = 1}\text{.} \)

Oppgave 1b)

∫sin⁡(ln⁡x)x dx \int \dfrac{\sin(\ln x)}{x}\, dx
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
∫sin⁡(ln⁡x)x dx=−cos⁡(ln⁡x)+C‾‾ \underline{\underline{\int \dfrac{\sin(\ln x)}{x}\,dx = -\cos(\ln x) + C}}
Vi ser at \( \dfrac{1}{x} \) er den deriverte av \( \ln x\text{,} \) som står inni sinus. Vi bruker derfor variabelskifte med \( {u = \ln x}\text{.} \)
1. Bytt variabel Vi setter det som står inni sinus, lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) og deriverer: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x} \qquad \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} = \dfrac{1}{x} \]Løser vi for \( dx\text{,} \) får vi \( {dx = x\,d\textcolor{green}{u}}\text{.} \) Hvis du er usikker på variabelskifte, kan du se videoen Substitusjon.
2. Integrer med den nye variabelen Plugger vi dette inn i integralet, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\sin(\textcolor{green}{\ln x})}{x}\,dx &= \int \dfrac{\sin \textcolor{green}{u}}{x} \cdot x\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \int \sin \textcolor{green}{u}\,d\textcolor{green}{u} \\ &= -\cos \textcolor{green}{u} + C \end{aligned} \]\( x \) forkortes bort, og \( {-\cos u} \) er en antiderivert til \( \sin u\text{,} \) fordi \( {(\cos u)' = -\sin u}\text{.} \)
3. Bytt tilbake til den gamle variabelen Til slutt setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x}} \) tilbake: \[ \int \dfrac{\sin(\ln x)}{x}\,dx = -\cos(\textcolor{green}{\ln x}) + C \]
Kontroll: Deriverer vi svaret med kjerneregelen, får vi \( {\sin(\ln x) \cdot \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som er det vi integrerte.

R2 vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

4 poeng

Du får vite dette om en funksjon f f • Funksjonen er definert for x>0 {x > 0} • f′(x)=2x2 {f'(x) = \dfrac{2}{x^2}} • Grafen til f f går gjennom punktet (2,2) (2, 2)

Oppgave 2a)

Bestem f(x). f(x)\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
f(x)=−2x+3‾‾ \underline{\underline{f(x) = -\dfrac{2}{x} + 3}}
Vi kjenner den deriverte, så vi integrerer for å finne \( f\text{.} \) Konstanten finner vi med punktet grafen går gjennom.
1. Integrer den deriverte Vi skriver \( \dfrac{2}{x^2} \) som \( {2x^{\textcolor{green}{-2}}} \) og bruker potensregelen for integraler, som gjelder for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på å skrive om brøken til en potens, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Her er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{-2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(x) &= \int 2x^{\textcolor{green}{-2}}\,dx \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{-2} + 1}x^{\textcolor{green}{-2} + 1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{-1}x^{-1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{C} \end{aligned} \]
2. Finn konstanten med punktet Grafen går gjennom \( (2, 2)\text{,} \) så \( {f(2) = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{2}{2} + \textcolor{darkorange}{C} &= 2 \\ \textcolor{darkorange}{C} &= \textcolor{darkorange}{3} \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ f(x) = -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{3} \]
To andre funksjoner, g g og h, h\text{,} er gitt ved g(x)=x {g(x) = x} og h(x)=−3x+4 {h(x) = -\dfrac{3}{x} + 4} for x>0. {x > 0}\text{.}

Oppgave 2b)

Finn arealet av området som er avgrenset av grafene til g g og h. h\text{.}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
A=4−3ln⁡3‾‾ \underline{\underline{A = 4 - 3\ln 3}}
Vi finner først hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste grafen minus den nederste, mellom skjæringspunktene.
1. Finn skjæringspunktene Vi setter \( {g(x) = h(x)}\text{:} \) \[ x = -\dfrac{3}{x} + 4 \]
Vi ganger begge sider med \( x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{,} \) og samler alt på én side: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3}}\text{.} \) Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-4}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{4 \pm 2}{2} \end{aligned} \]Grafene skjærer hverandre i \( {\underline{x = 1}} \) og \( {\underline{x = 3}}\text{.} \)
2. Finn grafen som ligger øverst Vi setter inn \( {x = 2}\text{,} \) som ligger mellom skjæringspunktene: \[ g(2) = 2 \qquad h(2) = -\dfrac{3}{2} + 4 = \dfrac{5}{2} \]Grafen til \( h \) ligger altså over grafen til \( g \) mellom \( {x = 1} \) og \( {x = 3}\text{.} \)
3. Regn ut arealet Arealet er integralet av den øverste minus den nederste: \[ \begin{aligned} A &= \int_1^3 \left(h(x) - g(x)\right) dx \\ &= \int_1^3 \left(-\dfrac{3}{x} + 4 - x\right) dx \end{aligned} \]
En antiderivert er \( {F(x) = -3\ln x + 4x - \dfrac{1}{2}x^2}\text{,} \) fordi \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}} \) for \( {x > 0}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} F(3) &= -3\ln 3 + 12 - \dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 \\ F(1) &= -3\ln 1 + 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {\ln 1 = 0}\text{.} \)
Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= F(3) - F(1) \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 - \dfrac{7}{2} \\ &= 4 - 3\ln 3 \end{aligned} \]

R2 vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

2 poeng

I koordinatsystemet ovenfor ser du grafen til funksjonen f f gitt ved
f(x)=2x−1 f(x) = 2x - 1
Et omdreiningslegeme framkommer ved at grafen til f f fra x=1 {x = 1} til x=3, {x = 3}\text{,} dreies 360∘ 360^\circ rundt førsteaksen.
Regn ut volumet til omdreiningslegemet.
Vis løsning på oppgave 5

Svar

V=62π3‾‾ \underline{\underline{V = \dfrac{62\pi}{3}}}
Grafen dreies rundt førsteaksen, så vi bruker volumformelen for omdreiningslegemer med grensene \( 1 \) og \( 3\text{.} \)
1. Skriv opp volumformelen Volumet av et omdreiningslegeme rundt førsteaksen er: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} \left(f(x)\right)^2 dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}} \) og \( {f(x) = 2x - 1}\text{:} \) \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{1}}^{\textcolor{red}{3}} (2x - 1)^2\,dx \]
2. Regn ut integralet Vi ganger ut med andre kvadratsetning, \( {(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1}\text{,} \) og integrerer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} V &= \pi \int_1^3 \left(4x^2 - 4x + 1\right) dx \\ &= \pi \left[\dfrac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x\right]_1^3 \end{aligned} \]
Vi setter inn grensene i parentesen: \[ \begin{aligned} x = 3\text{:} \quad & \dfrac{4}{3} \cdot 27 - 2 \cdot 9 + 3 = 21 \\ x = 1\text{:} \quad & \dfrac{4}{3} - 2 + 1 = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ V = \pi \left(21 - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{62\pi}{3} \]

R2 vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Selskapet IntCom er en internettleverandør. Selskapet sørger for overføring av data mellom kundene og internett. Datatrafikken varierer gjennom døgnet. Tabellen nedenfor viser datatrafikken (gigabit per time) et døgn i mai.
TidspunktDatatrafikk(klokkeslett)(gigabit per time)00:0058 28002:0039 40006:0022 55008:0032 20012:0067 45016:0086 11020:00102 00722:0087 810 \begin{array}{r|r} \text{Tidspunkt} & \text{Datatrafikk} \\ \text{(klokkeslett)} & \text{(gigabit per time)} \\ \hline \text{00:00} & 58\,280 \\ \text{02:00} & 39\,400 \\ \text{06:00} & 22\,550 \\ \text{08:00} & 32\,200 \\ \text{12:00} & 67\,450 \\ \text{16:00} & 86\,110 \\ \text{20:00} & 102\,007 \\ \text{22:00} & 87\,810 \end{array}

Oppgave 1a)

Lag en god modell for datatrafikken S(t) S(t) gigabit per time, t t timer etter midnatt dette døgnet.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Avrundet til tre gjeldende sifre:
S(t)≈ 37 200sin⁡(0,243t−2,96)+63 200‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} S(t) \approx\ &37\,200\sin(0{,}243t - 2{,}96) \\ &+ 63\,200 \end{aligned}}}
Datatrafikken går opp og ned gjennom døgnet, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) til d) med modellen \( D \) fra oppgaven, med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi regner klokkeslettene om til timer etter midnatt, så klokken 22:00 blir \( {t = 22}\text{.} \) Vi skriver tiden i kolonne A og datatrafikken i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
2. Kjør sinusregresjon Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) \( \textcolor{green}{c}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i \[ S(t) = \textcolor{red}{A} \cdot \sin(\textcolor{green}{c}t + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: S(x) = RegSin(l1)
3. Skriv opp modellen GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{A} \approx \textcolor{red}{37\,213{,}66}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} \approx \textcolor{green}{0{,}2426}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} \approx \textcolor{darkorange}{-2{,}9556}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{63\,196{,}61}}\text{.} \)
Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \approx 25{,}9} \) timer, nær et døgn, og grafen går nær alle punktene. Modellen passer derfor godt med at trafikken følger døgnet.
Videre i oppgaven skal du bruke modellen
D(t)=63 000+37 000⋅sin⁡(0,24t−3,0) D(t) = 63\,000 + 37\,000 \cdot \sin(0{,}24t - 3{,}0)
for datatrafikken D(t), D(t)\text{,} t t timer etter midnatt dette døgnet.

Oppgave 1b)

Når var datatrafikken ut fra selskapet mer enn 90 000 90\,000 gigabit per time ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til to desimaler og til hele minutter:
15,91<t<22,18‾‾Fra kl. 15:54 til 22:11‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{15{,}91 < t < 22{,}18}} \\ &\underline{\underline{\text{Fra kl. 15:54 til 22:11}}} \end{aligned}
Vi skal finne når \( {D(t) > 90\,000}\text{.} \) Med kalkulator får vi sinus alene og finner vinklene der sinus er større enn tallet på høyre side.
Metode: Med kalkulator
1. Få sinus alene Vi trekker fra \( 63\,000 \) på begge sider av \( {D(t) > 90\,000} \) og deler med \( 37\,000\text{:} \) \[ \begin{aligned} 37\,000\sin(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) &> 27\,000 \\ \sin(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) &> \dfrac{27}{37} \end{aligned} \]
2. Finn vinklene på enhetssirkelen Vi kaller det som står inni sinus, \( \textcolor{green}{u}\text{.} \) Med kalkulatoren i radianer finner vi først én vinkel der sinus er \( \dfrac{27}{37}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_1} = \sin^{-1}\left(\dfrac{27}{37}\right) \approx 0{,}8179 \]Hvis du er usikker på å finne vinkelen med kalkulatoren, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
Sinus har samme verdi i \( {\pi - u_1}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_2} = \pi - \textcolor{green}{u_1} \approx 2{,}3237 \]Mellom \( u_1 \) og \( u_2 \) er sinus større enn \( \dfrac{27}{37}\text{,} \) fordi sinus har toppen sin i \( \dfrac{\pi}{2}\text{,} \) mellom dem.
3. Regn om til klokkeslett Løser vi \( {0{,}24t - 3{,}0 = u} \) for \( t\text{,} \) får vi \( {t = \dfrac{u + 3{,}0}{0{,}24}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} t_1 &= \dfrac{0{,}8179 + 3{,}0}{0{,}24} \approx 15{,}908 \\ t_2 &= \dfrac{2{,}3237 + 3{,}0}{0{,}24} \approx 22{,}182 \end{aligned} \]For \( t \) fra \( 0 \) til \( 24 \) går \( u \) fra \( {-3{,}0} \) til \( 2{,}76\text{,} \) så dette er det eneste tidsrommet i døgnet.
\( 0{,}908 \) timer er \( {0{,}908 \cdot 60 \approx 54} \) minutter, og \( 0{,}182 \) timer er omtrent \( 11 \) minutter. Datatrafikken var over \( 90\,000 \) gigabit per time fra omtrent klokken 15:54 til 22:11.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktene med linja Vi skriver inn modellen og linja \( {y = 90\,000}\text{,} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter på grafen og linja, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: D(x) = 63000 + 37000*sin(0.24x - 3) g: y = 90000
Skjæringspunktene er \( {A \approx (15{,}908,\ 90\,000)} \) og \( {B \approx (22{,}1819,\ 90\,000)}\text{.} \) Grafen ligger over linja mellom dem, så datatrafikken var over \( 90\,000 \) gigabit per time fra omtrent klokken 15:54 til 22:11.

Oppgave 1c)

Når økte datatrafikken raskest, og hvor stor var denne økningen ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Målt i gigabit per time per time:
Raskest kl. 12:30‾‾D′(12,5)=8880‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Raskest kl. 12:30}}} \\ &\underline{\underline{D'(12{,}5) = 8880}} \end{aligned}
Økningen er den deriverte, så vi finner når \( D'(t) \) er størst. Vi deriverer sinusfunksjonen med kjerneregelen.
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\sin \textcolor{green}{u}\right)' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.
Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{0{,}24}}\text{.} \) Konstanten \( 63\,000 \) har derivert \( 0\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} D'(t) &= 37\,000 \cdot \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{0{,}24} \\ &= 8880\cos(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) \end{aligned} \]
2. Finn når den deriverte er størst Cosinus er størst, lik \( 1\text{,} \) når det som står inni, er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}24t - 3{,}0 &= 0 \\ t &= 12{,}5 \end{aligned} \]For \( t \) fra \( 0 \) til \( 24 \) går det som står inni, fra \( {-3{,}0} \) til \( 2{,}76\text{,} \) og der er cosinus lik \( 1 \) bare når det er \( 0\text{.} \) Det er derfor det eneste toppunktet i døgnet.
Ved \( {t = 12{,}5} \) er økningen: \[ D'(12{,}5) = 8880 \cdot \cos 0 = 8880 \]\( {t = 12{,}5} \) er klokken 12:30. Datatrafikken økte raskest klokken 12:30, med \( 8880 \) gigabit per time per time.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet på den deriverte Vi skriver inn modellen, deriverer den og finner toppunktet på grafen til \( D' \) mellom \( 0 \) og \( 24 \) med kommandoen Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:
Skriv inn i GeoGebra: D(x) = 63000 + 37000*sin(0.24x - 3) D'(x) = Derivert(D) E = Ekstremalpunkt(D', 0, 24)
Toppunktet er \( {E = (12{,}5,\ 8880)}\text{.} \) Datatrafikken økte raskest klokken 12:30, med \( 8880 \) gigabit per time per time.

Oppgave 1d)

Hvor stor del av den totale datamengden som IntCom overførte dette døgnet, ble overført i løpet av arbeidsdagen, det vil si mellom klokken 8 og klokken 16, ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1d
Svar
Avrundet til én desimal:
Omtrent 31,5 %‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 31{,}5\,\%}}
Datamengden er integralet av datatrafikken. Vi deler integralet fra 8 til 16 på integralet over hele døgnet.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp andelen Datatrafikken er gigabit per time, så datamengden i et tidsrom er integralet av \( D(t)\text{.} \) Andelen er: \[ \text{Andel} = \dfrac{\int_8^{16} D(t)\,dt}{\int_0^{24} D(t)\,dt} \]
2. Finn en antiderivert For sinus med kjernen \( {\textcolor{green}{k}t + b} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \begin{aligned} & \int \sin(\textcolor{green}{k}t + b)\,dt \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}\cos(\textcolor{green}{k}t + b) + C \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{0{,}24}} \) får vi antideriverten: \[ \begin{aligned} F(t) &= 63\,000t \\ &\quad - \dfrac{37\,000}{\textcolor{green}{0{,}24}}\cos(\textcolor{green}{0{,}24}t - 3{,}0) \end{aligned} \]
3. Regn ut integralene og andelen Med kalkulatoren i radianer får vi: \[ \begin{aligned} F(16) &\approx 905\,099{,}5 \\ F(8) &\approx 431\,336{,}9 \\ F(24) &\approx 1\,655\,077{,}9 \\ F(0) &\approx 152\,623{,}8 \end{aligned} \]Datamengdene i gigabit er da: \[ \begin{aligned} \int_8^{16} D(t)\,dt &= F(16) - F(8) \\ &\approx 473\,763 \\ \int_0^{24} D(t)\,dt &= F(24) - F(0) \\ &\approx 1\,502\,454 \end{aligned} \]
Andelen er da: \[ \text{Andel} \approx \dfrac{473\,763}{1\,502\,454} \approx 0{,}315 \]Omtrent \( 31{,}5\,\% \) av datamengden ble overført i arbeidsdagen.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut integralene i CAS Vi definerer modellen og regner ut de to integralene og forholdet mellom dem med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: D(t) := 63000 + 37000*sin(0.24t - 3) Integral(D(t), t, 8, 16) Integral(D(t), t, 0, 24) Integral(D(t), t, 8, 16) / Integral(D(t), t, 0, 24)
Rad 2 og 3 gir datamengdene omtrent \( 473\,762{,}6 \) og \( 1\,502\,454{,}0 \) gigabit, og rad 4 gir forholdet omtrent \( 0{,}3153\text{.} \) Omtrent \( 31{,}5\,\% \) av datamengden ble overført i arbeidsdagen.

R2 vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

Du får i oppdrag å lage en vase med form som på bildet nedenfor. Vasen skal romme omtrent 1,5 L 1{,}5\,\text{L} vann og ha høyde 20 cm. 20\,\text{cm}\text{.}
Bruk det du kan om omdreiningslegemer og trigonometri, til å lage en funksjon på formen
f(x)=A⋅sin⁡(cx+φ)+d f(x) = A \cdot \sin(cx + \varphi) + d
som ved omdreining gir en vase med denne formen.
Tegn grafen til funksjonen i et koordinatsystem der enhetene langs aksene er centimeter.
Husk å begrunne ditt valg av parameterne A, A\text{,} c, c\text{,} φ \varphi og d, d\text{,} og la funksjonsuttrykket komme tydelig fram i besvarelsen din.
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Et mulig funksjonsuttrykk, med x x og f(x) f(x) i centimeter:
f(x)=sin⁡(3π20x−π2)+4,83‾‾ \underline{\underline{f(x) = \sin\left(\dfrac{3\pi}{20}x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 4{,}83}}
Vi legger vasen ned langs førsteaksen, slik at \( f(x) \) er radien i høyden \( x\text{.} \) Formen på vasen gir \( c \) og \( \varphi\text{,} \) og volumet gir \( d\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Les av formen på vasen Vi lar førsteaksen gå gjennom midten av vasen, med bunnen i \( {x = 0} \) og kanten i \( {x = 20}\text{.} \) Vasen er da omdreiningslegemet vi får når grafen dreies rundt førsteaksen.
Fra bunnen og opp er vasen smal, bred, smal og bred igjen ved kanten. Radien går altså fra et bunnpunkt til et toppunkt, et bunnpunkt og et toppunkt. Det er tre halve perioder på \( 20\,\text{cm}\text{,} \) så perioden er: \[ \begin{aligned} p &= \dfrac{2}{3} \cdot 20 = \dfrac{40}{3} \\ \textcolor{green}{c} &= \dfrac{2\pi}{p} = \textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}} \end{aligned} \]
Bunnen skal være et bunnpunkt. Sinus har bunnpunkt når det som står inni, er \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og i \( {x = 0} \) står det bare \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) inni: \[ \textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{-\dfrac{\pi}{2}} \]
2. Velg amplituden Vi velger \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) så radien går \( 1\,\text{cm} \) ut og inn fra middelradien \( \textcolor{blue}{d}\text{.} \)
3. Finn middelradien fra volumet Vasen skal romme \( {1{,}5\,\text{L} = 1500\,\text{cm}^3}\text{.} \) Volumformelen forteller oss at: \[ V = \pi \int_0^{20} \left(f(x)\right)^2 dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.
Vi kaller det som står inni sinus, \( u\text{,} \) så \( {f(x) = \textcolor{red}{A}\sin u + \textcolor{blue}{d}}\text{,} \) og ganger ut kvadratet: \[ \begin{aligned} & \left(\textcolor{red}{A}\sin u + \textcolor{blue}{d}\right)^2 \\ &= \textcolor{red}{A}^2\sin^2 u + 2\textcolor{red}{A}\textcolor{blue}{d}\sin u + \textcolor{blue}{d}^2 \end{aligned} \]Fra \( {x = 0} \) til \( {x = 20} \) går \( u \) fra \( {-\dfrac{\pi}{2}} \) til \( \dfrac{5\pi}{2}\text{.} \) Med \( {\sin^2 u = \dfrac{1 - \cos 2u}{2}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^{20} \sin u\,dx &= \left[-\dfrac{\cos u}{\textcolor{green}{c}}\right]_0^{20} \\ &= 0 \\ \int_0^{20} \sin^2 u\,dx &= \left[\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2u}{4\textcolor{green}{c}}\right]_0^{20} \\ &= 10 \end{aligned} \]Leddene med \( \cos u \) og \( \sin 2u \) er \( 0 \) i begge endene. Det gir oss: \[ V = \pi\left(10\textcolor{red}{A}^2 + 20\textcolor{blue}{d}^2\right) \]
Med \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}} \) og \( {V = 1500} \) løser vi for \( \textcolor{blue}{d}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi\left(10 + 20\textcolor{blue}{d}^2\right) &= 1500 \\ 10 + 20\textcolor{blue}{d}^2 &= \dfrac{1500}{\pi} \approx 477{,}46 \\ 20\textcolor{blue}{d}^2 &\approx 467{,}46 \\ \textcolor{blue}{d}^2 &\approx 23{,}373 \\ \textcolor{blue}{d} &\approx \textcolor{blue}{4{,}83} \end{aligned} \]Vasen er da \( {2 \cdot (4{,}83 - 1) \approx 7{,}7\,\text{cm}} \) bred på det smaleste og \( {2 \cdot (4{,}83 + 1) \approx 11{,}7\,\text{cm}} \) på det bredeste. Det smaleste er omtrent to tredjedeler av det bredeste, som på bildet.
Kontroll: Med \( {d = 4{,}83} \) blir \( {V = \pi\left(10 + 20 \cdot 4{,}83^2\right)}\text{,} \) som er omtrent \( 1497\,\text{cm}^3 \) eller \( 1{,}5\,\text{L}\text{.} \)
4. Tegn grafen Funksjonen er: \[ f(x) = \textcolor{red}{1} \cdot \sin\left(\textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}}x \textcolor{darkorange}{- \dfrac{\pi}{2}}\right) + \textcolor{blue}{4{,}83} \]Vi tegner den for \( x \) fra \( 0 \) til \( 20\text{,} \) med bunnpunkter i \( {x = 0} \) og \( {x = \dfrac{40}{3} \approx 13{,}3} \) og toppunkter i \( {x = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}7} \) og \( {x = 20}\text{:} \)
Den stiplede kurven er \( {y = -f(x)}\text{,} \) så vi ser hele vasen liggende. Andre valg er også riktige, for eksempel \( {A = 1{,}5}\text{,} \) som gir \( {d \approx 4{,}77}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Finn middelradien og tegn grafen Med \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{-\dfrac{\pi}{2}}} \) fra formen lar vi CAS regne ut volumet som en funksjon av \( \textcolor{blue}{d} \) og løse \( {V(d) = 1500} \) med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: V(d) := π*Integral((sin(3π/20*x - π/2) + d)^2, x, 0, 20) Løs(V(d) = 1500, d)
Middelradien er positiv, så \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{4{,}83}}\text{.} \) Så tegner vi funksjonen fra \( 0 \) til \( 20\text{,} \) med speilbildet stiplet:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) = Funksjon(sin(3π/20 x - π/2) + 4.83, 0, 20) g(x) = -f(x)
Funksjonen gir en vase som er \( 20\,\text{cm} \) høy og rommer omtrent \( 1{,}5\,\text{L}\text{.} \)

R2 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

2 poeng

Bestem integralet
∫4x⋅cos⁡x dx \int 4x \cdot \cos x\,dx
Vis løsning på oppgave 1

Svar

Integralet er
4xsin⁡x+4cos⁡x+C‾‾ \underline{\underline{4x\sin x + 4\cos x + C}}
Vi ser at integranden er et produkt av \( 4x \) og \( \cos x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, og deriverer \( 4x\text{,} \) som blir enklere.
1. Skriv opp regelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.
Vi lar \( \textcolor{red}{u} \) være \( 4x\text{,} \) som blir et tall når vi deriverer, og \( \textcolor{blue}{v'} \) være \( \cos x\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\cos x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin x} \end{aligned} \]
2. Plugg inn og integrer Plugger vi dette inn i regelen, får vi: \[ \begin{aligned} & \int 4x \cdot \cos x\,dx \\ &= \textcolor{red}{4x} \cdot \textcolor{blue}{\sin x} - \int \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{\sin x}\,dx \\ &= 4x\sin x - 4 \cdot (-\cos x) + C \\ &= 4x\sin x + 4\cos x + C \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {-\cos x} \) er en antiderivert til \( \sin x\text{,} \) fordi \( {(\cos x)' = -\sin x}\text{.} \)
Kontroll: Deriverer vi svaret med produktregelen, får vi \( {4\sin x + 4x\cos x - 4\sin x}\text{,} \) som er \( 4x\cos x\text{,} \) det vi integrerte.

R2 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

Funksjonen f f er gitt ved
f(x)=x+4 ,Df=[0,10] f(x) = \sqrt{x + 4}\ , \quad D_f = [0, 10]
Innsiden av en kopp har samme form som vi får når vi dreier grafen til f f 360∘ 360^\circ om førsteaksen i et koordinatsystem der enheten langs aksene er cm.
Hvor mye kakao er det plass til i koppen dersom den fylles helt opp?
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Det er plass til
90π cm3‾‾ \underline{\underline{90\pi\,\text{cm}^3}}
Innsiden av koppen er et omdreiningslegeme rundt førsteaksen. Vi finner derfor volumet med volumformelen, fra \( {x = 0} \) til \( {x = 10}\text{.} \)
1. Skriv opp volumformelen Volumet av et omdreiningslegeme rundt førsteaksen er: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} \left(f(x)\right)^2 dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{10}}\text{.} \) Kvadratet av en kvadratrot er det som står under rottegnet, så \( {\left(\sqrt{x + 4}\right)^2 = x + 4}\text{:} \) \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{10}} (x + 4)\,dx \]
2. Regn ut integralet Vi integrerer ledd for ledd og setter inn grensene: \[ \begin{aligned} V &= \pi \left[\dfrac{1}{2}x^2 + 4x\right]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{10}} \\ &= \pi \left(\dfrac{1}{2} \cdot 100 + 40\right) - \pi \cdot 0 \\ &= 90\pi \end{aligned} \]Enheten langs aksene er cm, så volumet er \( 90\pi\,\text{cm}^3\text{.} \)
Kontroll: Med \( {\pi \approx 3{,}14} \) er \( {90\pi \approx 283\,\text{cm}^3}\text{,} \) omtrent \( 2{,}8\,\text{dL}\text{.} \) Det er en vanlig kopp.

R2 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

5 poeng

Nedenfor ser du grafen til funksjonen f f gitt ved f(x)=x3+x2−2x. {f(x) = x^3 + x^2 - 2x}\text{.}

Oppgave 3a)

Hvilket av uttrykkene nedenfor gir arealet av det markerte området på figuren? Husk å begrunne svaret ditt.
1.∫−21f(x) dx2.∫−21f(x) dx−∫01f(x) dx3.∫−20f(x) dx+∫01f(x) dx4.∫−20f(x) dx−∫01f(x) dx \begin{aligned} &\text{1.} \quad \int_{-2}^{1} f(x)\,dx \\ &\text{2.} \quad \int_{-2}^{1} f(x)\,dx - \int_{0}^{1} f(x)\,dx \\ &\text{3.} \quad \int_{-2}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{1} f(x)\,dx \\ &\text{4.} \quad \int_{-2}^{0} f(x)\,dx - \int_{0}^{1} f(x)\,dx \end{aligned}
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Uttrykk 4, fordi grafen ligger under x x -aksen fra 0 0 til 1: 1\text{:}
∫−20f(x) dx−∫01f(x) dx‾‾ \underline{\underline{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx - \int_{0}^{1} f(x)\,dx}}
Et integral regner arealet under \( x \)-aksen som negativt. Vi ser derfor på figuren hvor grafen ligger over og under \( x \)-aksen.
1. Se hvor grafen ligger Fra figuren ser vi at grafen ligger over \( x \)-aksen fra \( {x = -2} \) til \( {x = 0}\text{,} \) og under \( x \)-aksen fra \( {x = 0} \) til \( {x = 1}\text{.} \) Vi kaller arealet over \( x \)-aksen \( \textcolor{blue}{A_1} \) og arealet under \( \textcolor{red}{A_2}\text{.} \)
Der grafen ligger over \( x \)-aksen, er integralet lik arealet, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Der den ligger under, er integralet negativt, så arealet er minus integralet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A_1} &= \int_{-2}^0 f(x)\,dx \\ \textcolor{red}{A_2} &= -\int_0^1 f(x)\,dx \end{aligned} \]
2. Sett sammen arealet Arealet av det markerte området er derfor: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{blue}{A_1} + \textcolor{red}{A_2} \\ &= \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} - \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} \end{aligned} \]Det er uttrykk 4.
Uttrykk 1 og 3 er like, og trekker arealet under \( x \)-aksen fra i stedet for å legge det til. Uttrykk 2 blir \( {\int_{-2}^{0} f(x)\,dx}\text{,} \) bare den delen som ligger over.

Oppgave 3b)

Regn ut arealet av det markerte området på figuren.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
A=3712‾‾ \underline{\underline{A = \dfrac{37}{12}}}
Vi bruker uttrykket for arealet fra a).
Vi finner en antiderivert til \( f \) og regner ut de to integralene i uttrykket fra a) hver for seg.
1. Finn en antiderivert Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen for integraler: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Her er \( \textcolor{green}{n} \) lik \( 3\text{,} \) \( 2 \) og \( 1 \) i de tre leddene. Det gir oss: \[ F(x) = \dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 \]
2. Regn ut de to integralene I a) fant vi at arealet er: \[ A = \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} - \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} \]
Vi setter inn grensene. Her er \( {F(0) = 0}\text{,} \) og: \[ \begin{aligned} F(-2) &= 4 - \dfrac{8}{3} - 4 = -\dfrac{8}{3} \\ F(1) &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{5}{12} \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} &= F(0) - F(-2) = \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} &= F(1) - F(0) = \textcolor{red}{-\dfrac{5}{12}} \end{aligned} \]
3. Sett sammen arealet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} - \left(\textcolor{red}{-\dfrac{5}{12}}\right) \\ &= \dfrac{32}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{37}{12} \end{aligned} \]
Kristian ønsker å finne en verdi a<0, {a < 0}\text{,} som er slik at ∫a1f(x) dx=0. {\int_a^1 f(x)\,dx = 0}\text{.}
Han bruker en kalkulator og finner at a≈−0,6. {a \approx -0{,}6}\text{.}
Unni påstår at likningen til Kristian har to løsninger.

Oppgave 3c)

Forklar hvorfor påstanden til Unni er riktig, og bruk figuren til å anslå omtrent hvilken verdi den andre løsningen kan ha.
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Unni har rett, fordi grafen går under x x -aksen igjen til venstre for x=−2, {x = -2}\text{,} og fra figuren anslår vi den andre løsningen til:
a≈−2,7‾‾ \underline{\underline{a \approx -2{,}7}}
Vi bruker de to integralene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Integralet er null når arealet over \( x \)-aksen er like stort som arealet under. Vi ser på figuren hvor det kan skje.
1. Forklar hvorfor det finnes to løsninger Vi deler integralet i to ved \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_a^1 f(x)\,dx &= \int_a^0 f(x)\,dx \\ &\quad + \textcolor{red}{\int_0^1 f(x)\,dx} \end{aligned} \]I b) fant vi at \( {\textcolor{red}{\int_0^1 f(x)\,dx = -\dfrac{5}{12}}}\text{,} \) så integralet er null når \( {\int_a^0 f(x)\,dx = \dfrac{5}{12}}\text{.} \)
Når \( a \) går fra \( 0 \) mot \( {-2}\text{,} \) ligger grafen over \( x \)-aksen, så \( \int_a^0 f(x)\,dx \) vokser fra \( 0 \) til \( \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}}\text{,} \) som vi fant i b). Den passerer \( \dfrac{5}{12} \) én gang, ved \( {a \approx -0{,}6}\text{,} \) som Kristian fant.
Til venstre for \( {x = -2} \) ligger grafen under \( x \)-aksen og går stadig lenger ned, så arealet mellom grafen og \( x \)-aksen fra \( a \) til \( {-2} \) blir så stort vi vil når \( a \) går mot venstre. Integralet blir da mindre igjen, og det er \( \dfrac{5}{12} \) igjen når dette arealet er: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{32}{12} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{4} \]Da er integralet null en gang til, så Unni har rett.
2. Anslå den andre løsningen Fra figuren er grafen omtrent \( {-4{,}4} \) ved \( {x = -2{,}5}\text{,} \) og omtrent \( {-7} \) ved \( {x = -2{,}7}\text{.} \) Vi regner området mellom grafen og \( x \)-aksen som en trekant fra \( a \) til \( {-2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} a = -2{,}5\text{:} \quad & \dfrac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 4{,}4 = 1{,}1 \\ a = -2{,}7\text{:} \quad & \dfrac{1}{2} \cdot 0{,}7 \cdot 7 = 2{,}45 \end{aligned} \]Grafen bøyer seg inn mot \( x \)-aksen, så det virkelige arealet er litt mindre enn trekanten. Trekanten ved \( {a = -2{,}7} \) er litt større enn \( {\dfrac{9}{4} = 2{,}25}\text{,} \) så arealet blir \( \dfrac{9}{4} \) nær \( {a = -2{,}7}\text{.} \)

R2 høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

6 poeng

Tabellen nedenfor viser elektrisk spenning målt i en stikkontakt i Norge.
Sekunder etterat ma˚lingenestartet (t)Ma˚ltspenning (U)0,00201890,00503230,00702590,0100−2,120,0130−2610,0150−3270,0180−1890,02003,52 \begin{array}{r|r} \begin{array}{c} \text{Sekunder etter} \\ \text{at målingene} \\ \text{startet } (t) \end{array} & \begin{array}{c} \text{Målt} \\ \text{spenning } (U) \end{array} \\ \hline 0{,}0020 & 189 \\ 0{,}0050 & 323 \\ 0{,}0070 & 259 \\ 0{,}0100 & -2{,}12 \\ 0{,}0130 & -261 \\ 0{,}0150 & -327 \\ 0{,}0180 & -189 \\ 0{,}0200 & 3{,}52 \end{array}

Oppgave 2a)

Bestem en modell U U for spenningen U(t) U(t) volt (V) i stikkontakten t t sekunder etter at målingene startet.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Med A, A\text{,} c c og d d avrundet til to desimaler og φ \varphi til fire:
U(t)≈−0,91+323,47sin⁡(314,81t−0,0026)‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} &U(t) \approx -0{,}91 \\ &+ 323{,}47\sin(314{,}81t - 0{,}0026) \end{aligned}}}
Spenningen går opp og ned periodisk, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) og c) med modellen fra a), med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver tiden i kolonne A og spenningen i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
2. Kjør sinusregresjon Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) \( \textcolor{green}{c}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i \[ U(t) = \textcolor{red}{A} \cdot \sin(\textcolor{green}{c}t + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: U(x) = RegSin(l1)
3. Skriv opp modellen GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{A} \approx \textcolor{red}{323{,}47}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} \approx \textcolor{green}{314{,}81}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} \approx \textcolor{darkorange}{-0{,}0026}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{-0{,}91}}\text{.} \)
Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \approx 0{,}0200} \) sekunder, og grafen går nær alle punktene. Andre modeller som passer tabellen, er også riktige, for eksempel \( {U(t) = 325\sin(100\pi t)}\text{,} \) med amplituden og perioden lest av tabellen. Vi bruker denne modellen i b) og c).

Oppgave 2b)

På hvilke tidspunkter i løpet av de første 0,0200 0{,}0200 sekundene er spenningen 230 V 230\,\text{V} ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Avrundet til fire desimaler er spenningen 230 V 230\,\text{V} ved
t≈0,0025 s og t≈0,0075 s‾‾ \underline{\underline{t \approx 0{,}0025\,\text{s} \ \text{og} \ t \approx 0{,}0075\,\text{s}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi skal løse \( {U(t) = 230}\text{.} \) Med kalkulator får vi sinus alene og finner de to vinklene der sinus har den verdien.
Metode: Med kalkulator
1. Få sinus alene I a) fant vi modellen. Vi kaller det som står inni sinus, \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{314{,}81t - 0{,}0026}}\text{:} \) \[ U(t) = \textcolor{red}{323{,}47}\sin \textcolor{green}{u} \textcolor{blue}{- 0{,}91} \]
Vi setter \( {U(t) = 230}\text{,} \) legger til \( \textcolor{blue}{0{,}91} \) og deler med \( \textcolor{red}{323{,}47}\text{:} \) \[ \sin \textcolor{green}{u} = \dfrac{230 + \textcolor{blue}{0{,}91}}{\textcolor{red}{323{,}47}} \approx 0{,}7139 \]
2. Finn vinklene Med kalkulatoren i radianer finner vi først én vinkel der sinus er \( 0{,}7139\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_1} = \sin^{-1}(0{,}7139) \approx 0{,}7951 \]Hvis du er usikker på å finne vinkelen med kalkulatoren, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
Sinus har samme verdi i \( {\pi - u_1}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_2} = \pi - \textcolor{green}{u_1} \approx 2{,}3465 \]Fra \( {t = 0} \) til \( {t = 0{,}0200} \) går \( \textcolor{green}{u} \) fra \( {-0{,}0026} \) til omtrent \( 6{,}29\text{,} \) én periode. Den neste vinkelen, \( {u_1 + 2\pi \approx 7{,}08}\text{,} \) er for stor.
3. Regn om til tid Løser vi \( {314{,}81t - 0{,}0026 = u} \) for \( t\text{,} \) får vi \( {t = \dfrac{u + 0{,}0026}{314{,}81}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} t_1 &= \dfrac{\textcolor{green}{0{,}7951} + 0{,}0026}{314{,}81} \approx 0{,}0025 \\ t_2 &= \dfrac{\textcolor{green}{2{,}3465} + 0{,}0026}{314{,}81} \approx 0{,}0075 \end{aligned} \]Spenningen er \( 230\,\text{V} \) etter omtrent \( 0{,}0025 \) og \( 0{,}0075 \) sekunder.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi skriver modellen fra svaret i a) inn i CAS. Grafen i a) går gjennom \( 230 \) to ganger i den første perioden, nær \( {t = 0{,}0025} \) og \( {t = 0{,}0075}\text{.} \) Vi bruker dem som startverdier i NLøs:
Skriv inn i GeoGebra: U(t) := -0.91 + 323.47*sin(314.81t - 0.0026) NLøs(U(t) = 230, t = 0.0025) NLøs(U(t) = 230, t = 0.0075)
Rad 2 og 3 gir \( {t \approx 0{,}0025} \) og \( {t \approx 0{,}0075}\text{.} \)
Nettspenningen i Norge (den elektriske spenningen i vanlige stikkontakter) er 230 V. 230\,\text{V}\text{.}
Truls lurer på om målingene som er gjort, kan være riktige. Han finner ut at spenningen i kontakten er en vekselspenning. Det betyr at spenningen varierer periodisk med tiden. Når spenningen oppgis å være 230 V, 230\,\text{V}\text{,} er dette noe som kalles effektivverdien til spenningen og er gitt ved
Ueffektiv=1T∫0T(U(t))2 dt U_{\text{effektiv}} = \sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T \big(U(t)\big)^2\,dt}
der T T er perioden til funksjonen U. U\text{.}

Oppgave 2c)

Bruk modellen fra oppgave a og formelen ovenfor til å hjelpe Truls med å avgjøre om målingene kan være riktige.
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
Effektivverdien til modellen er omtrent 228,7 V, 228{,}7\,\text{V}\text{,} svært nær 230 V: 230\,\text{V}\text{:}
Ma˚lingene kan stemme‾‾ \underline{\underline{\text{Målingene kan stemme}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi setter modellen inn i formelen og integrerer over én periode. Blir effektivverdien omtrent \( 230\,\text{V}\text{,} \) kan målingene være riktige.
Metode: Med kalkulator
1. Integrer kvadratet av modellen I a) fant vi modellen. Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{314{,}81t - 0{,}0026}} \) er den: \[ U(t) = \textcolor{red}{323{,}47}\sin \textcolor{green}{u} \textcolor{blue}{- 0{,}91} \]
Vi kaller \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{323{,}47}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{-0{,}91}}\text{,} \) og perioden er \( {T = \dfrac{2\pi}{314{,}81}}\text{.} \) Med første kvadratsetning, \( {(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \big(U(t)\big)^2 = \ &\textcolor{red}{A}^2\sin^2 \textcolor{green}{u} + 2\textcolor{red}{A}\textcolor{blue}{d}\sin \textcolor{green}{u} \\ &+ \textcolor{blue}{d}^2 \end{aligned} \]
Over en hel periode er integralet av \( \sin u \) lik \( 0\text{,} \) fordi arealet over og under aksen er like store. For \( \sin^2 u \) bruker vi formelen for dobbel vinkel: \[ \sin^2 u = \dfrac{1 - \cos 2u}{2} \]
Integralet av \( \cos 2u \) over en hel periode er også \( 0\text{,} \) så \( \sin^2 u \) gir \( \dfrac{T}{2}\text{:} \) \[ \int_0^T \big(U(t)\big)^2\,dt = \textcolor{red}{A}^2 \cdot \dfrac{T}{2} + \textcolor{blue}{d}^2 \cdot T \]
2. Regn ut effektivverdien Vi deler på \( T \) og tar kvadratroten. \( T \) forkortes bort: \[ \begin{aligned} U_{\text{effektiv}} &= \sqrt{\dfrac{\textcolor{red}{A}^2}{2} + \textcolor{blue}{d}^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{\textcolor{red}{323{,}47}^2}{2} + (\textcolor{blue}{-0{,}91})^2} \\ &\approx 228{,}7 \end{aligned} \]
Effektivverdien til modellen er omtrent \( 228{,}7\,\text{V}\text{,} \) bare \( 1{,}3\,\text{V} \) under \( 230\,\text{V}\text{.} \) Målingene kan altså være riktige.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut effektivverdien i CAS Vi skriver modellen fra svaret i a) og perioden inn i CAS, og regner ut formelen med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: U(t) := -0.91 + 323.47*sin(314.81t - 0.0026) T := 2π/314.81 sqrt(1/T*Integral(U(t)^2, t, 0, T))
Rad 3 gir \( {U_{\text{effektiv}} \approx 228{,}7\,\text{V}}\text{,} \) svært nær \( 230\,\text{V}\text{,} \) så målingene kan være riktige.

R2 høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

4 poeng

Funksjonen f f er gitt ved
f(x)=32x f(x) = 3^{2x}
Programmet nedenfor beregner arealet avgrenset av grafen til f, f\text{,} x x -aksen og linjene x=0 {x = 0} og x=2 {x = 2} ved hjelp av to ulike metoder.

Oppgave 4a)

Forklar hvorfor den ene metoden vil gi en litt for høy verdi for arealet, og den andre metoden en litt for lav verdi.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
f f er voksende, så venstre kant gir rektangler under grafen, og høyre kant rektangler over:
areal_til_hoyre: for lav‾‾areal_til_venstre: for høy‾‾ \begin{aligned} \texttt{areal\_til\_hoyre}\text{:}\ & \underline{\underline{\text{for lav}}} \\ \texttt{areal\_til\_venstre}\text{:}\ & \underline{\underline{\text{for høy}}} \end{aligned}
Begge metodene deler området i \( 100 \) rektangler med bredde \( dx\text{.} \) Vi ser på hvilken kant av rektanglene som bestemmer høyden, og bruker at \( f \) er voksende.
Metode: For hånd
1. Se hvilken høyde rektanglene får Begge funksjonene legger sammen høyde ganger bredde, \( {f(x) \cdot dx}\text{,} \) for \( 100 \) rektangler (linje 14 og 21).
I \( \texttt{areal\_til\_hoyre} \) går \( \texttt{i} \) fra \( 0 \) til \( 99 \) i linje 12, så \( x \) i linje 13 er \( \textcolor{blue}{\text{venstre kant}} \) av hvert rektangel. Rektangelet går til høyre derfra.
I \( \texttt{areal\_til\_venstre} \) går \( \texttt{i} \) fra \( 1 \) til \( 100 \) i linje 19, så \( x \) i linje 20 er \( \textcolor{red}{\text{høyre kant}}\text{.} \) Rektangelet går til venstre derfra.
2. Bruk at funksjonen vokser \( {f(x) = 3^{2x} = 9^x} \) er voksende, fordi grunntallet \( 9 \) er større enn \( 1\text{.} \) På hvert lite intervall er grafen derfor lavest i \( \textcolor{blue}{\text{venstre kant}} \) og høyest i \( \textcolor{red}{\text{høyre kant}}\text{.} \)
Rektanglene i \( \texttt{areal\_til\_hoyre} \) ligger da under grafen og gir en litt for lav verdi. Rektanglene i \( \texttt{areal\_til\_venstre} \) stikker over grafen og gir en litt for høy verdi. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Riemann sum.
Kontroll: Programmet skriver ut \( 35{,}62 \) og \( 37{,}22\text{,} \) og det eksakte arealet er \( {\int_0^2 9^x\,dx = \dfrac{80}{\ln 9} \approx 36{,}41}\text{.} \)

Oppgave 4b)

Lag et program som beregner arealet mer nøyaktig uten å dele det opp i flere deler. Ta utgangspunkt i koden nedenfor, og skriv ferdig funksjonen «bedre_metode()». Hvis du programmerer i et annet programmeringsspråk enn Python, må du først skrive en kode som samsvarer med koden nedenfor i språket du bruker.
Husk å legge ved skjermbilde av programmet du lager, og resultatet du får når du kjører programmet.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Vi bruker rektanglene fra a), der den ene metoden ga for lite og den andre for mye.
Vi beholder de \( 100 \) delene, men bruker trapeser i stedet for rektangler. Et trapes følger grafen fra venstre kant til høyre kant, så det ligger mye nærmere arealet.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å forklare hvorfor trapeser gir et bedre svar enn rektangler.
Metode: Med Python
1. Bruk trapeser i stedet for rektangler Et trapes med bredde \( dx \) og høyder \( \textcolor{blue}{f(x)} \) og \( {\textcolor{red}{f(x + dx)}} \) har arealet: \[ A = \dfrac{\textcolor{blue}{f(x)} + \textcolor{red}{f(x + dx)}}{2} \cdot dx \]Hvis du er usikker på trapesmetoden, kan du se videoen Trapesmetoden.
Det er gjennomsnittet av rektangelet med \( \textcolor{blue}{\text{venstre kant}} \) og rektangelet med \( \textcolor{red}{\text{høyre kant}} \) fra a). Den ene ga for lite og den andre for mye, så gjennomsnittet ligger mye nærmere.
2. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 12 og 13 går gjennom de samme venstre kantene som \( \texttt{areal\_til\_hoyre}\text{,} \) og linje 14 legger til arealet av ett trapes for hver \( x\text{.} \) Linje 15 og 17 er som i koden fra oppgaven, så linjenumrene stemmer.
3. Kjør programmet Programmet skriver ut \( 36{,}415\,428\dots\text{,} \) mens det eksakte arealet er \( {\dfrac{80}{\ln 9} \approx 36{,}409\,57}\text{.} \) Feilen er omtrent \( 0{,}006\text{,} \) mot omtrent \( 0{,}8 \) med rektanglene i a).