Eksamensoppgaver etter tema

Akselerasjonen er den deriverte av farten. Vi deriverer, setter den deriverte lik null og løser likningen med \( \ln\text{.} \)

1. Deriver farten Når eksponenten er \( \textcolor{green}{k}t\text{,} \) gir kjerneregelen: \[ \left(e^{\textcolor{green}{k}t}\right)' = \textcolor{green}{k}e^{\textcolor{green}{k}t} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen. Vi deriverer ledd for ledd:

\( {-17{,}4e^{-5t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-5}}\text{,} \) så derivert blir den \( {\underline{\textcolor{blue}{87e^{-5t}}}}\text{,} \) fordi \( {-17{,}4 \cdot (\textcolor{green}{-5}) = 87}\text{.} \)

\( {9{,}1e^{-0{,}08t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-0{,}08}}\text{,} \) så derivert blir den \( {\underline{\textcolor{red}{-0{,}728e^{-0{,}08t}}}}\text{,} \) fordi \( {9{,}1 \cdot (\textcolor{green}{-0{,}08}) = -0{,}728}\text{.} \)

Konstanten \( 8{,}3 \) blir borte, så akselerasjonen er: \[ a(t) = v'(t) = \textcolor{blue}{87e^{-5t}} \textcolor{red}{- 0{,}728e^{-0{,}08t}} \]

2. Løs likningen Vi setter \( {a(t) = 0} \) og flytter det ene leddet over: \[ \textcolor{blue}{87e^{-5t}} = \textcolor{red}{0{,}728e^{-0{,}08t}} \]

Vi ganger begge sider med \( \dfrac{e^{5t}}{0{,}728}\text{.} \) Eksponenten blir \( {-0{,}08t + 5t = 4{,}92t}\text{:} \) \[ e^{4{,}92t} = \dfrac{87}{0{,}728} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Naturlige Logaritmer, og får: \[ \begin{aligned} 4{,}92t &= \ln\left(\dfrac{87}{0{,}728}\right) \\ t &\approx 0{,}972 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Vi sjekker fortegnet til akselerasjonen på hver side: \[ \begin{aligned} a(0) &= 87 - 0{,}728 \approx 86{,}3 > 0 \\ a(2) &= 87e^{-10} - 0{,}728e^{-0{,}16} \\ &\approx -0{,}62 < 0 \end{aligned} \]Farten øker altså til \( {t \approx 0{,}972} \) og avtar etterpå. Hvis du er usikker på hvordan vi avgjør om det er et toppunkt, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

Da har haren den største farten: \[ v(0{,}972) \approx 16{,}58 \]Etter omtrent \( 0{,}97 \) sekunder løper haren fortest, med omtrent \( 16{,}6\,\text{m/s}\text{,} \) og etter det går farten ned.

1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( v(t)\text{,} \) løser \( {v'(t) = 0} \) og setter løsningen inn i \( v\text{.} \) Rad 2 og 3 regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: v(t) := 8.3 - 17.4ℯ^(-5t) + 9.1ℯ^(-0.08t) Løs(Derivert(v(t), t) = 0, t) v(0.9722)

Rad 2 gir \( {t \approx 0{,}9722}\text{,} \) og rad 3 gir farten da, \( {v \approx 16{,}58\,\text{m/s}}\text{.} \) Akselerasjonen er positiv før og negativ etter, for eksempel \( {a(0) \approx 86{,}3} \) og \( {a(2) \approx -0{,}62}\text{,} \) så dette er den største farten.

Strekningen er integralet av farten. Vi finner en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene \( 0 \) og \( 7\text{.} \)

1. Finn en antiderivert Når eksponenten er \( \textcolor{green}{k}t\text{,} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int e^{\textcolor{green}{k}t}\,dt = \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}e^{\textcolor{green}{k}t} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( 8{,}3 \) integrert blir \( \underline{8{,}3t}\text{.} \)

\( {-17{,}4e^{-5t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-5}}\text{,} \) så integrert blir den \( {\underline{3{,}48e^{-5t}}}\text{,} \) fordi \( {\dfrac{-17{,}4}{\textcolor{green}{-5}} = 3{,}48}\text{.} \)

\( {9{,}1e^{-0{,}08t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-0{,}08}}\text{,} \) så integrert blir den \( {\underline{-113{,}75e^{-0{,}08t}}}\text{,} \) fordi \( {\dfrac{9{,}1}{\textcolor{green}{-0{,}08}} = -113{,}75}\text{.} \)

Vi kaller den antideriverte \( F\text{:} \) \[ \begin{aligned} F(t) = \ &8{,}3t + 3{,}48e^{-5t} \\ &- 113{,}75e^{-0{,}08t} \end{aligned} \]

2. Sett inn grensene Strekningen er integralet av farten: \[ s = \int_0^7 v(t)\,dt = F(\textcolor{blue}{7}) - F(\textcolor{red}{0}) \]

Vi regner ut hver for seg: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{blue}{7}) &= 58{,}1 + 3{,}48e^{-35} \\ &\quad - 113{,}75e^{-0{,}56} \\ &\approx \textcolor{blue}{-6{,}875} \\ F(\textcolor{red}{0}) &= 3{,}48 - 113{,}75 = \textcolor{red}{-110{,}27} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ s = \textcolor{blue}{-6{,}875} - (\textcolor{red}{-110{,}27}) \approx 103{,}4 \]Haren løper omtrent \( 103{,}4\,\text{m} \) de første \( 7 \) sekundene.

1. Regn ut integralet i CAS Vi fortsetter i CAS fra a), og regner ut integralet med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Integral(v(t), t, 0, 7)

Rad 4 gir strekningen, \( 103{,}395\,\text{m}\text{.} \)

Integralet i formelen er strekningen haren har løpt etter \( x \) sekunder. Vi finner når strekningen er \( 200\,\text{m}\text{,} \) og deler \( 200 \) på den tiden.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse likningen for hånd, fordi \( x \) står både alene og i eksponenter. Øv heller på å sette opp likningen, og på å forklare at gjennomsnittsfarten er strekningen delt på tiden.

1. Finn tiden for 200 meter Vi fortsetter i CAS fra a). Rad 5 definerer strekningen etter \( x \) sekunder, \( {S(x) = \displaystyle\int_0^x v(t)\,dt}\text{,} \) og rad 6 løser \( {S(x) = 200} \) med NLøs og startverdien \( {x = 15}\text{.} \) Rad 7 regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: S(x) := Integral(v(t), t, 0, x) NLøs(S(x) = 200, x = 15) 200 / 14.9539

Rad 6 viser at haren har løpt \( 200\,\text{m} \) etter omtrent \( 14{,}9539 \) sekunder.

2. Regn ut gjennomsnittsfarten Etter \( {\textcolor{red}{x \approx 14{,}9539}} \) sekunder er integralet \( \textcolor{blue}{200}\text{,} \) så formelen gir strekningen delt på tiden, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT): \[ v_g = \dfrac{1}{\textcolor{red}{x}} \cdot \textcolor{blue}{200} \approx \dfrac{\textcolor{blue}{200}}{\textcolor{red}{14{,}9539}} \approx 13{,}37 \]Dette er rad 7.

Gjennomsnittsfarten fra \( 0 \) til \( x \) er strekningen delt på tiden, og strekningen er integralet av farten. Vi setter gjennomsnittet lik \( 54 \) og løser for \( x\text{.} \)

1. Regn ut strekningen Strekningen fra \( 0 \) til \( x \) er integralet av farten. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. For sinus med en kjerne \( {\textcolor{blue}{n}t + b} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &\int \sin(\textcolor{blue}{n}t + b)\,dt \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}t + b) + C \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{360}}\text{,} \) så \( {-6 \cdot \left(-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{360}}\right) = \dfrac{1}{60}}\text{.} \) Vi bruker også at \( {\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} s(x) &= \left[\dfrac{1}{60}\cos\left(360t - \dfrac{\pi}{2}\right) + 54t\right]_0^x \\ &= \dfrac{1}{60}\cos\left(\textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}}\right) + 54x \end{aligned} \]

2. Sett gjennomsnittet lik 54 Gjennomsnittsfarten er strekningen delt på tiden \( x\text{:} \) \[ \dfrac{s(x)}{x} = \dfrac{1}{60x}\cos\left(\textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}}\right) + 54 \]Den er \( 54 \) når brøken er \( 0\text{,} \) altså når \( {\cos\left(\textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}}\right) = 0}\text{.} \)

3. Finn det første tidspunktet Cosinus er \( 0 \) i \( {\pm\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og så for hver \( \pi\text{.} \) \( {x = 0} \) gir \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) så den første \( {x > 0} \) gir \( \dfrac{\pi}{2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}} &= \dfrac{\pi}{2} \\ x &= \dfrac{\pi}{360} \approx 0{,}008\,73 \end{aligned} \]Kalkulatoren må stå i radianer, fordi \( 360t \) er en vinkel i radianer. Det er \( {0{,}008\,73 \cdot 3600 \approx 31{,}4} \) sekunder.

1. Løs likningen i CAS Vi definerer farten og løser likningen for gjennomsnittsfarten med NLøs og en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: v(t) := -6sin(360t - π/2) + 54 NLøs(1/x Integral(v(t), t, 0, x) = 54, x = 0.01)

Rad 2 gir \( {x \approx 0{,}0087} \) timer, som er omtrent \( 31 \) sekunder.

Akselerasjonen er den deriverte av farten. Den deriverte blir en cosinusfunksjon, og den er størst når cosinus er \( {-1}\text{.} \)

1. Deriver farten Vi bruker kjerneregelen med kjernen \( {360t - \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) som har derivert \( 360\text{.} \) Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen. Sinus derivert er cosinus: \[ \begin{aligned} a(t) &= v'(t) \\ &= -6\cos\left(360t - \dfrac{\pi}{2}\right) \cdot 360 \\ &= -2160\cos\left(\textcolor{red}{360t - \dfrac{\pi}{2}}\right) \end{aligned} \]

2. Finn når akselerasjonen er størst Cosinus er minst \( {-1}\text{,} \) så den største verdien er \( {-2160 \cdot (-1) = 2160}\text{.} \) Cosinus er \( {-1} \) i \( \pi\text{,} \) og så for hver hele runde: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{360t - \dfrac{\pi}{2}} &= \pi + 2\pi k \\ t &= \dfrac{\pi}{240} + \dfrac{\pi}{180}k \end{aligned} \]der \( {k = 0, 1, 2, \dots}\text{,} \) siden \( {t \ge 0}\text{.} \)

Den første gangen er \( {t = \dfrac{\pi}{240} \approx 0{,}0131} \) timer, eller omtrent \( 47 \) sekunder. Så kommer den igjen etter hver periode på \( {\dfrac{\pi}{180} \approx 0{,}0175} \) timer, omtrent \( 63 \) sekunder.

Vi bruker strekningen fra a): \[ s(x) = \dfrac{1}{60}\cos\left(360x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 54x \]

Vi setter strekningen lik \( 2 \) km og løser for tiden. Likningen blander cosinus og \( x\text{,} \) så vi løser den med GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse denne likningen. Øv heller på å sette opp strekningen som integralet av farten, og på et overslag: farten svinger rundt \( 54\,\text{km/t}\text{,} \) så tiden er omtrent \( {\dfrac{2}{54}\,\text{h} \approx 2{,}2} \) minutter.

1. Løs likningen i CAS Farten er alltid mellom \( 48 \) og \( 60\,\text{km/t}\text{,} \) så bilen kjører hele tiden framover, og strekningen er integralet av farten, som i videoen Hva er integrasjon. Vi skal finne tiden \( x \) der: \[ \textcolor{red}{S(x)} = \int_0^x v(t)\,dt = \textcolor{blue}{2} \]

Vi fortsetter i CAS fra a), definerer strekningen og løser \( {\textcolor{red}{S(x)} = \textcolor{blue}{2}} \) med en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: S(x) := Integral(v(t), t, 0, x) NLøs(S(x) = 2, x = 0.04)

Rad 3 gir \( {\dfrac{1}{60}\sin(360x) + 54x}\text{,} \) det samme som \( s(x) \) fra a), og rad 4 gir \( {x \approx 0{,}0368} \) timer. Det er \( {0{,}036\,84 \cdot 60 \approx 2{,}21} \) minutter, eller omtrent \( 2 \) minutter og \( 13 \) sekunder.

Tallene vokser sakte, så raskt, og så saktere igjen. Det er formen til en logistisk modell, som også flater ut i årene etterpå. Vi lar \( x \) være antall år etter 2008 og bruker logistisk regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på å se av tallene hvilken type modell som passer, og på å bruke en gitt logistisk modell med kalkulator.

1. Velg modell Økningen er \( 68\text{,} \) \( 176\text{,} \) \( 210\text{,} \) \( 126 \) og \( 73 \) millioner kroner for hvert andre år. Den blir først større og så mindre, så veksten bremser opp. Da passer en logistisk modell, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den vokser på samme måte, og flater ut mot en øvre grense. Det passer også for årene etterpå: hvor mye folk bruker på strømming, kan ikke vokse uten grense.

2. Legg punktene inn i GeoGebra Med \( x \) år etter 2008 blir årene \( 0\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 6\text{,} \) \( 8 \) og \( 10\text{.} \) Vi skriver dem i kolonne A og beløpene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

3. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{1 + \textcolor{blue}{a}e^{-\textcolor{green}{b}x}} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)

Grafen går nær alle punktene, og flater ut mot \( {\textcolor{red}{c} \approx \textcolor{red}{660}} \) millioner kroner per år.

Vi bruker modellen fra a): \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{660{,}36}}{1 + \textcolor{blue}{30{,}72}e^{-\textcolor{green}{0{,}7066}x}} \]

Vi henter modellen inn i CAS og skriver de fire formlene som de står. CAS gir et tall for hver.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC har du ikke modellen fra a). Øv heller på å forstå hva et integral, en gjennomsnittsverdi, en sum og en differansekvotient betyr, som i c).

1. Regn ut formlene i CAS Rad 1 henter modellen fra lista \( l_1\text{.} \) Så skriver vi integralene med Integral, summen med Sum og differansekvotienten. Hvis du er usikker på hva integralet er, kan du se videoen Hva er integrasjon:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) := RegLogist(l1) ≈ Integral(F(x), -0.5, 10.5) ≈ 1/5 Integral(F(x), 2.5, 7.5) ≈ Sum(F(i), i, 0, 10) ≈ (F(5.001) - F(5))/0.001

\( I \) og \( S \) er nesten like. Det er ingen tilfeldighet, og c) forklarer hvorfor.

Fra b) er \( {I \approx 3729}\text{,} \) \( {G \approx 344}\text{,} \) \( {S \approx 3729} \) og \( {D \approx 116}\text{.} \) Modellen \( F(x) \) fra a) gir millioner kroner per år, \( x \) år etter 2008.

Vi ser hvilke år hver formel dekker. Året \( {2008 + i} \) svarer til intervallet fra \( {x = i - 0{,}5} \) til \( {x = i + 0{,}5}\text{.} \)

1. Tolk integralene Integralet av en vekstfart er det som samles opp, her millioner kroner. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Fra \( {x = -0{,}5} \) til \( {x = 10{,}5} \) dekker \( \textcolor{blue}{I} \) årene 2008 til 2018: \[ \textcolor{blue}{I} \approx \textcolor{blue}{3729} \text{ millioner kroner totalt} \]

\( \textcolor{red}{G} \) er integralet fra \( 2{,}5 \) til \( 7{,}5\text{,} \) altså årene 2011 til 2015, delt på de \( 5 \) årene. Det er gjennomsnittet per år.

2. Tolk summen og differansekvotienten \( \textcolor{green}{S} \) legger sammen beløpet for hvert av de \( 11 \) årene 2008 til 2018. Det er nesten det samme som \( \textcolor{blue}{I}\text{,} \) fordi hvert år er en stripe med bredde \( 1 \) under grafen.

\( \textcolor{darkorange}{D} \) er stigningstallet mellom \( {x = 5} \) og \( {x = 5{,}001}\text{,} \) nesten den deriverte \( F'(5)\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det er hvor fort beløpet økte i 2013.