Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

delvis integrasjon

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

2 oppgaver i R2 om delvis integrasjon

Oppgavene

R2 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

2 poeng

Bestem integralet
∫4x⋅cos⁡x dx \int 4x \cdot \cos x\,dx
Vis løsning på oppgave 1

Svar

Integralet er
4xsin⁡x+4cos⁡x+C‾‾ \underline{\underline{4x\sin x + 4\cos x + C}}
Vi ser at integranden er et produkt av \( 4x \) og \( \cos x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, og deriverer \( 4x\text{,} \) som blir enklere.
1. Skriv opp regelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.
Vi lar \( \textcolor{red}{u} \) være \( 4x\text{,} \) som blir et tall når vi deriverer, og \( \textcolor{blue}{v'} \) være \( \cos x\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\cos x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin x} \end{aligned} \]
2. Plugg inn og integrer Plugger vi dette inn i regelen, får vi: \[ \begin{aligned} & \int 4x \cdot \cos x\,dx \\ &= \textcolor{red}{4x} \cdot \textcolor{blue}{\sin x} - \int \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{\sin x}\,dx \\ &= 4x\sin x - 4 \cdot (-\cos x) + C \\ &= 4x\sin x + 4\cos x + C \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {-\cos x} \) er en antiderivert til \( \sin x\text{,} \) fordi \( {(\cos x)' = -\sin x}\text{.} \)
Kontroll: Deriverer vi svaret med produktregelen, får vi \( {4\sin x + 4x\cos x - 4\sin x}\text{,} \) som er \( 4x\cos x\text{,} \) det vi integrerte.

R2 høst 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Oppgave 1a)

Regn ut integralet
∫x2⋅ln⁡x dx \int x^2 \cdot \ln x \, dx
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
∫x2ln⁡x dx=x33ln⁡x−x39+C‾‾ \underline{\underline{\int x^2 \ln x\,dx = \dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9} + C}}
Vi ser at integralet er et produkt av en potens og \( \ln x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, med \( \ln x \) som den vi deriverer.
1. Velg u og v′ Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.
\( \ln x \) blir enklere når vi deriverer den, så vi velger: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \end{aligned} \]
2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} \int x^2 \ln x\,dx &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \\ &\quad - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \int \dfrac{x^2}{3}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9} + C \end{aligned} \]

Oppgave 1b)

Bestem x x når ∫0xsin⁡(πt+π4)dt=0 {\displaystyle\int_0^x \sin\left(\pi t + \dfrac{\pi}{4}\right) dt = 0} og x∈⟨0,π⟩. x \in \langle 0, \pi \rangle\text{.}
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
x=32 ∨ x=2‾‾ \underline{\underline{x = \dfrac{3}{2} \ \vee\ x = 2}}
Vi regner ut integralet med \( x \) som øvre grense, og får en likning med cosinus. Den løser vi med enhetssirkelen.
1. Regn ut integralet For sinus med en kjerne \( {\textcolor{blue}{n}t + b} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &\int \sin(\textcolor{blue}{n}t + b)\,dt \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}t + b) + C \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{\pi}}\text{.} \) Vi setter inn grensene \( x \) og \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\left[-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos\left(\textcolor{blue}{\pi}t + \dfrac{\pi}{4}\right)\right]_0^x \\ &= -\dfrac{1}{\pi}\cos\left(\pi x + \dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{1}{\pi}\cos\dfrac{\pi}{4} \end{aligned} \]
Integralet er \( 0 \) når de to leddene er like, altså når: \[ \cos\left(\textcolor{red}{\pi x + \dfrac{\pi}{4}}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4} \]
2. Løs likningen To vinkler har samme cosinus når de er like, pluss hele runder \( 2\pi k\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\pi x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= 2k \end{aligned} \]
eller når de er motsatte, pluss hele runder: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\pi x + \dfrac{\pi}{4}} &= -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{1}{2} + 2k \end{aligned} \]Hvis du er usikker på \( 2\pi k\text{,} \) kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
\( {\pi \approx 3{,}14}\text{.} \) Med \( {k = 1} \) får vi \( {x = 2} \) og \( {x = \dfrac{3}{2}}\text{.} \) \( {k = 0} \) gir \( {x = 0} \) og \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{,} \) og \( {k = 2} \) gir \( {x = 4} \) og \( {x = \dfrac{7}{2}}\text{,} \) som alle ligger utenfor \( \langle 0, \pi \rangle\text{.} \)

Oppgave 1c)

Gi en praktisk tolkning av svaret i oppgave b).
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Fra 0 0 til x x er arealet over t t -aksen like stort som arealet under. Er funksjonen farten til en gjenstand som går fram og tilbake, er gjenstanden etter 1,5 s 1{,}5\,\text{s} og 2 s 2\,\text{s}
tilbake ved start‾‾ \underline{\underline{\text{tilbake ved start}}}
Vi bruker svaret fra b), \( {x = \dfrac{3}{2}} \) og \( {x = 2}\text{.} \)
Et bestemt integral er arealet over \( x \)-aksen minus arealet under. At integralet er \( 0\text{,} \) betyr at de to er like store.
1. Tolk integralet Fra \( 0 \) til \( x \) er \( \textcolor{blue}{\text{arealet over}} \) \( t \)-aksen like stort som \( \textcolor{red}{\text{arealet under}}\text{.} \) Hvis du er usikker på integralet som areal, kan du se videoen Hva er integrasjon.
2. Gi et eksempel La \( {\sin\left(\pi t + \dfrac{\pi}{4}\right)} \) være farten i m/s til en gjenstand som beveger seg fram og tilbake langs en linje. Integralet av farten er hvor langt gjenstanden har flyttet seg fra start.
At integralet er \( 0 \) for \( {x = \dfrac{3}{2}} \) og \( {x = 2}\text{,} \) betyr at gjenstanden er tilbake der den startet etter \( 1{,}5 \) og etter \( 2 \) sekunder.