Eksamensoppgaver etter tema

Farten er lengden av fartsvektoren, og fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren. Ballen blir skutt ved \( {t = 0}\text{.} \)

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Vi deriverer hver koordinat for seg: \[ \vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{30},\ \textcolor{red}{5},\ \textcolor{green}{7 - 9{,}8t}] \]

2. Regn ut farten ved start Med \( {t = 0} \) er \( {\vec{v}(0) = [\textcolor{blue}{30}, \textcolor{red}{5}, \textcolor{green}{7}]}\text{.} \) Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(0)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{30}^2 + \textcolor{red}{5}^2 + \textcolor{green}{7}^2} \\ &= \sqrt{974} \approx 31{,}21 \end{aligned} \]

1. Regn ut farten i CAS Vi definerer posisjonen, deriverer den og regner ut lengden av fartsvektoren for \( {t = 0}\text{.} \) Den siste raden regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (30t, 5t, 7t - 4.9t^2) v(t) := Derivert(r(t), t) Lengde(v(0))

Rad 3 gir farten \( {|\vec{v}(0)| \approx 31{,}209\,\text{m/s}}\text{.} \)

Ballen treffer banen når \( {z = 0}\text{.} \) Avstanden fra hjørnemerket i origo er lengden av \( [x, y] \) langs bakken.

1. Finn når ballen lander Vi setter \( z \)-koordinaten lik \( 0 \) og faktoriserer: \[ \begin{aligned} 7t - 4{,}9t^2 &= 0 \\ t(7 - 4{,}9t) &= 0 \end{aligned} \]\( {t = 0} \) er når ballen blir skutt, så den lander ved \( {t = \dfrac{7}{4{,}9} = \dfrac{10}{7} \approx 1{,}43\,\text{s}}\text{.} \)

2. Regn ut avstanden Med \( {t = \dfrac{10}{7}} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= 30 \cdot \dfrac{10}{7} = \textcolor{blue}{\dfrac{300}{7}} \\ \textcolor{red}{y} &= 5 \cdot \dfrac{10}{7} = \textcolor{red}{\dfrac{50}{7}} \end{aligned} \]

Avstanden fra origo finner vi med Pythagoras: \[ \begin{aligned} \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} &= \sqrt{\left(\textcolor{blue}{\dfrac{300}{7}}\right)^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{50}{7}}\right)^2} \\ &\approx 43{,}45 \end{aligned} \]

1. Finn landingen i CAS Vi fortsetter i CAS fra a). Vi løser \( {z = 0}\text{,} \) og regner ut avstanden fra origo med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(7t - 4.9t^2 = 0, t) sqrt((30*10/7)^2 + (5*10/7)^2)

Rad 4 viser at ballen lander ved \( {t = \dfrac{10}{7}}\text{,} \) og rad 5 gir avstanden \( 43{,}4483\,\text{m}\text{.} \)

Vi bruker fartsvektoren fra a), \( {\vec{v}(t) = [30,\ 5,\ 7 - 9{,}8t]}\text{.} \)

Ballen er på sitt høyeste når \( z \)-koordinaten har toppunkt, altså når \( {z'(t) = 0}\text{.} \) Vi setter inn den tiden i farten og i høyden.

1. Finn når ballen er høyest \( z \)-koordinaten til fartsvektoren er \( {z'(t) = \textcolor{green}{7 - 9{,}8t}}\text{.} \) Den er null når: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{7 - 9{,}8t} &= 0 \\ t &= \dfrac{7}{9{,}8} = \dfrac{5}{7} \end{aligned} \]\( z'(t) \) er positiv før og negativ etter, så dette er toppunktet. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

2. Regn ut farten og høyden I toppunktet er \( {\textcolor{green}{z'} = \textcolor{green}{0}}\text{,} \) så farten er: \[ \begin{aligned} \left|\vec{v}\left(\dfrac{5}{7}\right)\right| &= \sqrt{\textcolor{blue}{30}^2 + \textcolor{red}{5}^2 + \textcolor{green}{0}^2} \\ &= \sqrt{925} \approx 30{,}41 \end{aligned} \]

Høyden er \( z \)-koordinaten til \( \vec{r}\text{:} \) \[ \begin{aligned} z\left(\dfrac{5}{7}\right) &= 7 \cdot \dfrac{5}{7} - 4{,}9 \cdot \dfrac{25}{49} \\ &= 5 - 2{,}5 = 2{,}5 \end{aligned} \]

1. Finn toppunktet i CAS Vi fortsetter i CAS fra a). Vi løser \( {z'(t) = 0}\text{,} \) og setter løsningen inn i farten med \( {\approx} \) og i posisjonen:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(7 - 9.8t = 0, t) Lengde(v(5/7)) r(5/7)

Ballen er høyest ved \( {t = \dfrac{5}{7}}\text{,} \) farten er da \( 30{,}4138\,\text{m/s}\text{,} \) og \( z \)-koordinaten i rad 8 viser at høyden er \( {\dfrac{5}{2} = 2{,}5\,\text{m}}\text{.} \)

Vi finner sentrum og radius i kula. Den minste avstanden fra kuleflaten til planet er avstanden fra sentrum til planet, minus radien.

1. Finn sentrum og radius Sentrum \( \textcolor{blue}{M} \) er midtpunktet på diameteren \( AB\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{M} &= \left(\dfrac{1 + 3}{2}, \dfrac{2 + 0}{2}, \dfrac{1 - 3}{2}\right) \\ &= \textcolor{blue}{(2, 1, -1)} \end{aligned} \]

Radien \( \textcolor{red}{r} \) er halve lengden av \( {\overrightarrow{AB} = [2, -2, -4]}\text{.} \) Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-4)^2} \\ &= \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \\ \textcolor{red}{r} &= \textcolor{red}{\sqrt{6}} \end{aligned} \]

2. Finn avstanden fra sentrum til planet Avstanden fra et punkt \( (x_0, y_0, z_0) \) til planet \( {ax + by + cz + d = 0} \) er: \[ \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

Her er planet \( {x + 2y + 2z - 14 = 0}\text{,} \) og punktet er \( {\textcolor{blue}{M(2, 1, -1)}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{|\textcolor{blue}{2} + 2 \cdot \textcolor{blue}{1} + 2 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) - 14|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \\ &= \dfrac{|-12|}{3} = 4 \end{aligned} \]

3. Trekk fra radien \( {4 > \sqrt{6} \approx 2{,}45}\text{,} \) så kula skjærer ikke planet. Det nærmeste punktet på kuleflaten ligger på linja fra \( \textcolor{blue}{M} \) rett mot planet, \( \textcolor{red}{r} \) fra sentrum: \[ 4 - \textcolor{red}{\sqrt{6}} \approx 1{,}55 \]

Vi bruker sentrum \( {M(2, 1, -1)} \) og at avstanden fra \( M \) til \( \gamma \) er \( 4\text{,} \) fra a).

\( \alpha \) har samme avstand til kuleflaten som \( \gamma\text{,} \) så den har også avstanden \( 4 \) til sentrum. Siden \( \alpha \ne \gamma\text{,} \) må \( \alpha \) ligge på den andre siden av kula.

1. Sett opp likningen Parallelle plan har samme normalvektor, så \( \alpha \) har likningen: \[ x + 2y + 2z = \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på likningen til et plan, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

2. Finn d Avstanden fra \( {M(2, 1, -1)} \) skal være \( 4\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{|2 + 2 - 2 - \textcolor{red}{d}|}{3} &= 4 \\ |2 - \textcolor{red}{d}| &= 12 \end{aligned} \]

Det gir \( {\textcolor{red}{d} = -10} \) eller \( {\textcolor{red}{d} = 14}\text{.} \) \( {\textcolor{red}{d} = 14} \) er planet \( \gamma\text{,} \) så \( {\textcolor{red}{d} = -10}\text{.} \)

En linje som står normalt på planet, er parallell med normalvektoren til planet. Normalvektoren kan vi lese av likningen.

1. Les av normalvektoren I planlikningen \( {\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b}y + \textcolor{green}{c}z + d = 0} \) er \( {\vec{n} = [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}]} \) en normalvektor, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram. Her er: \[ \vec{n} = [\textcolor{blue}{1}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{2}] \]

2. Sett opp parameterframstillingen En linje gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningsvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) er: \[ \begin{cases} x = x_0 + \textcolor{blue}{a}t \\ y = y_0 + \textcolor{red}{b}t \\ z = z_0 + \textcolor{green}{c}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Med \( A(4, 2, 2) \) og \( \vec{n} \) som retningsvektor får vi linja i svaret.

Vi bruker linja \( \ell \) fra a), \( {(4 + t, 2 - 2t, 2 + 2t)}\text{.} \)

Linja står normalt på planet, så avstanden fra \( A \) til planet er avstanden fra \( A \) til punktet der linja treffer planet.

1. Finn hvor linja treffer planet Vi setter koordinatene til linja inn i planlikningen: \[ \begin{aligned} (4 + t) - 2(2 - 2t) & \\ + 2(2 + 2t) + 1 &= 0 \\ 9t + 5 &= 0 \\ t &= -\dfrac{5}{9} \end{aligned} \]

2. Regn ut avstanden Fra \( A \) (der \( {t = 0} \)) til skjæringspunktet går vi \( {\textcolor{red}{t = -\dfrac{5}{9}}} \) ganger normalvektoren. Lengden av \( \vec{n} \) finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3 \]

Avstanden er da: \[ \left|\textcolor{red}{-\dfrac{5}{9}}\right| \cdot 3 = \dfrac{5}{3} \]

Tangenten har retningen til \( \vec{r}_1\,'(t)\text{.} \) Den er parallell med \( xy \)-planet når \( z \)-koordinaten til \( \vec{r}_1\,'(t) \) er \( 0\text{.} \)

1. Deriver Vi deriverer hver koordinat for seg, som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen: \[ \vec{r}_1\,'(t) = [\cos t, 1, \textcolor{red}{-\sin t}] \]

2. Sett z-koordinaten lik 0 \[ \textcolor{red}{-\sin t} = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \pi \]siden \( {0 < t < 2\pi}\text{.} \) Da er: \[ \vec{r}_1(\pi) = [\sin \pi, \pi, \cos \pi] = [0, \pi, -1] \]

To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{.} \)

1. Deriver to ganger \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{r}_1\,'(t)} &= \textcolor{blue}{[\cos t, 1, -\sin t]} \\ \textcolor{red}{\vec{r}_1\,''(t)} &= \textcolor{red}{[-\sin t, 0, -\cos t]} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{r}_1\,'} \cdot \textcolor{red}{\vec{r}_1\,''} &= -\cos t \sin t + 0 \\ &\quad + \sin t \cos t \\ &= 0 \end{aligned} \]Det gjelder for alle \( t\text{.} \)

Vi bruker \( {\vec{r}_1\,'(t) = [\cos t, 1, -\sin t]} \) og \( {\vec{r}_1\,''(t) = [-\sin t, 0, -\cos t]} \) fra b).

Smygplanet inneholder \( \vec{r}_1\,' \) og \( \vec{r}_1\,''\text{,} \) så vektorproduktet av dem er en normalvektor. Vinkelen mellom planet og \( y \)-aksen er \( 90^\circ \) minus vinkelen mellom normalvektoren og \( y \)-aksen.

1. Finn en normalvektor Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet. Koordinat for koordinat er \( {\vec{n} = \vec{r}_1\,' \times \vec{r}_1\,''}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad -\cos t - (-\sin t) \cdot 0 = -\cos t \\ y&\text{:} \quad \sin^2 t + \cos^2 t = \textcolor{red}{1} \\ z&\text{:} \quad \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (-\sin t) = \sin t \end{aligned} \]Så \( {\vec{n} = [-\cos t, \textcolor{red}{1}, \sin t]}\text{.} \)Lengden er: \[ |\vec{n}| = \sqrt{\cos^2 t + 1 + \sin^2 t} = \sqrt{2} \]

2. Finn vinkelen med y-aksen \( y \)-aksen har retningsvektor \( [0, 1, 0]\text{.} \) Vinkelen \( v \) mellom \( \vec{n} \) og \( y \)-aksen er gitt ved: \[ \cos v = \dfrac{|\vec{n} \cdot [0, 1, 0]|}{|\vec{n}| \cdot 1} = \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\sqrt{2}} \]Altså er \( {v = 45^\circ}\text{,} \) uansett \( t\text{.} \)

3. Vinkelen med planet Normalvektoren står vinkelrett på planet, så vinkelen mellom planet og \( y \)-aksen er \( {90^\circ - 45^\circ = 45^\circ}\text{.} \) Den er den samme for alle \( t\text{.} \)

Vi finner en normalvektor som i c), og ser hva som skjer med smygplanet når \( t \) endrer seg.

1. Finn en normalvektor \[ \begin{aligned} \vec{r}_2\,'(t) &= [\cos t, 1, 2\cos t] \\ \vec{r}_2\,''(t) &= [-\sin t, 0, -2\sin t] \end{aligned} \]

Vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad -2\sin t - 2\cos t \cdot 0 = -2\sin t \\ y&\text{:} \quad -2\cos t\sin t + 2\cos t\sin t = 0 \\ z&\text{:} \quad \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (-\sin t) = \sin t \end{aligned} \]

Så \( {\vec{r}_2\,' \times \vec{r}_2\,'' = \sin t \cdot \textcolor{red}{[-2, 0, 1]}}\text{.} \)Når \( \sin t \ne 0\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{[-2, 0, 1]}} \) en normalvektor, for alle \( t\text{.} \)

2. Finn likningen for smygplanet Planet går gjennom punktet \( {(\sin t, t, 2\sin t + 1)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -2(x - \sin t) & \\ + (z - 2\sin t - 1) &= 0 \\ z &= 2x + 1 \end{aligned} \]Leddene med \( t \) forsvinner, så det er det samme planet for alle \( t\text{.} \) For eksempel gir \( {t = \dfrac{\pi}{2}} \) punktet \( (1, \dfrac{\pi}{2}, 3)\text{,} \) og \( {3 = 2 \cdot 1 + 1}\text{.} \)

3. Tolk det Kurven har \( {x = \sin t} \) og \( {z = 2\sin t + 1 = 2x + 1}\text{,} \) så hele kurven ligger i planet \( {z = 2x + 1}\text{.} \) Den er en plan kurve, og da er smygplanet det planet kurven ligger i. Når \( {\sin t = 0}\text{,} \) er \( {\vec{r}_2\,''(t) = \vec{0}}\text{,} \) og definisjonen gir ikke noe plan der.

Grunnflaten \( ABC \) ligger i \( xy \)-planet, og \( T \) ligger rett over \( A\text{.} \) Høyden er derfor \( 5\text{,} \) og vi trenger bare arealet av grunnflaten.

1. Finn arealet av grunnflaten Arealet av en trekant utspent av \( \vec{u} \) og \( \vec{v} \) er: \[ A = \dfrac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[5, 0, 0]}} \) og \( {\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[4, 2, 0]}}\text{.} \) Begge ligger i \( xy \)-planet, så bare \( z \)-koordinaten er ulik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [0, 0, \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{2} - 0 \cdot \textcolor{red}{4}] \\ &= [0, 0, 10] \end{aligned} \]

Grunnflaten er \( {G = \dfrac{1}{2} \cdot 10 = 5}\text{.} \)

2. Regn ut volumet Volumet av en pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \]

Høyden er avstanden fra \( T \) ned til \( xy \)-planet, \( {h = 5}\text{:} \) \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot 5 \cdot 5 = \dfrac{25}{3} \]

Vi bruker vektorproduktet igjen, nå med to av sidene som går ut fra \( B\text{.} \)

1. Sett opp vektorene Fra \( B(5, 0, 0) \) til \( C \) og \( T\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} &= \textcolor{blue}{[-1, 2, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BT}} &= \textcolor{red}{[-5, 0, 5]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til \( \vec{u} \times \vec{v} \) er: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad u_2v_3 - u_3v_2 \\ y&\text{:} \quad u_3v_1 - u_1v_3 \\ z&\text{:} \quad u_1v_2 - u_2v_1 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet, som regner det ut med en determinant.

For \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{BT}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad 2 \cdot 5 - 0 \cdot 0 = 10 \\ y&\text{:} \quad 0 \cdot (-5) - (-1) \cdot 5 = 5 \\ z&\text{:} \quad (-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-5) = 10 \end{aligned} \]

3. Finn arealet Lengden er: \[ \sqrt{10^2 + 5^2 + 10^2} = \sqrt{225} = 15 \]

Arealet er halve lengden: \[ A_{BCT} = \dfrac{1}{2} \cdot 15 = \dfrac{15}{2} \]

Fra a) er volumet av pyramiden \( \dfrac{25}{3}\text{,} \) og fra b) er arealet av \( \triangle BCT \) lik \( \dfrac{15}{2}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi kan se på pyramiden med \( \triangle BCT \) som grunnflate. Da er høyden nettopp avstanden fra \( A \) til planet gjennom \( B\text{,} \) \( C \) og \( T\text{.} \)

1. Bruk volumet med en ny grunnflate Volumet er det samme uansett hvilken side vi kaller grunnflaten. Med \( {\textcolor{blue}{G = \dfrac{15}{2}}} \) og høyden \( \textcolor{red}{d} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{15}{2}} \cdot \textcolor{red}{d} &= \dfrac{25}{3} \\ \dfrac{5}{2}\textcolor{red}{d} &= \dfrac{25}{3} \\ \textcolor{red}{d} &= \dfrac{10}{3} \end{aligned} \]

2. Kontroller med planet Normalvektoren \( [10, 5, 10] \) fra b) kan vi korte til \( [2, 1, 2]\text{.} \) Planet gjennom \( B(5, 0, 0) \) er da \( {2x + y + 2z - 10 = 0}\text{,} \) som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram. Avstanden fra \( A(0, 0, 0) \) er: \[ d = \dfrac{|2 \cdot 0 + 0 + 2 \cdot 0 - 10|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{10}{3} \]

Parallelle plan har den samme normalvektoren. Vi finner normalvektoren til \( \alpha \) med vektorproduktet, og setter inn punktet \( P\text{.} \)

1. Finn normalvektoren Fra \( A(1, 0, 3) \) til \( B \) og \( C\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-1, 1, -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[1, 3, -1]} \end{aligned} \]

Vektorproduktet står vinkelrett på begge. Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet. For \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad 1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3 = 2 \\ y&\text{:} \quad (-1) \cdot 1 - (-1) \cdot (-1) = -2 \\ z&\text{:} \quad (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 1 = -4 \end{aligned} \]

Vi deler \( {[2, -2, -4]} \) på \( 2 \) og bruker \( {\textcolor{green}{\vec{n} = [1, -1, -2]}}\text{.} \)

2. Sett inn punktet P Likningen for et plan med normalvektor \( [a, b, c] \) gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) er: \[ \begin{aligned} &a(x - x_0) + b(y - y_0) \\ &\quad + c(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Med \( \textcolor{green}{\vec{n}} \) og \( {P(2, -5, 5)} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{1}(x - 2) \textcolor{green}{- 1}(y + 5) \textcolor{green}{- 2}(z - 5) &= 0 \\ x - y - 2z + 3 &= 0 \end{aligned} \]

Til sammenligning er \( \alpha\text{:} \) \( {x - y - 2z + 5 = 0}\text{,} \) med det samme venstre leddet og et annet tall. Planene er altså parallelle og ikke like.

Fra a) er \( \beta\text{:} \) \( {x - y - 2z + 3 = 0}\text{,} \) og begge planene har normalvektoren \( {\textcolor{green}{\vec{n} = [1, -1, -2]}}\text{.} \)

Radien til en kule står vinkelrett på et plan den tangerer. Kula ligger mellom de to parallelle planene, så \( A\text{,} \) sentrum og \( Q \) ligger på én linje langs normalvektoren. \( Q \) er der den linja treffer \( \beta\text{.} \)

1. Linja gjennom A langs normalvektoren Linja gjennom \( A(1, 0, 3) \) med retning \( \textcolor{green}{\vec{n}} \) er: \[ \ell\text{:} \quad \begin{cases} x = 1 + \textcolor{green}{1}t \\ y = 0 \textcolor{green}{- 1}t \\ z = 3 \textcolor{green}{- 2}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

2. Finn hvor linja treffer β Vi setter koordinatene inn i likningen for \( \beta\text{:} \) \[ \begin{aligned} (1 + t) - (-t) - 2(3 - 2t) + 3 &= 0 \\ 6t - 2 &= 0 \\ t &= \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]

3. Regn ut Q Med \( {t = \dfrac{1}{3}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} \\ y &= -\dfrac{1}{3} \\ z &= 3 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{3} \end{aligned} \]

Kontroll: \( {\dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{14}{3} + 3 = 0}\text{,} \) så \( Q \) ligger i \( \beta\text{.} \)

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og banefarten er lengden av fartsvektoren.

1. Deriver posisjonsvektoren Vi deriverer hver koordinat for seg, som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Med kjerneregelen er \( {\left(e^{t/20}\right)' = \dfrac{1}{20}e^{t/20}} \) og \( {\left(e^{-2t + 2}\right)' = -2e^{-2t + 2}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen. Fartsvektoren er \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]

2. Sett inn t = 1 Kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \dfrac{1}{20}e^{0{,}05} \approx \textcolor{blue}{0{,}0526} \\ \textcolor{red}{v_y} &= -\cos 1 \approx \textcolor{red}{-0{,}5403} \\ \textcolor{green}{v_z} &= -\dfrac{1}{5}e^{0} - \sin 1 \approx \textcolor{green}{-1{,}0415} \end{aligned} \]

3. Finn lengden Lengden av en vektor er: \[ |\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{blue}{v_x}^2 + \textcolor{red}{v_y}^2 + \textcolor{green}{v_z}^2} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Vi regner ut kvadratene først: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(1)|^2 &\approx \textcolor{blue}{0{,}0028} + \textcolor{red}{0{,}2919} + \textcolor{green}{1{,}0847} \\ &\approx 1{,}3794 \\ |\vec{v}(1)| &\approx \sqrt{1{,}3794} \approx 1{,}17 \end{aligned} \]

1. Regn ut banefarten i CAS Vi skriver \( \vec{r}(t) \) som et punkt, deriverer og tar lengden:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (1 + ℯ^(t/20), 1 - sin(t), 1/10 ℯ^(-2t+2) + cos(t)) v(t) := Derivert(r(t), t) ≈ Lengde(v(1))

Rad 3 gir det samme som med kalkulatoren.

Fra a) er fartsvektoren \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]

Banefarten \( |\vec{v}(t)| \) er en funksjon av \( t\text{.} \) Vi tegner grafen for \( t \in [0, 5] \) i GeoGebra og finner bunnpunktet.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke finne bunnpunktet til en så sammensatt funksjon. Øv heller på å sette opp banefarten som lengden av fartsvektoren, og på å regne den ut for gitte \( t \) med kalkulator.

1. Tegn banefarten Banefarten er lengden av fartsvektoren, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ s(t) = \sqrt{\textcolor{blue}{v_x}^2 + \textcolor{red}{v_y}^2 + \textcolor{green}{v_z}^2} \]

Vi skriver den inn i algebrafeltet med \( x \) for \( t\text{,} \) bare for \( {0 \le x \le 5}\text{,} \) og finner bunnpunktet med Min:

Skriv inn i GeoGebra: s(x) = Hvis(0 <= x <= 5, sqrt((ℯ^(x/20)/20)^2 + cos(x)^2 + (-0.2ℯ^(2-2x) - sin(x))^2)) M = Min(s, 0, 5)

2. Les av bunnpunktet Grafen faller fra \( {s(0) \approx 1{,}79} \) og er nesten flat fra \( {t \approx 2}\text{.} \) Bunnpunktet er \( {M \approx (3{,}54;\ 1{,}0013)}\text{,} \) det laveste punktet på hele \( [0, 5]\text{.} \)

Fra a) er fartsvektoren \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]

Fartsvektoren er parallell med \( xy \)-planet når \( {\textcolor{green}{v_z = 0}}\text{,} \) og parallell med \( yz \)-planet når \( {\textcolor{blue}{v_x = 0}}\text{.} \) Vi ser om hver av dem kan bli \( 0\text{.} \)

1. Parallell med yz-planet? \( e^{t/20} \) er alltid positiv, så: \[ \textcolor{blue}{v_x} = \dfrac{1}{20}e^{t/20} > 0 \]\( \textcolor{blue}{v_x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så fartsretningen er aldri parallell med \( yz \)-planet.

2. Parallell med xy-planet? Vi regner ut \( \textcolor{green}{v_z} \) i to tidspunkter med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v_z(3)} &= -\dfrac{1}{5}e^{-4} - \sin 3 \approx -0{,}145 \\ \textcolor{green}{v_z(3{,}5)} &= -\dfrac{1}{5}e^{-5} - \sin 3{,}5 \approx 0{,}349 \end{aligned} \]

\( \textcolor{green}{v_z} \) er kontinuerlig og skifter fortegn mellom \( {t = 3} \) og \( {t = 3{,}5}\text{,} \) så den er \( 0 \) for en \( t \) der imellom. Da er fartsvektoren parallell med \( xy \)-planet. Prøver vi oss fram, finner vi fortegnsskiftet mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v_z(3{,}14)} &\approx -0{,}004 \\ \textcolor{green}{v_z(3{,}15)} &\approx 0{,}006 \end{aligned} \]Det er altså ved \( {t \approx 3{,}14}\text{.} \)

1. Løs v_z = 0 i CAS Vi bruker \( \vec{v}(t) \) fra a), og løser \( {\textcolor{green}{v_z = 0}} \) med en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(-1/5 ℯ^(-2t+2) - sin(t) = 0, t = 3)

Ved \( {t \approx 3{,}14} \) er \( {\textcolor{green}{v_z} = 0}\text{.} \) \( \textcolor{blue}{v_x} \) er alltid positiv.