Eksamensoppgaver etter tema

Vi finner kvotienten fra summen av den uendelige rekka. Så legger vi sammen de fire første leddene.

1. Finn kvotienten Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn \( {S = 8} \) og \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{1 - \textcolor{red}{k}} &= 8 \\ 1 - \textcolor{red}{k} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

2. Legg sammen de fire første leddene Hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} S_4 &= 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} \end{aligned} \]

Vi skriver alle tre leddene med \( a_1 \) og differansen \( d\text{,} \) og ser at summen er tre ganger \( a_4\text{.} \)

1. Skriv leddene med a₁ og d Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Da er \( {\textcolor{blue}{a_4 = a_1 + 3\textcolor{red}{d}}} \) og \( {a_7 = a_1 + 6\textcolor{red}{d}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} a_1 + a_4 + a_7 &= 3a_1 + 9\textcolor{red}{d} \\ &= 3(\textcolor{blue}{a_1 + 3\textcolor{red}{d}}) = 3\textcolor{blue}{a_4} \end{aligned} \]

2. Løs for a₄ \[ \begin{aligned} 3\textcolor{blue}{a_4} &= 114 \\ \textcolor{blue}{a_4} &= 38 \end{aligned} \]

Vi følger løkka noen runder og ser hva som legges til \( S \) hver gang.

1. Følg løkka Linje 7 til 9 er en løkke som går \( {N = 10} \) ganger. I hver runde legger linje 8 tallet \( a \) til summen \( S\text{,} \) og linje 9 øker \( a \) med \( {d = 4}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

Etter tre runder er: \[ S = \textcolor{blue}{3} + 7 + 11 \]

2. Kjenn igjen rekken Leddene øker med \( \textcolor{red}{4} \) hver gang, så dette er en aritmetisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \) Programmet legger sammen de \( 10 \) første leddene. Det siste er \( {3 + 9 \cdot 4 = 39}\text{,} \) så summen er: \[ S_{10} = \dfrac{10 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 39)}{2} = 210 \]

Fra a) legger programmet sammen de \( N \) første leddene i den aritmetiske rekken med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \)

Vi finner det siste leddet, \( a_{100}\text{,} \) og bruker sumformelen for aritmetiske rekker.

1. Finn det siste leddet Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Med \( {n = 100} \) får vi: \[ a_{100} = \textcolor{blue}{3} + 99 \cdot \textcolor{red}{4} = 399 \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 100}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {a_{100} = 399}\text{,} \) får vi: \[ S_{100} = \dfrac{100 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 399)}{2} = 20\,100 \]

Vi starter med \( 100 \) kroner og bruker den rekursive formelen tre ganger: legg til \( 10 \) i tilbud 1, og gang med \( 1{,}05 \) i tilbud 2.

1. Tilbud 1 Hver uke får han \( \textcolor{red}{10} \) kroner mer enn uka før: \[ \begin{aligned} a_1 &= 100 \\ a_2 &= 100 + \textcolor{red}{10} = 110 \\ a_3 &= 110 + \textcolor{red}{10} = 120 \\ a_4 &= 120 + \textcolor{red}{10} = 130 \end{aligned} \]

2. Tilbud 2 Hver uke får han \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) ganger det han fikk uka før: \[ \begin{aligned} b_1 &= 100 \\ b_2 &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 105 \\ b_3 &= 105 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 110{,}25 \\ b_4 &= 110{,}25 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} \approx 115{,}76 \end{aligned} \]

Fra a) øker tilbud 1 med \( \textcolor{red}{10} \) kroner hver uke, og tilbud 2 ganges med \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) hver uke. Begge starter på \( 100 \) kroner.

Vi skriver begge beløpene som eksplisitte formler for uke \( n\text{,} \) og finner den første uka der \( {b_n > a_n}\text{.} \)

1. Skriv formlene eksplisitt Tilbud 1 er en aritmetisk følge med \( {d = \textcolor{red}{10}}\text{,} \) og tilbud 2 er en geometrisk følge med \( {k = \textcolor{blue}{1{,}05}}\text{.} \) Hvis du er usikker på \( a_n\text{,} \) kan du se videoen Aritmetiske rekker intro: \[ \begin{aligned} a_n &= 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10} \\ b_n &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1} \end{aligned} \]

2. Prøv oss fram Likningen \( {b_n = a_n} \) kan vi ikke løse for hånd, så vi prøver oss fram med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} n = 27&\text{:} \quad a_{27} = 360, \quad b_{27} \approx 355{,}57 \\ n = 28&\text{:} \quad a_{28} = 370, \quad b_{28} \approx 373{,}35 \end{aligned} \]

I uke \( 27 \) er tilbud 1 fortsatt best, men i uke \( 28 \) gir tilbud 2 mest. Siden tilbud 2 vokser med \( 5\,\% \) av et stadig større beløp, holder det seg foran etter det.

1. Løs b(n) = a(n) i CAS Vi skriver de eksplisitte formlene, og løser \( {b(n) = a(n)} \) med en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: a(n) := 100 + 10(n - 1) b(n) := 100*1.05^(n - 1) NLøs(b(n) = a(n), n = 30)

Beløpene er like ved \( {n \approx 27{,}58}\text{,} \) så den første hele uka der tilbud 2 gir mest, er uke \( 28\text{.} \)

Fra b) er \( {a_n = 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10}} \) og \( {b_n = 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1}}\text{.} \)

Det han har fått til sammen etter \( n \) uker, er summen av de \( n \) første leddene. Vi bruker sumformlene for aritmetiske og geometriske rekker, og prøver oss fram.

1. Sett opp summene Summen av en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} \]som i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel. For tilbud 1 får vi: \[ \begin{aligned} S_n^{(1)} &= \dfrac{n(100 + 100 + 10(n - 1))}{2} \\ &= 5n^2 + 95n \end{aligned} \]

Summen av en geometrisk rekke er: \[ S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{k}^n}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel. For tilbud 2 får vi: \[ \begin{aligned} S_n^{(2)} &= 100 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}^n}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}} \\ &= 2000(\textcolor{blue}{1{,}05}^n - 1) \end{aligned} \]

2. Prøv oss fram Med kalkulatoren regner vi ut summene etter \( 38 \) og \( 39 \) uker: \[ \begin{aligned} S_{38}^{(1)} &= 10\,830, & S_{38}^{(2)} &\approx 10\,771 \\ S_{39}^{(1)} &= 11\,310, & S_{39}^{(2)} &\approx 11\,410 \end{aligned} \]

Etter \( 38 \) uker har tilbud 1 gitt mest, men etter \( 39 \) uker har tilbud 2 gitt mest til sammen.

1. Løs likningen for summene i CAS Vi bruker \( a(n) \) og \( b(n) \) fra b), og lar CAS summere:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Sum(b(k), k, 1, n) = Sum(a(k), k, 1, n), n = 40)

Summene er like ved \( {n \approx 38{,}39}\text{,} \) så tilbud 2 har gitt mest til sammen fra uke \( 39\text{.} \)