Eksamensoppgaver etter tema

Vi ser at integralet består av to ledd. Vi finner derfor en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene til slutt.

1. Finn en antiderivert ledd for ledd \( e^x \) er sin egen deriverte, så \( \textcolor{blue}{2e^x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{2e^x}}\text{.} \) Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

For potenser forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Regelen står også i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{red}{2x^2} \) har \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) så integrert blir den \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}x^3}}\text{.} \)

2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Plugger vi inn antiderivertene og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_0^1 \left(2e^x + 2x^2\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{2e^x} + \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}x^3}\right]_0^1 \\ &= \left(\textcolor{blue}{2e} + \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}}\right) - \left(\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{0}\right) \\ &= 2e - \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]Da vi satte inn \( {x = 0}\text{,} \) brukte vi at \( {e^0 = 1}\text{.} \)

Vi ser at telleren \( {2x - 1} \) er den deriverte av nevneren \( {x^2 - x - 6}\text{.} \) Vi bruker derfor variabelskifte med \( u \) lik nevneren.

1. Bytt variabel Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 - x - 6} \qquad \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} = 2x - 1 \]Løser vi for \( dx\text{,} \) får vi \( {dx = \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x - 1}}\text{.} \) Hvis du er usikker på variabelskifte, kan du se videoen Substitusjon.

2. Integrer med den nye variabelen Plugger vi dette inn i integralet, får vi: \[ \begin{aligned} & \int \dfrac{2x - 1}{\textcolor{green}{x^2 - x - 6}}\,dx \\ &= \int \dfrac{2x - 1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x - 1} \\ &= \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \ln|\textcolor{green}{u}| + C \end{aligned} \]\( {2x - 1} \) forkortes bort, og \( \ln|u| \) er en antiderivert til \( \dfrac{1}{u}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

3. Bytt tilbake til den gamle variabelen Til slutt setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 - x - 6}} \) tilbake: \[ \begin{aligned} & \int \dfrac{2x - 1}{x^2 - x - 6}\,dx \\ &= \ln|\textcolor{green}{x^2 - x - 6}| + C \end{aligned} \]

Kontroll: Deriverer vi svaret med kjerneregelen, får vi \( {\dfrac{1}{x^2 - x - 6} \cdot (2x - 1)}\text{,} \) som er det vi integrerte.

Akselerasjonen er den deriverte av farten. Vi deriverer, setter den deriverte lik null og løser likningen med \( \ln\text{.} \)

1. Deriver farten Når eksponenten er \( \textcolor{green}{k}t\text{,} \) gir kjerneregelen: \[ \left(e^{\textcolor{green}{k}t}\right)' = \textcolor{green}{k}e^{\textcolor{green}{k}t} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen. Vi deriverer ledd for ledd:

\( {-17{,}4e^{-5t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-5}}\text{,} \) så derivert blir den \( {\underline{\textcolor{blue}{87e^{-5t}}}}\text{,} \) fordi \( {-17{,}4 \cdot (\textcolor{green}{-5}) = 87}\text{.} \)

\( {9{,}1e^{-0{,}08t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-0{,}08}}\text{,} \) så derivert blir den \( {\underline{\textcolor{red}{-0{,}728e^{-0{,}08t}}}}\text{,} \) fordi \( {9{,}1 \cdot (\textcolor{green}{-0{,}08}) = -0{,}728}\text{.} \)

Konstanten \( 8{,}3 \) blir borte, så akselerasjonen er: \[ a(t) = v'(t) = \textcolor{blue}{87e^{-5t}} \textcolor{red}{- 0{,}728e^{-0{,}08t}} \]

2. Løs likningen Vi setter \( {a(t) = 0} \) og flytter det ene leddet over: \[ \textcolor{blue}{87e^{-5t}} = \textcolor{red}{0{,}728e^{-0{,}08t}} \]

Vi ganger begge sider med \( \dfrac{e^{5t}}{0{,}728}\text{.} \) Eksponenten blir \( {-0{,}08t + 5t = 4{,}92t}\text{:} \) \[ e^{4{,}92t} = \dfrac{87}{0{,}728} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Naturlige Logaritmer, og får: \[ \begin{aligned} 4{,}92t &= \ln\left(\dfrac{87}{0{,}728}\right) \\ t &\approx 0{,}972 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Vi sjekker fortegnet til akselerasjonen på hver side: \[ \begin{aligned} a(0) &= 87 - 0{,}728 \approx 86{,}3 > 0 \\ a(2) &= 87e^{-10} - 0{,}728e^{-0{,}16} \\ &\approx -0{,}62 < 0 \end{aligned} \]Farten øker altså til \( {t \approx 0{,}972} \) og avtar etterpå. Hvis du er usikker på hvordan vi avgjør om det er et toppunkt, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

Da har haren den største farten: \[ v(0{,}972) \approx 16{,}58 \]Etter omtrent \( 0{,}97 \) sekunder løper haren fortest, med omtrent \( 16{,}6\,\text{m/s}\text{,} \) og etter det går farten ned.

1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( v(t)\text{,} \) løser \( {v'(t) = 0} \) og setter løsningen inn i \( v\text{.} \) Rad 2 og 3 regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: v(t) := 8.3 - 17.4ℯ^(-5t) + 9.1ℯ^(-0.08t) Løs(Derivert(v(t), t) = 0, t) v(0.9722)

Rad 2 gir \( {t \approx 0{,}9722}\text{,} \) og rad 3 gir farten da, \( {v \approx 16{,}58\,\text{m/s}}\text{.} \) Akselerasjonen er positiv før og negativ etter, for eksempel \( {a(0) \approx 86{,}3} \) og \( {a(2) \approx -0{,}62}\text{,} \) så dette er den største farten.

Strekningen er integralet av farten. Vi finner en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene \( 0 \) og \( 7\text{.} \)

1. Finn en antiderivert Når eksponenten er \( \textcolor{green}{k}t\text{,} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int e^{\textcolor{green}{k}t}\,dt = \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}e^{\textcolor{green}{k}t} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( 8{,}3 \) integrert blir \( \underline{8{,}3t}\text{.} \)

\( {-17{,}4e^{-5t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-5}}\text{,} \) så integrert blir den \( {\underline{3{,}48e^{-5t}}}\text{,} \) fordi \( {\dfrac{-17{,}4}{\textcolor{green}{-5}} = 3{,}48}\text{.} \)

\( {9{,}1e^{-0{,}08t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-0{,}08}}\text{,} \) så integrert blir den \( {\underline{-113{,}75e^{-0{,}08t}}}\text{,} \) fordi \( {\dfrac{9{,}1}{\textcolor{green}{-0{,}08}} = -113{,}75}\text{.} \)

Vi kaller den antideriverte \( F\text{:} \) \[ \begin{aligned} F(t) = \ &8{,}3t + 3{,}48e^{-5t} \\ &- 113{,}75e^{-0{,}08t} \end{aligned} \]

2. Sett inn grensene Strekningen er integralet av farten: \[ s = \int_0^7 v(t)\,dt = F(\textcolor{blue}{7}) - F(\textcolor{red}{0}) \]

Vi regner ut hver for seg: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{blue}{7}) &= 58{,}1 + 3{,}48e^{-35} \\ &\quad - 113{,}75e^{-0{,}56} \\ &\approx \textcolor{blue}{-6{,}875} \\ F(\textcolor{red}{0}) &= 3{,}48 - 113{,}75 = \textcolor{red}{-110{,}27} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ s = \textcolor{blue}{-6{,}875} - (\textcolor{red}{-110{,}27}) \approx 103{,}4 \]Haren løper omtrent \( 103{,}4\,\text{m} \) de første \( 7 \) sekundene.

1. Regn ut integralet i CAS Vi fortsetter i CAS fra a), og regner ut integralet med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Integral(v(t), t, 0, 7)

Rad 4 gir strekningen, \( 103{,}395\,\text{m}\text{.} \)

Integralet i formelen er strekningen haren har løpt etter \( x \) sekunder. Vi finner når strekningen er \( 200\,\text{m}\text{,} \) og deler \( 200 \) på den tiden.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse likningen for hånd, fordi \( x \) står både alene og i eksponenter. Øv heller på å sette opp likningen, og på å forklare at gjennomsnittsfarten er strekningen delt på tiden.

1. Finn tiden for 200 meter Vi fortsetter i CAS fra a). Rad 5 definerer strekningen etter \( x \) sekunder, \( {S(x) = \displaystyle\int_0^x v(t)\,dt}\text{,} \) og rad 6 løser \( {S(x) = 200} \) med NLøs og startverdien \( {x = 15}\text{.} \) Rad 7 regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: S(x) := Integral(v(t), t, 0, x) NLøs(S(x) = 200, x = 15) 200 / 14.9539

Rad 6 viser at haren har løpt \( 200\,\text{m} \) etter omtrent \( 14{,}9539 \) sekunder.

2. Regn ut gjennomsnittsfarten Etter \( {\textcolor{red}{x \approx 14{,}9539}} \) sekunder er integralet \( \textcolor{blue}{200}\text{,} \) så formelen gir strekningen delt på tiden, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT): \[ v_g = \dfrac{1}{\textcolor{red}{x}} \cdot \textcolor{blue}{200} \approx \dfrac{\textcolor{blue}{200}}{\textcolor{red}{14{,}9539}} \approx 13{,}37 \]Dette er rad 7.

Vi ser at integralet er et produkt av en potens og \( \ln x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, med \( \ln x \) som den vi deriverer.

1. Velg u og v′ Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( \ln x \) blir enklere når vi deriverer den, så vi velger: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} \int x^2 \ln x\,dx &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \\ &\quad - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \int \dfrac{x^2}{3}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9} + C \end{aligned} \]

Vi regner ut integralet med \( x \) som øvre grense, og får en likning med cosinus. Den løser vi med enhetssirkelen.

1. Regn ut integralet For sinus med en kjerne \( {\textcolor{blue}{n}t + b} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &\int \sin(\textcolor{blue}{n}t + b)\,dt \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}t + b) + C \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{\pi}}\text{.} \) Vi setter inn grensene \( x \) og \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\left[-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos\left(\textcolor{blue}{\pi}t + \dfrac{\pi}{4}\right)\right]_0^x \\ &= -\dfrac{1}{\pi}\cos\left(\pi x + \dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{1}{\pi}\cos\dfrac{\pi}{4} \end{aligned} \]

Integralet er \( 0 \) når de to leddene er like, altså når: \[ \cos\left(\textcolor{red}{\pi x + \dfrac{\pi}{4}}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4} \]

2. Løs likningen To vinkler har samme cosinus når de er like, pluss hele runder \( 2\pi k\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\pi x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= 2k \end{aligned} \]

eller når de er motsatte, pluss hele runder: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\pi x + \dfrac{\pi}{4}} &= -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{1}{2} + 2k \end{aligned} \]Hvis du er usikker på \( 2\pi k\text{,} \) kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

\( {\pi \approx 3{,}14}\text{.} \) Med \( {k = 1} \) får vi \( {x = 2} \) og \( {x = \dfrac{3}{2}}\text{.} \) \( {k = 0} \) gir \( {x = 0} \) og \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{,} \) og \( {k = 2} \) gir \( {x = 4} \) og \( {x = \dfrac{7}{2}}\text{,} \) som alle ligger utenfor \( \langle 0, \pi \rangle\text{.} \)

Vi bruker svaret fra b), \( {x = \dfrac{3}{2}} \) og \( {x = 2}\text{.} \)

Et bestemt integral er arealet over \( x \)-aksen minus arealet under. At integralet er \( 0\text{,} \) betyr at de to er like store.

1. Tolk integralet Fra \( 0 \) til \( x \) er \( \textcolor{blue}{\text{arealet over}} \) \( t \)-aksen like stort som \( \textcolor{red}{\text{arealet under}}\text{.} \) Hvis du er usikker på integralet som areal, kan du se videoen Hva er integrasjon.

2. Gi et eksempel La \( {\sin\left(\pi t + \dfrac{\pi}{4}\right)} \) være farten i m/s til en gjenstand som beveger seg fram og tilbake langs en linje. Integralet av farten er hvor langt gjenstanden har flyttet seg fra start.

At integralet er \( 0 \) for \( {x = \dfrac{3}{2}} \) og \( {x = 2}\text{,} \) betyr at gjenstanden er tilbake der den startet etter \( 1{,}5 \) og etter \( 2 \) sekunder.

For å sette opp likningen til et plan trenger vi en normalvektor. Vi ser hva som skjer når de tre punktene ligger på én linje.

1. Se på hvordan likningen finnes Gjennom tre punkter \( A\text{,} \) \( B \) og \( C \) finner vi en normalvektor som vektorproduktet: \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \]Så setter vi inn i likningen for planet, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

2. Finn et moteksempel Ta punktene \( A(0, 0, 0)\text{,} \) \( B(1, 0, 0) \) og \( C(2, 0, 0)\text{,} \) som alle ligger på \( x \)-aksen. Da er \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[1, 0, 0]}} \) og \( {\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[2, 0, 0]} = 2\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}}\text{.} \) Vektorene er parallelle, så: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = [0, 0, 0] \]

Nullvektoren kan ikke være normalvektor. Alle plan som inneholder \( x \)-aksen, går gjennom de tre punktene, for eksempel \( xy \)-planet \( {z = 0} \) og \( xz \)-planet \( {y = 0}\text{.} \) Tre punkter bestemmer bare ett plan når de ikke ligger på samme linje, så påstanden er usann.

Vi finner kvotienten for \( {x = \dfrac{1}{e}}\text{,} \) og ser om rekken konvergerer før vi bruker sumformelen.

1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{red}{k = \ln x - 1}}\text{.} \) Med \( {x = \dfrac{1}{e}} \) er \( {\ln \dfrac{1}{e} = -1}\text{,} \) så: \[ \textcolor{red}{k} = -1 - 1 = \textcolor{red}{-2} \]

2. Sjekk om rekken konvergerer En uendelig geometrisk rekke konvergerer bare når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Med \( {\textcolor{red}{k = -2}} \) er rekken \( {1 - 2 + 4 - 8 + \dots}\text{,} \) og leddene blir større og større. Rekken divergerer, så den har ingen sum.

Sumformelen ville gitt \( {\dfrac{1}{1 - (-2)} = \dfrac{1}{3}}\text{,} \) men formelen gjelder ikke når rekken divergerer. Påstanden er derfor usann.

Vi ser på differansen \( {f(x) - g(x)}\text{.} \) Den finner skjæringspunktene, og arealet mellom grafene er integralet av den.

1. Finn skjæringspunktene Vi trekker \( g \) fra \( f\text{,} \) og \( {-x^2} \) forsvinner: \[ \begin{aligned} h(x) &= f(x) - g(x) \\ &= x^3 - (a + 1)x \\ &= x\left(x^2 - (a + 1)\right) \end{aligned} \]

Når \( {a > -1} \) er \( {a + 1 > 0}\text{,} \) og grafene skjærer hverandre i tre punkter: \[ x = 0 \quad \vee \quad x = \pm\sqrt{a + 1} \]Mellom dem avgrenser grafene to områder.

2. Regn ut de to arealene Arealet mellom grafene er integralet av differansen. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Vi kaller \( {s = \sqrt{a + 1}}\text{,} \) så \( {s^2 = a + 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_0^{\textcolor{red}{s}} h(x)\,dx &= \left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{s^2 x^2}{2}\right]_0^{\textcolor{red}{s}} \\ &= \dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2} = -\dfrac{s^4}{4} \end{aligned} \]

På samme måte er: \[ \int_{\textcolor{blue}{-s}}^0 h(x)\,dx = 0 - \left(\dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2}\right) = \dfrac{s^4}{4} \]Det ene området har \( f \) over \( g\text{,} \) det andre \( g \) over \( f\text{,} \) og begge har arealet \( {\dfrac{s^4}{4} = \dfrac{(a + 1)^2}{4}}\text{.} \)

Det kunne vi også sett av at \( {h(-x) = -h(x)}\text{:} \) grafen til \( h \) er symmetrisk om origo. Påstanden er sann.

Gjennomsnittsfarten fra \( 0 \) til \( x \) er strekningen delt på tiden, og strekningen er integralet av farten. Vi setter gjennomsnittet lik \( 54 \) og løser for \( x\text{.} \)

1. Regn ut strekningen Strekningen fra \( 0 \) til \( x \) er integralet av farten. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. For sinus med en kjerne \( {\textcolor{blue}{n}t + b} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &\int \sin(\textcolor{blue}{n}t + b)\,dt \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}t + b) + C \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{360}}\text{,} \) så \( {-6 \cdot \left(-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{360}}\right) = \dfrac{1}{60}}\text{.} \) Vi bruker også at \( {\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} s(x) &= \left[\dfrac{1}{60}\cos\left(360t - \dfrac{\pi}{2}\right) + 54t\right]_0^x \\ &= \dfrac{1}{60}\cos\left(\textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}}\right) + 54x \end{aligned} \]

2. Sett gjennomsnittet lik 54 Gjennomsnittsfarten er strekningen delt på tiden \( x\text{:} \) \[ \dfrac{s(x)}{x} = \dfrac{1}{60x}\cos\left(\textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}}\right) + 54 \]Den er \( 54 \) når brøken er \( 0\text{,} \) altså når \( {\cos\left(\textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}}\right) = 0}\text{.} \)

3. Finn det første tidspunktet Cosinus er \( 0 \) i \( {\pm\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og så for hver \( \pi\text{.} \) \( {x = 0} \) gir \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) så den første \( {x > 0} \) gir \( \dfrac{\pi}{2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}} &= \dfrac{\pi}{2} \\ x &= \dfrac{\pi}{360} \approx 0{,}008\,73 \end{aligned} \]Kalkulatoren må stå i radianer, fordi \( 360t \) er en vinkel i radianer. Det er \( {0{,}008\,73 \cdot 3600 \approx 31{,}4} \) sekunder.

1. Løs likningen i CAS Vi definerer farten og løser likningen for gjennomsnittsfarten med NLøs og en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: v(t) := -6sin(360t - π/2) + 54 NLøs(1/x Integral(v(t), t, 0, x) = 54, x = 0.01)

Rad 2 gir \( {x \approx 0{,}0087} \) timer, som er omtrent \( 31 \) sekunder.

Akselerasjonen er den deriverte av farten. Den deriverte blir en cosinusfunksjon, og den er størst når cosinus er \( {-1}\text{.} \)

1. Deriver farten Vi bruker kjerneregelen med kjernen \( {360t - \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) som har derivert \( 360\text{.} \) Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen. Sinus derivert er cosinus: \[ \begin{aligned} a(t) &= v'(t) \\ &= -6\cos\left(360t - \dfrac{\pi}{2}\right) \cdot 360 \\ &= -2160\cos\left(\textcolor{red}{360t - \dfrac{\pi}{2}}\right) \end{aligned} \]

2. Finn når akselerasjonen er størst Cosinus er minst \( {-1}\text{,} \) så den største verdien er \( {-2160 \cdot (-1) = 2160}\text{.} \) Cosinus er \( {-1} \) i \( \pi\text{,} \) og så for hver hele runde: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{360t - \dfrac{\pi}{2}} &= \pi + 2\pi k \\ t &= \dfrac{\pi}{240} + \dfrac{\pi}{180}k \end{aligned} \]der \( {k = 0, 1, 2, \dots}\text{,} \) siden \( {t \ge 0}\text{.} \)

Den første gangen er \( {t = \dfrac{\pi}{240} \approx 0{,}0131} \) timer, eller omtrent \( 47 \) sekunder. Så kommer den igjen etter hver periode på \( {\dfrac{\pi}{180} \approx 0{,}0175} \) timer, omtrent \( 63 \) sekunder.

Vi bruker strekningen fra a): \[ s(x) = \dfrac{1}{60}\cos\left(360x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 54x \]

Vi setter strekningen lik \( 2 \) km og løser for tiden. Likningen blander cosinus og \( x\text{,} \) så vi løser den med GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse denne likningen. Øv heller på å sette opp strekningen som integralet av farten, og på et overslag: farten svinger rundt \( 54\,\text{km/t}\text{,} \) så tiden er omtrent \( {\dfrac{2}{54}\,\text{h} \approx 2{,}2} \) minutter.

1. Løs likningen i CAS Farten er alltid mellom \( 48 \) og \( 60\,\text{km/t}\text{,} \) så bilen kjører hele tiden framover, og strekningen er integralet av farten, som i videoen Hva er integrasjon. Vi skal finne tiden \( x \) der: \[ \textcolor{red}{S(x)} = \int_0^x v(t)\,dt = \textcolor{blue}{2} \]

Vi fortsetter i CAS fra a), definerer strekningen og løser \( {\textcolor{red}{S(x)} = \textcolor{blue}{2}} \) med en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: S(x) := Integral(v(t), t, 0, x) NLøs(S(x) = 2, x = 0.04)

Rad 3 gir \( {\dfrac{1}{60}\sin(360x) + 54x}\text{,} \) det samme som \( s(x) \) fra a), og rad 4 gir \( {x \approx 0{,}0368} \) timer. Det er \( {0{,}036\,84 \cdot 60 \approx 2{,}21} \) minutter, eller omtrent \( 2 \) minutter og \( 13 \) sekunder.