Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

79 oppgaver i R2 · viser 11–20

Oppgavene

R2 vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

6 poeng

Banefart er lengden av fartsvektoren.
Et lite propellfly må nødlande på en motorvei. Posisjonen r⃗(t) \vec{r}(t) til flyet t t sekunder etter at nødlandingen har startet, er gitt ved
r⃗(t)=[30t−t2, 8sin⁡(π10t), 50(1−t10)2] \vec{r}(t) = \left[30t - t^2,\ 8\sin\left(\dfrac{\pi}{10}t\right),\ 50\left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2\right]
Motorveien ligger i xy xy -planet. Enhetene langs aksene er meter.

Oppgave 3a)

Hvor høyt over motorveien er flyet 4 4 sekunder etter at nødlandingen har startet?
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Etter 4 4 sekunder er flyet
18 m over motorveien‾‾ \underline{\underline{18\,\text{m over motorveien}}}
Motorveien ligger i \( xy \)-planet, så høyden over veien er \( z \)-koordinaten. Vi setter inn \( {t = 4}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Sett inn tiden i høyden \( z \)-koordinaten til \( \vec{r}(t) \) er \( {\textcolor{green}{50\left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2}}\text{.} \) Med \( {t = 4} \) får vi: \[ \begin{aligned} z(4) &= \textcolor{green}{50\left(1 - \dfrac{4}{10}\right)^2} \\ &= 50 \cdot 0{,}6^2 = 18 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på å lese av koordinatene i en parameterframstilling, kan du se videoen Forskjellige måter å skrive på.

Oppgave 3b)

Bestem banefarten idet flyet lander på motorveien.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Avrundet til to desimaler:
∣v⃗(10)∣≈10,31 m/s‾‾ \underline{\underline{|\vec{v}(10)| \approx 10{,}31\,\text{m/s}}}
Flyet lander når høyden er \( 0\text{.} \) Banefarten er lengden av fartsvektoren, som er den deriverte av posisjonsvektoren.
Metode: Med kalkulator
1. Finn når flyet lander Flyet lander når \( z \)-koordinaten er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 50\left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2 &= 0 \\ 1 - \dfrac{t}{10} &= 0 \\ t &= 10 \end{aligned} \]
2. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. For \( y \) og \( z \) bruker vi kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ \big(g(u)\big)' = g'(u) \cdot u' \]
Kjernen \( \dfrac{\pi}{10}t \) har derivert \( \dfrac{\pi}{10}\text{,} \) og kjernen \( {1 - \dfrac{t}{10}} \) har derivert \( {-\dfrac{1}{10}}\text{.} \) Vi deriverer hver koordinat for seg: \[ \begin{aligned} x'(t) &= \textcolor{blue}{30 - 2t} \\ y'(t) &= 8\cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right) \cdot \dfrac{\pi}{10} \\ &= \textcolor{red}{0{,}8\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right)} \\ z'(t) &= 50 \cdot 2\left(1 - \dfrac{t}{10}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{10}\right) \\ &= \textcolor{green}{t - 10} \end{aligned} \]
3. Regn ut banefarten ved landing Vi setter inn \( {t = 10}\text{.} \) Der er \( {\cos \pi = -1}\text{:} \) \[ \vec{v}(10) = [\textcolor{blue}{10},\ \textcolor{red}{-0{,}8\pi},\ \textcolor{green}{0}] \]
Banefarten er lengden av fartsvektoren. Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(10)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{10}^2 + (\textcolor{red}{-0{,}8\pi})^2 + \textcolor{green}{0}^2} \\ &= \sqrt{100 + 0{,}64\pi^2} \approx 10{,}31 \end{aligned} \]Banefarten idet flyet lander, er omtrent \( 10{,}31\,\text{m/s}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut banefarten i CAS Vi definerer posisjonen, deriverer den, finner når \( {z = 0} \) og regner ut lengden av fartsvektoren da. Den siste raden regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (30t - t^2, 8*sin(π/10*t), 50*(1 - t/10)^2) v(t) := Derivert(r(t), t) Løs(50*(1 - t/10)^2 = 0, t) Lengde(v(10))
Rad 3 viser at flyet lander ved \( {t = 10}\text{,} \) og rad 4 gir banefarten \( {|\vec{v}(10)| \approx 10{,}311\,\text{m/s}}\text{.} \)

Oppgave 3c)

Ved hvilket tidspunkt under nødlandingen er banefarten 14,3 m/s? 14{,}3\,\text{m/s}\text{?}
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Avrundet til én desimal:
t≈8,0 s‾‾ \underline{\underline{t \approx 8{,}0\,\text{s}}}
Vi bruker fartsvektoren fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi skal finne \( t \) når lengden av fartsvektoren er \( 14{,}3\text{.} \) Vi tegner grafen til banefarten og finner skjæringen med linja \( {y = 14{,}3}\text{.} \)
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse denne likningen. Øv heller på å finne fartsvektoren og banefarten, som i b), og på å regne ut banefarten for en gitt \( t\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Skriv opp banefarten I b) fant vi fartsvektoren. Kvadratet av banefarten er: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(t)|^2 = \ &(\textcolor{blue}{30 - 2t})^2 \\ &+ \left(\textcolor{red}{0{,}8\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right)}\right)^2 \\ &+ (\textcolor{green}{t - 10})^2 \end{aligned} \]Vi skal finne \( t \) mellom \( 0 \) og landingen ved \( {t = 10} \) der \( {|\vec{v}(t)| = 14{,}3}\text{.} \) Likningen blander et polynom og cosinus, så den kan ikke løses for hånd.
2. Finn skjæringen med linja Vi tegner banefarten som en funksjon fra \( 0 \) til \( 10 \) og linja \( {y = 14{,}3}\text{,} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: b(x) = Funksjon(sqrt((30 - 2x)^2 + (0.8π*cos(π/10*x))^2 + (x - 10)^2), 0, 10) h: y = 14.3
Skjæringspunktet er \( {S \approx (7{,}9939,\ 14{,}3)}\text{.} \) Grafen synker hele veien fra start til landing, så banefarten er \( 14{,}3\,\text{m/s} \) bare én gang, etter omtrent \( 8{,}0 \) sekunder.
En fugl er i posisjonen (131,67,23) (131, 67, 23) idet flyet starter nødlandingen. Fuglen flyr i en rett linje og krysser banen til flyet i punktet (125,8,252). {\left(125, 8, \dfrac{25}{2}\right)}\text{.}
Fuglen holder en jevn banefart på 12 m/s. 12\,\text{m/s}\text{.}

Oppgave 3d)

Vil fuglen treffe flyet?
Vis løsning på oppgave 3d
Svar
Fuglen kommer bare 0,02 s 0{,}02\,\text{s} etter flyet, og da har flyet flyttet seg omtrent 0,4 m: 0{,}4\,\text{m}\text{:}
Ja, fuglen treffer flyet‾‾ \underline{\underline{\text{Ja, fuglen treffer flyet}}}
Vi bruker fartsvektoren fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi finner når flyet og fuglen er i krysningspunktet. Fuglen treffer flyet hvis flyet ikke har rukket å passere punktet når fuglen kommer dit.
Metode: Med kalkulator
1. Finn når flyet er i krysningspunktet Flyet er i \( {\left(125, 8, \dfrac{25}{2}\right)} \) når \( z \)-koordinaten er \( \dfrac{25}{2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 50\left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2 &= \dfrac{25}{2} \\ \left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2 &= \dfrac{1}{4} \\ 1 - \dfrac{t}{10} &= \pm\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {t = 5} \) eller \( {t = 15}\text{.} \) Flyet lander ved \( {t = 10}\text{,} \) så \( {t = 5}\text{.} \)
Vi sjekker de to andre koordinatene: \[ \begin{aligned} x(5) &= \textcolor{blue}{30 \cdot 5 - 5^2} = 125 \\ y(5) &= \textcolor{red}{8\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} = 8 \end{aligned} \]Flyet er i krysningspunktet etter \( \underline{5\,\text{s}}\text{.} \)
2. Finn tiden fuglen bruker Fuglen flyr i en rett linje fra \( (131, 67, 23) \) til \( (125, 8, 12{,}5)\text{.} \) Vi trekker koordinatene fra hverandre: \[ \begin{aligned} 125 - 131 &= \textcolor{blue}{-6} \\ 8 - 67 &= \textcolor{red}{-59} \\ 12{,}5 - 23 &= \textcolor{green}{-10{,}5} \end{aligned} \]Vektoren mellom punktene er \( {[\textcolor{blue}{-6}, \textcolor{red}{-59}, \textcolor{green}{-10{,}5}]}\text{.} \)
Avstanden er lengden av vektoren: \[ \begin{aligned} s &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-6})^2 + (\textcolor{red}{-59})^2 + (\textcolor{green}{-10{,}5})^2} \\ &= \sqrt{3627{,}25} \approx 60{,}227 \end{aligned} \]Tiden er strekning delt på fart, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT): \[ t = \dfrac{s}{v} \approx \dfrac{60{,}227}{12} \approx 5{,}019 \]Fuglen er i krysningspunktet etter omtrent \( \underline{5{,}02\,\text{s}}\text{.} \)
3. Sammenlign tidene Fuglen kommer \( {5{,}019 - 5 = 0{,}019\,\text{s}} \) etter flyet. Regnet som punkter er de ikke der samtidig, men forskjellen er svært liten.
I b) fant vi koordinatene til fartsvektoren. Med \( {t = 5} \) er de: \[ \begin{aligned} x'(5) &= \textcolor{blue}{30 - 2 \cdot 5} = 20 \\ y'(5) &= \textcolor{red}{0{,}8\pi\cos\dfrac{\pi}{2}} = 0 \\ z'(5) &= \textcolor{green}{5 - 10} = -5 \end{aligned} \]
Banefarten til flyet er lengden av \( \vec{v}(5)\text{,} \) og strekningen det flytter seg på \( 0{,}019\,\text{s}\text{,} \) er banefart ganger tid: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(5)| &= \sqrt{20^2 + (-5)^2} \approx 20{,}6 \\ s_{\text{fly}} &\approx 20{,}6 \cdot 0{,}019 \approx 0{,}39 \end{aligned} \]Flyet flytter seg bare omtrent \( 0{,}4\,\text{m}\text{,} \) og et lite propellfly er flere meter langt. Flyet er altså fortsatt i krysningspunktet når fuglen kommer, så fuglen treffer flyet.
Metode: Med GeoGebra
1. Sammenlign tidene i CAS Vi fortsetter i CAS fra b), der \( r(t) \) er definert. Rad 5 finner når flyet er i krysningspunktet, rad 6 tiden fuglen bruker, avstanden delt på farten, og rad 7 banefarten til flyet da, med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: Løs(r(t) = (125, 8, 25/2), t) Lengde((125, 8, 25/2) - (131, 67, 23)) / 12 Lengde(v(5))
Flyet er i krysningspunktet ved \( {t = 5}\text{,} \) og fuglen kommer dit etter omtrent \( 5{,}0189\,\text{s}\text{.} \) Rad 7 gir banefarten \( {|\vec{v}(5)| \approx 20{,}6155\,\text{m/s}}\text{,} \) så på de \( 0{,}0189\,\text{s} \) flytter flyet seg omtrent \( {20{,}6155 \cdot 0{,}0189 \approx 0{,}39\,\text{m}}\text{.} \) Det er mye mindre enn flyet er langt, så fuglen treffer flyet.

R2 vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

Du får i oppdrag å lage en vase med form som på bildet nedenfor. Vasen skal romme omtrent 1,5 L 1{,}5\,\text{L} vann og ha høyde 20 cm. 20\,\text{cm}\text{.}
Bruk det du kan om omdreiningslegemer og trigonometri, til å lage en funksjon på formen
f(x)=A⋅sin⁡(cx+φ)+d f(x) = A \cdot \sin(cx + \varphi) + d
som ved omdreining gir en vase med denne formen.
Tegn grafen til funksjonen i et koordinatsystem der enhetene langs aksene er centimeter.
Husk å begrunne ditt valg av parameterne A, A\text{,} c, c\text{,} φ \varphi og d, d\text{,} og la funksjonsuttrykket komme tydelig fram i besvarelsen din.
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Et mulig funksjonsuttrykk, med x x og f(x) f(x) i centimeter:
f(x)=sin⁡(3π20x−π2)+4,83‾‾ \underline{\underline{f(x) = \sin\left(\dfrac{3\pi}{20}x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 4{,}83}}
Vi legger vasen ned langs førsteaksen, slik at \( f(x) \) er radien i høyden \( x\text{.} \) Formen på vasen gir \( c \) og \( \varphi\text{,} \) og volumet gir \( d\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Les av formen på vasen Vi lar førsteaksen gå gjennom midten av vasen, med bunnen i \( {x = 0} \) og kanten i \( {x = 20}\text{.} \) Vasen er da omdreiningslegemet vi får når grafen dreies rundt førsteaksen.
Fra bunnen og opp er vasen smal, bred, smal og bred igjen ved kanten. Radien går altså fra et bunnpunkt til et toppunkt, et bunnpunkt og et toppunkt. Det er tre halve perioder på \( 20\,\text{cm}\text{,} \) så perioden er: \[ \begin{aligned} p &= \dfrac{2}{3} \cdot 20 = \dfrac{40}{3} \\ \textcolor{green}{c} &= \dfrac{2\pi}{p} = \textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}} \end{aligned} \]
Bunnen skal være et bunnpunkt. Sinus har bunnpunkt når det som står inni, er \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og i \( {x = 0} \) står det bare \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) inni: \[ \textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{-\dfrac{\pi}{2}} \]
2. Velg amplituden Vi velger \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) så radien går \( 1\,\text{cm} \) ut og inn fra middelradien \( \textcolor{blue}{d}\text{.} \)
3. Finn middelradien fra volumet Vasen skal romme \( {1{,}5\,\text{L} = 1500\,\text{cm}^3}\text{.} \) Volumformelen forteller oss at: \[ V = \pi \int_0^{20} \left(f(x)\right)^2 dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.
Vi kaller det som står inni sinus, \( u\text{,} \) så \( {f(x) = \textcolor{red}{A}\sin u + \textcolor{blue}{d}}\text{,} \) og ganger ut kvadratet: \[ \begin{aligned} & \left(\textcolor{red}{A}\sin u + \textcolor{blue}{d}\right)^2 \\ &= \textcolor{red}{A}^2\sin^2 u + 2\textcolor{red}{A}\textcolor{blue}{d}\sin u + \textcolor{blue}{d}^2 \end{aligned} \]Fra \( {x = 0} \) til \( {x = 20} \) går \( u \) fra \( {-\dfrac{\pi}{2}} \) til \( \dfrac{5\pi}{2}\text{.} \) Med \( {\sin^2 u = \dfrac{1 - \cos 2u}{2}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^{20} \sin u\,dx &= \left[-\dfrac{\cos u}{\textcolor{green}{c}}\right]_0^{20} \\ &= 0 \\ \int_0^{20} \sin^2 u\,dx &= \left[\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2u}{4\textcolor{green}{c}}\right]_0^{20} \\ &= 10 \end{aligned} \]Leddene med \( \cos u \) og \( \sin 2u \) er \( 0 \) i begge endene. Det gir oss: \[ V = \pi\left(10\textcolor{red}{A}^2 + 20\textcolor{blue}{d}^2\right) \]
Med \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}} \) og \( {V = 1500} \) løser vi for \( \textcolor{blue}{d}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi\left(10 + 20\textcolor{blue}{d}^2\right) &= 1500 \\ 10 + 20\textcolor{blue}{d}^2 &= \dfrac{1500}{\pi} \approx 477{,}46 \\ 20\textcolor{blue}{d}^2 &\approx 467{,}46 \\ \textcolor{blue}{d}^2 &\approx 23{,}373 \\ \textcolor{blue}{d} &\approx \textcolor{blue}{4{,}83} \end{aligned} \]Vasen er da \( {2 \cdot (4{,}83 - 1) \approx 7{,}7\,\text{cm}} \) bred på det smaleste og \( {2 \cdot (4{,}83 + 1) \approx 11{,}7\,\text{cm}} \) på det bredeste. Det smaleste er omtrent to tredjedeler av det bredeste, som på bildet.
Kontroll: Med \( {d = 4{,}83} \) blir \( {V = \pi\left(10 + 20 \cdot 4{,}83^2\right)}\text{,} \) som er omtrent \( 1497\,\text{cm}^3 \) eller \( 1{,}5\,\text{L}\text{.} \)
4. Tegn grafen Funksjonen er: \[ f(x) = \textcolor{red}{1} \cdot \sin\left(\textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}}x \textcolor{darkorange}{- \dfrac{\pi}{2}}\right) + \textcolor{blue}{4{,}83} \]Vi tegner den for \( x \) fra \( 0 \) til \( 20\text{,} \) med bunnpunkter i \( {x = 0} \) og \( {x = \dfrac{40}{3} \approx 13{,}3} \) og toppunkter i \( {x = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}7} \) og \( {x = 20}\text{:} \)
Den stiplede kurven er \( {y = -f(x)}\text{,} \) så vi ser hele vasen liggende. Andre valg er også riktige, for eksempel \( {A = 1{,}5}\text{,} \) som gir \( {d \approx 4{,}77}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Finn middelradien og tegn grafen Med \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{-\dfrac{\pi}{2}}} \) fra formen lar vi CAS regne ut volumet som en funksjon av \( \textcolor{blue}{d} \) og løse \( {V(d) = 1500} \) med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: V(d) := π*Integral((sin(3π/20*x - π/2) + d)^2, x, 0, 20) Løs(V(d) = 1500, d)
Middelradien er positiv, så \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{4{,}83}}\text{.} \) Så tegner vi funksjonen fra \( 0 \) til \( 20\text{,} \) med speilbildet stiplet:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) = Funksjon(sin(3π/20 x - π/2) + 4.83, 0, 20) g(x) = -f(x)
Funksjonen gir en vase som er \( 20\,\text{cm} \) høy og rommer omtrent \( 1{,}5\,\text{L}\text{.} \)

R2 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

2 poeng

Bestem integralet
∫4x⋅cos⁡x dx \int 4x \cdot \cos x\,dx
Vis løsning på oppgave 1

Svar

Integralet er
4xsin⁡x+4cos⁡x+C‾‾ \underline{\underline{4x\sin x + 4\cos x + C}}
Vi ser at integranden er et produkt av \( 4x \) og \( \cos x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, og deriverer \( 4x\text{,} \) som blir enklere.
1. Skriv opp regelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.
Vi lar \( \textcolor{red}{u} \) være \( 4x\text{,} \) som blir et tall når vi deriverer, og \( \textcolor{blue}{v'} \) være \( \cos x\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\cos x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin x} \end{aligned} \]
2. Plugg inn og integrer Plugger vi dette inn i regelen, får vi: \[ \begin{aligned} & \int 4x \cdot \cos x\,dx \\ &= \textcolor{red}{4x} \cdot \textcolor{blue}{\sin x} - \int \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{\sin x}\,dx \\ &= 4x\sin x - 4 \cdot (-\cos x) + C \\ &= 4x\sin x + 4\cos x + C \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {-\cos x} \) er en antiderivert til \( \sin x\text{,} \) fordi \( {(\cos x)' = -\sin x}\text{.} \)
Kontroll: Deriverer vi svaret med produktregelen, får vi \( {4\sin x + 4x\cos x - 4\sin x}\text{,} \) som er \( 4x\cos x\text{,} \) det vi integrerte.

R2 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

Funksjonen f f er gitt ved
f(x)=x+4 ,Df=[0,10] f(x) = \sqrt{x + 4}\ , \quad D_f = [0, 10]
Innsiden av en kopp har samme form som vi får når vi dreier grafen til f f 360∘ 360^\circ om førsteaksen i et koordinatsystem der enheten langs aksene er cm.
Hvor mye kakao er det plass til i koppen dersom den fylles helt opp?
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Det er plass til
90π cm3‾‾ \underline{\underline{90\pi\,\text{cm}^3}}
Innsiden av koppen er et omdreiningslegeme rundt førsteaksen. Vi finner derfor volumet med volumformelen, fra \( {x = 0} \) til \( {x = 10}\text{.} \)
1. Skriv opp volumformelen Volumet av et omdreiningslegeme rundt førsteaksen er: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} \left(f(x)\right)^2 dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{10}}\text{.} \) Kvadratet av en kvadratrot er det som står under rottegnet, så \( {\left(\sqrt{x + 4}\right)^2 = x + 4}\text{:} \) \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{10}} (x + 4)\,dx \]
2. Regn ut integralet Vi integrerer ledd for ledd og setter inn grensene: \[ \begin{aligned} V &= \pi \left[\dfrac{1}{2}x^2 + 4x\right]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{10}} \\ &= \pi \left(\dfrac{1}{2} \cdot 100 + 40\right) - \pi \cdot 0 \\ &= 90\pi \end{aligned} \]Enheten langs aksene er cm, så volumet er \( 90\pi\,\text{cm}^3\text{.} \)
Kontroll: Med \( {\pi \approx 3{,}14} \) er \( {90\pi \approx 283\,\text{cm}^3}\text{,} \) omtrent \( 2{,}8\,\text{dL}\text{.} \) Det er en vanlig kopp.

R2 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

5 poeng

Nedenfor ser du grafen til funksjonen f f gitt ved f(x)=x3+x2−2x. {f(x) = x^3 + x^2 - 2x}\text{.}

Oppgave 3a)

Hvilket av uttrykkene nedenfor gir arealet av det markerte området på figuren? Husk å begrunne svaret ditt.
1.∫−21f(x) dx2.∫−21f(x) dx−∫01f(x) dx3.∫−20f(x) dx+∫01f(x) dx4.∫−20f(x) dx−∫01f(x) dx \begin{aligned} &\text{1.} \quad \int_{-2}^{1} f(x)\,dx \\ &\text{2.} \quad \int_{-2}^{1} f(x)\,dx - \int_{0}^{1} f(x)\,dx \\ &\text{3.} \quad \int_{-2}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{1} f(x)\,dx \\ &\text{4.} \quad \int_{-2}^{0} f(x)\,dx - \int_{0}^{1} f(x)\,dx \end{aligned}
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Uttrykk 4, fordi grafen ligger under x x -aksen fra 0 0 til 1: 1\text{:}
∫−20f(x) dx−∫01f(x) dx‾‾ \underline{\underline{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx - \int_{0}^{1} f(x)\,dx}}
Et integral regner arealet under \( x \)-aksen som negativt. Vi ser derfor på figuren hvor grafen ligger over og under \( x \)-aksen.
1. Se hvor grafen ligger Fra figuren ser vi at grafen ligger over \( x \)-aksen fra \( {x = -2} \) til \( {x = 0}\text{,} \) og under \( x \)-aksen fra \( {x = 0} \) til \( {x = 1}\text{.} \) Vi kaller arealet over \( x \)-aksen \( \textcolor{blue}{A_1} \) og arealet under \( \textcolor{red}{A_2}\text{.} \)
Der grafen ligger over \( x \)-aksen, er integralet lik arealet, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Der den ligger under, er integralet negativt, så arealet er minus integralet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A_1} &= \int_{-2}^0 f(x)\,dx \\ \textcolor{red}{A_2} &= -\int_0^1 f(x)\,dx \end{aligned} \]
2. Sett sammen arealet Arealet av det markerte området er derfor: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{blue}{A_1} + \textcolor{red}{A_2} \\ &= \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} - \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} \end{aligned} \]Det er uttrykk 4.
Uttrykk 1 og 3 er like, og trekker arealet under \( x \)-aksen fra i stedet for å legge det til. Uttrykk 2 blir \( {\int_{-2}^{0} f(x)\,dx}\text{,} \) bare den delen som ligger over.

Oppgave 3b)

Regn ut arealet av det markerte området på figuren.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
A=3712‾‾ \underline{\underline{A = \dfrac{37}{12}}}
Vi bruker uttrykket for arealet fra a).
Vi finner en antiderivert til \( f \) og regner ut de to integralene i uttrykket fra a) hver for seg.
1. Finn en antiderivert Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen for integraler: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Her er \( \textcolor{green}{n} \) lik \( 3\text{,} \) \( 2 \) og \( 1 \) i de tre leddene. Det gir oss: \[ F(x) = \dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 \]
2. Regn ut de to integralene I a) fant vi at arealet er: \[ A = \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} - \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} \]
Vi setter inn grensene. Her er \( {F(0) = 0}\text{,} \) og: \[ \begin{aligned} F(-2) &= 4 - \dfrac{8}{3} - 4 = -\dfrac{8}{3} \\ F(1) &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{5}{12} \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} &= F(0) - F(-2) = \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} &= F(1) - F(0) = \textcolor{red}{-\dfrac{5}{12}} \end{aligned} \]
3. Sett sammen arealet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} - \left(\textcolor{red}{-\dfrac{5}{12}}\right) \\ &= \dfrac{32}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{37}{12} \end{aligned} \]
Kristian ønsker å finne en verdi a<0, {a < 0}\text{,} som er slik at ∫a1f(x) dx=0. {\int_a^1 f(x)\,dx = 0}\text{.}
Han bruker en kalkulator og finner at a≈−0,6. {a \approx -0{,}6}\text{.}
Unni påstår at likningen til Kristian har to løsninger.

Oppgave 3c)

Forklar hvorfor påstanden til Unni er riktig, og bruk figuren til å anslå omtrent hvilken verdi den andre løsningen kan ha.
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Unni har rett, fordi grafen går under x x -aksen igjen til venstre for x=−2, {x = -2}\text{,} og fra figuren anslår vi den andre løsningen til:
a≈−2,7‾‾ \underline{\underline{a \approx -2{,}7}}
Vi bruker de to integralene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Integralet er null når arealet over \( x \)-aksen er like stort som arealet under. Vi ser på figuren hvor det kan skje.
1. Forklar hvorfor det finnes to løsninger Vi deler integralet i to ved \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_a^1 f(x)\,dx &= \int_a^0 f(x)\,dx \\ &\quad + \textcolor{red}{\int_0^1 f(x)\,dx} \end{aligned} \]I b) fant vi at \( {\textcolor{red}{\int_0^1 f(x)\,dx = -\dfrac{5}{12}}}\text{,} \) så integralet er null når \( {\int_a^0 f(x)\,dx = \dfrac{5}{12}}\text{.} \)
Når \( a \) går fra \( 0 \) mot \( {-2}\text{,} \) ligger grafen over \( x \)-aksen, så \( \int_a^0 f(x)\,dx \) vokser fra \( 0 \) til \( \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}}\text{,} \) som vi fant i b). Den passerer \( \dfrac{5}{12} \) én gang, ved \( {a \approx -0{,}6}\text{,} \) som Kristian fant.
Til venstre for \( {x = -2} \) ligger grafen under \( x \)-aksen og går stadig lenger ned, så arealet mellom grafen og \( x \)-aksen fra \( a \) til \( {-2} \) blir så stort vi vil når \( a \) går mot venstre. Integralet blir da mindre igjen, og det er \( \dfrac{5}{12} \) igjen når dette arealet er: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{32}{12} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{4} \]Da er integralet null en gang til, så Unni har rett.
2. Anslå den andre løsningen Fra figuren er grafen omtrent \( {-4{,}4} \) ved \( {x = -2{,}5}\text{,} \) og omtrent \( {-7} \) ved \( {x = -2{,}7}\text{.} \) Vi regner området mellom grafen og \( x \)-aksen som en trekant fra \( a \) til \( {-2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} a = -2{,}5\text{:} \quad & \dfrac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 4{,}4 = 1{,}1 \\ a = -2{,}7\text{:} \quad & \dfrac{1}{2} \cdot 0{,}7 \cdot 7 = 2{,}45 \end{aligned} \]Grafen bøyer seg inn mot \( x \)-aksen, så det virkelige arealet er litt mindre enn trekanten. Trekanten ved \( {a = -2{,}7} \) er litt større enn \( {\dfrac{9}{4} = 2{,}25}\text{,} \) så arealet blir \( \dfrac{9}{4} \) nær \( {a = -2{,}7}\text{.} \)

R2 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

4 poeng

Oppgave 4a)

Løs likningen
sin⁡x−3cos⁡x=0 ,x∈[0,2π⟩ \sin x - \sqrt{3}\cos x = 0\ , \quad x \in [0, 2\pi\rangle
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
x=π3 ∨ x=4π3‾‾ \underline{\underline{x = \dfrac{\pi}{3} \ \vee\ x = \dfrac{4\pi}{3}}}
Vi ser at likningen har både \( \sin x \) og \( \cos x\text{.} \) Vi deler derfor på \( \cos x \) og får en likning med \( \tan x\text{.} \)
1. Gjør om til en tangenslikning Vi flytter \( \sqrt{3}\,\textcolor{red}{\cos x} \) over og deler på \( \textcolor{red}{\cos x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\sin x} &= \sqrt{3}\,\textcolor{red}{\cos x} \\ \dfrac{\textcolor{blue}{\sin x}}{\textcolor{red}{\cos x}} &= \sqrt{3} \\ \tan x &= \sqrt{3} \end{aligned} \]Vi kan dele på \( \textcolor{red}{\cos x}\text{,} \) fordi \( {\cos x = 0} \) gir \( {\sin x = \pm 1}\text{,} \) og da er venstresiden i likningen ikke \( 0\text{.} \)
2. Finn løsningene Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\tan \dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}}\text{.} \) Tangens har periode \( \pi\text{,} \) så: \[ x = \dfrac{\pi}{3} + n \cdot \textcolor{green}{\pi} \]der \( n \) er et helt tall. Hvis du er usikker på perioden, kan du se videoen Oppgave 1B - Løs likningen.
I \( [0, 2\pi\rangle \) gir \( {n = 0} \) og \( {n = 1} \) løsningene: \[ x = \dfrac{\pi}{3} \qquad x = \dfrac{\pi}{3} + \textcolor{green}{\pi} = \dfrac{4\pi}{3} \]
Ta utgangspunkt i likningen
(sin⁡x−12)(sin⁡x−a)=0 ,x∈[0,2π⟩ og a∈R \begin{aligned} &\left(\sin x - \dfrac{1}{2}\right)(\sin x - a) = 0\ , \\ &x \in [0, 2\pi\rangle \text{ og } a \in \mathbb{R} \end{aligned}

Oppgave 4b)

For hvilke verdier av a a har likningen henholdsvis to, tre og fire løsninger?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Likningen har
2 løsninger: ∣a∣>1 ∨ a=12‾‾3 løsninger: a=−1 ∨ a=1‾‾4 løsninger: −1<a<1, a≠12‾‾ \begin{aligned} \text{2 løsninger:}\ & \underline{\underline{|a| > 1 \ \vee\ a = \dfrac{1}{2}}} \\ \text{3 løsninger:}\ & \underline{\underline{a = -1 \ \vee\ a = 1}} \\ \text{4 løsninger:}\ & \underline{\underline{-1 < a < 1,\ a \neq \dfrac{1}{2}}} \end{aligned}
Et produkt er null når en av faktorene er null. Vi løser \( {\sin x = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) og ser hvor mange nye løsninger \( {\sin x = a} \) gir for ulike \( a\text{.} \)
1. Sett den første faktoren lik null Produktet er null når \( {\textcolor{blue}{\sin x = \dfrac{1}{2}}} \) eller \( {\textcolor{red}{\sin x = a}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026.
Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus har samme verdi i \( {\pi - \dfrac{\pi}{6}}\text{,} \) så den første faktoren gir alltid de to løsningene: \[ \textcolor{blue}{x = \dfrac{\pi}{6}} \qquad \textcolor{blue}{x = \dfrac{5\pi}{6}} \]Hvis du er usikker på den andre vinkelen, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
2. Tell løsningene av den andre faktoren Antallet løsninger av \( {\textcolor{red}{\sin x = a}} \) i \( [0, 2\pi\rangle \) er: \[ \begin{aligned} |a| > 1&\text{:} \quad 0 \\ a = \pm 1&\text{:} \quad 1 \\ -1 < a < 1&\text{:} \quad 2 \end{aligned} \]
\( {\textcolor{red}{\sin x = a}} \) har ingen løsninger når \( {a > 1} \) eller \( {a < -1}\text{,} \) fordi sinus alltid ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) For \( {a = \dfrac{1}{2}} \) gir den de samme to løsningene som den første faktoren. Da har likningen to løsninger.
For \( {a = 1} \) og \( {a = -1} \) har den én løsning hver, \( {x = \dfrac{\pi}{2}} \) og \( {x = \dfrac{3\pi}{2}}\text{,} \) fordi det er bare ett punkt på enhetssirkelen med \( {y = 1}\text{,} \) og ett med \( {y = -1}\text{.} \) Da har likningen tre løsninger.
For \( {-1 < a < 1} \) med \( {a \neq \dfrac{1}{2}} \) gir den to nye løsninger, fordi linja \( {y = a} \) skjærer enhetssirkelen i to punkter. For \( {a = 0} \) er de \( {x = 0} \) og \( {x = \pi}\text{,} \) siden \( 2\pi \) ikke er med. Da har likningen fire løsninger.

R2 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

2 poeng

Avgjør om hver av påstandene nedenfor er sann eller usann. Husk å begrunne svarene dine.
Påstand 1 Vi kan tolke arealet under en fartsgraf som akselerasjon.
Påstand 2 En vinkel på 36∘ 36^\circ er det samme som en vinkel på π5 \dfrac{\pi}{5} radianer.
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Arealet under en fartsgraf er strekningen, og 36⋅π180=π5: {36 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{5}}\text{:}
Pa˚stand 1 er usann‾‾Pa˚stand 2 er sann‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Påstand 1 er usann}}} \\ &\underline{\underline{\text{Påstand 2 er sann}}} \end{aligned}
Vi tar påstandene hver for seg: hva arealet under en fartsgraf betyr, og hvordan vi gjør om fra grader til radianer.
1. Avgjør påstand 1 Arealet under en fartsgraf er integralet av farten \( \textcolor{blue}{v(t)} \) over tiden, og det er strekningen \( \textcolor{red}{s}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{s} = \int_{t_1}^{t_2} \textcolor{blue}{v(t)}\,dt \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon.
Enhetene viser det også: m/s ganget med s gir m. Akselerasjonen er den deriverte av farten, altså stigningstallet til fartsgrafen, ikke arealet under den. Påstand 1 er derfor usann.
2. Avgjør påstand 2 En hel runde er \( {360^\circ = 2\pi} \) radianer, så \( {1^\circ = \dfrac{\pi}{180}} \) radianer: \[ \textcolor{green}{36^\circ} = \textcolor{green}{36} \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{5} \]
Påstand 2 er derfor sann.

R2 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

6 poeng

Ta utgangspunkt i den aritmetiske rekken
−3+0+3+⋯+69 -3 + 0 + 3 + \dots + 69

Oppgave 6a)

Bestem summen av rekken.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
S25=825‾‾ \underline{\underline{S_{25} = 825}}
Vi ser at rekken øker med \( 3 \) for hvert ledd. Vi finner derfor antall ledd med formelen for det \( n \)-te leddet, og bruker summeformelen for aritmetiske rekker.
1. Finn antall ledd Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.
Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{-3}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{3}}\text{,} \) og det siste leddet er \( 69\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-3} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{3} &= 69 \\ (n - 1) \cdot 3 &= 72 \\ n &= 25 \end{aligned} \]
2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = n \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{a_1} + a_n}{2} \]Hvis du er usikker på summeformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.
Plugger vi inn \( {n = 25}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{-3}} \) og \( {a_{25} = 69}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} S_{25} &= 25 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{-3} + 69}{2} \\ &= 25 \cdot 33 = 825 \end{aligned} \]
Ta utgangspunkt i den uendelige geometriske rekken
5+5⋅(12−x)+5⋅(12−x)2+… 5 + 5 \cdot \left(\dfrac{1}{2} - x\right) + 5 \cdot \left(\dfrac{1}{2} - x\right)^2 + \dots

Oppgave 6b)

Bestem konvergensområdet til rekken.
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Konvergensområdet er
x∈⟨−12,32⟩‾‾ \underline{\underline{x \in \left\langle -\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right\rangle}}
En uendelig geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser ulikheten for \( x\text{.} \)
1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med det samme tallet, så kvotienten er: \[ \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - x} \]
2. Løs ulikheten En uendelig geometrisk rekke konvergerer når: \[ -1 < \textcolor{red}{k} < 1 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.
Plugger vi inn kvotienten, får vi: \[ \begin{aligned} -1 < \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - x} &< 1 \\ -\dfrac{3}{2} < -x &< \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2} < x &< \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]Vi trakk fra \( \dfrac{1}{2} \) og ganget med \( {-1}\text{.} \) Da snur ulikhetstegnene.
En ball faller fra 2 2 meters høyde. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den opp til en høyde som er 75 % 75\,\% av høyden den falt fra.

Oppgave 6c)

Hvor mange meter vil ballen bevege seg totalt?
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Ballen beveger seg totalt
14 m‾‾ \underline{\underline{14\,\text{m}}}
Etter det første fallet går ballen like langt opp som ned hver gang. Høydene den spretter, er en uendelig geometrisk rekke med \( {k = 0{,}75}\text{.} \)
1. Sett opp strekningene Ballen faller først \( 2\,\text{m}\text{.} \) Så spretter den \( {2 \cdot 0{,}75 = 1{,}5\,\text{m}} \) opp og faller like langt ned, så \( {1{,}5 \cdot 0{,}75\,\text{m}} \) opp og ned, og så videre: \[ \begin{aligned} s = 2 + 2 \cdot (&\textcolor{blue}{1{,}5} + 1{,}5 \cdot \textcolor{red}{0{,}75} \\ &+ 1{,}5 \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^2 + \dots) \end{aligned} \]
2. Summer rekken Summen av en uendelig geometrisk rekke med \( {-1 < k < 1} \) er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på summen av en uendelig geometrisk rekke, kan du se videoen Geometrisk rekke test.
Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}5}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}75}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s &= 2 + 2 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}5}}{1 - \textcolor{red}{0{,}75}} \\ &= 2 + 2 \cdot 6 = 14 \end{aligned} \]

R2 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 7

6 poeng

En likning for en kuleflate S S er gitt ved
x2+y2+z2−4x+2z=4 x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2z = 4

Oppgave 7a)

Bestem sentrum og radius til kuleflaten S. S\text{.}
Vis løsning på oppgave 7a
Svar
Sentrum og radius er:
(2,0,−1)ogr=3‾‾ \underline{\underline{(2, 0, -1) \quad \text{og} \quad r = 3}}
Vi fullfører kvadratene for \( x \) og \( z\text{,} \) slik at likningen får formen til likningen for en kuleflate.
1. Fullfør kvadratene En kuleflate med sentrum \( (\textcolor{blue}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{green}{z_0}) \) og radius \( r \) har likningen: \[ \begin{aligned} (x - \textcolor{blue}{x_0})^2 &+ (y - \textcolor{red}{y_0})^2 \\ &+ (z - \textcolor{green}{z_0})^2 = r^2 \end{aligned} \]
Vi bruker kvadratsetningene baklengs og trekker fra det som blir til overs, som i videoen abc-formelen – hvor kommer den fra?: \[ \begin{aligned} x^2 - 4x &= (x - 2)^2 - 4 \\ z^2 + 2z &= (z + 1)^2 - 1 \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i likningen og legger \( 4 \) og \( 1 \) til på begge sider, får vi: \[ (x - \textcolor{blue}{2})^2 + y^2 + (z + \textcolor{green}{1})^2 = 9 \]
2. Les av sentrum og radius Vi skriver \( {y^2 = (y - \textcolor{red}{0})^2} \) og \( {z + \textcolor{green}{1} = z - (\textcolor{green}{-1})}\text{.} \) Sammenligner vi med likningen for en kuleflate, er \( {\textcolor{blue}{x_0} = \textcolor{blue}{2}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{y_0} = \textcolor{red}{0}} \) og \( {\textcolor{green}{z_0} = \textcolor{green}{-1}}\text{,} \) og \( {r^2 = 9}\text{,} \) så \( {r = 3}\text{.} \)
En annen kuleflate K K har sentrum i (1,−1,3) {(1, -1, 3)} og radius 2. 2\text{.} Et plan α \alpha tangerer kuleflaten K K i punktet P(3,−1,3). {P(3, -1, 3)}\text{.}

Oppgave 7b)

Bestem en likning for plan α. \alpha\text{.}
Vis løsning på oppgave 7b
Svar
α: x=3‾‾ \underline{\underline{\alpha\text{:}\ x = 3}}
Et plan som tangerer en kuleflate, står vinkelrett på radien i tangeringspunktet. Vektoren fra sentrum til \( P \) er derfor en normalvektor til planet.
1. Finn en normalvektor Vi kaller sentrum i \( K \) for \( {C(1, -1, 3)}\text{.} \) Vektoren fra \( C \) til \( P \) er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CP} &= [3 - 1,\ -1 + 1,\ 3 - 3] \\ &= [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{0}, \textcolor{green}{0}] \end{aligned} \]Vi bruker \( {\vec{n} = \overrightarrow{CP}} \) som normalvektor.
2. Sett opp likningen for planet Et plan gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med normalvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{red}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Tangentplan eksempel!.
Plugger vi inn \( {P(3, -1, 3)} \) og \( {\vec{n} = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{0}, \textcolor{green}{0}]}\text{,} \) blir leddene med \( y \) og \( z \) lik \( 0\text{,} \) og vi får: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2}(x - 3) &= 0 \\ x &= 3 \end{aligned} \]
Et annet plan β \beta er gitt ved
3x+y−2z+1=0 3x + y - 2z + 1 = 0

Oppgave 7c)

Avgjør om plan β \beta vil skjære gjennom kuleflaten K. K\text{.}
Vis løsning på oppgave 7c
Svar
Avstanden fra sentrum til β \beta er 314, \dfrac{3}{\sqrt{14}}\text{,} mindre enn radien 2: 2\text{:}
Ja, β skjærer gjennom K‾‾ \underline{\underline{\text{Ja, } \beta \text{ skjærer gjennom } K}}
Et plan skjærer gjennom en kuleflate hvis avstanden fra sentrum til planet er mindre enn radien. Vi regner ut avstanden fra sentrum i \( K \) til \( \beta\text{.} \)
1. Regn ut avstanden til planet Avstanden fra et punkt \( (x_0, y_0, z_0) \) til planet \( {\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b}y + \textcolor{green}{c}z + d = 0} \) er: \[ D = \dfrac{|\textcolor{blue}{a}x_0 + \textcolor{red}{b}y_0 + \textcolor{green}{c}z_0 + d|}{\sqrt{\textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 + \textcolor{green}{c}^2}} \]
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-2}} \) og \( {d = 1}\text{,} \) og sentrum er \( {(1, -1, 3)}\text{.} \) Vi regner ut telleren og det som står under rottegnet, hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{3} \cdot 1 + \textcolor{red}{1} \cdot (-1) + (\textcolor{green}{-2}) \cdot 3 + 1 &= -3 \\ \textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{red}{1}^2 + (\textcolor{green}{-2})^2 &= 14 \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ D = \dfrac{|-3|}{\sqrt{14}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}} \]
2. Sammenlign med radien Radien i \( K \) er \( 2\text{,} \) og \( {\dfrac{3}{\sqrt{14}} < 2}\text{,} \) fordi \( {3 < 2\sqrt{14} = \sqrt{56}}\text{.} \) Planet er altså nærmere sentrum enn radien, så det skjærer gjennom kuleflaten.

R2 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 8

3 poeng

Vis ved induksjon at
1+4+42+⋯+4n=4n+1−13for n≥0 \begin{aligned} &1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^n = \dfrac{4^{n+1} - 1}{3} \\ &\text{for } n \ge 0 \end{aligned}
Vis løsning på oppgave 8

Svar

Formelen stemmer for n=0 {n = 0} og fra n=k {n = k} til n=k+1, {n = k + 1}\text{,} så for alle n≥0 {n \ge 0} er
1+4+42+⋯+4n=4n+1−13‾‾ \underline{\underline{1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^n = \dfrac{4^{n+1} - 1}{3}}}
Et induksjonsbevis har to steg. Vi viser at formelen stemmer for \( {n = 0}\text{,} \) og at den stemmer for \( {n = k + 1} \) hvis den stemmer for \( {n = k}\text{.} \)
1. Sjekk det første tilfellet For \( {n = 0} \) er venstresiden bare det første leddet, \( 1\text{,} \) og høyresiden er: \[ \dfrac{4^{0 + 1} - 1}{3} = \dfrac{3}{3} = 1 \]Formelen stemmer for \( {n = 0}\text{.} \)
2. Vis neste tilfelle Vi antar at formelen stemmer for \( {n = k}\text{,} \) der \( {k \ge 0}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{1 + 4 + \dots + 4^k} = \textcolor{blue}{\dfrac{4^{k+1} - 1}{3}} \]
For \( {n = k + 1} \) får summen ett ledd til, \( {\textcolor{red}{4^{k+1}}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{1 + 4 + \dots + 4^k} + \textcolor{red}{4^{k+1}} \]
Bytter vi ut \( {\textcolor{blue}{1 + 4 + \dots + 4^k}} \) med antakelsen, får vi: \[ \begin{aligned} & \textcolor{blue}{\dfrac{4^{k+1} - 1}{3}} + \textcolor{red}{4^{k+1}} \\ &= \dfrac{4^{k+1} - 1 + 3 \cdot 4^{k+1}}{3} \\ &= \dfrac{4 \cdot 4^{k+1} - 1}{3} \\ &= \dfrac{4^{(k + 1) + 1} - 1}{3} \end{aligned} \]Dette er høyresiden i formelen med \( {n = k + 1}\text{.} \)
Formelen stemmer for \( {n = 0}\text{,} \) og hver gang den stemmer for ett tall, stemmer den for det neste. Den stemmer derfor for alle \( {n \ge 0}\text{.} \)