Eksamensoppgaver etter tema

Pyramiden blir høyest med toppen øverst på halvkulen, og grunnflaten blir størst med hjørnene på randen av snittflaten. Den største grunnflaten finner vi med derivasjon.

1. Finn den største høyden Toppen av pyramiden må ligge i halvkulen, så høyden er høyst lik radien. Den største høyden får vi med toppen øverst, rett over sentrum av snittflaten, som på figuren: \[ h = \textcolor{darkorange}{r} \]

2. Sett opp grunnflaten Snittflaten er en sirkel med radius \( r\text{.} \) Ligger et hjørne av grunnflaten innenfor randen, kan vi gjøre rektangelet større, så det største rektangelet har alle hjørnene på randen. Da er diagonalen en diameter, \( 2r\text{,} \) og med sidene \( \textcolor{red}{a} \) og \( b \) gir Pythagoras: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a}^2 + b^2 &= (2r)^2 \\ b &= \sqrt{4r^2 - \textcolor{red}{a}^2} \end{aligned} \]

Grunnflaten er altså: \[ G(\textcolor{red}{a}) = \textcolor{red}{a} \cdot \sqrt{4r^2 - \textcolor{red}{a}^2} \]der \( {0 < \textcolor{red}{a} < 2r}\text{.} \)

3. Deriver grunnflaten \( G \) er et produkt, så vi deriverer med produktregelen. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Roten deriverer vi med kjerneregelen, \( {\left(\sqrt{\textcolor{green}{w}}\right)' = \dfrac{\textcolor{green}{w'}}{2\sqrt{\textcolor{green}{w}}}}\text{,} \) med kjernen \( {\textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{4r^2 - a^2}} \) og \( {\textcolor{green}{w'} = \textcolor{green}{-2a}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{a} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - a^2}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{-2a}{2\sqrt{4r^2 - a^2}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} G'(a) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - a^2}} \\ &{}+ \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{-2a}{2\sqrt{4r^2 - a^2}}} \end{aligned} \]

Vi setter på felles brøkstrek, med \( {\sqrt{4r^2 - a^2}} \) som nevner: \[ \begin{aligned} G'(a) &= \dfrac{4r^2 - a^2 - a^2}{\sqrt{4r^2 - a^2}} \\ G'(a) &= \dfrac{4r^2 - 2a^2}{\sqrt{4r^2 - a^2}} \end{aligned} \]

4. Sett den deriverte lik null Den deriverte er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 4r^2 - 2\textcolor{red}{a}^2 &= 0 \\ \textcolor{red}{a} &= \sqrt{2}\,r \end{aligned} \]Telleren er positiv for \( {a < \sqrt{2}\,r} \) og negativ for \( {a > \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så grunnflaten har et toppunkt der.

5. Regn ut det største volumet Med \( {\textcolor{red}{a} = \sqrt{2}\,r} \) er \( {b = \sqrt{4r^2 - 2r^2} = \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så grunnflaten er et kvadrat: \[ G = \sqrt{2}\,r \cdot \sqrt{2}\,r = 2r^2 \]

Plugger vi dette og \( {h = \textcolor{darkorange}{r}} \) inn i formelen for volumet, får vi: \[ V = \dfrac{\textcolor{darkorange}{r} \cdot 2r^2}{3} = \dfrac{2}{3}r^3 \]

1. Finn det største volumet i CAS Med toppen øverst er \( {h = r}\text{,} \) og med sidene \( a \) og \( {\sqrt{4r^2 - a^2}} \) er grunnflaten \( {G(a) = a \cdot \sqrt{4r^2 - a^2}}\text{,} \) som i ruten for hånd. Vi skriver \( G \) inn i CAS og løser \( {G'(a) = 0}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: G(a) := a*sqrt(4r^2 - a^2) Løs(G'(a) = 0, a) G(sqrt(2) r) 1/3*r*G(sqrt(2) r)

Sidelengden er positiv, så \( {a = \sqrt{2}\,r}\text{.} \) CAS gir grunnflaten \( 2r|r| \) og volumet \( \dfrac{2}{3}r^2|r|\text{.} \) Siden \( {r > 0}\text{,} \) er \( {|r| = r}\text{,} \) så det største volumet er \( \dfrac{2}{3}r^3\text{.} \)