Eksamensoppgaver etter tema

Vi får potensen alene og skriver \( 81 \) som en potens av \( 3\text{.} \) Når grunntallene er like, må eksponentene være like.

1. Få potensen alene 0:07 Vi flytter \( {-5} \) over til høyre side: \[ \begin{aligned} 3^{3x + 2} - 5 &= 76 \\ 3^{3x + 2} &= 81 \end{aligned} \]

2. Skriv 81 som en potens 0:19 Her må vi se at \( {81 = 9 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\text{.} \) Fire like faktorer kan vi skrive som en potens, som i videoen Hva er en Potens: \[ 81 = 3^4 \]

Det gir oss: \[ 3^{\textcolor{green}{3x + 2}} = 3^{\textcolor{green}{4}} \]

3. Sett eksponentene like 1:00 Grunntallet er \( 3 \) på begge sider, så eksponentene må være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{3x + 2} &= \textcolor{green}{4} \\ 3x &= 2 \\ x &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Vi skriver om hvert ledd med logaritmereglene, så alle blir et tall ganget med \( \lg x\text{.} \) Så trekker vi sammen og løser for \( x\text{.} \)

1. Skriv opp logaritmereglene 0:03 Likningen gir bare mening når \( {x > 0}\text{.} \) Da forteller logaritmereglene oss at: \[ \begin{aligned} \lg(a^n) &= n \cdot \lg a \\ \lg\dfrac{a}{b} &= \lg a - \lg b \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Skriv om ledd for ledd 0:30 \( 3\lg x \) er allerede et tall ganget med \( \lg x\text{.} \)

\( \textcolor{blue}{2\lg x^2}\text{:} \) Med den første regelen er \( {\lg x^2 = 2\lg x}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{2\lg x^2} = 2 \cdot 2\lg x = \textcolor{blue}{\underline{4\lg x}} \]

\( \textcolor{red}{\lg\dfrac{1}{x^9}}\text{:} \) Fra definisjonen er \( {\lg 1 = 0}\text{,} \) siden \( {10^0 = 1}\text{,} \) som i videoen Hva er en Logaritme?. Med de to reglene får vi: \[ \textcolor{red}{\lg\dfrac{1}{x^9}} = \lg 1 - \lg x^9 = \textcolor{red}{\underline{-9\lg x}} \]

3. Trekk sammen og løs 1:30 Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} 3\lg x + \textcolor{blue}{4\lg x} \textcolor{red}{{}- 9\lg x} &= 2 \\ -2\lg x &= 2 \\ \lg x &= -1 \end{aligned} \]

For å få \( x \) alene opphøyer vi \( 10 \) i begge sider. Fra definisjonen er \( {10^{\lg x} = x}\text{,} \) så: \[ x = 10^{-1} = \dfrac{1}{10} \]Den er positiv, så den er en løsning.

Påstanden skal gjelde for alle funksjoner, så ett moteksempel er nok til å vise at den er usann. Grenseverdiene sier bare hva som skjer langt ute til venstre og til høyre.

1. Let etter et moteksempel Finner vi to funksjoner som har de samme grenseverdiene, men som ikke er like, er påstanden usann. Det kalles et moteksempel, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

Vi velger: \[ \textcolor{blue}{f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}} \qquad \textcolor{red}{g(x) = 0} \]

2. Sjekk grenseverdiene Når \( x \to \infty \) eller \( {x \to -\infty}\text{,} \) vokser nevneren \( {x^2 + 1} \) uten grense, så brøken går mot \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \textcolor{blue}{f(x)} &= 0 = \lim_{x \to \infty} \textcolor{red}{g(x)} \\ \lim_{x \to -\infty} \textcolor{blue}{f(x)} &= 0 = \lim_{x \to -\infty} \textcolor{red}{g(x)} \end{aligned} \]

Begge kravene i påstanden er oppfylt, men funksjonene er ikke like: \[ \textcolor{blue}{f(0)} = \dfrac{1}{0 + 1} = 1 \neq 0 = \textcolor{red}{g(0)} \]Påstanden er derfor usann. Andre moteksempler er også riktige, for eksempel \( {f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}} \) og \( {g(x) = 2}\text{.} \)

Vi skriver \( |x| \) uten absoluttverdi på hver side av \( 0\text{.} \) I \( {x = 0} \) bruker vi definisjonen av den deriverte og ser på stigningstallet fra hver side.

1. Deriver på hver side av null For \( {x \ge 0} \) er \( {|x| = x}\text{,} \) og for \( {x < 0} \) er \( {|x| = -x}\text{:} \) \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{blue}{-x}, & x < 0 \\ \textcolor{red}{x}, & x \ge 0 \end{cases} \]Det gir \( {\textcolor{red}{f'(x) = 1}} \) for \( {x > 0} \) og \( {\textcolor{blue}{f'(x) = -1}} \) for \( {x < 0}\text{,} \) så \( f \) er deriverbar for alle \( {x \neq 0}\text{.} \)

2. Bruk definisjonen i null Definisjonen av den deriverte forteller oss at: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er \( {f(0 + h) - f(0) = |h|}\text{.} \) Fra høyre er \( {h > 0}\text{,} \) og fra venstre er \( {h < 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} h > 0\text{:} \quad \dfrac{|h|}{h} &= \dfrac{h}{h} = \textcolor{red}{1} \\ h < 0\text{:} \quad \dfrac{|h|}{h} &= \dfrac{-h}{h} = \textcolor{blue}{-1} \end{aligned} \]Grenseverdiene fra høyre og fra venstre er ulike, så grenseverdien finnes ikke, og \( f \) er ikke deriverbar i \( {x = 0}\text{.} \) Grafen har en knekk i origo.

Påstanden stemmer derfor: \( f \) er deriverbar overalt unntatt i \( {x = 0}\text{.} \)

Påstanden sier «alltid», så den skal gjelde for alle \( a \in \mathbb{R}\text{.} \) Finner vi én verdi av \( a \) der likningen også har andre løsninger, er påstanden usann.

1. Let etter et moteksempel Vi prøver \( {\textcolor{green}{a = 1}}\text{.} \) En potens er et produkt der grunntallet er faktor like mange ganger som eksponenten sier, som i videoen Hva er en Potens, så for eksempel er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{1}^{\textcolor{blue}{2}} &= 1 \cdot 1 = 1 \\ \textcolor{green}{1}^{\textcolor{red}{3}} &= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \end{aligned} \]Da er \( {\textcolor{green}{1}^{\textcolor{blue}{2}} = \textcolor{green}{1}^{\textcolor{red}{3}}}\text{,} \) så \( {x = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {y = \textcolor{red}{3}} \) er en løsning av likningen, selv om \( {2 \neq 3}\text{.} \) Dette er et moteksempel, og påstanden er usann.

Påstanden gjelder når \( {a > 0} \) og \( {a \neq 1}\text{,} \) fordi \( a^x \) da enten vokser hele tiden eller avtar hele tiden, og tar hver verdi bare én gang.

Vi løser likningen for \( E\text{:} \) først får vi \( \lg(E) \) alene, så opphøyer vi \( 10 \) i begge sider. Til slutt setter vi inn \( {M = 4{,}7}\text{.} \)

1. Få lg(E) alene Vi legger til \( 3{,}2 \) på begge sider og ganger med \( \dfrac{3}{2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} M + 3{,}2 &= \dfrac{2}{3}\textcolor{green}{\lg(E)} \\ \textcolor{green}{\lg(E)} &= \dfrac{3}{2}(M + 3{,}2) \\ \textcolor{green}{\lg(E)} &= 1{,}5M + 4{,}8 \end{aligned} \]

2. Opphøy 10 i begge sider Fra definisjonen av logaritmen er \( {10^{\lg E} = E}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. Opphøyer vi \( 10 \) i begge sider, får vi: \[ E = 10^{1{,}5M + 4{,}8} \]

3. Sett inn M = 4,7 Med \( {M = 4{,}7} \) er \( {1{,}5 \cdot 4{,}7 + 4{,}8 = 11{,}85}\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ E = 10^{11{,}85} \approx 7{,}08 \cdot 10^{11} \]Jordskjelvet løser ut omtrent \( {7{,}08 \cdot 10^{11}} \) J.

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen for \( E \) i CAS. Så skriver vi svaret inn som en funksjon av \( M\text{,} \) som vi kaller Energi, siden \( E \) er den ukjente i rad 1. Rad 3 regner vi ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(M = 2/3 lg(E) - 3.2, E) Energi(M) := 10^(3/2 M + 24/5) Energi(4.7)

CAS gir \( {E = 10^{\tfrac{3}{2}M + \tfrac{24}{5}} = 10^{1{,}5M + 4{,}8}} \) og \( {E \approx 707\,945\,784\,384} \) J, altså omtrent \( {7{,}08 \cdot 10^{11}} \) J, når \( {M = 4{,}7}\text{.} \)

Vi bruker uttrykket for \( E \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi deler energien for \( {M + 1} \) på energien for \( M\text{.} \) Med potensreglene blir det et tall som ikke avhenger av \( M\text{.} \)

1. Del energiene på hverandre I a) fant vi: \[ E = 10^{1{,}5M + 4{,}8} \]

Potensregelen for brøk forteller oss at: \[ \dfrac{a^{\textcolor{blue}{m}}}{a^{\textcolor{red}{n}}} = a^{\textcolor{blue}{m} - \textcolor{red}{n}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Når \( M \) øker med 1, blir eksponenten: \[ \textcolor{blue}{1{,}5(M + 1) + 4{,}8} = \textcolor{blue}{1{,}5M + 6{,}3} \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{E(M + 1)}{E(M)} &= \dfrac{10^{\textcolor{blue}{1{,}5M + 6{,}3}}}{10^{\textcolor{red}{1{,}5M + 4{,}8}}} = 10^{1{,}5} \\ \dfrac{E(M + 1)}{E(M)} &= 10\sqrt{10} \approx 31{,}6 \end{aligned} \]Energien blir omtrent \( 31{,}6 \) ganger så stor, uansett hva \( M \) er.

1. Regn ut i CAS Vi fortsetter i CAS-vinduet fra a), der energien er funksjonen Energi. Rad 5 er rad 4 uten Forenkle, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Forenkle(Energi(M + 1) / Energi(M)) Energi(M + 1) / Energi(M)

CAS gir \( {10\sqrt{10} \approx 31{,}6228}\text{.} \) Energien blir omtrent \( 31{,}6 \) ganger så stor.