Eksamensoppgaver etter tema

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:21 Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) = 0 \]Da må \( \textcolor{red}{e^x} \) eller \( {\textcolor{blue}{6 - e^x}} \) være \( 0\text{.} \)

\( \textcolor{red}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \)

2. Løs likningen med ln 1:12 Setter vi \( {\textcolor{blue}{6 - e^x} = 0}\text{,} \) får vi: \[ e^x = 6 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{x}}\right) = \ln 6 \]

Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( \textcolor{green}{x} \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{x} \cdot \ln e &= \ln 6 \\ x &= \ln 6 \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.

1. Deriver med produktregelen 0:28 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x} \) og konstanten \( 6 \) har derivert \( 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{6 - e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) + \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{-e^x}) \]

2. Faktoriser 2:05 Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) og trekker sammen det som står i parentesen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - e^x - e^x) \\ f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - 2e^x) \end{aligned} \]

Vi kan faktorisere ut \( 2 \) også, siden \( {6 = 2 \cdot 3}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) = 2\textcolor{darkorange}{e^x}(3 - e^x) \]Det er uttrykket i oppgaven.

Vi bruker nullpunktet fra a), og uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Om det er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av funksjonsverdiene på hver side.

1. Sett den deriverte lik null 0:16 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{3 - e^x}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Derfor må \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x} = 0}\text{.} \)

2. Løs likningen med ln 2:07 Vi flytter \( e^x \) over til høyre side: \[ e^x = 3 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser og \( {\ln e = 1} \) gir \( {\ln\left(e^x\right) = x \cdot \ln e = x}\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} \ln\left(e^x\right) &= \ln 3 \\ x &= \ln 3 \end{aligned} \]

3. Finn y-koordinaten 2:52 For å finne koordinatene plugger vi \( {x = \ln 3} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Siden \( {\textcolor{green}{e^{\ln 3}} = \textcolor{green}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f(\ln 3) &= \textcolor{green}{e^{\ln 3}}(6 - \textcolor{green}{e^{\ln 3}}) \\ f(\ln 3) &= \textcolor{green}{3} \cdot (6 - \textcolor{green}{3}) = 9 \end{aligned} \]

4. Avgjør hva slags punkt det er 4:15 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \ln 3}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = 0} \) og nullpunktet \( {x = \ln 6} \) fra a): \[ f(0) = e^0(6 - e^0) = 1 \cdot 5 = 5 \]

Siden \( \ln \) er voksende, er \( {0 = \ln 1 < \ln 3 < \ln 6}\text{,} \) og \( {f(\ln 6) = 0}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \ln 3 & \ln 6 \\ \hline f(x) & 5 & 9 & 0 \end{array} \]

Grafen går opp fra \( 5 \) til \( 9 \) og ned igjen til \( 0\text{.} \) Punktet \( (\ln 3,\ 9) \) er derfor et toppunkt, og siden grafen bare snur der, har den ingen bunnpunkter.

Alternativ metode: Fortegnslinje Siden \( {\textcolor{darkorange}{2e^x} > 0}\text{,} \) har \( f'(x) \) samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x}}\text{:} \) positiv når \( {x < \ln 3} \) og negativ når \( {x > \ln 3}\text{.} \) :::fortegnsskjema {"points": [1.0986122886681098], "labels": ["\\ln 3"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{3 - e^x}", "expr": "3 - e^x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2e^x(3 - e^x)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \ln 3} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så \( (\ln 3,\ 9) \) er et toppunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

For å finne nullpunktene setter vi \( {g(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:10 Vi setter \( {g(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} = 0 \]

\( \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \) Derfor må \( {\textcolor{blue}{(2x - 1)^2} = 0}\text{.} \)

2. Løs likningen 1:18 Vi tar kvadratroten på begge sider, og \( {\sqrt{0} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2x - 1 &= 0 \\ 2x &= 1 \\ x &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.

1. Skriv opp produktregelen 0:33 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} + \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'} \) og \( \textcolor{blue}{v} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{u'} = \textcolor{red}{u}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

2. Gang ut parentesen og deriver 1:41 For å finne \( \textcolor{blue}{v'} \) ganger vi først ut parentesen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} &= (2x - 1)(2x - 1) \\ \textcolor{blue}{v} &= 4x^2 - 4x + 1 \end{aligned} \]

Så deriverer vi ledd for ledd med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Konstanten \( 1 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{v'} = 8x - 4 = \textcolor{blue}{4(2x - 1)} \]

3. Sett inn og faktoriser 3:39 Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) = {} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{4(2x - 1)} \\ &+ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

Begge leddene har faktorene \( {\textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)}}\text{.} \) Faktoriserer vi dem ut, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)}\bigl(4 + (2x - 1)\bigr) \\ g'(x) &= \dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)(2x + 3) \end{aligned} \]Det er uttrykket i oppgaven.

Uttrykket for \( g'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {g'(x) = 0}\text{.} \) Om et punkt er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av fortegnet til \( g'(x) \) på hver side.

1. Sett den deriverte lik null 0:05 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x(\textcolor{darkorange}{2x - 1})(\textcolor{magenta}{2x + 3}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \dfrac{1}{2}e^x \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2x - 1} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{magenta}{2x + 3} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = -\dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

2. Finn y-koordinatene 2:00 Vi setter \( {x = -\dfrac{3}{2}} \) og \( {x = \dfrac{1}{2}} \) inn i \( g(x)\text{.} \) Siden \( {2 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) - 1 = -4} \) og \( {2 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} g\left(-\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{1}{2}e^{-\tfrac{3}{2}} \cdot (-4)^2 = 8e^{-\tfrac{3}{2}} \\ g\left(\dfrac{1}{2}\right) &= \dfrac{1}{2}e^{\tfrac{1}{2}} \cdot 0^2 = 0 \end{aligned} \]

3. Avgjør hva slags punkter det er 3:51 \( \dfrac{1}{2}e^x \) er alltid positiv, så fortegnet til \( g'(x) \) kommer fra de to andre faktorene. Vi lager en fortegnslinje, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-1.5, 0.5], "labels": ["-\\tfrac{3}{2}", "\\tfrac{1}{2}"], "rows": [{"label": "\\tfrac{1}{2}e^x", "expr": "0.5*e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 3}", "expr": "2x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{2x - 1}", "expr": "2x - 1"}, {"label": "g'(x)", "expr": "0.5*e^x*(2x - 1)*(2x + 3)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \)

Grafen stiger fram til \( {x = -\dfrac{3}{2}}\text{,} \) synker fram til \( {x = \dfrac{1}{2}} \) og stiger igjen. Den har derfor et toppunkt i \( {x = -\dfrac{3}{2}} \) og et bunnpunkt i \( {x = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) I videoen sammenligner vi bare de to funksjonsverdiene, men fortegnslinja viser også at grafen faktisk snur i begge punktene.