Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

andregradsfunksjoner

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

2 oppgaver i R1 om andregradsfunksjoner

Oppgavene

R1 høst 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

Bruk en egnet strategi til å bestemme verdien som skrives ut når programmet nedenfor kjøres.
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Programmet stopper i toppunktet til O O og skriver ut
10 000‾‾ \underline{\underline{10\,000}}
Løkka øker \( x \) så lenge neste funksjonsverdi er større, altså så lenge grafen til \( O \) stiger. Programmet stopper derfor i toppunktet, som vi finner med den deriverte.
1. Les hva programmet gjør Linje 1 og 2 definerer funksjonen: \[ O(x) = -0{,}1x^2 + 2000x - 50\,000 \]
Linje 4 starter med \( {x = 0}\text{.} \) Løkka i linje 6 og 7 øker \( x \) med \( 1 \) så lenge \( {O(x + 1) > O(x)}\text{,} \) altså så lenge grafen stiger. Når den ikke stiger lenger, stopper løkka, og linje 9 skriver ut \( x\text{.} \)
2. Finn toppunktet med den deriverte Topp- og bunnpunkter finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer ledd for ledd: \[ O'(x) = -0{,}2x + 2000 \]
Vi setter den deriverte lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}2x + 2000 &= 0 \\ x &= \dfrac{2000}{0{,}2} = 10\,000 \end{aligned} \]For \( {x < 10\,000} \) er \( {\textcolor{blue}{O'(x) > 0}}\text{,} \) og grafen stiger. For \( {x > 10\,000} \) er \( {\textcolor{red}{O'(x) < 0}}\text{,} \) og grafen synker.
3. Finn verdien som skrives ut Løkka tar ett steg om gangen. Når \( {x = 9999}\text{,} \) er \( {\textcolor{blue}{O(10\,000) > O(9999)}}\text{,} \) fordi grafen stiger fram til toppunktet. Da blir \( {x = 10\,000}\text{.} \)
Når \( {x = 10\,000}\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{O(10\,001) < O(10\,000)}}\text{,} \) fordi grafen synker etter toppunktet. Da stopper løkka, og programmet skriver ut \( 10\,000\text{.} \)

R1 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

I 1823 viste matematikeren Augustin Louis Cauchy følgende setning:
Anta at en funksjon f f er kontinuerlig i det lukkede intervallet [a,b] [a, b] og deriverbar i det åpne intervallet ⟨a,b⟩. \langle a, b \rangle\text{.} Da finnes en c∈⟨a,b⟩ c \in \langle a, b \rangle slik at
f′(c)=f(b)−f(a)b−a f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}
La f(x)=x2+3x+1. {f(x) = x^2 + 3x + 1}\text{.}

Oppgave 6a)

Bestem c c når a=1 {a = 1} og b=3. {b = 3}\text{.}
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
c=2‾‾ \underline{\underline{c = 2}}
Vi regner ut brøken på høyre side med \( {a = 1} \) og \( {b = 3}\text{,} \) og finner \( c \) der den deriverte er lik brøken.
Metode: For hånd
1. Regn ut brøken Brøken \( {\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}} \) er stigningstallet til linja gjennom \( (a, f(a)) \) og \( (b, f(b))\text{,} \) endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Vi regner ut funksjonsverdiene: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{1}) &= 1 + 3 + 1 = \textcolor{blue}{5} \\ f(\textcolor{red}{3}) &= 9 + 9 + 1 = \textcolor{red}{19} \end{aligned} \]
Det gir: \[ \dfrac{f(\textcolor{red}{3}) - f(\textcolor{blue}{1})}{\textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{\textcolor{red}{19} - \textcolor{blue}{5}}{2} = 7 \]
2. Finn c Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er \( {f'(x) = 2x + 3}\text{.} \) Vi setter \( {f'(c) = 7}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2c + 3 &= 7 \\ 2c &= 4 \\ c &= 2 \end{aligned} \]Det ligger i \( \langle 1, 3 \rangle\text{,} \) som setningen sier.

Oppgave 6b)

Lag et program som bestemmer c, c\text{,} når du gir verdier til a a og b. b\text{.}
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Vi gjør det samme som i a), men med \( a \) og \( b \) som bokstaver.
Programmet regner ut brøken på høyre side og løser \( {f'(c) =} \) brøken, slik vi gjorde for hånd i a).
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir: en funksjon og noen regnelinjer.
Metode: Med Python
1. Løs likningen for c Vi kaller brøken \( \textcolor{blue}{m}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{m} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
I a) fant vi \( {f'(x) = 2x + 3}\text{.} \) Da gir \( {f'(c) = \textcolor{blue}{m}} \) at: \[ \begin{aligned} 2c + 3 &= \textcolor{blue}{m} \\ c &= \dfrac{\textcolor{blue}{m} - 3}{2} \end{aligned} \]
2. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 og 2 definerer funksjonen \( f\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. I linje 4 og 5 gir vi verdier til \( a \) og \( b\text{.} \)
Linje 7 regner ut \( \textcolor{blue}{m}\text{,} \) linje 9 regner ut \( {c = \dfrac{\textcolor{blue}{m} - 3}{2}}\text{,} \) og linje 11 skriver ut \( c\text{.} \) Med \( {a = 1} \) og \( {b = 3} \) skriver programmet ut \( {c = 2}\text{,} \) som i a). Andre programmer er også riktige, for eksempel et som prøver seg fram med en løkke.

Oppgave 6c)

Bruk programmet til å undersøke om det finnes en sammenheng mellom verdien av c c og verdiene av a a og b. b\text{.}
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
I alle kjøringene ligger c c midt mellom a a og b: b\text{:}
c=a+b2‾‾ \underline{\underline{c = \dfrac{a + b}{2}}}
Vi bygger videre på programmet fra b).
Vi lar programmet regne ut \( c \) for flere par \( a \) og \( b\text{,} \) og ser etter et mønster.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir, særlig løkker som går gjennom flere verdier.
Metode: Med Python
1. Kjør programmet for flere verdier Vi bytter ut linje 4 og 5 i programmet fra b) med en liste med fire par \( a \) og \( b\text{,} \) og en løkke som går gjennom dem, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:
2. Se etter et mønster I hver linje ligger \( \textcolor{green}{c} \) midt mellom \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{,} \) for eksempel er \( {\dfrac{\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{8}}{2} = \textcolor{green}{5}} \) og \( {\dfrac{\textcolor{blue}{0{,}5} + \textcolor{red}{2}}{2} = \textcolor{green}{1{,}25}}\text{.} \) Sammenhengen er: \[ \textcolor{green}{c} = \dfrac{\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}}{2} \]
Anne påstår at dersom a=2 {a = 2} og b=8, {b = 8}\text{,} så vil c=5 {c = 5} for alle andregradsfunksjoner.

Oppgave 6d)

Avgjør om Annes påstand er riktig.
Vis løsning på oppgave 6d
Svar
For alle andregradsfunksjoner gir a=2 {a = 2} og b=8 {b = 8} at c=5: {c = 5}\text{:}
Annes pa˚stand er riktig‾‾ \underline{\underline{\text{Annes påstand er riktig}}}
Påstanden gjelder alle andregradsfunksjoner, så vi regner med en generell andregradsfunksjon og ser om vi alltid får \( {c = 5}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Skriv en generell andregradsfunksjon Bokstavene \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) er brukt, så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{:} \) \[ g(x) = \textcolor{blue}{p}x^2 + \textcolor{red}{q}x + \textcolor{green}{r} \quad \text{der } \textcolor{blue}{p} \neq 0 \]Med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er \( {g'(x) = 2\textcolor{blue}{p}x + \textcolor{red}{q}}\text{.} \)
2. Regn ut brøken Med \( {a = 2} \) og \( {b = 8} \) er: \[ \begin{aligned} g(8) &= 64\textcolor{blue}{p} + 8\textcolor{red}{q} + \textcolor{green}{r} \\ g(2) &= 4\textcolor{blue}{p} + 2\textcolor{red}{q} + \textcolor{green}{r} \end{aligned} \]
Konstantleddet \( \textcolor{green}{r} \) forsvinner når vi trekker fra, så brøken blir: \[ \dfrac{g(8) - g(2)}{8 - 2} = \dfrac{60\textcolor{blue}{p} + 6\textcolor{red}{q}}{6} = 10\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q} \]
3. Løs for c Vi setter \( g'(c) \) lik brøken: \[ \begin{aligned} 2\textcolor{blue}{p}c + \textcolor{red}{q} &= 10\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q} \\ 2\textcolor{blue}{p}c &= 10\textcolor{blue}{p} \\ c &= 5 \end{aligned} \]Vi kan dele på \( 2\textcolor{blue}{p}\text{,} \) fordi \( {\textcolor{blue}{p} \neq 0}\text{.} \) Vi får \( {c = 5} \) uansett hva \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r} \) er, så påstanden er riktig. Det passer med mønsteret i c), siden \( 5 \) er midt mellom \( 2 \) og \( 8\text{.} \)