Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

vekstfaktor

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

10 oppgaver i 2P om vekstfaktor

Oppgavene

2P vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

2 poeng

Skriv av tabellen nedenfor og fyll inn verdiene som mangler.
VekstfaktorProsentvis endring1,05+5 %1,4+17,5 %−28 %0,672 \begin{array}{r|r} \text{Vekstfaktor} & \text{Prosentvis endring} \\ \hline 1{,}05 & +5\,\% \\ 1{,}4 & \\ & +17{,}5\,\% \\ & -28\,\% \\ 0{,}67 & \\ 2 & \end{array}
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Den utfylte tabellen:
VekstfaktorProsentvisendring1,05+5 %1,4+40 %‾‾1,175‾‾+17,5 %0,72‾‾−28 %0,67−33 %‾‾2+100 %‾‾ \begin{array}{c|c} \text{Vekstfaktor} & \begin{matrix} \text{Prosentvis} \\ \text{endring} \end{matrix} \\ \hline 1{,}05 & +5\,\% \\ 1{,}4 & \underline{\underline{+40\,\%}} \\ \underline{\underline{1{,}175}} & +17{,}5\,\% \\ \underline{\underline{0{,}72}} & -28\,\% \\ 0{,}67 & \underline{\underline{-33\,\%}} \\ 2 & \underline{\underline{+100\,\%}} \end{array}
Vekstfaktoren er det en verdi ganges med når den endres med en prosent. Vi bruker sammenhengen mellom vekstfaktoren og prosenten begge veier.
1. Skriv opp sammenhengen Når noe endres med \( \textcolor{blue}{p}\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{\textcolor{blue}{p}}{100} \]Ved en nedgang er \( \textcolor{blue}{p} \) negativ. Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Går vi den andre veien, er den prosentvise endringen: \[ \textcolor{blue}{p} = (V - 1) \cdot 100 \]
2. Fyll inn tabellen Rad for rad, ovenfra: \[ \begin{aligned} 1{,}4 - 1 &= 0{,}4 = \textcolor{blue}{+40\,\%} \\ 1 + \textcolor{blue}{0{,}175} &= 1{,}175 \\ 1 - \textcolor{blue}{0{,}28} &= 0{,}72 \\ 0{,}67 - 1 &= -0{,}33 = \textcolor{blue}{-33\,\%} \\ 2 - 1 &= 1 = \textcolor{blue}{+100\,\%} \end{aligned} \]Vekstfaktoren \( 2 \) betyr at verdien dobles, altså øker med \( 100\,\%\text{.} \)

2P vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

1 poeng

Prisen for en vare settes ned med 20 %. 20\,\%\text{.} Litt senere settes prisen opp igjen med 20 %. 20\,\%\text{.}
Koster varen nå mer enn, mindre enn eller det samme som den gjorde før de to prisendringene? Husk å begrunne svaret.
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Siden 0,80⋅1,20=0,96, {0{,}80 \cdot 1{,}20 = 0{,}96}\text{,} koster varen 4 % 4\,\% mindre:
Mindre enn før‾‾ \underline{\underline{\text{Mindre enn før}}}
Prisen endres to ganger med en prosent, så vi bruker vekstfaktorer. Ganger vi dem sammen, ser vi hvor stor del av den opprinnelige prisen varen koster nå.
1. Finn vekstfaktorene Vekstfaktoren er det prisen ganges med: \[ \begin{aligned} \text{Nedgang: } V &= 1 - \dfrac{p}{100} \\ \text{Økning: } V &= 1 + \dfrac{p}{100} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor, der prisen synker med akkurat \( 20\,\%\text{.} \)
Her er \( {p = 20} \) begge gangene: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{V_1} &= 1 - 0{,}20 = \textcolor{red}{0{,}80} \\ \textcolor{blue}{V_2} &= 1 + 0{,}20 = \textcolor{blue}{1{,}20} \end{aligned} \]
2. Gang vekstfaktorene sammen Vi kaller den opprinnelige prisen \( P\text{.} \) Etter begge endringene er prisen: \[ P \cdot \textcolor{red}{0{,}80} \cdot \textcolor{blue}{1{,}20} = P \cdot 0{,}96 \]Varen koster nå \( 96\,\% \) av den opprinnelige prisen, altså \( 4\,\% \) mindre.
Grunnen er at økningen er \( 20\,\% \) av en lavere pris enn nedgangen var: \( 100 \) kroner blir \( 80 \) kroner, og \( 20\,\% \) av \( 80 \) er \( 16\text{,} \) så prisen ender på \( 96 \) kroner.

2P vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

2 poeng

Prisen for en vare har endret seg tre ganger i løpet av det siste året. Uttrykket nedenfor viser prisen for varen før prisendringene.
40 0001,05⋅0,852 \dfrac{40\,000}{1{,}05 \cdot 0{,}85^2}
Hva forteller uttrykket om prisendringene?
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Prisen er nå 40 000 40\,000 kroner, og endringene kan ha kommet i hvilken som helst rekkefølge:
Opp 5 % eˊn gang‾‾Ned 15 % to ganger‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Opp } 5\,\% \text{ én gang}}} \\ &\underline{\underline{\text{Ned } 15\,\% \text{ to ganger}}} \end{aligned}
Prisen etter endringene er prisen før ganget med en vekstfaktor for hver endring. Vi snur det og leser av hva tallene i uttrykket betyr.
1. Sammenlign med vekstfaktorene Når prisen endres tre ganger, ganger vi prisen før med vekstfaktoren for hver endring, som i videoen Vekstfaktor: \[ \text{pris før} \cdot V_1 \cdot V_2 \cdot V_3 = \text{pris etter} \]
Deler vi med vekstfaktorene på begge sider, får vi prisen før: \[ \text{pris før} = \dfrac{\text{pris etter}}{V_1 \cdot V_2 \cdot V_3} \]
Uttrykket har samme form. Prisen etter de tre endringene er altså \( \textcolor{green}{40\,000} \) kroner, og vekstfaktorene er \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) én gang og \( \textcolor{red}{0{,}85} \) to ganger: \[ \dfrac{\textcolor{green}{40\,000}}{\textcolor{blue}{1{,}05} \cdot \textcolor{red}{0{,}85}^2} = \dfrac{\textcolor{green}{40\,000}}{\textcolor{blue}{1{,}05} \cdot \textcolor{red}{0{,}85} \cdot \textcolor{red}{0{,}85}} \]
2. Les av prisendringene Når prisen endres med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Ved en nedgang er \( p \) negativ.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1{,}05} &= 1 + 0{,}05 && \text{opp } 5\,\% \\ \textcolor{red}{0{,}85} &= 1 - 0{,}15 && \text{ned } 15\,\% \end{aligned} \]Prisen er satt opp med \( 5\,\% \) én gang og ned med \( 15\,\% \) to ganger. Et produkt blir det samme uansett rekkefølge, så uttrykket sier ikke hvilken endring som kom først.

2P vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

4 poeng

En bedrift har fått krav om å redusere utslippet av et miljøskadelig stoff.
• I dag er utslippet 16 000 16\,000 tonn per år.
• Kravet er at utslippet skal halveres for hvert sjette år. Det betyr at utslippet skal være 8000 tonn per år om 6 år, 4000 tonn per år om 12 år, og så videre.
Ledelsen mener funksjonen U U gitt ved
U(x)=16000⋅0,89x U(x) = 16000 \cdot 0{,}89^x
vil være en god modell for utslippet U(x) U(x) tonn per år om x x år dersom bedriften klarer å innfri kravet.

Oppgave 1a)

Vis hvordan ledelsen kan ha kommet fram til modellen.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Halvert etter 6 år gir a6=0,5, {a^6 = 0{,}5}\text{,} så a=0,51/6≈0,89: {a = 0{,}5^{1/6} \approx 0{,}89}\text{:}
U(x)=16 000⋅0,89x‾‾ \underline{\underline{U(x) = 16\,000 \cdot 0{,}89^x}}
Utslippet skal ganges med det samme tallet hvert år og være halvert etter \( 6 \) år. Vi setter opp en likning for vekstfaktoren og løser den.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp likningen En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{a} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. I dag er utslippet \( \textcolor{blue}{16\,000} \) tonn: \[ U(x) = \textcolor{blue}{16\,000} \cdot \textcolor{red}{a}^x \]
Om \( 6 \) år skal utslippet være halvert, \( 8000 \) tonn. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{16\,000} \cdot \textcolor{red}{a}^6 = 8000 \]
2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{16\,000} \) på begge sider og tar sjette rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a}^6 &= \dfrac{8000}{16\,000} = 0{,}5 \\ \textcolor{red}{a} &= 0{,}5^{1/6} \approx \textcolor{red}{0{,}8909} \end{aligned} \]
Avrundet til to desimaler er \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{0{,}89}}\text{,} \) og det gir ledelsens modell: \[ U(x) = \textcolor{blue}{16\,000} \cdot \textcolor{red}{0{,}89}^x \]
Kontroll: \( {16\,000 \cdot 0{,}89^6 \approx 7952} \) og \( {16\,000 \cdot 0{,}89^{12} \approx 3952}\text{,} \) nær \( 8000 \) og \( 4000\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi skriver likningen \( {16\,000 \cdot a^6 = 8000} \) inn i CAS og løser den med Løs og ≈-knappen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:
Skriv inn i GeoGebra: Løs(16000 a^6 = 8000, a)
CAS gir \( {a \approx -0{,}8909} \) og \( {a \approx 0{,}8909}\text{.} \) En vekstfaktor kan ikke være negativ, så vi bruker \( {a \approx 0{,}8909 \approx 0{,}89}\text{,} \) og det gir \( {U(x) = 16\,000 \cdot 0{,}89^x}\text{.} \)

Oppgave 1b)

Hvor mange prosent vil utslippet reduseres med per år, ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Ifølge modellen reduseres utslippet med:
11 % per a˚r‾‾ \underline{\underline{11\,\% \text{ per år}}}
Vekstfaktoren i modellen er \( 0{,}89\text{.} \) Den er mindre enn \( 1\text{,} \) så utslippet minker, og prosenten finner vi fra vekstfaktoren.
Metode: For hånd
1. Les av prosenten Når noe minker med \( \textcolor{red}{p}\,\% \) per år, er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{\textcolor{red}{p}}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
I modellen er \( {V = 0{,}89}\text{:} \) \[ 0{,}89 = 1 - 0{,}11 = 1 - \dfrac{\textcolor{red}{11}}{100} \]Utslippet reduseres altså med \( \textcolor{red}{11}\,\% \) hvert år.

Oppgave 1c)

Hvor mange tonn vil utslippet i gjennomsnitt reduseres med per år i løpet av de fem første årene, ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Avrundet til hele tonn reduseres utslippet i gjennomsnitt med:
Omtrent 1413 tonn per a˚r‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 1413 \text{ tonn per år}}}
Den gjennomsnittlige endringen per år er endringen i utslippet de fem første årene delt på \( 5\text{.} \) Det er stigningstallet mellom \( {x = 0} \) og \( {x = 5}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Regn ut utslippet om 5 år Med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} U(0) &= 16\,000 \cdot 0{,}89^0 = \textcolor{blue}{16\,000} \\ U(5) &= 16\,000 \cdot 0{,}89^5 \approx \textcolor{red}{8934{,}5} \end{aligned} \]
2. Finn den gjennomsnittlige endringen Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{U(5)} - \textcolor{blue}{U(0)}}{5 - 0} \]
Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8934{,}5} - \textcolor{blue}{16\,000}}{5} \\ &= \dfrac{-7065{,}5}{5} \approx -1413 \end{aligned} \]Utslippet går altså i gjennomsnitt ned med omtrent \( 1413 \) tonn per år de fem første årene.

2P høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 8

2 poeng

Johann har arvet penger. Han har en plan og har laget programmet nedenfor.
Hva forteller programmet om planen til Johann? Hva forteller verdiene som skrives ut når programmet kjøres?
Vis løsning på oppgave 8

Svar

Johann setter arven inn med 5,6 % 5{,}6\,\% rente og tar ut 120 000 120\,000 kroner hvert år så lenge pengene rekker, med restbeløpet avrundet til hele kroner:
22 a˚r med uttak‾‾Omtrent 11 184 kr igjen‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{22 \text{ år med uttak}}} \\ &\underline{\underline{\text{Omtrent } 11\,184 \text{ kr igjen}}} \end{aligned}
Vi går gjennom programmet linje for linje, slik datamaskinen gjør. Så ser vi hva som skjer med kontoen hvert år, og når løkka stopper.
1. Les startverdiene Linje 1 til 4 gir startverdiene: Johann har \( \textcolor{blue}{1\,500\,000} \) kroner på kontoen, uttaket er \( \textcolor{red}{120\,000} \) kroner, vekstfaktoren er \( \textcolor{green}{1{,}056} \) og telleren for år starter på \( 0\text{.} \)
Når noe øker med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er: \[ \textcolor{green}{1{,}056} = 1 + 0{,}056 = 1 + \dfrac{5{,}6}{100} \]Kontoen gir altså \( 5{,}6\,\% \) rente per år.
2. Les hva løkka gjør Vi går gjennom løkka linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Hver runde er ett år, fordi linje 8 legger \( 1 \) til året. Linje 7 legger renten til kontoen og tar så ut \( \textcolor{red}{120\,000} \) kroner: \[ \text{ny konto} = \text{konto} \cdot \textcolor{green}{1{,}056} - \textcolor{red}{120\,000} \]
Linje 6 gjentar dette så lenge det står minst \( 120\,000 \) kroner på kontoen. Planen er altså å sette arven inn med \( 5{,}6\,\% \) rente og ta ut \( \textcolor{red}{120\,000} \) kroner hvert år, så lenge pengene rekker.
3. Tolk utskriften Løkka stopper første gang det står mindre enn \( 120\,000 \) kroner på kontoen. Linje 11 skriver da ut 22: Johann kan ta ut \( \textcolor{red}{120\,000} \) kroner hvert år i 22 år. Linje 12 skriver ut hvor mye som står igjen etter det 22. uttaket: omtrent \( 11\,184 \) kroner, avrundet til hele kroner. Det er for lite til et nytt uttak.

2P høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Alex lager hårspenner og annen hodepynt. I februar 2025 åpnet han en liten nettbutikk. Tabellen nedenfor viser omsetningen de første fem månedene etter at nettbutikken åpnet.
Ma˚nedOmsetning(kroner)Februar1267Mars1431April1619Mai1788Juni2032 \begin{array}{r|r} \text{Måned} & \text{Omsetning} \\ & \text{(kroner)} \\ \hline \text{Februar} & 1267 \\ \text{Mars} & 1431 \\ \text{April} & 1619 \\ \text{Mai} & 1788 \\ \text{Juni} & 2032 \end{array}

Oppgave 1a)

Lag en modell på formen
f(x)=a⋅bx f(x) = a \cdot b^x
for omsetningen f(x) f(x) kroner x x måneder etter februar 2025.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med a a avrundet til to desimaler og b b til fire desimaler:
f(x)≈1271,12⋅1,1238x‾‾ \underline{\underline{f(x) \approx 1271{,}12 \cdot 1{,}1238^x}}
Tabellen har fem måneder, og modellen skal ha formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) Vi gjør eksponentiell regresjon i GeoGebra, med februar som \( {x = 0}\text{.} \)
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator. Du kan også se at \( b \) må være litt over 1,1: fra februar til mars ganges omsetningen med \( {\dfrac{1431}{1267} \approx 1{,}13}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Gjør eksponentiell regresjon Februar er \( {x = 0}\text{,} \) mars \( {x = 1} \) og så videre til juni, \( {x = 4}\text{.} \) Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som i GeoGebra på bokmål gir formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x}\text{.} \) Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 1267), (1, 1431), (2, 1619), (3, 1788), (4, 2032)} f(x) = RegEksp(l1)
2. Les av a og b Med fire desimaler gir GeoGebra: \[ f(x) \approx \textcolor{blue}{1271{,}1197} \cdot \textcolor{red}{1{,}1238}^x \]Her er \( \textcolor{blue}{a} \) omsetningen i februar ifølge modellen, og \( \textcolor{red}{b} \) er vekstfaktoren per måned.
I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.
Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {b \approx 1{,}12}\text{.} \) Regner vi videre med det, blir økningen i b) \( 12\,\% \) i stedet for \( 12{,}4\,\%\text{,} \) og i c) når modellen målet først i mars 2027 i stedet for februar 2027. Vis derfor flere desimaler i GeoGebra.

Oppgave 1b)

Omtrent hvor mange prosent øker omsetningen med per måned, ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til én desimal øker omsetningen per måned med:
Omtrent 12,4 %‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 12{,}4\,\%}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
I modellen ganges omsetningen med \( b \) for hver måned som går. Vi leser prosenten av vekstfaktoren \( b\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Les prosenten av vekstfaktoren Når noe øker med \( p\,\% \) per måned, er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
I a) fant vi \( {f(x) \approx 1271{,}12 \cdot \textcolor{red}{1{,}1238}^x}\text{,} \) så vekstfaktoren er: \[ \textcolor{red}{1{,}1238} = 1 + 0{,}1238 = 1 + \dfrac{12{,}38}{100} \]Omsetningen øker altså med omtrent \( 12{,}4\,\% \) hver måned.
Alex har som mål å omsette for 20 000 20\,000 kroner per måned.

Oppgave 1c)

Når kommer Alex til å nå målet, ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Modellen passerer 20 000 20\,000 kroner ved x≈23,6, {x \approx 23{,}6}\text{,} og den første måneden over målet er x=24: {x = 24}\text{:}
I februar 2027‾‾ \underline{\underline{\text{I februar 2027}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi finner \( x \) der \( {f(x) = 20\,000}\text{.} \) Med kalkulator regner vi ut \( f(x) \) for noen måneder, og med GeoGebra finner vi skjæringspunktet med linja \( {y = 20\,000}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut omsetningen for noen måneder I a) fant vi modellen: \[ f(x) \approx 1271{,}12 \cdot 1{,}1238^x \]
Med kalkulatoren prøver vi ett år, \( {x = 12}\text{,} \) to år, \( {x = \textcolor{red}{24}}\text{,} \) og så én måned tilbake. For eksempel er: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{red}{24}) &\approx 1271{,}12 \cdot 1{,}1238^{\textcolor{red}{24}} \\ f(\textcolor{red}{24}) &\approx \textcolor{red}{20\,928} \end{aligned} \]
Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & f(x) \\ \hline 12 & 5\,158 \\ \textcolor{blue}{23} & \textcolor{blue}{18\,622} \\ \textcolor{red}{24} & \textcolor{red}{20\,928} \end{array} \]
2. Finn måneden Siden \( {f(\textcolor{blue}{23}) < 20\,000 < f(\textcolor{red}{24})}\text{,} \) når modellen målet mellom \( {x = 23} \) og \( {x = 24}\text{.} \) Februar 2025 er \( {x = 0}\text{,} \) så \( {x = \textcolor{red}{24}} \) er februar 2027. Det er den første måneden der omsetningen er minst \( 20\,000 \) kroner.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktet Med \( f \) fra a) i GeoGebra tegner vi linja \( {y = 20\,000} \) og finner skjæringspunktet med grafen til \( f\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: h: y = 20000 S = Skjæring(f, h)
Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (23{,}6054,\ 20\,000)}\text{,} \) så modellen passerer \( 20\,000 \) kroner etter omtrent \( 23{,}6 \) måneder. Måned \( {x = 23} \) er under målet, og måned \( {x = 24}\text{,} \) februar 2027, er over.

Oppgave 1d)

Hvor mange prosent må omsetningen øke med per måned etter juni 2025 dersom Alex skal nå målet i løpet av desember 2025?
Vis løsning på oppgave 1d
Svar
Avrundet til én desimal må omsetningen øke per måned med:
Omtrent 46,4 %‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 46{,}4\,\%}}
Fra juni til desember 2025 er det seks måneder. Omsetningen i juni, 2032 kroner, skal ganges med den samme vekstfaktoren seks ganger og bli \( 20\,000\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp likningen Vi kaller vekstfaktoren per måned \( \textcolor{red}{k}\text{.} \) Omsetningen ganges med \( \textcolor{red}{k} \) i juli, august, september, oktober, november og desember, altså seks ganger. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{2032} \cdot \textcolor{red}{k}^6 = 20\,000 \]
2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{2032} \) på begge sider og tar sjette rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^6 &= \dfrac{20\,000}{\textcolor{blue}{2032}} \approx 9{,}8425 \\ \textcolor{red}{k} &= \left(\dfrac{20\,000}{\textcolor{blue}{2032}}\right)^{1/6} \approx \textcolor{red}{1{,}4639} \end{aligned} \]Siden \( {\textcolor{red}{1{,}4639} = 1 + 0{,}4639}\text{,} \) må omsetningen øke med omtrent \( 46{,}4\,\% \) per måned.
Kontroll: \( {2032 \cdot 1{,}4639^6 \approx 19\,998}\text{,} \) altså nesten \( 20\,000\text{.} \) Det lille avviket kommer av at \( k \) er avrundet.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi skriver likningen inn i CAS og trykker på \( {\approx} \) for å få desimaltall, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:
Skriv inn i GeoGebra: Løs(2032*k^6 = 20000, k)
En vekstfaktor kan ikke være negativ, så \( {k \approx 1{,}4639}\text{.} \) Omsetningen må øke med omtrent \( 46{,}4\,\% \) per måned.

2P høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

I januar 2020 hadde Fatima, Adrian og Vegard 100 000 100\,000 kroner hver.
Fatima plasserte pengene sine i et aksjefond. I januar 2025 hadde verdien steget med 36 %. 36\,\%\text{.}
Adrian satte pengene sine inn på en sparekonto med en årlig rente på 5,7 %. 5{,}7\,\%\text{.}
Vegard investerte pengene sine i ulike aksjer hvert år.
• I 2020 steg verdien av aksjene med 20 % 20\,\% • I 2021 falt verdien med 11 % 11\,\% • I 2022 falt verdien med 10 % 10\,\% • I 2023 steg verdien med 23 % 23\,\% • I 2024 steg verdien med 17 % 17\,\%
Gjør beregninger og lag en oversikt som viser hvor mye penger hver av de tre har ved starten av 2025.
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Avrundet til hele kroner har de ved starten av 2025:
PersonKronerFatima136 000‾‾Adrian131 940‾‾Vegard138 326‾‾ \begin{array}{l|r} \text{Person} & \text{Kroner} \\ \hline \text{Fatima} & \underline{\underline{136\,000}} \\ \text{Adrian} & \underline{\underline{131\,940}} \\ \text{Vegard} & \underline{\underline{138\,326}} \end{array}
Hver endring i prosent gir en vekstfaktor. Vi ganger de \( 100\,000 \) kronene med vekstfaktorene for hver av de tre.
Metode: For hånd
1. Skriv opp vekstfaktorene Når noe øker med \( p\,\%\text{,} \) eller minker med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ \begin{aligned} \text{Økning: } V &= 1 + \dfrac{p}{100} \\ \text{Nedgang: } V &= 1 - \dfrac{p}{100} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
2. Regn ut for Fatima og Adrian Fatimas verdi steg med \( 36\,\% \) til sammen: \[ 100\,000 \cdot \textcolor{blue}{1{,}36} = 136\,000 \]
Adrian får \( 5{,}7\,\% \) rente hvert av de fem årene fra 2020 til 2024. Å gange med vekstfaktoren fem ganger er det samme som å gange med den opphøyd i 5, som for sparekontoen i videoen Vekstfaktor: \[ 100\,000 \cdot \textcolor{red}{1{,}057}^5 \approx 131\,940 \]
3. Regn ut for Vegard Vegard har én vekstfaktor for hvert år. To av dem er under 1, fordi verdien falt, som når prisen synker i videoen Vekstfaktor. Vi ganger dem sammen først: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{1{,}20 \cdot 0{,}89 \cdot 0{,}90 \cdot 1{,}23 \cdot 1{,}17} \\ &\approx \textcolor{green}{1{,}383263} \end{aligned} \]
Så ganger vi de \( 100\,000 \) kronene med produktet: \[ 100\,000 \cdot \textcolor{green}{1{,}383263} \approx 138\,326 \]Vegard har mest ved starten av 2025, selv om verdien hans falt to av årene.
Metode: Med regneark
1. Lag en tabell år for år Vi skriver årene 2020 til 2025 i kolonne A og \( 100\,000 \) i rad 2 for alle tre. Vegards fem vekstfaktorer skriver vi i D2 til D6, på året de gjelder for. Fatima har én vekstfaktor for alle fem årene, så hun får bare en verdi i 2025: \[ \begin{aligned} \text{B7:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=B2*1,36}} \\ \text{C3:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=C2*1,057}} \\ \text{E3:}\quad & \textcolor{green}{\texttt{=E2*D2}} \end{aligned} \]Vi drar C3 og E3 ned til rad 7, så hver rad er året før ganget med vekstfaktoren:
Ved starten av 2025 har Fatima \( 136\,000 \) kroner, Adrian \( 131\,939{,}53 \) og Vegard \( 138\,326{,}29\text{,} \) altså \( 131\,940 \) og \( 138\,326 \) avrundet til hele kroner, det samme som for hånd.

2P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 7

2 poeng

Et av FNs bærekraftsmål er å redusere matsvinn.
Sofie har lest at en familie på fire kaster ca. 160 kg 160\,\text{kg} mat hvert år. Hun har laget programmet nedenfor.
Når Sofie kjører programmet, blir disse verdiene skrevet ut:
Forklar hva Sofie ønsker å finne ut. Hva forteller verdiene som blir skrevet ut når Sofie kjører programmet?
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Sofie vil finne ut når matsvinnet er halvert, hvis det minker med 13 % 13\,\% per år. Avrundet til én desimal:
Halvert i 2030‾‾Da er matsvinnet ≈79,7 kg‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Halvert i 2030}}} \\ &\underline{\underline{\text{Da er matsvinnet } \approx 79{,}7\,\text{kg}}} \end{aligned}
Vi går gjennom programmet linje for linje, slik datamaskinen gjør. Så ser vi når løkka stopper, og hva som da skrives ut.
1. Les startverdiene Programmet kjøres linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 1 til 5 gir startverdiene: familien kaster \( \textcolor{blue}{160} \) kg mat i 2025, og målet er halvparten, \( {\dfrac{160}{2} = \textcolor{red}{80}} \) kg.
I linje 3 er \( \textcolor{green}{\texttt{vf}} \) vekstfaktoren. Når noe minker med \( p\,\% \) per år, er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er \( {\textcolor{green}{0{,}87} = 1 - 0{,}13 = 1 - \dfrac{13}{100}}\text{,} \) så matsvinnet skal minke med \( 13\,\% \) per år.
2. Les løkka Linje 7 til 9 gjentas så lenge matsvinnet er større enn målet. Hver gang ganges matsvinnet med \( \textcolor{green}{0{,}87}\text{,} \) og året øker med \( 1\text{.} \) Etter \( n \) år er matsvinnet: \[ \textcolor{blue}{160} \cdot \textcolor{green}{0{,}87}^n \]
Løkka stopper første gang matsvinnet er \( \textcolor{red}{80} \) kg eller mindre. Sofie vil altså finne ut hvilket år familien har halvert matsvinnet, hvis det minker med \( 13\,\% \) hvert år.
3. Tolk utskriften Linje 11 og 12 skriver ut året og matsvinnet da løkka stoppet: \[ \begin{aligned} \text{år} &= 2030 \\ \text{matsvinn} &\approx 79{,}7 \end{aligned} \]I 2030, fem år etter 2025, er matsvinnet for første gang under målet på \( \textcolor{red}{80} \) kg. Da kaster familien omtrent \( 79{,}7 \) kg mat.

2P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

5 poeng

Ledelsen ved en bedrift ønsker å redusere utslippet av miljøskadelige stoffer de neste årene.
I dag har bedriften to produksjonsprosesser. Utslippet fra den ene prosessen er 5000 tonn per år. Utslippet fra den andre prosessen er 1000 tonn per år.
Ledelsen mener funksjonen U U gitt ved
U(x)=5000⋅0,95x+1000 U(x) = 5000 \cdot 0{,}95^x + 1000
vil være en god modell for utslippet U(x) U(x) tonn per år etter x x år.

Oppgave 1a)

Forklar hva modellen forteller om ledelsens plan for å redusere utslippet.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Utslippet synker fra 6000 6000 tonn per år i dag og nærmer seg 1000 1000 tonn:
5000 tonn: minker 5 % per a˚r‾‾1000 tonn: uendret‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{5000 \text{ tonn: minker } 5\,\% \text{ per år}}} \\ &\underline{\underline{1000 \text{ tonn: uendret}}} \end{aligned}
Modellen har to ledd, ett for hver produksjonsprosess. Vi ser på hva hvert ledd gjør når \( x \) øker.
Metode: For hånd
1. Tolk leddene Det første leddet, \( {\textcolor{blue}{5000} \cdot \textcolor{red}{0{,}95}^x}\text{,} \) er prosessen som slipper ut \( \textcolor{blue}{5000} \) tonn i dag. Hvert år ganges det med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{0{,}95}\text{.} \) Når noe minker med \( p\,\% \) per år, er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er \( {\textcolor{red}{0{,}95} = 1 - \dfrac{5}{100}}\text{,} \) så utslippet fra denne prosessen skal minke med \( 5\,\% \) hvert år.
Det andre leddet, \( \textcolor{green}{1000}\text{,} \) avhenger ikke av \( x\text{.} \) Utslippet fra den andre prosessen skal altså være \( \textcolor{green}{1000} \) tonn hvert år.
Til sammen synker utslippet fra \( {U(0) = 6000} \) tonn per år i dag, og det nærmer seg \( 1000 \) tonn per år.

Oppgave 1b)

Hvor lang tid vil det gå før bedriften har halvert det årlige utslippet ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til én desimal:
Omtrent 17,9 a˚r‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 17{,}9 \text{ år}}}
I dag er utslippet \( 6000 \) tonn per år, så halvert utslipp er \( 3000 \) tonn. Vi finner når \( {U(x) = 3000}\text{,} \) med en verditabell og med GeoGebra.
Metode: Med kalkulator
1. Finn halvert utslipp I dag er \( {x = 0}\text{,} \) og \( {0{,}95^0 = 1}\text{:} \) \[ U(0) = 5000 \cdot 1 + 1000 = 6000 \]Halvert utslipp er \( {\dfrac{6000}{2} = \textcolor{red}{3000}} \) tonn per år.
2. Lag en verditabell Vi regner ut \( U(x) \) for hele år med kalkulatoren, for eksempel: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{17}) &= 5000 \cdot 0{,}95^{\textcolor{blue}{17}} + 1000 \\ &\approx 3090{,}6 \end{aligned} \]
Med én desimal gir det tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 15 & 3316{,}5 \\ 16 & 3200{,}6 \\ \textcolor{blue}{17} & 3090{,}6 \\ \textcolor{blue}{18} & 2986{,}1 \\ 19 & 2886{,}8 \end{array} \]Utslippet går under \( \textcolor{red}{3000} \) tonn mellom \( {x = 17} \) og \( {x = 18}\text{.} \)
3. Finn tiendedelen Vi regner ut \( U(x) \) rundt overgangen: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 17{,}8 & 3006{,}6 \\ 17{,}9 & 2996{,}3 \end{array} \]Utslippet kommer ned til \( \textcolor{red}{3000} \) tonn mellom \( {x = 17{,}8} \) og \( {x = 17{,}9}\text{,} \) nærmest \( 17{,}9\text{.} \) Utslippet er altså halvert etter omtrent \( 17{,}9 \) år.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktet med linja Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet, tegner linja \( {y = 3000} \) og finner skjæringspunktet med verktøyet «Skjæring mellom to objekter», som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: U(x) = 5000*0.95^x + 1000 h: y = 3000 S = Skjæring(U, h)
Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (17{,}8638,\ 3000)}\text{.} \) Utslippet er halvert etter omtrent \( 17{,}9 \) år.

Oppgave 1c)

Hvor mange prosent er det årlige utslippet redusert med etter 10 år ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Avrundet til én desimal er det årlige utslippet redusert med:
Omtrent 33,4 %‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 33{,}4\,\%}}
Vi regner ut utslippet etter 10 år og finner hvor mange prosent det har gått ned fra \( 6000 \) tonn i dag.
Metode: For hånd
1. Regn ut utslippet etter 10 år Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{10}} \) i modellen: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{10}) &= 5000 \cdot 0{,}95^{\textcolor{blue}{10}} + 1000 \\ &\approx \textcolor{red}{3993{,}7} \end{aligned} \]
2. Finn nedgangen i prosent Hvor mange prosent noe har gått ned, er endringen delt på det vi startet med, som i videoen Oppgave 1B - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{endring}}{\textcolor{green}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]
Utslippet har gått ned med \( {\textcolor{green}{6000} - \textcolor{red}{3993{,}7} = 2006{,}3} \) tonn: \[ \dfrac{2006{,}3}{\textcolor{green}{6000}} \cdot 100\,\% \approx 33{,}4\,\% \]
Myndighetene har krevd at bedriften skal redusere det årlige utslippet til 800 tonn per år.

Oppgave 1d)

Vurder om det ifølge modellen U U vil være mulig å oppfylle dette kravet.
Vis løsning på oppgave 1d
Svar
Ifølge modellen blir utslippet aldri lavere enn 1000 1000 tonn per år:
Kravet kan ikke oppfylles‾‾ \underline{\underline{\text{Kravet kan ikke oppfylles}}}
Vi finner ut hvor lavt utslippet kan bli ifølge modellen, og sammenligner med kravet på \( 800 \) tonn.
Metode: For hånd
1. Finn hvor lavt utslippet kan bli Leddet \( {5000 \cdot 0{,}95^x} \) blir mindre og mindre, men det er alltid positivt: et positivt tall opphøyd i en potens blir aldri \( 0\text{.} \) Derfor er: \[ U(x) = 5000 \cdot 0{,}95^x + \textcolor{blue}{1000} > \textcolor{blue}{1000} \]
2. Sammenlign med kravet Vi sammenligner det modellen gir, med kravet, som i videoen Oppgave 8B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Ifølge modellen kommer utslippet aldri under \( \textcolor{blue}{1000} \) tonn per år, og \( {\textcolor{blue}{1000} > \textcolor{red}{800}}\text{.} \) Kravet kan altså ikke oppfylles uten at bedriften også kutter utslippet fra den andre prosessen.

2P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

5 poeng

En fuglebestand i et område er blitt halvert i løpet av de fem siste årene. I dag er det 12 000 12\,000 fugler i bestanden.
Forskere mener bestanden vil fortsette å bli halvert hvert femte år framover.

Oppgave 4a)

Vis at funksjonen F F gitt ved F(x)=12000⋅0,87x {F(x) = 12000 \cdot 0{,}87^x} er en god modell for antallet fugler i bestanden etter x x år.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Halvering hvert femte år gir vekstfaktoren 0,51/5≈0,87, {0{,}5^{1/5} \approx 0{,}87}\text{,} og startverdien er 12 000: 12\,000\text{:}
F(x)=12 000⋅0,87x‾‾ \underline{\underline{F(x) = 12\,000 \cdot 0{,}87^x}}
Bestanden er \( 12\,000 \) i dag og halveres hvert femte år. Vi finner vekstfaktoren per år som halverer bestanden på fem år, og sammenligner med \( 0{,}87\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Sett opp likningen En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor: \[ F(x) = \textcolor{blue}{12\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^x \]
Etter \( 5 \) år skal bestanden være halvert, altså \( 6000\text{.} \) Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{12\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^5 = 6000 \]
2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{12\,000} \) på begge sider og tar femte rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^5 &= 0{,}5 \\ \textcolor{red}{k} &= 0{,}5^{1/5} \approx \textcolor{red}{0{,}8706} \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler er \( {\textcolor{red}{k} \approx \textcolor{red}{0{,}87}}\text{,} \) og startverdien er \( \textcolor{blue}{12\,000}\text{.} \) Da er \( {F(x) = 12\,000 \cdot 0{,}87^x} \) en god modell.
Kontroll: \( {0{,}87^5 \approx 0{,}498}\text{,} \) så modellen gir \( {F(5) \approx 5981}\text{,} \) nesten nøyaktig halvparten av \( 12\,000\text{.} \)

Oppgave 4b)

Hvor stor vil bestanden være etter 7 år ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Avrundet til hele fugler:
Omtrent 4527 fugler‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 4527 \text{ fugler}}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen står i oppgaveteksten til a).
Vi setter inn \( {x = 7} \) i modellen.
Metode: For hånd
1. Sett inn sju år Vi ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall år, som i videoen Vekstfaktor: \[ F(\textcolor{blue}{7}) = 12\,000 \cdot 0{,}87^{\textcolor{blue}{7}} \approx 4527{,}06 \]

Oppgave 4c)

Hvor mange år vil det gå før bestanden er redusert med 35 % 35\,\% ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
Avrundet til én desimal:
Omtrent 3,1 a˚r‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 3{,}1 \text{ år}}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen står i oppgaveteksten til a).
Er bestanden redusert med \( 35\,\%\text{,} \) er \( 65\,\% \) igjen. Vi finner når \( F(x) \) er \( 65\,\% \) av \( 12\,000\text{,} \) med en verditabell og med GeoGebra.
Metode: Med kalkulator
1. Finn antall fugler som er igjen Redusert med \( 35\,\% \) betyr at \( {100\,\% - 35\,\% = 65\,\%} \) er igjen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ 0{,}65 \cdot 12\,000 = \textcolor{red}{7800} \]
2. Lag en verditabell Vi regner ut \( F(x) \) for hele år med kalkulatoren, for eksempel: \[ F(\textcolor{blue}{3}) = 12\,000 \cdot 0{,}87^{\textcolor{blue}{3}} \approx 7902{,}0 \]
Med én desimal gir det tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & F(x) \\ \hline 2 & 9082{,}8 \\ \textcolor{blue}{3} & 7902{,}0 \\ \textcolor{blue}{4} & 6874{,}8 \end{array} \]Bestanden går under \( \textcolor{red}{7800} \) mellom \( {x = 3} \) og \( {x = 4}\text{.} \)
3. Finn tiendedelen Vi regner ut \( F(x) \) rundt overgangen: \[ \begin{array}{r|r} x & F(x) \\ \hline 3{,}0 & 7902{,}0 \\ 3{,}1 & 7792{,}8 \end{array} \]Bestanden kommer ned til \( \textcolor{red}{7800} \) mellom \( {x = 3{,}0} \) og \( {x = 3{,}1}\text{,} \) nærmest \( 3{,}1\text{.} \) Den er altså redusert med \( 35\,\% \) etter omtrent \( 3{,}1 \) år.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktet med linja Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet, tegner linja \( {y = 7800} \) og finner skjæringspunktet med verktøyet «Skjæring mellom to objekter», som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: F(x) = 12000*0.87^x h: y = 7800 S = Skjæring(F, h)
Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (3{,}0933,\ 7800)}\text{.} \) Bestanden er redusert med \( 35\,\% \) etter omtrent \( 3{,}1 \) år.