2P eksamen våren 2025 – løsningsforslag

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Del 1

Uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 1

1 poeng

Flere oppgaver om prosent

88\,\%

av elevene i en klasse deltar i en undersøkelse. Det er 3 elever som ikke deltar i undersøkelsen.

Hvor mange elever er det i klassen?

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{25 \text{ elever}}}

Vi vet hvor mange elever som ikke deltar. Vi finner derfor hvor mange prosent de er av klassen, og regner oss fram til hele klassen.

1. Finn andelen som ikke deltar Hele klassen er \( 100\,\%\text{,} \) så andelen som ikke deltar, er: \[ 100\,\% - 88\,\% = \textcolor{blue}{12}\,\% \]Det er de \( \textcolor{red}{3} \) elevene som ikke deltar.

2. Finn antall elever i klassen Formelen for prosent av et tall forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}\,\% \text{ av tall} = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{100} \cdot \text{tall} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Vi kaller antall elever i klassen \( x\text{.} \) Siden \( \textcolor{blue}{12}\,\% \) av \( x \) er \( \textcolor{red}{3}\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{12}}{100} \cdot x = \textcolor{red}{3} \]

Vi ganger med \( 100 \) på begge sider og deler så med \( \textcolor{blue}{12}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{12}x &= 300 \\ x &= \dfrac{300}{\textcolor{blue}{12}} = 25 \end{aligned} \]

Kontroll: \( 88\,\% \) av \( 25 \) er \( {\dfrac{88}{100} \cdot 25 = 22}\text{,} \) og \( {25 - 22 = 3} \) elever deltar ikke.

Oppgave 2

4 poeng

Trine og Truls står i kø for å ta en skiheis. De teller hvor mange personer som blir med i hver av vognene som kjører forbi før det blir deres tur. Resultatet ser du nedenfor.

6 \quad 3 \quad 2 \quad 4 \quad 4 \quad 6 \quad 2 \quad 7 \quad 8 \quad 8

Oppgave 2a)

Bestem medianen og gjennomsnittet.

Vis løsning

Svar

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Median: } 5 \text{ personer}}} \\ &\underline{\underline{\text{Gjennomsnitt: } 5 \text{ personer}}} \end{aligned}

Medianen er tallet i midten når tallene står i stigende rekkefølge, og gjennomsnittet er summen delt på antallet. Vi sorterer derfor tallene først.

1. Finn medianen Vi sorterer de \( 10 \) tallene i stigende rekkefølge: \[ 2 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad \textcolor{blue}{4} \quad \textcolor{blue}{6} \quad 6 \quad 7 \quad 8 \quad 8 \]

Medianen er tallet i midten. Med \( 10 \) tall er det ikke ett tall i midten, men to: tall nummer \( 5 \) og \( 6\text{.} \) Da er medianen gjennomsnittet av de to, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{median} = \dfrac{\textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{6}}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \]

2. Finn gjennomsnittet Gjennomsnittet er summen av alle tallene delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{summen}}}{\textcolor{green}{\text{antallet}}} \]

Vi legger sammen de \( \textcolor{green}{10} \) tallene: \[ \begin{aligned} &6 + 3 + 2 + 4 + 4 \\ &{}+ 6 + 2 + 7 + 8 + 8 = \textcolor{red}{50} \end{aligned} \]

Det gir: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{50}}{\textcolor{green}{10}} = 5 \]

Oppgave 2b)

Bestem den kumulative frekvensen for 6 personer, og gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Svar

7

av de

10

vognene var det

6

personer eller færre:

\underline{\underline{\text{Kumulativ frekvens: } 7}}

Den kumulative frekvensen for 6 personer er hvor mange vogner som hadde 6 personer eller færre. Vi lager en frekvenstabell og legger sammen frekvensene til og med 6.

1. Lag en frekvenstabell Frekvensen er hvor mange ganger et tall forekommer, og den kumulative frekvensen er summen av frekvensene til og med det tallet. Sortert er tallene: \[ 2 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 4 \quad 6 \quad 6 \quad 7 \quad 8 \quad 8 \]

Vi teller og summerer nedover i tabellen: \[ \small \begin{array}{c|c|c} \text{Personer} & \text{Frekvens} & \begin{gathered} \text{Kumulativ} \\ \text{frekvens} \end{gathered} \\ \hline 2 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 5 \\ \textcolor{blue}{6} & 2 & \textcolor{blue}{7} \\ 7 & 1 & 8 \\ 8 & 2 & 10 \end{array} \]

2. Les av og tolk svaret For \( \textcolor{blue}{6} \) personer er den kumulative frekvensen: \[ 2 + 1 + 2 + 2 = \textcolor{blue}{7} \]Det betyr at \( \textcolor{blue}{7} \) av de \( 10 \) vognene hadde med seg \( 6 \) personer eller færre.

Oppgave 3

2 poeng

Flere oppgaver om likningssett

Lotta har kjøpt fire små og to store sekker med hundemat. Sekkene veier til sammen

44\,\text{kg}\text{.}

De store sekkene veier

7\,\text{kg}

mer enn de små.

Hvor mye veier en liten sekk, og hvor mye veier en stor sekk?

Vis løsning

Svar

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Liten sekk: } 5\,\text{kg}}} \\ &\underline{\underline{\text{Stor sekk: } 12\,\text{kg}}} \end{aligned}

Vi har to ukjente, vekten av en liten og en stor sekk, og to opplysninger. Vi setter derfor opp et likningssett og løser det med innsettingsmetoden.

1. Sett opp likningssettet Vi kaller vekten av en liten sekk \( \textcolor{blue}{x} \) kg og vekten av en stor sekk \( \textcolor{red}{y} \) kg. Fire små og to store sekker veier \( 44 \) kg, og en stor sekk veier \( 7 \) kg mer enn en liten: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{blue}{x} + 2\textcolor{red}{y} &= 44 \\ \textcolor{red}{y} &= \textcolor{blue}{x} + 7 \end{aligned} \]

2. Sett inn og løs Den andre likningen sier hva \( \textcolor{red}{y} \) er. Vi setter \( {\textcolor{red}{x + 7}} \) inn for \( \textcolor{red}{y} \) i den første likningen, som med innsettingsmetoden i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ 4\textcolor{blue}{x} + 2(\textcolor{red}{x + 7}) = 44 \]

Vi ganger ut parentesen og trekker sammen: \[ \begin{aligned} 4x + 2x + 14 &= 44 \\ 6x + 14 &= 44 \end{aligned} \]

Vi trekker fra \( 14 \) og deler med \( 6 \) på begge sider: \[ \begin{aligned} 6x &= 30 \\ \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{5} \end{aligned} \]

3. Finn vekten av en stor sekk Vi setter \( {\textcolor{blue}{x} = \textcolor{blue}{5}} \) inn i den andre likningen: \[ \textcolor{red}{y} = \textcolor{blue}{5} + 7 = \textcolor{red}{12} \]

Kontroll: \( {4 \cdot 5 + 2 \cdot 12 = 20 + 24 = 44}\text{,} \) som i oppgaven.

Oppgave 4

3 poeng

Et område har form som en halvsirkel med radius

{r = 1{,}0\,\text{m}}\text{.}

Et annet område har form som en likebeint trekant

ABC\text{,}

der

{AB = 3{,}0\,\text{m}}

og høyden

{h = 1{,}0\,\text{m}}\text{.}

Se figurene ovenfor.

Gjør beregninger og avgjør • hvilket av de to områdene som har størst areal • hvilket av de to områdene som har størst omkrets

Vis løsning

Svar

Arealene er omtrent

1{,}57

1{,}5\,\text{m}^2\text{,}

og omkretsene omtrent

5{,}14

6{,}6\,\text{m}\text{:}

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Størst areal: }\text{halvsirkelen}}} \\ &\underline{\underline{\text{Størst omkrets: }\text{trekanten}}} \end{aligned}

Vi regner ut arealet og omkretsen av begge områdene. Uten kalkulator regner vi med \( {\pi \approx 3{,}14}\text{.} \)

1. Sammenlign arealene En sirkel har arealet \( \pi r^2 \) og omkretsen \( 2\pi r\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. En halvsirkel har halvparten av arealet: \[ \begin{aligned} A_{\text{halvsirkel}} &= \dfrac{\pi \cdot (1\,\text{m})^2}{2} = \dfrac{\textcolor{blue}{\pi}}{2}\,\text{m}^2 \\ &\approx \dfrac{\textcolor{blue}{3{,}14}}{2}\,\text{m}^2 = 1{,}57\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

Arealet av en trekant er grunnlinje ganger høyde delt på \( 2\text{,} \) som i videoen Areal og Omkrets: \[ \begin{aligned} A_{\text{trekant}} &= \dfrac{3\,\text{m} \cdot 1\,\text{m}}{2} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{3}}{2}\,\text{m}^2 = 1{,}5\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

Vi sammenligner: \[ 1{,}57\,\text{m}^2 > 1{,}5\,\text{m}^2 \]Halvsirkelen har størst areal, fordi \( \textcolor{blue}{\pi} \) er litt større enn \( \textcolor{red}{3}\text{.} \)

2. Finn den skrå siden i trekanten Høyden deler trekanten i to rettvinklede trekanter. Hver av dem har katetene \( \textcolor{blue}{1{,}5} \) m, halve grunnlinjen, og \( \textcolor{red}{1} \) m, høyden. Den skrå siden \( \textcolor{green}{s} \) er hypotenusen. Pytagoras' setning forteller oss at: \[ \textcolor{green}{c}^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Pytagoras setning.

Plugger vi inn katetene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{s}^2 &= \textcolor{blue}{1{,}5}^2 + \textcolor{red}{1}^2 = 2{,}25 + 1 = 3{,}25 \\ \textcolor{green}{s} &= \sqrt{3{,}25} \end{aligned} \]Siden \( {1{,}8^2 = 3{,}24}\text{,} \) er \( {\textcolor{green}{s} \approx 1{,}8} \) m.

3. Sammenlign omkretsene Omkretsen er summen av alle sidene, som i videoen Areal og Omkrets. Halvsirkelen har halve sirkelomkretsen \( 2\pi r \) og diameteren \( 2r\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_{\text{halvsirkel}} &= \dfrac{2\pi \cdot 1\,\text{m}}{2} + 2 \cdot 1\,\text{m} \\ &= (\pi + 2)\,\text{m} \approx 5{,}14\,\text{m} \end{aligned} \]

Trekanten har grunnlinjen og to skrå sider: \[ \begin{aligned} O_{\text{trekant}} &= (3 + 2\textcolor{green}{s})\,\text{m} \\ &\approx (3 + 2 \cdot 1{,}8)\,\text{m} = 6{,}6\,\text{m} \end{aligned} \]

Vi sammenligner: \[ 6{,}6\,\text{m} > 5{,}14\,\text{m} \]Trekanten har størst omkrets.

Oppgave 5

2 poeng

Marco har tatt opp et lån med fast årlig rente. Lånet skal betales tilbake i løpet av 10 år, med én termin i året. Figuren ovenfor viser nedbetalingsplanen.

Oppgave 5a)

Hvor stort lån har Marco tatt opp?

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{100\,000 \text{ kroner}}}

Avdraget er den delen av det Marco betaler som går til å betale ned lånet. Lånet er derfor summen av alle avdragene.

1. Les av avdragene Hver søyle er det Marco betaler i en termin. Den grå delen er rentene, det han betaler banken for å ha lånet. Den blå delen er avdraget, den summen som faktisk trekkes fra lånet, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

Alle de \( \textcolor{green}{10} \) blå delene når opp til \( \textcolor{blue}{10\,000} \) kroner.

2. Legg sammen avdragene Etter \( 10 \) terminer er hele lånet betalt ned, så lånet er summen av avdragene: \[ \textcolor{green}{10} \cdot \textcolor{blue}{10\,000} \text{ kr} = 100\,000 \text{ kr} \]Rentene er det lånet koster, og ikke en del av lånet.

Oppgave 5b)

Er dette et annuitetslån eller et serielån? Husk å begrunne svaret.

Vis løsning

Svar

Avdraget er det samme i hver termin, mens terminbeløpet synker:

\underline{\underline{\text{Serielån}}}

De to lånetypene skiller seg i hva som er likt fra termin til termin. Vi ser derfor på hvordan avdraget og terminbeløpet endrer seg i diagrammet.

1. Skriv opp hva som er likt Terminbeløpet er det Marco betaler i hver termin, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{red}{\text{terminbeløp}} = \textcolor{blue}{\text{avdrag}} + \text{renter} \]Rentene regnes av det som er igjen av lånet, så de blir mindre etter hvert som lånet betales ned.

I et serielån er \( \textcolor{blue}{\text{avdraget}} \) like stort i hver termin. Da blir terminbeløpet mindre for hver termin.

I et annuitetslån er \( \textcolor{red}{\text{terminbeløpet}} \) like stort i hver termin. Da blir avdraget større når rentene blir mindre.

2. Les av diagrammet Avdraget er \( \textcolor{blue}{10\,000} \) kroner i alle terminene, mens \( \textcolor{red}{\text{terminbeløpet}}\text{,} \) hele søylen, synker fra \( \textcolor{red}{14\,000} \) til \( \textcolor{red}{10\,400} \) kroner. Avdraget er likt hver gang, så dette er et serielån.

Oppgave 6

4 poeng

I tabellen nedenfor finner du informasjon om alderen til 100 personer som er medlemmer på et treningssenter.

\begin{array}{r|r} \text{Alder} & \text{Antall medlemmer} \\ \hline {[16, 20\rangle} & 20 \\ {[20, 40\rangle} & 40 \\ {[40, 60\rangle} & 30 \\ {[60, 90\rangle} & 10 \end{array}

Trine påstår at gjennomsnittsalderen er ca. 38 år, og at medianalderen er ca. 35 år.

Gjør beregninger og vis at påstandene kan være riktige.

Trine må ha gjort en antakelse for å kunne regne seg fram til disse verdiene. Gjør rede for en mulig antakelse hun kan ha gjort.

Vis løsning

Svar

Antakelsen: alderen er jevnt fordelt innenfor hver aldersklasse. Da blir:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Gjennomsnitt: } 38{,}1 \approx 38 \text{ år}}} \\ &\underline{\underline{\text{Median: } 35 \text{ år}}} \end{aligned}

Tabellen sier bare hvor mange som er i hver aldersklasse, ikke hvor gamle de er. Vi må derfor anta noe om hvordan alderen er fordelt innenfor klassene.

1. Gjør en antakelse Vi antar at alderen er jevnt fordelt innenfor hver klasse. Da er gjennomsnittsalderen i en klasse lik klassemidtpunktet, tallet midt mellom grensene: \[ \begin{aligned} \dfrac{16 + 20}{2} &= \textcolor{blue}{18} & \dfrac{20 + 40}{2} &= \textcolor{blue}{30} \\ \dfrac{40 + 60}{2} &= \textcolor{blue}{50} & \dfrac{60 + 90}{2} &= \textcolor{blue}{75} \end{aligned} \]

2. Regn ut gjennomsnittet Gjennomsnittet er summen av alle aldrene delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Summen av aldrene i en klasse er klassemidtpunktet ganget med antall medlemmer: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{18} \cdot 20 &= 360 \\ \textcolor{blue}{30} \cdot 40 &= 1200 \\ \textcolor{blue}{50} \cdot 30 &= 1500 \\ \textcolor{blue}{75} \cdot 10 &= 750 \end{aligned} \]

Summen av alle aldrene er: \[ 360 + 1200 + 1500 + 750 = \textcolor{red}{3810} \]

Vi deler på de \( 100 \) medlemmene: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{3810}}{100} = 38{,}1 \]Det er ca. \( 38 \) år, som Trine påstår.

3. Finn medianen Medianen er alderen i midten når alle står sortert etter alder, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Med \( 100 \) medlemmer er halvparten, \( 50 \) medlemmer, yngre enn medianen, så vi ser på medlem nummer \( 50\text{.} \) Vi legger sammen antallene klasse for klasse: \[ \begin{aligned} {[16, 20\rangle}\text{: } & \text{nr. } 1 \text{ til } 20 \\ {[20, 40\rangle}\text{: } & \text{nr. } 21 \text{ til } 60 \end{aligned} \]

Medlem nummer \( 50 \) er altså i klassen \( [20, 40\rangle\text{,} \) som nummer \( {50 - 20 = \textcolor{green}{30}} \) av de \( \textcolor{green}{40} \) i klassen. Med alderen jevnt fordelt over de \( 20 \) årene fra \( 20 \) til \( 40 \) er det \( \dfrac{\textcolor{green}{30}}{\textcolor{green}{40}} \) av veien: \[ \begin{aligned} \text{median} &= 20 + \dfrac{\textcolor{green}{30}}{\textcolor{green}{40}} \cdot 20 \\ &= 20 + 15 = 35 \end{aligned} \]Det er de ca. \( 35 \) årene Trine påstår.

Oppgave 7

2 poeng

Et av FNs bærekraftsmål er å redusere matsvinn.

Sofie har lest at en familie på fire kaster ca.

160\,\text{kg}

mat hvert år. Hun har laget programmet nedenfor.

Når Sofie kjører programmet, blir disse verdiene skrevet ut:

Forklar hva Sofie ønsker å finne ut. Hva forteller verdiene som blir skrevet ut når Sofie kjører programmet?

Vis løsning

Svar

Sofie vil finne ut når matsvinnet er halvert, hvis det minker med

13\,\%

per år. Avrundet til én desimal:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Halvert i 2030}}} \\ &\underline{\underline{\text{Da er matsvinnet } \approx 79{,}7\,\text{kg}}} \end{aligned}

Vi går gjennom programmet linje for linje, slik datamaskinen gjør. Så ser vi når løkka stopper, og hva som da skrives ut.

1. Les startverdiene Programmet kjøres linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 1 til 5 gir startverdiene: familien kaster \( \textcolor{blue}{160} \) kg mat i 2025, og målet er halvparten, \( {\dfrac{160}{2} = \textcolor{red}{80}} \) kg.

I linje 3 er \( \textcolor{green}{\texttt{vf}} \) vekstfaktoren. Når noe minker med \( p\,\% \) per år, er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {\textcolor{green}{0{,}87} = 1 - 0{,}13 = 1 - \dfrac{13}{100}}\text{,} \) så matsvinnet skal minke med \( 13\,\% \) per år.

2. Les løkka Linje 7 til 9 gjentas så lenge matsvinnet er større enn målet. Hver gang ganges matsvinnet med \( \textcolor{green}{0{,}87}\text{,} \) og året øker med \( 1\text{.} \) Etter \( n \) år er matsvinnet: \[ \textcolor{blue}{160} \cdot \textcolor{green}{0{,}87}^n \]

Løkka stopper første gang matsvinnet er \( \textcolor{red}{80} \) kg eller mindre. Sofie vil altså finne ut hvilket år familien har halvert matsvinnet, hvis det minker med \( 13\,\% \) hvert år.

3. Tolk utskriften Linje 11 og 12 skriver ut året og matsvinnet da løkka stoppet: \[ \begin{aligned} \text{år} &= 2030 \\ \text{matsvinn} &\approx 79{,}7 \end{aligned} \]I 2030, fem år etter 2025, er matsvinnet for første gang under målet på \( \textcolor{red}{80} \) kg. Da kaster familien omtrent \( 79{,}7 \) kg mat.

Del 2

Med hjelpemidler · 6 oppgaver · 25 poeng

Oppgave 1

5 poeng

Ledelsen ved en bedrift ønsker å redusere utslippet av miljøskadelige stoffer de neste årene.

I dag har bedriften to produksjonsprosesser. Utslippet fra den ene prosessen er 5000 tonn per år. Utslippet fra den andre prosessen er 1000 tonn per år.

Ledelsen mener funksjonen

U

gitt ved

U(x) = 5000 \cdot 0{,}95^x + 1000

vil være en god modell for utslippet

U(x)

tonn per år etter

x

år.

Oppgave 1a)

Forklar hva modellen forteller om ledelsens plan for å redusere utslippet.

Vis løsning

Svar

Utslippet synker fra

6000

tonn per år i dag og nærmer seg

1000

tonn:

\begin{aligned} &\underline{\underline{5000 \text{ tonn: minker } 5\,\% \text{ per år}}} \\ &\underline{\underline{1000 \text{ tonn: uendret}}} \end{aligned}

Modellen har to ledd, ett for hver produksjonsprosess. Vi ser på hva hvert ledd gjør når \( x \) øker.

Metode: For hånd

1. Tolk leddene Det første leddet, \( {\textcolor{blue}{5000} \cdot \textcolor{red}{0{,}95}^x}\text{,} \) er prosessen som slipper ut \( \textcolor{blue}{5000} \) tonn i dag. Hvert år ganges det med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{0{,}95}\text{.} \) Når noe minker med \( p\,\% \) per år, er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {\textcolor{red}{0{,}95} = 1 - \dfrac{5}{100}}\text{,} \) så utslippet fra denne prosessen skal minke med \( 5\,\% \) hvert år.

Det andre leddet, \( \textcolor{green}{1000}\text{,} \) avhenger ikke av \( x\text{.} \) Utslippet fra den andre prosessen skal altså være \( \textcolor{green}{1000} \) tonn hvert år.

Til sammen synker utslippet fra \( {U(0) = 6000} \) tonn per år i dag, og det nærmer seg \( 1000 \) tonn per år.

Oppgave 1b)

Hvor lang tid vil det gå før bedriften har halvert det årlige utslippet ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Avrundet til én desimal:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 17{,}9 \text{ år}}}

I dag er utslippet \( 6000 \) tonn per år, så halvert utslipp er \( 3000 \) tonn. Vi finner når \( {U(x) = 3000}\text{,} \) med en verditabell og med GeoGebra.

Metode: Med kalkulator

1. Finn halvert utslipp I dag er \( {x = 0}\text{,} \) og \( {0{,}95^0 = 1}\text{:} \) \[ U(0) = 5000 \cdot 1 + 1000 = 6000 \]Halvert utslipp er \( {\dfrac{6000}{2} = \textcolor{red}{3000}} \) tonn per år.

2. Lag en verditabell Vi regner ut \( U(x) \) for hele år med kalkulatoren, for eksempel: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{17}) &= 5000 \cdot 0{,}95^{\textcolor{blue}{17}} + 1000 \\ &\approx 3090{,}6 \end{aligned} \]

Med én desimal gir det tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 15 & 3316{,}5 \\ 16 & 3200{,}6 \\ \textcolor{blue}{17} & 3090{,}6 \\ \textcolor{blue}{18} & 2986{,}1 \\ 19 & 2886{,}8 \end{array} \]Utslippet går under \( \textcolor{red}{3000} \) tonn mellom \( {x = 17} \) og \( {x = 18}\text{.} \)

3. Finn tiendedelen Vi regner ut \( U(x) \) rundt overgangen: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 17{,}8 & 3006{,}6 \\ 17{,}9 & 2996{,}3 \end{array} \]Utslippet kommer ned til \( \textcolor{red}{3000} \) tonn mellom \( {x = 17{,}8} \) og \( {x = 17{,}9}\text{,} \) nærmest \( 17{,}9\text{.} \) Utslippet er altså halvert etter omtrent \( 17{,}9 \) år.

Metode: Med GeoGebra

1. Finn skjæringspunktet med linja Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet, tegner linja \( {y = 3000} \) og finner skjæringspunktet med verktøyet «Skjæring mellom to objekter», som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: U(x) = 5000*0.95^x + 1000 h: y = 3000 S = Skjæring(U, h)

Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (17{,}8638,\ 3000)}\text{.} \) Utslippet er halvert etter omtrent \( 17{,}9 \) år.

Oppgave 1c)

Hvor mange prosent er det årlige utslippet redusert med etter 10 år ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Avrundet til én desimal er det årlige utslippet redusert med:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 33{,}4\,\%}}

Vi regner ut utslippet etter 10 år og finner hvor mange prosent det har gått ned fra \( 6000 \) tonn i dag.

Metode: For hånd

1. Regn ut utslippet etter 10 år Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{10}} \) i modellen: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{10}) &= 5000 \cdot 0{,}95^{\textcolor{blue}{10}} + 1000 \\ &\approx \textcolor{red}{3993{,}7} \end{aligned} \]

2. Finn nedgangen i prosent Hvor mange prosent noe har gått ned, er endringen delt på det vi startet med, som i videoen Oppgave 1B - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{endring}}{\textcolor{green}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]

Utslippet har gått ned med \( {\textcolor{green}{6000} - \textcolor{red}{3993{,}7} = 2006{,}3} \) tonn: \[ \dfrac{2006{,}3}{\textcolor{green}{6000}} \cdot 100\,\% \approx 33{,}4\,\% \]

Myndighetene har krevd at bedriften skal redusere det årlige utslippet til 800 tonn per år.

Oppgave 1d)

Vurder om det ifølge modellen

U

vil være mulig å oppfylle dette kravet.

Vis løsning

Svar

Ifølge modellen blir utslippet aldri lavere enn

1000

tonn per år:

\underline{\underline{\text{Kravet kan ikke oppfylles}}}

Vi finner ut hvor lavt utslippet kan bli ifølge modellen, og sammenligner med kravet på \( 800 \) tonn.

Metode: For hånd

1. Finn hvor lavt utslippet kan bli Leddet \( {5000 \cdot 0{,}95^x} \) blir mindre og mindre, men det er alltid positivt: et positivt tall opphøyd i en potens blir aldri \( 0\text{.} \) Derfor er: \[ U(x) = 5000 \cdot 0{,}95^x + \textcolor{blue}{1000} > \textcolor{blue}{1000} \]

2. Sammenlign med kravet Vi sammenligner det modellen gir, med kravet, som i videoen Oppgave 8B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Ifølge modellen kommer utslippet aldri under \( \textcolor{blue}{1000} \) tonn per år, og \( {\textcolor{blue}{1000} > \textcolor{red}{800}}\text{.} \) Kravet kan altså ikke oppfylles uten at bedriften også kutter utslippet fra den andre prosessen.

Oppgave 2

3 poeng

I et rom er det 10 personer. Nedenfor ser du alderen til hver person.

12 \enspace 14 \enspace 40 \enspace 42 \enspace 70 \enspace 67 \enspace 5 \enspace 5 \enspace 28 \enspace 30

Oppgave 2a)

Påstand 1 Dersom det kommer en ny person inn i rommet, vil medianalderen endres.

Er denne påstanden riktig? Husk å begrunne svaret.

Vis løsning

Svar

Kommer det inn en person på

29

år, er medianen fortsatt

29

år:

\underline{\underline{\text{Påstanden er ikke riktig}}}

Påstanden sier at medianen endres uansett hvem som kommer inn. Det holder derfor å finne én alder som gir den samme medianen, et moteksempel.

Metode: For hånd

1. Finn medianen nå Medianen er tallet i midten når tallene er sortert i stigende rekkefølge. Med et partall antall tall er den gjennomsnittet av de to i midten, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Sortert er aldrene: \[ 5 \enspace 5 \enspace 12 \enspace 14 \enspace \textcolor{blue}{28} \enspace \textcolor{blue}{30} \enspace 40 \enspace 42 \enspace 67 \enspace 70 \]

De to i midten er \( \textcolor{blue}{28} \) og \( \textcolor{blue}{30}\text{:} \) \[ \text{median} = \dfrac{\textcolor{blue}{28} + \textcolor{blue}{30}}{2} = \textcolor{red}{29} \]

2. Finn et moteksempel Med \( 11 \) personer er medianen alderen til person nummer \( 6\text{.} \) Kommer det inn en person som er \( \textcolor{red}{29} \) år, blir den nye personen nummer \( 6\text{:} \) \[ 5 \enspace 5 \enspace 12 \enspace 14 \enspace 28 \enspace \textcolor{red}{29} \enspace 30 \enspace 40 \enspace 42 \enspace 67 \enspace 70 \]Medianen er fortsatt \( \textcolor{red}{29} \) år, så påstanden er ikke riktig. For alle andre aldre endres medianen, men påstanden sier at den alltid endres.

Oppgave 2b)

Påstand 2 Dersom det kommer en ny person inn i rommet, kan gjennomsnittsalderen bli 30 år.

Er denne påstanden riktig? Husk å begrunne svaret.

Vis løsning

Svar

Kommer det inn en person på

17

år, blir gjennomsnittsalderen

30

år:

\underline{\underline{\text{Påstanden er riktig}}}

Vi finner hvor gammel den nye personen må være for at gjennomsnittet skal bli \( 30 \) år. Er det en mulig alder, er påstanden riktig.

Metode: For hånd

1. Finn summen gjennomsnittet krever Gjennomsnittet er summen av aldrene delt på antallet: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{summen}}}{\textcolor{green}{\text{antallet}}} \]

Med \( \textcolor{green}{11} \) personer og gjennomsnittet \( 30 \) får vi: \[ \dfrac{\textcolor{red}{\text{summen}}}{\textcolor{green}{11}} = 30 \]

Vi ganger med \( 11 \) på begge sider, slik summen finnes fra gjennomsnittet i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{red}{\text{summen}} = 30 \cdot \textcolor{green}{11} = \textcolor{red}{330} \]

2. Finn alderen til den nye personen De \( 10 \) personene i rommet er til sammen: \[ \begin{aligned} &12 + 14 + 40 + 42 + 70 \\ &{}+ 67 + 5 + 5 + 28 + 30 = \textcolor{blue}{313} \end{aligned} \]

Den nye personen må da være: \[ \textcolor{red}{330} - \textcolor{blue}{313} = 17 \text{ år} \]En person på \( 17 \) år kan godt komme inn i rommet, så påstanden er riktig.

Kontroll: \( {\dfrac{313 + 17}{11} = \dfrac{330}{11} = 30}\text{.} \)

Oppgave 3

2 poeng

Flere oppgaver om formlikhet

Kari skal over en elv. Hun har laget skissen ovenfor. Avstanden fra

A

til

D

5\,\text{m}\text{,}

avstanden fra

D

til

E

10\,\text{m}\text{,}

og avstanden fra

B

til

C

40\,\text{m}\text{.}

Oppgave 3a)

Forklar at

\triangle ABC

\triangle ADE

er formlike.

Vis løsning

Svar

Begge har en rett vinkel og vinkel

A

felles, og da er også den tredje vinkelen lik:

\underline{\underline{\triangle ABC \sim \triangle ADE}}

To trekanter er formlike når vinklene er parvis like store. Vi viser at to av vinklene er like, for da er også den tredje lik.

Metode: For hånd

1. Finn de like vinklene Formlike figurer har like store vinkler, som i videoen Formlikhet. Vi sammenligner vinklene i \( \triangle ABC \) og \( \triangle ADE\text{.} \) Begge har en rett vinkel, og de har vinkel \( A \) felles, fordi \( D \) ligger på \( AB \) og \( E \) ligger på \( AC\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\angle B} &= \textcolor{blue}{\angle D} = 90^\circ \\ \textcolor{red}{\angle A} &= \textcolor{red}{\angle A} \end{aligned} \]

Vinkelsummen i en trekant er \( 180^\circ\text{,} \) så den tredje vinkelen er også lik: \[ \angle C = 180^\circ - \textcolor{blue}{90^\circ} - \textcolor{red}{\angle A} = \angle E \]Alle vinklene er parvis like store, så trekantene er formlike.

Oppgave 3b)

Vis Kari hvordan hun kan regne ut avstanden fra

B

til

D\text{.}

Vis løsning

Svar

Avstanden fra

B

til

D

er:

\underline{\underline{15\,\text{m}}}

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: at trekantene er formlike, står i oppgaveteksten til a).

I formlike trekanter er forholdet mellom samsvarende sider det samme. Vi finner \( AB \) fra forholdet og trekker fra \( AD\text{.} \)

Metode: For hånd

1. Sett opp forholdet Samsvarende sider står overfor like store vinkler: \( \textcolor{red}{AB} \) svarer til \( \textcolor{red}{AD}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{BC} \) svarer til \( \textcolor{blue}{DE}\text{.} \) I formlike figurer er forholdet det samme for alle sider: \[ \dfrac{\textcolor{red}{AB}}{\textcolor{red}{AD}} = \dfrac{\textcolor{blue}{BC}}{\textcolor{blue}{DE}} \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{AD} = \textcolor{red}{5}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{40}} \) og \( {\textcolor{blue}{DE} = \textcolor{blue}{10}}\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{\textcolor{red}{AB}}{\textcolor{red}{5}} = \dfrac{\textcolor{blue}{40}}{\textcolor{blue}{10}} = 4 \]

Vi ganger med \( \textcolor{red}{5} \) på begge sider: \[ \textcolor{red}{AB} = 4 \cdot \textcolor{red}{5}\,\text{m} = 20\,\text{m} \]Det er det samme som å gange \( AD \) med målestokken \( {k = 4}\text{,} \) som i videoen Formlikhet.

2. Finn avstanden fra B til D \( D \) ligger mellom \( A \) og \( B\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} BD &= AB - AD \\ &= 20\,\text{m} - 5\,\text{m} = 15\,\text{m} \end{aligned} \]

Oppgave 4

5 poeng

En fuglebestand i et område er blitt halvert i løpet av de fem siste årene. I dag er det

12\,000

fugler i bestanden.

Forskere mener bestanden vil fortsette å bli halvert hvert femte år framover.

Oppgave 4a)

Vis at funksjonen

F

gitt ved

{F(x) = 12000 \cdot 0{,}87^x}

er en god modell for antallet fugler i bestanden etter

x

år.

Vis løsning

Svar

Halvering hvert femte år gir vekstfaktoren

{0{,}5^{1/5} \approx 0{,}87}\text{,}

og startverdien er

12\,000\text{:}

\underline{\underline{F(x) = 12\,000 \cdot 0{,}87^x}}

Bestanden er \( 12\,000 \) i dag og halveres hvert femte år. Vi finner vekstfaktoren per år som halverer bestanden på fem år, og sammenligner med \( 0{,}87\text{.} \)

Metode: For hånd

1. Sett opp likningen En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor: \[ F(x) = \textcolor{blue}{12\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^x \]

Etter \( 5 \) år skal bestanden være halvert, altså \( 6000\text{.} \) Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{12\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^5 = 6000 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{12\,000} \) på begge sider og tar femte rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^5 &= 0{,}5 \\ \textcolor{red}{k} &= 0{,}5^{1/5} \approx \textcolor{red}{0{,}8706} \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler er \( {\textcolor{red}{k} \approx \textcolor{red}{0{,}87}}\text{,} \) og startverdien er \( \textcolor{blue}{12\,000}\text{.} \) Da er \( {F(x) = 12\,000 \cdot 0{,}87^x} \) en god modell.

Kontroll: \( {0{,}87^5 \approx 0{,}498}\text{,} \) så modellen gir \( {F(5) \approx 5981}\text{,} \) nesten nøyaktig halvparten av \( 12\,000\text{.} \)

Oppgave 4b)

Hvor stor vil bestanden være etter 7 år ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Avrundet til hele fugler:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 4527 \text{ fugler}}}

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen står i oppgaveteksten til a).

Vi setter inn \( {x = 7} \) i modellen.

Metode: For hånd

1. Sett inn sju år Vi ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall år, som i videoen Vekstfaktor: \[ F(\textcolor{blue}{7}) = 12\,000 \cdot 0{,}87^{\textcolor{blue}{7}} \approx 4527{,}06 \]

Oppgave 4c)

Hvor mange år vil det gå før bestanden er redusert med

35\,\%

ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Avrundet til én desimal:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 3{,}1 \text{ år}}}

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen står i oppgaveteksten til a).

Er bestanden redusert med \( 35\,\%\text{,} \) er \( 65\,\% \) igjen. Vi finner når \( F(x) \) er \( 65\,\% \) av \( 12\,000\text{,} \) med en verditabell og med GeoGebra.

Metode: Med kalkulator

1. Finn antall fugler som er igjen Redusert med \( 35\,\% \) betyr at \( {100\,\% - 35\,\% = 65\,\%} \) er igjen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ 0{,}65 \cdot 12\,000 = \textcolor{red}{7800} \]

2. Lag en verditabell Vi regner ut \( F(x) \) for hele år med kalkulatoren, for eksempel: \[ F(\textcolor{blue}{3}) = 12\,000 \cdot 0{,}87^{\textcolor{blue}{3}} \approx 7902{,}0 \]

Med én desimal gir det tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & F(x) \\ \hline 2 & 9082{,}8 \\ \textcolor{blue}{3} & 7902{,}0 \\ \textcolor{blue}{4} & 6874{,}8 \end{array} \]Bestanden går under \( \textcolor{red}{7800} \) mellom \( {x = 3} \) og \( {x = 4}\text{.} \)

3. Finn tiendedelen Vi regner ut \( F(x) \) rundt overgangen: \[ \begin{array}{r|r} x & F(x) \\ \hline 3{,}0 & 7902{,}0 \\ 3{,}1 & 7792{,}8 \end{array} \]Bestanden kommer ned til \( \textcolor{red}{7800} \) mellom \( {x = 3{,}0} \) og \( {x = 3{,}1}\text{,} \) nærmest \( 3{,}1\text{.} \) Den er altså redusert med \( 35\,\% \) etter omtrent \( 3{,}1 \) år.

Metode: Med GeoGebra

1. Finn skjæringspunktet med linja Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet, tegner linja \( {y = 7800} \) og finner skjæringspunktet med verktøyet «Skjæring mellom to objekter», som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = 12000*0.87^x h: y = 7800 S = Skjæring(F, h)

Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (3{,}0933,\ 7800)}\text{.} \) Bestanden er redusert med \( 35\,\% \) etter omtrent \( 3{,}1 \) år.

Oppgave 5

6 poeng

\begin{array}{r|r} \text{År} & \text{KPI for oktober} \\ \hline 2021 & 117{,}2 \\ 2022 & 126{,}0 \\ 2023 & 131{,}1 \\ 2024 & 134{,}5 \end{array}

Tabellen ovenfor viser konsumprisindeksen for oktober måned i perioden 2021–2024.

Felix leier en leilighet. I oktober 2023 gikk husleien opp og ble satt til 8500 kroner per måned.

Husleieloven sier at ny leie kan fastsettes én gang i året, tidligst ett år etter forrige leiefastsetting. Endringen kan ikke overstige endringen i konsumprisindeksen (KPI).

I oktober 2024 fikk Felix varsel fra huseieren om at leien igjen skulle settes opp, og at ny pris ville bli 9000 kroner per måned.

Oppgave 5a)

Gjør beregninger og avgjør om huseieren hadde lov til å sette opp leien til 9000 kroner per måned på dette tidspunktet.

Vis løsning

Svar

Leien kunne høyst øke med

2{,}6\,\%\text{,}

til omtrent

8720

kroner:

\underline{\underline{\text{Nei, ikke til 9000 kr}}}

Leien kan høyst øke like mye som KPI. Vi sammenligner den prosentvise økningen i KPI fra oktober 2023 til oktober 2024 med økningen i leien.

Metode: For hånd

1. Finn økningen i KPI Vi tenker på indekstallene som priser, slik det gjøres med prisindeksen i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Hvor mange prosent noe har økt, er: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{ny} - \textcolor{blue}{\text{gammel}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]

Fra oktober 2023 til oktober 2024 gikk KPI fra \( \textcolor{blue}{131{,}1} \) til \( 134{,}5\text{:} \) \[ \dfrac{134{,}5 - \textcolor{blue}{131{,}1}}{\textcolor{blue}{131{,}1}} \cdot 100\,\% \approx \textcolor{red}{2{,}6}\,\% \]

2. Finn økningen i leien Leien skulle gå fra \( \textcolor{blue}{8500} \) til \( 9000 \) kroner: \[ \dfrac{9000 - \textcolor{blue}{8500}}{\textcolor{blue}{8500}} \cdot 100\,\% \approx \textcolor{green}{5{,}9}\,\% \]

Det har gått ett år siden forrige fastsetting, så tidspunktet er lovlig. Men leien skulle øke med \( \textcolor{green}{5{,}9}\,\%\text{,} \) og KPI økte bare med \( \textcolor{red}{2{,}6}\,\%\text{.} \) Leien kunne høyst øke like mye som KPI: \[ 8500 \cdot \dfrac{134{,}5}{131{,}1} \approx 8720 \]

Oppgave 5b)

Lag en oversikt som viser hvor mange prosent konsumprisen økte med per år fra oktober 2021 til oktober 2024.

Vis løsning

Svar

Økningen i KPI fra oktober til oktober, avrundet til én desimal:

\begin{array}{c|c} \text{Periode} & \text{Økning} \\ \hline 2021\text{ til }2022 & \underline{\underline{7{,}5\,\%}} \\ 2022\text{ til }2023 & \underline{\underline{4{,}0\,\%}} \\ 2023\text{ til }2024 & \underline{\underline{2{,}6\,\%}} \end{array}

Vi regner ut den prosentvise økningen i KPI fra hvert år til det neste, og setter tallene opp i en tabell.

Metode: For hånd

1. Regn ut økningen hvert år Hvor mange prosent KPI økte, er endringen delt på KPI året før, som for prisindeksen i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{ny} - \textcolor{blue}{\text{gammel}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]

Fra 2021 til 2022: \[ \dfrac{126{,}0 - \textcolor{blue}{117{,}2}}{\textcolor{blue}{117{,}2}} \cdot 100\,\% \approx \underline{7{,}5\,\%} \]

Fra 2022 til 2023: \[ \dfrac{131{,}1 - \textcolor{blue}{126{,}0}}{\textcolor{blue}{126{,}0}} \cdot 100\,\% \approx \underline{4{,}0\,\%} \]

Fra 2023 til 2024: \[ \dfrac{134{,}5 - \textcolor{blue}{131{,}1}}{\textcolor{blue}{131{,}1}} \cdot 100\,\% \approx \underline{2{,}6\,\%} \]Økningen ble mindre for hvert år.

Metode: Med regneark

1. Regn ut økningen i regnearket Vi skriver årene i A2 til A5 og KPI i B2 til B5. Økningen er endringen delt på KPI året før, så i C3 skriver vi \( {\texttt{=(B3-B2)/B2}}\text{.} \) Vi drar C3 ned til rad 5 og gir kolonne C prosentformat med %-knappen, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Én desimal får vi ved å trykke én gang på «Øk desimaler»:

Regnearket gir \( 7{,}5\,\% \) fra 2021 til 2022, \( 4{,}0\,\% \) fra 2022 til 2023 og \( 2{,}6\,\% \) fra 2023 til 2024, det samme som for hånd.

Oppgave 5c)

Gjør antakelser og beregninger, og finn ut hvor mye Felix må regne med å betale i husleie per måned fra og med oktober 2026.

Vis løsning

Svar

Med leien

8720

kroner fra oktober 2024 og KPI opp

2{,}6\,\%

per år, avrundet til nærmeste ti kroner:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 9180 \text{ kr per måned}}}

Vi bruker den høyeste lovlige leien fra a) og økningen i KPI fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Oppgaven er åpen, så vi må anta noe om hva huseieren gjør og om hvordan KPI utvikler seg. Så regner vi oss fram til leien i oktober 2026.

Metode: For hånd

1. Gjør antakelser Vi antar at huseieren setter opp leien hver oktober så mye som loven tillater, altså like mye som KPI øker. I a) fant vi at leien da ble \( \textcolor{blue}{8720} \) kroner i oktober 2024.

Vi antar også at KPI fortsetter å øke med \( \textcolor{red}{2{,}6}\,\% \) per år, like mye som det siste året i b). Økningen har blitt mindre hvert år, så det siste året sier mest om årene framover.

2. Regn ut leien i oktober 2026 Når noe øker med \( \textcolor{red}{2{,}6}\,\% \) per år, er vekstfaktoren \( {1 + \dfrac{\textcolor{red}{2{,}6}}{100} = \textcolor{red}{1{,}026}}\text{.} \) Fra oktober 2024 til oktober 2026 øker leien to ganger, så vi ganger med vekstfaktoren opphøyd i \( 2\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor: \[ \textcolor{blue}{8720} \cdot \textcolor{red}{1{,}026}^2 \approx 9179 \]Felix må altså regne med omtrent \( 9180 \) kroner per måned.

Andre rimelige antakelser gir andre svar, som også er riktige. Øker KPI med \( 4{,}7\,\% \) per år, som i gjennomsnitt fra 2021 til 2024, blir leien \( {8720 \cdot 1{,}047^2 \approx 9560} \) kroner.

Oppgave 6

4 poeng

\begin{array}{r|r|r} \text{År} & \begin{array}{c} \text{Antall} \\ \text{fødte} \end{array} & \text{Antall døde} \\ \hline 1983 & 49\,937 & 42\,224 \\ 1993 & 59\,678 & 46\,597 \\ 2003 & 56\,458 & 42\,478 \\ 2013 & 58\,995 & 41\,282 \\ 2023 & 51\,980 & 43\,803 \end{array}

\begin{array}{r|r|r} \text{År} & \text{Fødselsrate} & \text{Dødsrate} \\ \hline 1983 & 12{,}1 & 10{,}2 \\ 1993 & 13{,}8 & 10{,}8 \\ 2003 & 12{,}4 & 9{,}3 \\ 2013 & 11{,}6 & 8{,}1 \\ 2023 & 9{,}4 & 7{,}9 \end{array}

\begin{array}{r|r} \text{År} & \begin{array}{c} \text{Samlet} \\ \text{fruktbarhetstall} \end{array} \\ \hline 1983 & 1{,}66 \\ 1993 & 1{,}86 \\ 2003 & 1{,}80 \\ 2013 & 1{,}78 \\ 2023 & 1{,}40 \end{array}

Datamaterialet ovenfor er hentet fra nettsidene til Statistisk sentralbyrå.

• Fødselsrate og dødsrate er antallet fødte og døde per 1000 innbyggere. • Samlet fruktbarhetstall forteller hvor mange barn som i gjennomsnitt fødes per kvinne.

Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag.

Gjør relevante sammenlikninger og beregninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon.

Presentasjonen skal inneholde • diagrammer som illustrerer utviklingen gjennom perioden fra 1983 til 2023 • beregninger som viser prosentvise endringer fra 1983 til 2023

Vis løsning

Svar

Prosentvise endringer fra 1983 til 2023, avrundet til én desimal:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Antall fødte: } {+4{,}1}\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{Antall døde: } {+3{,}7}\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{Fødselsrate: } {-22{,}3}\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{Dødsrate: } {-22{,}5}\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{Fruktbarhetstall: } {-15{,}7}\,\%}} \end{aligned}

Oppgaven er åpen, og mange presentasjoner er riktige. Vi lager diagrammer som viser utviklingen, regner ut de prosentvise endringene fra 1983 til 2023 og sammenligner tallene.

Metode: For hånd

1. Tegn diagrammene Antall fødte og døde er antall personer, mens ratene er per 1000 innbyggere. Et linjediagram viser utviklingen over tid, så vi tegner dem i hvert sitt linjediagram, med en tittel på hvert. Verdiaksene starter på \( 0\text{,} \) så endringene ikke ser større ut enn de er:

Samlet fruktbarhetstall er barn per kvinne, så det får sitt eget søylediagram:

Med PC kan du lage diagrammene i et regneark, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

2. Regn ut de prosentvise endringene Den prosentvise endringen er endringen delt på verdien i 1983, som i videoen Oppgave 1B - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{ny} - \textcolor{blue}{\text{gammel}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]

Antall fødte: \[ \dfrac{51\,980 - \textcolor{blue}{49\,937}}{\textcolor{blue}{49\,937}} \cdot 100\,\% \approx \underline{4{,}1\,\%} \]

Antall døde: \[ \dfrac{43\,803 - \textcolor{blue}{42\,224}}{\textcolor{blue}{42\,224}} \cdot 100\,\% \approx \underline{3{,}7\,\%} \]

Fødselsrate og dødsrate: \[ \begin{aligned} \dfrac{9{,}4 - \textcolor{blue}{12{,}1}}{\textcolor{blue}{12{,}1}} \cdot 100\,\% &\approx \underline{-22{,}3\,\%} \\ \dfrac{7{,}9 - \textcolor{blue}{10{,}2}}{\textcolor{blue}{10{,}2}} \cdot 100\,\% &\approx \underline{-22{,}5\,\%} \end{aligned} \]

Samlet fruktbarhetstall: \[ \dfrac{1{,}40 - \textcolor{blue}{1{,}66}}{\textcolor{blue}{1{,}66}} \cdot 100\,\% \approx \underline{-15{,}7\,\%} \]

3. Sammenlign Antall fødte og døde har økt litt, mens begge ratene har falt med omtrent \( 22\,\%\text{.} \) Det betyr at folketallet har økt. Fødselsraten er fødte per 1000 innbyggere, så folketallet er antall fødte delt på fødselsraten, ganget med \( 1000\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1983\text{: } \dfrac{49\,937}{12{,}1} \cdot 1000 &\approx 4{,}1 \text{ mill.} \\ 2023\text{: } \dfrac{51\,980}{9{,}4} \cdot 1000 &\approx 5{,}5 \text{ mill.} \end{aligned} \]

Hvert av årene ble det født flere enn det døde, og forskjellen var størst i 2013: \( {58\,995 - 41\,282 = 17\,713}\text{.} \) Samlet fruktbarhetstall var høyest i 1993 og er lavest i 2023, med \( 1{,}40 \) barn per kvinne.

Metode: Med regneark

1. Regn ut de prosentvise endringene Vi skriver årstallene i A2 til A6 som tekst, med en apostrof foran ('1983), så Excel bruker dem som navn langs aksen, og tallene i kolonne B til F, med to desimaler i F. Den prosentvise endringen er endringen delt på verdien i 1983, så i B8 skriver vi \( {\texttt{=(B6-B2)/B2}}\text{.} \) Vi drar B8 bortover til F8, gir rad 8 prosentformat med %-knappen og trykker én gang på «Øk desimaler»:

2. Lag diagrammene Vi markerer A1 til C6 og velger Sett inn, Linjediagram, Linje med indikatorer, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Ratene får det samme diagrammet: vi markerer A1 til A6, holder inne Ctrl (cmd på Mac) og markerer D1 til E6. Til fruktbarhetstallet markerer vi A1 til A6 og F1 til F6 på samme måte og velger Stående stolpediagram, med dataetiketter. Hvert diagram får en tittel:

Regnearket gir de samme endringene som for hånd: antall fødte \( {+4{,}1\,\%}\text{,} \) antall døde \( {+3{,}7\,\%}\text{,} \) fødselsraten \( {-22{,}3\,\%}\text{,} \) dødsraten \( {-22{,}5\,\%} \) og samlet fruktbarhetstall \( {-15{,}7\,\%}\text{.} \)

Ferdig med settet? Se de andre 2P-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.