2P eksamen høsten 2025 – løsningsforslag

Tabellen har fem måneder, og modellen skal ha formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) Vi gjør eksponentiell regresjon i GeoGebra, med februar som \( {x = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator. Du kan også se at \( b \) må være litt over 1,1: fra februar til mars ganges omsetningen med \( {\dfrac{1431}{1267} \approx 1{,}13}\text{.} \)

1. Gjør eksponentiell regresjon Februar er \( {x = 0}\text{,} \) mars \( {x = 1} \) og så videre til juni, \( {x = 4}\text{.} \) Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som i GeoGebra på bokmål gir formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x}\text{.} \) Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 1267), (1, 1431), (2, 1619), (3, 1788), (4, 2032)} f(x) = RegEksp(l1)

2. Les av a og b Med fire desimaler gir GeoGebra: \[ f(x) \approx \textcolor{blue}{1271{,}1197} \cdot \textcolor{red}{1{,}1238}^x \]Her er \( \textcolor{blue}{a} \) omsetningen i februar ifølge modellen, og \( \textcolor{red}{b} \) er vekstfaktoren per måned.

I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {b \approx 1{,}12}\text{.} \) Regner vi videre med det, blir økningen i b) \( 12\,\% \) i stedet for \( 12{,}4\,\%\text{,} \) og i c) når modellen målet først i mars 2027 i stedet for februar 2027. Vis derfor flere desimaler i GeoGebra.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

I modellen ganges omsetningen med \( b \) for hver måned som går. Vi leser prosenten av vekstfaktoren \( b\text{.} \)

1. Les prosenten av vekstfaktoren Når noe øker med \( p\,\% \) per måned, er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

I a) fant vi \( {f(x) \approx 1271{,}12 \cdot \textcolor{red}{1{,}1238}^x}\text{,} \) så vekstfaktoren er: \[ \textcolor{red}{1{,}1238} = 1 + 0{,}1238 = 1 + \dfrac{12{,}38}{100} \]Omsetningen øker altså med omtrent \( 12{,}4\,\% \) hver måned.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner \( x \) der \( {f(x) = 20\,000}\text{.} \) Med kalkulator regner vi ut \( f(x) \) for noen måneder, og med GeoGebra finner vi skjæringspunktet med linja \( {y = 20\,000}\text{.} \)

1. Regn ut omsetningen for noen måneder I a) fant vi modellen: \[ f(x) \approx 1271{,}12 \cdot 1{,}1238^x \]

Med kalkulatoren prøver vi ett år, \( {x = 12}\text{,} \) to år, \( {x = \textcolor{red}{24}}\text{,} \) og så én måned tilbake. For eksempel er: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{red}{24}) &\approx 1271{,}12 \cdot 1{,}1238^{\textcolor{red}{24}} \\ f(\textcolor{red}{24}) &\approx \textcolor{red}{20\,928} \end{aligned} \]

Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & f(x) \\ \hline 12 & 5\,158 \\ \textcolor{blue}{23} & \textcolor{blue}{18\,622} \\ \textcolor{red}{24} & \textcolor{red}{20\,928} \end{array} \]

2. Finn måneden Siden \( {f(\textcolor{blue}{23}) < 20\,000 < f(\textcolor{red}{24})}\text{,} \) når modellen målet mellom \( {x = 23} \) og \( {x = 24}\text{.} \) Februar 2025 er \( {x = 0}\text{,} \) så \( {x = \textcolor{red}{24}} \) er februar 2027. Det er den første måneden der omsetningen er minst \( 20\,000 \) kroner.

1. Finn skjæringspunktet Med \( f \) fra a) i GeoGebra tegner vi linja \( {y = 20\,000} \) og finner skjæringspunktet med grafen til \( f\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: h: y = 20000 S = Skjæring(f, h)

Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (23{,}6054,\ 20\,000)}\text{,} \) så modellen passerer \( 20\,000 \) kroner etter omtrent \( 23{,}6 \) måneder. Måned \( {x = 23} \) er under målet, og måned \( {x = 24}\text{,} \) februar 2027, er over.

Fra juni til desember 2025 er det seks måneder. Omsetningen i juni, 2032 kroner, skal ganges med den samme vekstfaktoren seks ganger og bli \( 20\,000\text{.} \)

1. Sett opp likningen Vi kaller vekstfaktoren per måned \( \textcolor{red}{k}\text{.} \) Omsetningen ganges med \( \textcolor{red}{k} \) i juli, august, september, oktober, november og desember, altså seks ganger. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{2032} \cdot \textcolor{red}{k}^6 = 20\,000 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{2032} \) på begge sider og tar sjette rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^6 &= \dfrac{20\,000}{\textcolor{blue}{2032}} \approx 9{,}8425 \\ \textcolor{red}{k} &= \left(\dfrac{20\,000}{\textcolor{blue}{2032}}\right)^{1/6} \approx \textcolor{red}{1{,}4639} \end{aligned} \]Siden \( {\textcolor{red}{1{,}4639} = 1 + 0{,}4639}\text{,} \) må omsetningen øke med omtrent \( 46{,}4\,\% \) per måned.

Kontroll: \( {2032 \cdot 1{,}4639^6 \approx 19\,998}\text{,} \) altså nesten \( 20\,000\text{.} \) Det lille avviket kommer av at \( k \) er avrundet.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver likningen inn i CAS og trykker på \( {\approx} \) for å få desimaltall, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(2032*k^6 = 20000, k)

En vekstfaktor kan ikke være negativ, så \( {k \approx 1{,}4639}\text{.} \) Omsetningen må øke med omtrent \( 46{,}4\,\% \) per måned.

Vi har ti tall som allerede står i rekkefølge, fra størst til minst. Vi finner de fire målene med formlene, og med funksjonene i regnearket.

1. Finn medianen og gjennomsnittet Medianen er tallet i midten når tallene står i rekkefølge, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Med ti tall er det to tall i midten, nummer 5 og 6, og medianen er gjennomsnittet av dem: \[ \begin{aligned} \text{median} &= \dfrac{124\,540 + 121\,679}{2} \\ \text{median} &= 123\,109{,}5 \end{aligned} \]

Gjennomsnittet er summen delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{sum}}}{\textcolor{blue}{\text{antall}}} \]

Legger vi sammen de ti innbyggertallene, får vi \( \textcolor{red}{2\,329\,927}\text{:} \) \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{2\,329\,927}}{\textcolor{blue}{10}} = \textcolor{green}{232\,992{,}7} \]

2. Finn standardavviket Standardavviket måler hvor langt tallene ligger fra gjennomsnittet: \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{(x_1 - \textcolor{green}{\bar{x}})^2 + \ldots + (x_n - \textcolor{green}{\bar{x}})^2}{\textcolor{blue}{n}}} \]Vi deler på \( \textcolor{blue}{n}\text{,} \) fordi de ti tettstedene er hele datasettet vi skal beskrive, ikke et utvalg, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

For Oslo er avstanden til gjennomsnittet: \[ 1\,098\,061 - \textcolor{green}{232\,992{,}7} = 865\,068{,}3 \]

Kvadratet er \( {865\,068{,}3^2 \approx 748{,}34 \cdot 10^9}\text{,} \) altså 748,34 milliarder. Vi regner ut de ni andre på samme måte med kalkulatoren. Det gir tabellen, med kvadratene i milliarder: \[ \small \begin{array}{r|r} x - \textcolor{green}{\bar{x}} & (x - \textcolor{green}{\bar{x}})^2 \\ \hline 865\,068{,}3 & 748{,}34 \\ 39\,132{,}3 & 1{,}53 \\ 6\,062{,}3 & 0{,}04 \\ -34\,215{,}7 & 1{,}17 \\ -108\,452{,}7 & 11{,}76 \\ -111\,313{,}7 & 12{,}39 \\ -136\,297{,}7 & 18{,}58 \\ -165\,620{,}7 & 27{,}43 \\ -177\,053{,}7 & 31{,}35 \\ -177\,308{,}7 & 31{,}44 \\ \hline \text{Sum} & 884{,}03 \end{array} \]

Summen er \( {884{,}03 \cdot 10^9}\text{,} \) og vi deler på \( \textcolor{blue}{10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sigma &\approx \sqrt{\dfrac{884{,}03 \cdot 10^9}{\textcolor{blue}{10}}} \\ \sigma &\approx 297\,326 \end{aligned} \]Deler vi på \( {n - 1 = 9}\text{,} \) som for et utvalg, blir standardavviket omtrent \( 313\,409\text{.} \)

3. Finn variasjonsbredden Variasjonsbredden er det største tallet minus det minste, som i videoen Oppgave 3A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ 1\,098\,061 - 55\,684 = 1\,042\,377 \]

1. Bruk funksjonene i regnearket Vi skriver de ti innbyggertallene i A2 til A11 og bruker MEDIAN, GJENNOMSNITT og STDAV.P: \[ \begin{aligned} \text{D1:}\quad & \texttt{=MEDIAN(A2:A11)} \\ \text{D2:}\quad & \textcolor{green}{\texttt{=GJENNOMSNITT(A2:A11)}} \\ \text{D3:}\quad & \texttt{=STDAV.P(A2:A11)} \end{aligned} \]STDAV.P deler på \( n\text{,} \) som vi gjorde med kalkulator, og den bruker vi fordi vi har alle de ti tettstedene, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. STDAV.S deler på \( {n - 1}\text{.} \)

Variasjonsbredden er det største tallet minus det minste, så i D4 skriver vi: \[ \texttt{=STØRST(A2:A11)-MIN(A2:A11)} \]

Regnearket gir medianen \( 123\,109{,}5\text{,} \) gjennomsnittet \( \textcolor{green}{232\,992{,}7}\text{,} \) standardavviket \( 297\,326{,}14 \) og variasjonsbredden \( 1\,042\,377\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Vi bruker medianen og gjennomsnittet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Oslo er mye større enn alle de andre tettstedene. Vi ser hvordan Oslo påvirker gjennomsnittet og medianen.

1. Se hva Oslo gjør med målene I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \text{Gjennomsnitt} &= \textcolor{green}{232\,992{,}7} \\ \text{Median} &= \textcolor{red}{123\,109{,}5} \end{aligned} \]

Oslo har \( 1\,098\,061 \) innbyggere, fire ganger så mange som Bergen. Et så stort tall drar gjennomsnittet opp, mens medianen bare ser på tallene i midten, som i videoen Oppgave 3C - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Derfor har bare tre av de ti tettstedene flere innbyggere enn gjennomsnittet, mens medianen har fem over seg og fem under.

2. Velg sentralmål Medianen \( \textcolor{red}{123\,109{,}5} \) beskriver altså et vanlig tettsted blant de ti bedre enn gjennomsnittet \( \textcolor{green}{232\,992{,}7}\text{.} \) Vi er derfor mest enig med Kine.

Vi bruker tallene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi sammenligner gjennomsnittet, medianen og standardavviket for de to landene, ett mål om gangen.

1. Sett målene ved siden av hverandre Fra a) og tabellen, avrundet til hele innbyggere: \[ \small \begin{array}{l|r|r} & \text{Norge} & \text{Danmark} \\ \hline \text{Gjennomsnitt} & \textcolor{green}{232\,993} & \textcolor{green}{235\,549} \\ \text{Median} & \textcolor{red}{123\,110} & \textcolor{red}{67\,832} \\ \text{Standardavvik} & \textcolor{blue}{297\,326} & \textcolor{blue}{388\,000} \end{array} \]

2. Tolk forskjellene Gjennomsnittene er nesten like, så de ti største tettstedene har omtrent like mange innbyggere til sammen i de to landene.

Medianen er mye lavere i Danmark. Halvparten av de ti danske tettstedene har under \( \textcolor{red}{67\,832} \) innbyggere, mens halvparten av de norske har over \( \textcolor{red}{123\,110}\text{.} \) De fleste danske tettstedene er altså mindre enn de norske. Når gjennomsnittet likevel er like stort, må de største danske tettstedene være så store at de drar gjennomsnittet enda mer opp enn Oslo gjør, slik de beste målscorerne gjør i videoen Oppgave 3C - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

Standardavviket er større i Danmark, så innbyggertallene sprer seg mer der enn i Norge.

Tabellen sier hvor mange som er i hver aldersgruppe, men ikke hvor gamle de er. For å regne med den må vi anta noe om hvordan alderen fordeler seg inne i hver gruppe.

1. Skriv opp antagelsene Vi må anta at alderen er jevnt fordelt innenfor hver aldersgruppe. Da ligger gjennomsnittsalderen i en gruppe midt mellom grensene, i klassemidtpunktet. For gruppen \( [0, 18\rangle \) er det: \[ \dfrac{0 + 18}{2} = \textcolor{green}{9} \text{ år} \]

Med denne antagelsen kan vi regne alle i en gruppe som klassemidtpunktet når vi finner gjennomsnittet, og vi kan finne medianen inne i en gruppe ved å dele gruppen jevnt. Vi antar også at tabellen tar med alle innbyggerne, og at ingen er 100 år eller eldre.

Vi bruker antagelsen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Med alderen jevnt fordelt regner vi alle i en gruppe som klassemidtpunktet. Gjennomsnittet er summen av alle aldrene delt på antall innbyggere.

1. Finn klassemidtpunktene Klassemidtpunktet \( \textcolor{green}{m} \) i gruppen \( [a, b\rangle \) er midt mellom grensene: \[ \textcolor{green}{m} = \dfrac{a + b}{2} \]For gruppen \( [18, 50\rangle \) er \( {\textcolor{green}{m} = \dfrac{18 + 50}{2} = \textcolor{green}{34}}\text{.} \) Alle de seks gruppene gir 9, 34, 58,5, 73,5, 85 og 95 år.

2. Regn ut gjennomsnittet Gjennomsnittet er summen av alle tallene delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{sum}}}{\textcolor{blue}{\text{antall}}} \]

Alle i en gruppe regnes som klassemidtpunktet, så summen av aldrene er hvert klassemidtpunkt ganget med antall personer i gruppen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{9} \cdot 188 + \textcolor{green}{34} \cdot 347 + \textcolor{green}{58{,}5} \cdot 237 \\ &+ \textcolor{green}{73{,}5} \cdot 103 + \textcolor{green}{85} \cdot 33 + \textcolor{green}{95} \cdot 15 \\ &= \textcolor{red}{39\,155} \end{aligned} \]

Antall innbyggere er: \[ \begin{aligned} &188 + 347 + 237 + 103 + 33 + 15 \\ &= \textcolor{blue}{923} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{39\,155}}{\textcolor{blue}{923}} \approx 42{,}42 \]

1. Regn ut gjennomsnittet i regnearket Vi skriver grensene i A og B og antall personer i C. Klassemidtpunktet og produktet regner vi ut i rad 2: \[ \begin{aligned} \text{D2:}\quad & \textcolor{green}{\texttt{=(A2+B2)/2}} \\ \text{E2:}\quad & \texttt{=D2*C2} \end{aligned} \]Vi drar D2 og E2 ned til rad 7. I C8 og E8 summerer vi med \( {\textcolor{blue}{\texttt{=SUMMER(C2:C7)}}} \) og \( {\textcolor{red}{\texttt{=SUMMER(E2:E7)}}}\text{,} \) og i E9 skriver vi \( {\texttt{=E8/C8}}\text{:} \)

Regnearket gir summen \( \textcolor{red}{39\,155}\text{,} \) antallet \( \textcolor{blue}{923} \) og \( {\bar{x} \approx 42{,}42}\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Vi bruker antagelsen fra a) og gjennomsnittsalderen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Gjennomsnittsalderen, 42,4 år, ligger i gruppen \( [18, 50\rangle\text{.} \) Alle i gruppene over er eldre, og i denne gruppen bruker vi at alderen er jevnt fordelt.

1. Tell dem over 50 år Alle i de fire eldste gruppene, fra 50 år og opp, er eldre enn gjennomsnittsalderen: \[ 237 + 103 + 33 + 15 = \textcolor{blue}{388} \]

2. Del opp gruppen 18–50 år Gruppen \( [18, 50\rangle \) er 32 år bred og har 347 personer. Fra gjennomsnittsalderen 42,4 år i b) og opp til 50 år er det \( {50 - 42{,}4 = 7{,}6} \) år. Med jevnt fordelt alder er det: \[ \dfrac{7{,}6}{32} \cdot 347 \approx \textcolor{red}{82{,}4} \text{ personer} \]

3. Regn ut prosenten Til sammen er omtrent \( {\textcolor{blue}{388} + \textcolor{red}{82{,}4} = \textcolor{green}{470{,}4}} \) personer eldre enn gjennomsnittsalderen. Hvor mange prosent en del er av det hele, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{green}{\text{del}}}{\text{hel}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Det hele er alle de 923 innbyggerne: \[ \dfrac{\textcolor{green}{470{,}4}}{923} \cdot 100\,\% \approx 51\,\% \]

Gruslaget er en lang, flat kasse. Vi gjør alle målene om til meter, så blir volumet i kubikkmeter.

1. Gjør om til meter Det er 100 cm og 1000 mm på en meter, som på måletrappa i videoen Introduksjon til Måleenheter: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{l} &= \textcolor{blue}{25\,\text{m}} \\ \textcolor{red}{b} &= 60\,\text{cm} = \textcolor{red}{0{,}60\,\text{m}} \\ \textcolor{green}{h} &= 75\,\text{mm} = \textcolor{green}{0{,}075\,\text{m}} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Volumet av en kasse er lengde ganger bredde ganger høyde, som i videoen Volum og Overflate: \[ V = \textcolor{blue}{l} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{h} \]

Vi ganger tallene for seg og enhetene for seg, og \( {\text{m} \cdot \text{m} \cdot \text{m} = \text{m}^3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{25\,\text{m}} \cdot \textcolor{red}{0{,}60\,\text{m}} \cdot \textcolor{green}{0{,}075\,\text{m}} \\ V &= 15\,\text{m}^2 \cdot 0{,}075\,\text{m} = 1{,}125\,\text{m}^3 \end{aligned} \]

Vi bruker volumet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner ut volumet av kjeglen og sammenligner det med volumet de trenger.

1. Regn ut volumet av kjeglen Volumet av en kjegle er en tredjedel av grunnflaten ganger høyden: \[ V = \dfrac{\pi \cdot \textcolor{red}{r}^2 \cdot \textcolor{blue}{h}}{3} \]Grunnflaten er en sirkel med arealet \( \pi r^2\text{,} \) som toppen av sylinderen i videoen Volum og Overflate.

Radien er halve diameteren, \( {\textcolor{red}{r} = \dfrac{2{,}5\,\text{m}}{2} = \textcolor{red}{1{,}25\,\text{m}}}\text{,} \) og høyden er \( {\textcolor{blue}{h} = \textcolor{blue}{1{,}0\,\text{m}}}\text{:} \) \[ V = \dfrac{\pi \cdot \textcolor{red}{1{,}25}^2 \cdot \textcolor{blue}{1{,}0}}{3}\,\text{m}^3 \approx 1{,}64\,\text{m}^3 \]

2. Sammenlign med a) I a) fant vi at stien trenger \( 1{,}125\,\text{m}^3\text{:} \) \[ 1{,}64\,\text{m}^3 > 1{,}125\,\text{m}^3 \]De har fått levert omtrent \( 0{,}5\,\text{m}^3 \) mer enn de trenger.