Eksamensoppgaver etter tema

Vi sorterer tallene i stigende rekkefølge først. Da ser vi hvilke tall som står i midten, hvilket som er størst og minst, og hvilket som kommer flest ganger.

1. Sorter tallene Anita registrerte \( 10 \) tog. Sortert i stigende rekkefølge: \[ 1 \quad 1 \quad 3 \quad 5 \quad \textcolor{blue}{5} \quad \textcolor{blue}{6} \quad 6 \quad 6 \quad 20 \quad 30 \]

2. Finn medianen Medianen er tallet i midten når tallene står i stigende rekkefølge, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Med \( 10 \) tall er det to tall i midten, nummer \( 5 \) og \( 6\text{,} \) og medianen er gjennomsnittet av dem: \[ \text{Median} = \dfrac{\textcolor{blue}{5} + \textcolor{blue}{6}}{2} = \dfrac{11}{2} = 5{,}5 \]

3. Finn gjennomsnittet Gjennomsnittet er summen av alle tallene delt på antall tall: \[ \text{Gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{sum}}}{\textcolor{green}{\text{antall}}} \]

Summen er: \[ \begin{aligned} &3 + 1 + 5 + 30 + 5 \\ &{} + 6 + 1 + 6 + 20 + 6 = \textcolor{red}{83} \end{aligned} \]

Det gir: \[ \text{Gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{83}}{\textcolor{green}{10}} = 8{,}3 \]

4. Finn variasjonsbredden og typetallet Variasjonsbredden er den største verdien minus den minste, som i videoen Oppgave 3A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{Variasjonsbredde} = 30 - 1 = 29 \]

Typetallet er tallet som kommer flest ganger. \( 6 \) kommer tre ganger, mens \( 1 \) og \( 5 \) kommer to ganger hver, så typetallet er \( 6\text{.} \)

Den relative frekvensen er hvor stor del av togene som hadde \( 6 \) vogner. Vi deler antall tog med \( 6 \) vogner på antall tog.

1. Del frekvensen på antallet Frekvensen er hvor mange ganger verdien forekommer. Den relative frekvensen er en del av en helhet, så vi deler delen på helheten, som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \text{Relativ frekvens} = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{frekvens}}}{\textcolor{green}{\text{antall}}} \]

\( 6 \) vogner forekommer \( \textcolor{blue}{3} \) ganger blant de \( \textcolor{green}{10} \) togene: \[ \begin{aligned} \text{Relativ frekvens} &= \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{green}{10}} \\ &= 0{,}3 = 30\,\% \end{aligned} \]

2. Tolk svaret \( 30\,\% \) av togene som passerte den dagen, hadde \( 6 \) vogner. Det er \( 3 \) av \( 10 \) tog.

Diagrammet viser kumulativ frekvens i prosent: hvor stor del av beboerne som er yngre enn alderen på x-aksen.

1. Tell opp dem under 50 år Den kumulative frekvensen ved en alder er alle i klassene under den alderen til sammen. Under \( \textcolor{blue}{50} \) år er klassene fra \( 0 \) til \( 50\text{:} \) \[ 40 + 20 + 60 + 20 = 140 \text{ personer} \]

Som del av alle de \( 200 \) som bor i blokka, er det, som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \dfrac{140}{200} \cdot 100\,\% = \textcolor{red}{70\,\%} \]

2. Tolk punktet \( A(\textcolor{blue}{50}, \textcolor{red}{70}) \) forteller altså at \( \textcolor{red}{70\,\%} \) av beboerne er under \( \textcolor{blue}{50} \) år. Den siste av disse klassene er \( [30, 50\rangle\text{,} \) så den som har fylt \( 50\text{,} \) er ikke med.

Medianalderen er alderen der halvparten av beboerne er yngre. Vi går fra \( 50\,\% \) på y-aksen bort til grafen og ned til x-aksen.

1. Les av ved 50 prosent Medianen er verdien i midten når alle står i stigende rekkefølge, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Diagrammet viser at \( 30\,\% \) er under \( 20 \) år og \( 60\,\% \) er under \( 30 \) år. Halvparten, \( \textcolor{red}{50\,\%}\text{,} \) nås derfor mellom \( 20 \) og \( 30 \) år:

Linjestykket stiger \( {60 - 30 = 30} \) prosentpoeng på \( 10 \) år, altså \( 3 \) prosentpoeng per år. Fra \( 30\,\% \) til \( \textcolor{red}{50\,\%} \) er det \( 20 \) prosentpoeng: \[ \begin{aligned} \text{Median} &= 20 + \dfrac{20}{3} \\ &= \dfrac{80}{3} \approx \textcolor{blue}{26{,}7} \end{aligned} \]

2. Begrunn antakelsen Tabellen sier bare hvor mange som er i hver klasse, ikke hvor gamle de er. Når Aurora leser av på den rette linja mellom \( (20, 30) \) og \( (30, 60)\text{,} \) antar hun at de \( 60 \) personene i klassen \( [20, 30\rangle \) er jevnt fordelt på alderne fra \( 20 \) til \( 30\text{.} \) Uten den antakelsen vet vi bare at medianen ligger et sted mellom \( 20 \) og \( 30 \) år.

Vi sorterer de \( 15 \) tallene først. Gjennomsnittet og medianen finner vi for hånd, og standardavviket med formelen eller i et regneark.

1. Finn gjennomsnittet og medianen Gjennomsnittet er summen delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023, og medianen er tallet i midten når tallene er sortert. Sortert: \[ 0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 1 \;\, \textcolor{blue}{1} \;\, 1 \;\, 2 \;\, 2 \;\, 4 \;\, 5 \;\, 12 \;\, 15 \]

Tall nummer \( 8 \) av \( 15 \) står i midten, så medianen er \( \textcolor{blue}{1}\text{.} \) Vi samler like tall i summen, og nullene gir ingenting: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\bar{x}} &= \dfrac{\text{sum}}{\text{antall}} \\ &= \dfrac{5 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 4 + 5 + 12 + 15}{15} \\ &= \dfrac{45}{15} = \textcolor{red}{3} \end{aligned} \]

2. Finn standardavviket Standardavviket måler hvor langt tallene typisk ligger fra gjennomsnittet \( \textcolor{red}{\bar{x}}\text{:} \) \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{(x_1 - \textcolor{red}{\bar{x}})^2 + \ldots + (x_n - \textcolor{red}{\bar{x}})^2}{n}} \]Vi deler på \( n\text{,} \) fordi vi bruker hele datasettet, alle de \( 15 \) ansatte i bedriften. Det er standardavvik p i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

Vi samler like tall. Med \( {\textcolor{red}{\bar{x}} = \textcolor{red}{3}} \) blir summen over brøkstreken: \[ \begin{aligned} &4 \cdot (0 - \textcolor{red}{3})^2 + 5 \cdot (1 - \textcolor{red}{3})^2 \\ &{} + 2 \cdot (2 - \textcolor{red}{3})^2 + (4 - \textcolor{red}{3})^2 \\ &{} + (5 - \textcolor{red}{3})^2 + (12 - \textcolor{red}{3})^2 + (15 - \textcolor{red}{3})^2 \\ &= 36 + 20 + 2 + 1 + 4 + 81 + 144 \\ &= 288 \end{aligned} \]

Det gir: \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{288}{15}} = \sqrt{19{,}2} \approx 4{,}38 \]

1. Bruk funksjonene i regnearket Vi skriver de \( 15 \) tallene i A2 til A16 og bruker GJENNOMSNITT, MEDIAN og STDAV.P: \[ \begin{aligned} \text{D1:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=GJENNOMSNITT(A2:A16)}} \\ \text{D2:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=MEDIAN(A2:A16)}} \\ \text{D3:}\quad & \texttt{=STDAV.P(A2:A16)} \end{aligned} \]STDAV.P deler på \( n\text{,} \) og den bruker vi fordi vi har alle de ansatte, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. STDAV.S deler på \( {n - 1}\text{.} \)

Regnearket gir gjennomsnittet \( \textcolor{red}{3}\text{,} \) medianen \( \textcolor{blue}{1} \) og standardavviket \( 4{,}38\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Den kumulative frekvensen for \( 5 \) dager er antall ansatte som hadde \( 5 \) fraværsdager eller færre.

1. Legg sammen frekvensene Vi legger sammen frekvensene for alle verdiene opp til og med \( 5\text{.} \) I den sorterte lista i a) har \( 4 \) ansatte \( 0 \) dager, \( 5 \) har \( 1 \) dag og \( 2 \) har \( 2 \) dager, og én har \( 4 \) og én har \( 5\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{5} + \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{1} + \textcolor{blue}{1} = 13 \]Bare de to med \( 12 \) og \( 15 \) dager hadde mer enn \( 5\text{.} \)

2. Tolk svaret \( 13 \) av de \( 15 \) ansatte hadde \( 5 \) fraværsdager eller færre i 2025, altså \( {\dfrac{13}{15} \approx 87\,\%} \) av de ansatte.

1. Lag en frekvenstabell Vi skriver fraværet i A2 til A16 og de ulike verdiene i C2 til C8. ANTALL.HVIS teller hvor mange ganger hver verdi forekommer, så i D2 skriver vi: \[ \textcolor{blue}{\texttt{=ANTALL.HVIS(\$A\$2:\$A\$16;C2)}} \]Den kumulative frekvensen er summen av frekvensene til og med raden, så i E2 skriver vi \( {\texttt{=D2}} \) og i E3 \( {\texttt{=E2+D3}}\text{.} \) Vi drar D2 ned til D8 og E3 ned til E8:

I raden for \( 5 \) dager er den kumulative frekvensen \( 13\text{,} \) altså hadde \( 13 \) av de \( 15 \) ansatte \( 5 \) fraværsdager eller færre.

Vi bruker gjennomsnittet, medianen og standardavviket fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi tar for oss ett mål om gangen og ser hva det sier om hvordan fraværet er fordelt på de ansatte.

1. Sammenlign gjennomsnittet Begge bedriftene har \( \textcolor{blue}{15} \) ansatte og samme gjennomsnitt, \( \textcolor{red}{3} \) dager. Gjennomsnittet er summen delt på antallet, så summen er også den samme: \[ \text{sum} = \textcolor{blue}{15} \cdot \textcolor{red}{3} = 45 \text{ fraværsdager} \]

2. Sammenlign median og standardavvik I a) fant vi at medianen i A er \( 1 \) dag, mens gjennomsnittet er \( 3\text{.} \) De fleste i A har lite fravær, og noen få med mye fravær, \( 12 \) og \( 15 \) dager, trekker gjennomsnittet opp, slik medianen og gjennomsnittet sammenlignes i videoen Oppgave 3C - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

I B er medianen høyere, så den midterste ansatte har mer fravær enn i A. Medianen er et helt antall dager, så minst \( 8 \) av de \( 15 \) i B har \( 2 \) fraværsdager eller mer, mot \( 6 \) i A. Standardavviket er lavere, så fraværet varierer mindre fra ansatt til ansatt.

Vi bruker gjennomsnittet, medianen og standardavviket fra a) og den kumulative frekvensen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Påstanden sier at noe må gjelde. Finner vi ett tenkt fravær for B som passer med alle tre opplysningene, men der den kumulative frekvensen ikke er høyere enn \( 13\text{,} \) er påstanden feil.

1. Lag et moteksempel Vi prøver med \( 12 \) ansatte som har \( \textcolor{blue}{2} \) fraværsdager, og \( 3 \) som har \( \textcolor{red}{7}\text{.} \) Gjennomsnittet er: \[ \dfrac{12 \cdot \textcolor{blue}{2} + 3 \cdot \textcolor{red}{7}}{15} = \dfrac{45}{15} = 3 \]Medianen er tall nummer \( 8\text{,} \) som er \( \textcolor{blue}{2}\text{,} \) høyere enn \( 1\text{,} \) som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023.

2. Sjekk standardavviket Alle ligger \( 1 \) eller \( 4 \) dager fra gjennomsnittet \( 3\text{:} \) \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{12 \cdot 1^2 + 3 \cdot 4^2}{15}} = \sqrt{\dfrac{60}{15}} = 2 \]Det er lavere enn \( 4{,}38 \) i A, så alle tre opplysningene stemmer.

3. Sammenlign den kumulative frekvensen Bare de \( 12 \) med \( \textcolor{blue}{2} \) dager har \( 5 \) fraværsdager eller færre, så den kumulative frekvensen for \( 5 \) dager er \( 12\text{.} \) I b) fant vi \( 13 \) for A, og \( {12 < 13}\text{.} \) Dette kalles et moteksempel: B kan ha alle tre egenskapene og likevel lavere kumulativ frekvens enn A.

Tabellen viser hvor mange vogner som hadde 1, 2, 3 og 4 personer. Resten av de 20 vognene var tomme.

1. Tell vognene med personer Vognene med 1, 2, 3 og 4 personer er til sammen: \[ 2 + 3 + 4 + 6 = \textcolor{blue}{15} \text{ vogner} \]

2. Trekk fra alle vognene Pariserhjulet har 20 vogner, så antallet tomme vogner er: \[ 20 - \textcolor{blue}{15} = 5 \]Det er de fem vognene Stine sier var tomme, så påstanden er riktig.

At fem vogner var tomme, står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Tabellen er en frekvenstabell: hver av de 20 vognene er én observasjon. Gjennomsnittet er summen av personene delt på 20, og medianen er midt i observasjonene når de står i rekkefølge.

1. Finn gjennomsnittet Gjennomsnittet er summen av alle tallene delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{sum}}}{\textcolor{blue}{\text{antall}}} \]

Med de 5 tomme vognene fra a) er det \( \textcolor{blue}{20} \) vogner. Summen finner vi ved å gange antall personer med antall vogner i hver rad i tabellen og legge sammen: \[ \begin{aligned} &0 \cdot 5 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 6 \\ &= 0 + 2 + 6 + 12 + 24 = \textcolor{red}{44} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{44}}{\textcolor{blue}{20}} = 2{,}2 \]

2. Finn medianen Medianen er tallet i midten når tallene står i stigende rekkefølge. Med \( \textcolor{blue}{20} \) tall er det to tall i midten, nummer 10 og 11, og medianen er gjennomsnittet av dem, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023.

Vi teller oss fram i tabellen: \[ \begin{aligned} \text{Nr. 1–5: } & 0 \text{ personer} \\ \text{Nr. 6–7: } & 1 \text{ person} \\ \text{Nr. 8–10: } & \textcolor{green}{2} \text{ personer} \\ \text{Nr. 11–14: } & \textcolor{green}{3} \text{ personer} \end{aligned} \]

Nummer 10 er \( \textcolor{green}{2} \) og nummer 11 er \( \textcolor{green}{3}\text{:} \) \[ \text{median} = \dfrac{\textcolor{green}{2} + \textcolor{green}{3}}{2} = 2{,}5 \]

At fem vogner var tomme, står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Den kumulative frekvensen for to personer er antallet vogner med to personer eller færre. Vi legger sammen frekvensene for 0, 1 og 2 personer.

1. Legg sammen frekvensene Kumulativ frekvens betyr at vi legger sammen frekvensene fra den minste verdien og opp til og med verdien vi ser på. For to personer er det de \( \textcolor{blue}{5} \) tomme vognene fra a), de \( \textcolor{red}{2} \) vognene med én person og de \( \textcolor{green}{3} \) vognene med to personer: \[ \textcolor{blue}{5} + \textcolor{red}{2} + \textcolor{green}{3} = 10 \]

2. Tolk svaret 10 av de 20 vognene hadde altså to personer eller færre, og det er halvparten av vognene. Den andre halvparten hadde tre eller fire personer.

Vi har ti tall som allerede står i rekkefølge, fra størst til minst. Vi finner de fire målene med formlene, og med funksjonene i regnearket.

1. Finn medianen og gjennomsnittet Medianen er tallet i midten når tallene står i rekkefølge, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Med ti tall er det to tall i midten, nummer 5 og 6, og medianen er gjennomsnittet av dem: \[ \begin{aligned} \text{median} &= \dfrac{124\,540 + 121\,679}{2} \\ \text{median} &= 123\,109{,}5 \end{aligned} \]

Gjennomsnittet er summen delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{sum}}}{\textcolor{blue}{\text{antall}}} \]

Legger vi sammen de ti innbyggertallene, får vi \( \textcolor{red}{2\,329\,927}\text{:} \) \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{2\,329\,927}}{\textcolor{blue}{10}} = \textcolor{green}{232\,992{,}7} \]

2. Finn standardavviket Standardavviket måler hvor langt tallene ligger fra gjennomsnittet: \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{(x_1 - \textcolor{green}{\bar{x}})^2 + \ldots + (x_n - \textcolor{green}{\bar{x}})^2}{\textcolor{blue}{n}}} \]Vi deler på \( \textcolor{blue}{n}\text{,} \) fordi de ti tettstedene er hele datasettet vi skal beskrive, ikke et utvalg, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

For Oslo er avstanden til gjennomsnittet: \[ 1\,098\,061 - \textcolor{green}{232\,992{,}7} = 865\,068{,}3 \]

Kvadratet er \( {865\,068{,}3^2 \approx 748{,}34 \cdot 10^9}\text{,} \) altså 748,34 milliarder. Vi regner ut de ni andre på samme måte med kalkulatoren. Det gir tabellen, med kvadratene i milliarder: \[ \small \begin{array}{r|r} x - \textcolor{green}{\bar{x}} & (x - \textcolor{green}{\bar{x}})^2 \\ \hline 865\,068{,}3 & 748{,}34 \\ 39\,132{,}3 & 1{,}53 \\ 6\,062{,}3 & 0{,}04 \\ -34\,215{,}7 & 1{,}17 \\ -108\,452{,}7 & 11{,}76 \\ -111\,313{,}7 & 12{,}39 \\ -136\,297{,}7 & 18{,}58 \\ -165\,620{,}7 & 27{,}43 \\ -177\,053{,}7 & 31{,}35 \\ -177\,308{,}7 & 31{,}44 \\ \hline \text{Sum} & 884{,}03 \end{array} \]

Summen er \( {884{,}03 \cdot 10^9}\text{,} \) og vi deler på \( \textcolor{blue}{10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sigma &\approx \sqrt{\dfrac{884{,}03 \cdot 10^9}{\textcolor{blue}{10}}} \\ \sigma &\approx 297\,326 \end{aligned} \]Deler vi på \( {n - 1 = 9}\text{,} \) som for et utvalg, blir standardavviket omtrent \( 313\,409\text{.} \)

3. Finn variasjonsbredden Variasjonsbredden er det største tallet minus det minste, som i videoen Oppgave 3A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ 1\,098\,061 - 55\,684 = 1\,042\,377 \]

1. Bruk funksjonene i regnearket Vi skriver de ti innbyggertallene i A2 til A11 og bruker MEDIAN, GJENNOMSNITT og STDAV.P: \[ \begin{aligned} \text{D1:}\quad & \texttt{=MEDIAN(A2:A11)} \\ \text{D2:}\quad & \textcolor{green}{\texttt{=GJENNOMSNITT(A2:A11)}} \\ \text{D3:}\quad & \texttt{=STDAV.P(A2:A11)} \end{aligned} \]STDAV.P deler på \( n\text{,} \) som vi gjorde med kalkulator, og den bruker vi fordi vi har alle de ti tettstedene, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. STDAV.S deler på \( {n - 1}\text{.} \)

Variasjonsbredden er det største tallet minus det minste, så i D4 skriver vi: \[ \texttt{=STØRST(A2:A11)-MIN(A2:A11)} \]

Regnearket gir medianen \( 123\,109{,}5\text{,} \) gjennomsnittet \( \textcolor{green}{232\,992{,}7}\text{,} \) standardavviket \( 297\,326{,}14 \) og variasjonsbredden \( 1\,042\,377\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Vi bruker medianen og gjennomsnittet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Oslo er mye større enn alle de andre tettstedene. Vi ser hvordan Oslo påvirker gjennomsnittet og medianen.

1. Se hva Oslo gjør med målene I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \text{Gjennomsnitt} &= \textcolor{green}{232\,992{,}7} \\ \text{Median} &= \textcolor{red}{123\,109{,}5} \end{aligned} \]

Oslo har \( 1\,098\,061 \) innbyggere, fire ganger så mange som Bergen. Et så stort tall drar gjennomsnittet opp, mens medianen bare ser på tallene i midten, som i videoen Oppgave 3C - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Derfor har bare tre av de ti tettstedene flere innbyggere enn gjennomsnittet, mens medianen har fem over seg og fem under.

2. Velg sentralmål Medianen \( \textcolor{red}{123\,109{,}5} \) beskriver altså et vanlig tettsted blant de ti bedre enn gjennomsnittet \( \textcolor{green}{232\,992{,}7}\text{.} \) Vi er derfor mest enig med Kine.

Vi bruker tallene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi sammenligner gjennomsnittet, medianen og standardavviket for de to landene, ett mål om gangen.

1. Sett målene ved siden av hverandre Fra a) og tabellen, avrundet til hele innbyggere: \[ \small \begin{array}{l|r|r} & \text{Norge} & \text{Danmark} \\ \hline \text{Gjennomsnitt} & \textcolor{green}{232\,993} & \textcolor{green}{235\,549} \\ \text{Median} & \textcolor{red}{123\,110} & \textcolor{red}{67\,832} \\ \text{Standardavvik} & \textcolor{blue}{297\,326} & \textcolor{blue}{388\,000} \end{array} \]

2. Tolk forskjellene Gjennomsnittene er nesten like, så de ti største tettstedene har omtrent like mange innbyggere til sammen i de to landene.

Medianen er mye lavere i Danmark. Halvparten av de ti danske tettstedene har under \( \textcolor{red}{67\,832} \) innbyggere, mens halvparten av de norske har over \( \textcolor{red}{123\,110}\text{.} \) De fleste danske tettstedene er altså mindre enn de norske. Når gjennomsnittet likevel er like stort, må de største danske tettstedene være så store at de drar gjennomsnittet enda mer opp enn Oslo gjør, slik de beste målscorerne gjør i videoen Oppgave 3C - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

Standardavviket er større i Danmark, så innbyggertallene sprer seg mer der enn i Norge.

Tabellen sier hvor mange som er i hver aldersgruppe, men ikke hvor gamle de er. For å regne med den må vi anta noe om hvordan alderen fordeler seg inne i hver gruppe.

1. Skriv opp antagelsene Vi må anta at alderen er jevnt fordelt innenfor hver aldersgruppe. Da ligger gjennomsnittsalderen i en gruppe midt mellom grensene, i klassemidtpunktet. For gruppen \( [0, 18\rangle \) er det: \[ \dfrac{0 + 18}{2} = \textcolor{green}{9} \text{ år} \]

Med denne antagelsen kan vi regne alle i en gruppe som klassemidtpunktet når vi finner gjennomsnittet, og vi kan finne medianen inne i en gruppe ved å dele gruppen jevnt. Vi antar også at tabellen tar med alle innbyggerne, og at ingen er 100 år eller eldre.

Vi bruker antagelsen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Med alderen jevnt fordelt regner vi alle i en gruppe som klassemidtpunktet. Gjennomsnittet er summen av alle aldrene delt på antall innbyggere.

1. Finn klassemidtpunktene Klassemidtpunktet \( \textcolor{green}{m} \) i gruppen \( [a, b\rangle \) er midt mellom grensene: \[ \textcolor{green}{m} = \dfrac{a + b}{2} \]For gruppen \( [18, 50\rangle \) er \( {\textcolor{green}{m} = \dfrac{18 + 50}{2} = \textcolor{green}{34}}\text{.} \) Alle de seks gruppene gir 9, 34, 58,5, 73,5, 85 og 95 år.

2. Regn ut gjennomsnittet Gjennomsnittet er summen av alle tallene delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{sum}}}{\textcolor{blue}{\text{antall}}} \]

Alle i en gruppe regnes som klassemidtpunktet, så summen av aldrene er hvert klassemidtpunkt ganget med antall personer i gruppen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{9} \cdot 188 + \textcolor{green}{34} \cdot 347 + \textcolor{green}{58{,}5} \cdot 237 \\ &+ \textcolor{green}{73{,}5} \cdot 103 + \textcolor{green}{85} \cdot 33 + \textcolor{green}{95} \cdot 15 \\ &= \textcolor{red}{39\,155} \end{aligned} \]

Antall innbyggere er: \[ \begin{aligned} &188 + 347 + 237 + 103 + 33 + 15 \\ &= \textcolor{blue}{923} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{39\,155}}{\textcolor{blue}{923}} \approx 42{,}42 \]

1. Regn ut gjennomsnittet i regnearket Vi skriver grensene i A og B og antall personer i C. Klassemidtpunktet og produktet regner vi ut i rad 2: \[ \begin{aligned} \text{D2:}\quad & \textcolor{green}{\texttt{=(A2+B2)/2}} \\ \text{E2:}\quad & \texttt{=D2*C2} \end{aligned} \]Vi drar D2 og E2 ned til rad 7. I C8 og E8 summerer vi med \( {\textcolor{blue}{\texttt{=SUMMER(C2:C7)}}} \) og \( {\textcolor{red}{\texttt{=SUMMER(E2:E7)}}}\text{,} \) og i E9 skriver vi \( {\texttt{=E8/C8}}\text{:} \)

Regnearket gir summen \( \textcolor{red}{39\,155}\text{,} \) antallet \( \textcolor{blue}{923} \) og \( {\bar{x} \approx 42{,}42}\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Vi bruker antagelsen fra a) og gjennomsnittsalderen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Gjennomsnittsalderen, 42,4 år, ligger i gruppen \( [18, 50\rangle\text{.} \) Alle i gruppene over er eldre, og i denne gruppen bruker vi at alderen er jevnt fordelt.

1. Tell dem over 50 år Alle i de fire eldste gruppene, fra 50 år og opp, er eldre enn gjennomsnittsalderen: \[ 237 + 103 + 33 + 15 = \textcolor{blue}{388} \]

2. Del opp gruppen 18–50 år Gruppen \( [18, 50\rangle \) er 32 år bred og har 347 personer. Fra gjennomsnittsalderen 42,4 år i b) og opp til 50 år er det \( {50 - 42{,}4 = 7{,}6} \) år. Med jevnt fordelt alder er det: \[ \dfrac{7{,}6}{32} \cdot 347 \approx \textcolor{red}{82{,}4} \text{ personer} \]

3. Regn ut prosenten Til sammen er omtrent \( {\textcolor{blue}{388} + \textcolor{red}{82{,}4} = \textcolor{green}{470{,}4}} \) personer eldre enn gjennomsnittsalderen. Hvor mange prosent en del er av det hele, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{green}{\text{del}}}{\text{hel}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Det hele er alle de 923 innbyggerne: \[ \dfrac{\textcolor{green}{470{,}4}}{923} \cdot 100\,\% \approx 51\,\% \]

Medianen er tallet i midten når tallene står i stigende rekkefølge, og gjennomsnittet er summen delt på antallet. Vi sorterer derfor tallene først.

1. Finn medianen Vi sorterer de \( 10 \) tallene i stigende rekkefølge: \[ 2 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad \textcolor{blue}{4} \quad \textcolor{blue}{6} \quad 6 \quad 7 \quad 8 \quad 8 \]

Medianen er tallet i midten. Med \( 10 \) tall er det ikke ett tall i midten, men to: tall nummer \( 5 \) og \( 6\text{.} \) Da er medianen gjennomsnittet av de to, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{median} = \dfrac{\textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{6}}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \]

2. Finn gjennomsnittet Gjennomsnittet er summen av alle tallene delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{summen}}}{\textcolor{green}{\text{antallet}}} \]

Vi legger sammen de \( \textcolor{green}{10} \) tallene: \[ \begin{aligned} &6 + 3 + 2 + 4 + 4 \\ &{}+ 6 + 2 + 7 + 8 + 8 = \textcolor{red}{50} \end{aligned} \]

Det gir: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{50}}{\textcolor{green}{10}} = 5 \]

Den kumulative frekvensen for 6 personer er hvor mange vogner som hadde 6 personer eller færre. Vi lager en frekvenstabell og legger sammen frekvensene til og med 6.

1. Lag en frekvenstabell Frekvensen er hvor mange ganger et tall forekommer, og den kumulative frekvensen er summen av frekvensene til og med det tallet. Sortert er tallene: \[ 2 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 4 \quad 6 \quad 6 \quad 7 \quad 8 \quad 8 \]

Vi teller og summerer nedover i tabellen: \[ \small \begin{array}{c|c|c} \text{Personer} & \text{Frekvens} & \begin{gathered} \text{Kumulativ} \\ \text{frekvens} \end{gathered} \\ \hline 2 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 5 \\ \textcolor{blue}{6} & 2 & \textcolor{blue}{7} \\ 7 & 1 & 8 \\ 8 & 2 & 10 \end{array} \]

2. Les av og tolk svaret For \( \textcolor{blue}{6} \) personer er den kumulative frekvensen: \[ 2 + 1 + 2 + 2 = \textcolor{blue}{7} \]Det betyr at \( \textcolor{blue}{7} \) av de \( 10 \) vognene hadde med seg \( 6 \) personer eller færre.