Eksamensoppgaver etter tema

Utslippet skal ganges med det samme tallet hvert år og være halvert etter \( 6 \) år. Vi setter opp en likning for vekstfaktoren og løser den.

1. Sett opp likningen En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{a} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. I dag er utslippet \( \textcolor{blue}{16\,000} \) tonn: \[ U(x) = \textcolor{blue}{16\,000} \cdot \textcolor{red}{a}^x \]

Om \( 6 \) år skal utslippet være halvert, \( 8000 \) tonn. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{16\,000} \cdot \textcolor{red}{a}^6 = 8000 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{16\,000} \) på begge sider og tar sjette rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a}^6 &= \dfrac{8000}{16\,000} = 0{,}5 \\ \textcolor{red}{a} &= 0{,}5^{1/6} \approx \textcolor{red}{0{,}8909} \end{aligned} \]

Avrundet til to desimaler er \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{0{,}89}}\text{,} \) og det gir ledelsens modell: \[ U(x) = \textcolor{blue}{16\,000} \cdot \textcolor{red}{0{,}89}^x \]

Kontroll: \( {16\,000 \cdot 0{,}89^6 \approx 7952} \) og \( {16\,000 \cdot 0{,}89^{12} \approx 3952}\text{,} \) nær \( 8000 \) og \( 4000\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Vi skriver likningen \( {16\,000 \cdot a^6 = 8000} \) inn i CAS og løser den med Løs og ≈-knappen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(16000 a^6 = 8000, a)

CAS gir \( {a \approx -0{,}8909} \) og \( {a \approx 0{,}8909}\text{.} \) En vekstfaktor kan ikke være negativ, så vi bruker \( {a \approx 0{,}8909 \approx 0{,}89}\text{,} \) og det gir \( {U(x) = 16\,000 \cdot 0{,}89^x}\text{.} \)

Vekstfaktoren i modellen er \( 0{,}89\text{.} \) Den er mindre enn \( 1\text{,} \) så utslippet minker, og prosenten finner vi fra vekstfaktoren.

1. Les av prosenten Når noe minker med \( \textcolor{red}{p}\,\% \) per år, er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{\textcolor{red}{p}}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

I modellen er \( {V = 0{,}89}\text{:} \) \[ 0{,}89 = 1 - 0{,}11 = 1 - \dfrac{\textcolor{red}{11}}{100} \]Utslippet reduseres altså med \( \textcolor{red}{11}\,\% \) hvert år.

Den gjennomsnittlige endringen per år er endringen i utslippet de fem første årene delt på \( 5\text{.} \) Det er stigningstallet mellom \( {x = 0} \) og \( {x = 5}\text{.} \)

1. Regn ut utslippet om 5 år Med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} U(0) &= 16\,000 \cdot 0{,}89^0 = \textcolor{blue}{16\,000} \\ U(5) &= 16\,000 \cdot 0{,}89^5 \approx \textcolor{red}{8934{,}5} \end{aligned} \]

2. Finn den gjennomsnittlige endringen Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{U(5)} - \textcolor{blue}{U(0)}}{5 - 0} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8934{,}5} - \textcolor{blue}{16\,000}}{5} \\ &= \dfrac{-7065{,}5}{5} \approx -1413 \end{aligned} \]Utslippet går altså i gjennomsnitt ned med omtrent \( 1413 \) tonn per år de fem første årene.

Tabellen har fem måneder, og modellen skal ha formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) Vi gjør eksponentiell regresjon i GeoGebra, med februar som \( {x = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator. Du kan også se at \( b \) må være litt over 1,1: fra februar til mars ganges omsetningen med \( {\dfrac{1431}{1267} \approx 1{,}13}\text{.} \)

1. Gjør eksponentiell regresjon Februar er \( {x = 0}\text{,} \) mars \( {x = 1} \) og så videre til juni, \( {x = 4}\text{.} \) Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som i GeoGebra på bokmål gir formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x}\text{.} \) Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 1267), (1, 1431), (2, 1619), (3, 1788), (4, 2032)} f(x) = RegEksp(l1)

2. Les av a og b Med fire desimaler gir GeoGebra: \[ f(x) \approx \textcolor{blue}{1271{,}1197} \cdot \textcolor{red}{1{,}1238}^x \]Her er \( \textcolor{blue}{a} \) omsetningen i februar ifølge modellen, og \( \textcolor{red}{b} \) er vekstfaktoren per måned.

I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {b \approx 1{,}12}\text{.} \) Regner vi videre med det, blir økningen i b) \( 12\,\% \) i stedet for \( 12{,}4\,\%\text{,} \) og i c) når modellen målet først i mars 2027 i stedet for februar 2027. Vis derfor flere desimaler i GeoGebra.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

I modellen ganges omsetningen med \( b \) for hver måned som går. Vi leser prosenten av vekstfaktoren \( b\text{.} \)

1. Les prosenten av vekstfaktoren Når noe øker med \( p\,\% \) per måned, er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

I a) fant vi \( {f(x) \approx 1271{,}12 \cdot \textcolor{red}{1{,}1238}^x}\text{,} \) så vekstfaktoren er: \[ \textcolor{red}{1{,}1238} = 1 + 0{,}1238 = 1 + \dfrac{12{,}38}{100} \]Omsetningen øker altså med omtrent \( 12{,}4\,\% \) hver måned.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner \( x \) der \( {f(x) = 20\,000}\text{.} \) Med kalkulator regner vi ut \( f(x) \) for noen måneder, og med GeoGebra finner vi skjæringspunktet med linja \( {y = 20\,000}\text{.} \)

1. Regn ut omsetningen for noen måneder I a) fant vi modellen: \[ f(x) \approx 1271{,}12 \cdot 1{,}1238^x \]

Med kalkulatoren prøver vi ett år, \( {x = 12}\text{,} \) to år, \( {x = \textcolor{red}{24}}\text{,} \) og så én måned tilbake. For eksempel er: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{red}{24}) &\approx 1271{,}12 \cdot 1{,}1238^{\textcolor{red}{24}} \\ f(\textcolor{red}{24}) &\approx \textcolor{red}{20\,928} \end{aligned} \]

Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & f(x) \\ \hline 12 & 5\,158 \\ \textcolor{blue}{23} & \textcolor{blue}{18\,622} \\ \textcolor{red}{24} & \textcolor{red}{20\,928} \end{array} \]

2. Finn måneden Siden \( {f(\textcolor{blue}{23}) < 20\,000 < f(\textcolor{red}{24})}\text{,} \) når modellen målet mellom \( {x = 23} \) og \( {x = 24}\text{.} \) Februar 2025 er \( {x = 0}\text{,} \) så \( {x = \textcolor{red}{24}} \) er februar 2027. Det er den første måneden der omsetningen er minst \( 20\,000 \) kroner.

1. Finn skjæringspunktet Med \( f \) fra a) i GeoGebra tegner vi linja \( {y = 20\,000} \) og finner skjæringspunktet med grafen til \( f\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: h: y = 20000 S = Skjæring(f, h)

Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (23{,}6054,\ 20\,000)}\text{,} \) så modellen passerer \( 20\,000 \) kroner etter omtrent \( 23{,}6 \) måneder. Måned \( {x = 23} \) er under målet, og måned \( {x = 24}\text{,} \) februar 2027, er over.

Fra juni til desember 2025 er det seks måneder. Omsetningen i juni, 2032 kroner, skal ganges med den samme vekstfaktoren seks ganger og bli \( 20\,000\text{.} \)

1. Sett opp likningen Vi kaller vekstfaktoren per måned \( \textcolor{red}{k}\text{.} \) Omsetningen ganges med \( \textcolor{red}{k} \) i juli, august, september, oktober, november og desember, altså seks ganger. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{2032} \cdot \textcolor{red}{k}^6 = 20\,000 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{2032} \) på begge sider og tar sjette rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^6 &= \dfrac{20\,000}{\textcolor{blue}{2032}} \approx 9{,}8425 \\ \textcolor{red}{k} &= \left(\dfrac{20\,000}{\textcolor{blue}{2032}}\right)^{1/6} \approx \textcolor{red}{1{,}4639} \end{aligned} \]Siden \( {\textcolor{red}{1{,}4639} = 1 + 0{,}4639}\text{,} \) må omsetningen øke med omtrent \( 46{,}4\,\% \) per måned.

Kontroll: \( {2032 \cdot 1{,}4639^6 \approx 19\,998}\text{,} \) altså nesten \( 20\,000\text{.} \) Det lille avviket kommer av at \( k \) er avrundet.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver likningen inn i CAS og trykker på \( {\approx} \) for å få desimaltall, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(2032*k^6 = 20000, k)

En vekstfaktor kan ikke være negativ, så \( {k \approx 1{,}4639}\text{.} \) Omsetningen må øke med omtrent \( 46{,}4\,\% \) per måned.

Modellen har to ledd, ett for hver produksjonsprosess. Vi ser på hva hvert ledd gjør når \( x \) øker.

1. Tolk leddene Det første leddet, \( {\textcolor{blue}{5000} \cdot \textcolor{red}{0{,}95}^x}\text{,} \) er prosessen som slipper ut \( \textcolor{blue}{5000} \) tonn i dag. Hvert år ganges det med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{0{,}95}\text{.} \) Når noe minker med \( p\,\% \) per år, er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {\textcolor{red}{0{,}95} = 1 - \dfrac{5}{100}}\text{,} \) så utslippet fra denne prosessen skal minke med \( 5\,\% \) hvert år.

Det andre leddet, \( \textcolor{green}{1000}\text{,} \) avhenger ikke av \( x\text{.} \) Utslippet fra den andre prosessen skal altså være \( \textcolor{green}{1000} \) tonn hvert år.

Til sammen synker utslippet fra \( {U(0) = 6000} \) tonn per år i dag, og det nærmer seg \( 1000 \) tonn per år.

I dag er utslippet \( 6000 \) tonn per år, så halvert utslipp er \( 3000 \) tonn. Vi finner når \( {U(x) = 3000}\text{,} \) med en verditabell og med GeoGebra.

1. Finn halvert utslipp I dag er \( {x = 0}\text{,} \) og \( {0{,}95^0 = 1}\text{:} \) \[ U(0) = 5000 \cdot 1 + 1000 = 6000 \]Halvert utslipp er \( {\dfrac{6000}{2} = \textcolor{red}{3000}} \) tonn per år.

2. Lag en verditabell Vi regner ut \( U(x) \) for hele år med kalkulatoren, for eksempel: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{17}) &= 5000 \cdot 0{,}95^{\textcolor{blue}{17}} + 1000 \\ &\approx 3090{,}6 \end{aligned} \]

Med én desimal gir det tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 15 & 3316{,}5 \\ 16 & 3200{,}6 \\ \textcolor{blue}{17} & 3090{,}6 \\ \textcolor{blue}{18} & 2986{,}1 \\ 19 & 2886{,}8 \end{array} \]Utslippet går under \( \textcolor{red}{3000} \) tonn mellom \( {x = 17} \) og \( {x = 18}\text{.} \)

3. Finn tiendedelen Vi regner ut \( U(x) \) rundt overgangen: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 17{,}8 & 3006{,}6 \\ 17{,}9 & 2996{,}3 \end{array} \]Utslippet kommer ned til \( \textcolor{red}{3000} \) tonn mellom \( {x = 17{,}8} \) og \( {x = 17{,}9}\text{,} \) nærmest \( 17{,}9\text{.} \) Utslippet er altså halvert etter omtrent \( 17{,}9 \) år.

1. Finn skjæringspunktet med linja Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet, tegner linja \( {y = 3000} \) og finner skjæringspunktet med verktøyet «Skjæring mellom to objekter», som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: U(x) = 5000*0.95^x + 1000 h: y = 3000 S = Skjæring(U, h)

Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (17{,}8638,\ 3000)}\text{.} \) Utslippet er halvert etter omtrent \( 17{,}9 \) år.

Vi regner ut utslippet etter 10 år og finner hvor mange prosent det har gått ned fra \( 6000 \) tonn i dag.

1. Regn ut utslippet etter 10 år Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{10}} \) i modellen: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{10}) &= 5000 \cdot 0{,}95^{\textcolor{blue}{10}} + 1000 \\ &\approx \textcolor{red}{3993{,}7} \end{aligned} \]

2. Finn nedgangen i prosent Hvor mange prosent noe har gått ned, er endringen delt på det vi startet med, som i videoen Oppgave 1B - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{endring}}{\textcolor{green}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]

Utslippet har gått ned med \( {\textcolor{green}{6000} - \textcolor{red}{3993{,}7} = 2006{,}3} \) tonn: \[ \dfrac{2006{,}3}{\textcolor{green}{6000}} \cdot 100\,\% \approx 33{,}4\,\% \]

Vi finner ut hvor lavt utslippet kan bli ifølge modellen, og sammenligner med kravet på \( 800 \) tonn.

1. Finn hvor lavt utslippet kan bli Leddet \( {5000 \cdot 0{,}95^x} \) blir mindre og mindre, men det er alltid positivt: et positivt tall opphøyd i en potens blir aldri \( 0\text{.} \) Derfor er: \[ U(x) = 5000 \cdot 0{,}95^x + \textcolor{blue}{1000} > \textcolor{blue}{1000} \]

2. Sammenlign med kravet Vi sammenligner det modellen gir, med kravet, som i videoen Oppgave 8B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Ifølge modellen kommer utslippet aldri under \( \textcolor{blue}{1000} \) tonn per år, og \( {\textcolor{blue}{1000} > \textcolor{red}{800}}\text{.} \) Kravet kan altså ikke oppfylles uten at bedriften også kutter utslippet fra den andre prosessen.

Bestanden er \( 12\,000 \) i dag og halveres hvert femte år. Vi finner vekstfaktoren per år som halverer bestanden på fem år, og sammenligner med \( 0{,}87\text{.} \)

1. Sett opp likningen En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor: \[ F(x) = \textcolor{blue}{12\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^x \]

Etter \( 5 \) år skal bestanden være halvert, altså \( 6000\text{.} \) Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{12\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^5 = 6000 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{12\,000} \) på begge sider og tar femte rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^5 &= 0{,}5 \\ \textcolor{red}{k} &= 0{,}5^{1/5} \approx \textcolor{red}{0{,}8706} \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler er \( {\textcolor{red}{k} \approx \textcolor{red}{0{,}87}}\text{,} \) og startverdien er \( \textcolor{blue}{12\,000}\text{.} \) Da er \( {F(x) = 12\,000 \cdot 0{,}87^x} \) en god modell.

Kontroll: \( {0{,}87^5 \approx 0{,}498}\text{,} \) så modellen gir \( {F(5) \approx 5981}\text{,} \) nesten nøyaktig halvparten av \( 12\,000\text{.} \)

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen står i oppgaveteksten til a).

Vi setter inn \( {x = 7} \) i modellen.

1. Sett inn sju år Vi ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall år, som i videoen Vekstfaktor: \[ F(\textcolor{blue}{7}) = 12\,000 \cdot 0{,}87^{\textcolor{blue}{7}} \approx 4527{,}06 \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen står i oppgaveteksten til a).

Er bestanden redusert med \( 35\,\%\text{,} \) er \( 65\,\% \) igjen. Vi finner når \( F(x) \) er \( 65\,\% \) av \( 12\,000\text{,} \) med en verditabell og med GeoGebra.

1. Finn antall fugler som er igjen Redusert med \( 35\,\% \) betyr at \( {100\,\% - 35\,\% = 65\,\%} \) er igjen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ 0{,}65 \cdot 12\,000 = \textcolor{red}{7800} \]

2. Lag en verditabell Vi regner ut \( F(x) \) for hele år med kalkulatoren, for eksempel: \[ F(\textcolor{blue}{3}) = 12\,000 \cdot 0{,}87^{\textcolor{blue}{3}} \approx 7902{,}0 \]

Med én desimal gir det tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & F(x) \\ \hline 2 & 9082{,}8 \\ \textcolor{blue}{3} & 7902{,}0 \\ \textcolor{blue}{4} & 6874{,}8 \end{array} \]Bestanden går under \( \textcolor{red}{7800} \) mellom \( {x = 3} \) og \( {x = 4}\text{.} \)

3. Finn tiendedelen Vi regner ut \( F(x) \) rundt overgangen: \[ \begin{array}{r|r} x & F(x) \\ \hline 3{,}0 & 7902{,}0 \\ 3{,}1 & 7792{,}8 \end{array} \]Bestanden kommer ned til \( \textcolor{red}{7800} \) mellom \( {x = 3{,}0} \) og \( {x = 3{,}1}\text{,} \) nærmest \( 3{,}1\text{.} \) Den er altså redusert med \( 35\,\% \) etter omtrent \( 3{,}1 \) år.

1. Finn skjæringspunktet med linja Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet, tegner linja \( {y = 7800} \) og finner skjæringspunktet med verktøyet «Skjæring mellom to objekter», som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = 12000*0.87^x h: y = 7800 S = Skjæring(F, h)

Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (3{,}0933,\ 7800)}\text{.} \) Bestanden er redusert med \( 35\,\% \) etter omtrent \( 3{,}1 \) år.