Eksamensoppgaver etter tema

Konsumprisindeksen sammenligner prisene hvert år med prisene i ett bestemt år, basisåret.

1. Forklar hva 100 betyr KPI er prisnivået et år i prosent av prisnivået i basisåret: \[ \text{KPI} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{prisnivået i året}}}{\textcolor{blue}{\text{prisnivået i basisåret}}} \cdot 100 \]

Er 2015 basisåret, er \( \textcolor{red}{\text{prisnivået i året}} \) og \( \textcolor{blue}{\text{prisnivået i basisåret}} \) det samme i 2015. Brøken blir \( 1\text{,} \) og KPI blir \( {1 \cdot 100 = 100}\text{.} \) Tenker vi på indeksen som en pris, som i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023, kostet en handlekurv \( 100 \) kroner i 2015 og \( 137{,}70 \) kroner i 2025.

Reallønnen er lønnen målt i kroner med fast verdi, altså hva lønnen kan kjøpe. Like stor kjøpekraft betyr derfor like stor reallønn.

1. Skriv opp hva reallønn er Reallønnen er den nominelle lønnen, det som blir utbetalt, regnet om til basisårets kroner: \[ \text{reallønn} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{nominell lønn}}}{\textcolor{blue}{\text{KPI}}} \cdot 100 \]Den måler kjøpekraften, altså hvor mye lønnen kan kjøpe. Øker den nominelle lønnen like mye som KPI, blir brøken den samme, og reallønnen står stille.

Skal Niklas kunne kjøpe like mye i 2025 som i 2020, må reallønnen derfor være den samme, \( \textcolor{green}{500\,000} \) kroner.

Kontroll: Med KPI \( 112{,}2 \) i 2020 var den nominelle lønnen \( {500\,000 \cdot 1{,}122 = 561\,000} \) kroner. Øker den like mye som KPI, blir den \( {561\,000 \cdot \dfrac{137{,}7}{112{,}2} = 688\,500} \) kroner i 2025, og reallønnen \( {688\,500 : 1{,}377 = 500\,000}\text{.} \)

Samme kjøpekraft betyr samme reallønn. Vi finner reallønnen i 2015 og regner den om til nominell lønn i 2025.

1. Finn reallønnen i 2015 Reallønnen er den nominelle lønnen regnet om til basisårets kroner: \[ \textcolor{green}{\text{reallønn}} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{nominell lønn}}}{\textcolor{blue}{\text{KPI}}} \cdot 100 \]

2015 er basisåret, så KPI er \( \textcolor{blue}{100}\text{,} \) og reallønnen er lik den nominelle lønnen, \( \textcolor{green}{1\,000\,000} \) kroner. Den samme reallønnen skal han ha i 2025.

2. Regn om til nominell lønn Snur vi formelen, får vi: \[ \textcolor{red}{\text{nominell lønn}} = \textcolor{green}{\text{reallønn}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{\text{KPI}}}{100} \]Tenker vi på KPI som prisen på noe som kostet \( 100 \) kroner i 2015, som i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023, må lønnen øke like mye som prisen.

I 2025 er KPI \( \textcolor{blue}{137{,}7}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{nominell lønn}} &= \textcolor{green}{1\,000\,000} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{137{,}7}}{100} \\ &= \textcolor{red}{1\,377\,000} \end{aligned} \]

Leien kan høyst øke like mye som KPI. Vi sammenligner den prosentvise økningen i KPI fra oktober 2023 til oktober 2024 med økningen i leien.

1. Finn økningen i KPI Vi tenker på indekstallene som priser, slik det gjøres med prisindeksen i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Hvor mange prosent noe har økt, er: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{ny} - \textcolor{blue}{\text{gammel}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]

Fra oktober 2023 til oktober 2024 gikk KPI fra \( \textcolor{blue}{131{,}1} \) til \( 134{,}5\text{:} \) \[ \dfrac{134{,}5 - \textcolor{blue}{131{,}1}}{\textcolor{blue}{131{,}1}} \cdot 100\,\% \approx \textcolor{red}{2{,}6}\,\% \]

2. Finn økningen i leien Leien skulle gå fra \( \textcolor{blue}{8500} \) til \( 9000 \) kroner: \[ \dfrac{9000 - \textcolor{blue}{8500}}{\textcolor{blue}{8500}} \cdot 100\,\% \approx \textcolor{green}{5{,}9}\,\% \]

Det har gått ett år siden forrige fastsetting, så tidspunktet er lovlig. Men leien skulle øke med \( \textcolor{green}{5{,}9}\,\%\text{,} \) og KPI økte bare med \( \textcolor{red}{2{,}6}\,\%\text{.} \) Leien kunne høyst øke like mye som KPI: \[ 8500 \cdot \dfrac{134{,}5}{131{,}1} \approx 8720 \]

Vi regner ut den prosentvise økningen i KPI fra hvert år til det neste, og setter tallene opp i en tabell.

1. Regn ut økningen hvert år Hvor mange prosent KPI økte, er endringen delt på KPI året før, som for prisindeksen i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{ny} - \textcolor{blue}{\text{gammel}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]

Fra 2021 til 2022: \[ \dfrac{126{,}0 - \textcolor{blue}{117{,}2}}{\textcolor{blue}{117{,}2}} \cdot 100\,\% \approx \underline{7{,}5\,\%} \]

Fra 2022 til 2023: \[ \dfrac{131{,}1 - \textcolor{blue}{126{,}0}}{\textcolor{blue}{126{,}0}} \cdot 100\,\% \approx \underline{4{,}0\,\%} \]

Fra 2023 til 2024: \[ \dfrac{134{,}5 - \textcolor{blue}{131{,}1}}{\textcolor{blue}{131{,}1}} \cdot 100\,\% \approx \underline{2{,}6\,\%} \]Økningen ble mindre for hvert år.

1. Regn ut økningen i regnearket Vi skriver årene i A2 til A5 og KPI i B2 til B5. Økningen er endringen delt på KPI året før, så i C3 skriver vi \( {\texttt{=(B3-B2)/B2}}\text{.} \) Vi drar C3 ned til rad 5 og gir kolonne C prosentformat med %-knappen, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Én desimal får vi ved å trykke én gang på «Øk desimaler»:

Regnearket gir \( 7{,}5\,\% \) fra 2021 til 2022, \( 4{,}0\,\% \) fra 2022 til 2023 og \( 2{,}6\,\% \) fra 2023 til 2024, det samme som for hånd.

Vi bruker den høyeste lovlige leien fra a) og økningen i KPI fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Oppgaven er åpen, så vi må anta noe om hva huseieren gjør og om hvordan KPI utvikler seg. Så regner vi oss fram til leien i oktober 2026.

1. Gjør antakelser Vi antar at huseieren setter opp leien hver oktober så mye som loven tillater, altså like mye som KPI øker. I a) fant vi at leien da ble \( \textcolor{blue}{8720} \) kroner i oktober 2024.

Vi antar også at KPI fortsetter å øke med \( \textcolor{red}{2{,}6}\,\% \) per år, like mye som det siste året i b). Økningen har blitt mindre hvert år, så det siste året sier mest om årene framover.

2. Regn ut leien i oktober 2026 Når noe øker med \( \textcolor{red}{2{,}6}\,\% \) per år, er vekstfaktoren \( {1 + \dfrac{\textcolor{red}{2{,}6}}{100} = \textcolor{red}{1{,}026}}\text{.} \) Fra oktober 2024 til oktober 2026 øker leien to ganger, så vi ganger med vekstfaktoren opphøyd i \( 2\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor: \[ \textcolor{blue}{8720} \cdot \textcolor{red}{1{,}026}^2 \approx 9179 \]Felix må altså regne med omtrent \( 9180 \) kroner per måned.

Andre rimelige antakelser gir andre svar, som også er riktige. Øker KPI med \( 4{,}7\,\% \) per år, som i gjennomsnitt fra 2021 til 2024, blir leien \( {8720 \cdot 1{,}047^2 \approx 9560} \) kroner.