Eksamensoppgaver etter tema

Vi ser to trekanter, et trapes og tre fjerdedeler av en sirkel. Alle står mellom x-aksen og linja \( {y = 4}\text{,} \) så høyden er \( 4\text{,} \) og de andre målene leser vi av koordinatene.

1. Finn arealet av trekantene Arealet av en trekant er grunnlinja ganget med høyden delt på to: \[ A = \dfrac{\textcolor{blue}{g} \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Areal og Omkrets.

Begge trekantene har grunnlinja på x-aksen og toppen på linja \( {y = 4}\text{,} \) så \( {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{4}}\text{.} \) Figur 2 er stump, så høyden faller utenfor trekanten, men avstanden fra toppen ned til grunnlinja er fortsatt \( \textcolor{red}{4}\text{.} \) Grunnlinja går fra \( 0 \) til \( 6 \) i figur 1 og fra \( 8 \) til \( 10 \) i figur 2: \[ \begin{aligned} A_1 &= \dfrac{\textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{4}}{2} = \underline{12} \\ A_2 &= \dfrac{\textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{4}}{2} = \underline{4} \end{aligned} \]

2. Finn arealet av trapeset Figur 3 har to parallelle sider, den øverste fra \( 10 \) til \( 19 \) og den nederste fra \( 14 \) til \( 20\text{.} \) Arealet av et trapes er: \[ A = \dfrac{(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{green}{b}) \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Areal og Omkrets.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = 19 - 10 = \textcolor{blue}{9}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{b} = 20 - 14 = \textcolor{green}{6}} \) og \( {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{4}}\text{:} \) \[ A_3 = \dfrac{(\textcolor{blue}{9} + \textcolor{green}{6}) \cdot \textcolor{red}{4}}{2} = \dfrac{60}{2} = \underline{30} \]

3. Finn arealet av sirkeldelen Arealet av en sirkel med radius \( r \) er: \[ A = \pi r^2 \]Det er arealet av toppen av sylinderen i videoen Volum og Overflate.

Sirkelen går fra x-aksen opp til linja \( {y = 4}\text{,} \) så diameteren er \( 4 \) og radien \( {r = 2}\text{.} \) Det mangler en firedel, så figur 4 er \( \dfrac{3}{4} \) av sirkelen: \[ A_4 = \dfrac{3}{4} \cdot \pi \cdot 2^2 = \dfrac{3}{4} \cdot 4\pi = \underline{3\pi} \]

Hypotenusen er en diameter i sirkelen. Vi finner den med Pytagoras' setning, så radien, og så arealet av sirkelen med \( {\pi \approx 3{,}14}\text{.} \)

1. Finn hypotenusen Vi tegner trekanten i sirkelen. Hypotenusen \( \textcolor{green}{c} \) er en diameter:

Pytagoras' setning forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 = \textcolor{green}{c}^2 \]der \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) er katetene. Slik finner vi hypotenusen i videoen Pytagoras setning.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{6}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{8}}\text{,} \) i centimeter: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{c}^2 &= \textcolor{blue}{6}^2 + \textcolor{red}{8}^2 = 36 + 64 = 100 \\ \textcolor{green}{c} &= \sqrt{100} = \textcolor{green}{10} \end{aligned} \]

2. Regn ut arealet Arealet av en sirkel med radius \( r \) er: \[ A = \pi r^2 \]Det er arealet av toppen av sylinderen i videoen Volum og Overflate.

Radien er halve diameteren, \( {r = \dfrac{\textcolor{green}{10}}{2} = 5\,\text{cm}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og regner med \( {\pi \approx 3{,}14}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} A &= \pi \cdot (5\,\text{cm})^2 = 25\pi\,\text{cm}^2 \\ A &\approx 25 \cdot 3{,}14\,\text{cm}^2 = 78{,}5\,\text{cm}^2 \end{aligned} \]

3. Sammenlign med 75 Vi trenger ikke desimalene for å avgjøre det. Siden \( {\pi > 3}\text{,} \) er: \[ 25\pi > 25 \cdot 3 = 75 \]Arealet er altså større enn \( 75\,\text{cm}^2\text{.} \)

Vi regner ut arealet og omkretsen av begge områdene. Uten kalkulator regner vi med \( {\pi \approx 3{,}14}\text{.} \)

1. Sammenlign arealene En sirkel har arealet \( \pi r^2 \) og omkretsen \( 2\pi r\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. En halvsirkel har halvparten av arealet: \[ \begin{aligned} A_{\text{halvsirkel}} &= \dfrac{\pi \cdot (1\,\text{m})^2}{2} = \dfrac{\textcolor{blue}{\pi}}{2}\,\text{m}^2 \\ &\approx \dfrac{\textcolor{blue}{3{,}14}}{2}\,\text{m}^2 = 1{,}57\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

Arealet av en trekant er grunnlinje ganger høyde delt på \( 2\text{,} \) som i videoen Areal og Omkrets: \[ \begin{aligned} A_{\text{trekant}} &= \dfrac{3\,\text{m} \cdot 1\,\text{m}}{2} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{3}}{2}\,\text{m}^2 = 1{,}5\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

Vi sammenligner: \[ 1{,}57\,\text{m}^2 > 1{,}5\,\text{m}^2 \]Halvsirkelen har størst areal, fordi \( \textcolor{blue}{\pi} \) er litt større enn \( \textcolor{red}{3}\text{.} \)

2. Finn den skrå siden i trekanten Høyden deler trekanten i to rettvinklede trekanter. Hver av dem har katetene \( \textcolor{blue}{1{,}5} \) m, halve grunnlinjen, og \( \textcolor{red}{1} \) m, høyden. Den skrå siden \( \textcolor{green}{s} \) er hypotenusen. Pytagoras' setning forteller oss at: \[ \textcolor{green}{c}^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Pytagoras setning.

Plugger vi inn katetene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{s}^2 &= \textcolor{blue}{1{,}5}^2 + \textcolor{red}{1}^2 = 2{,}25 + 1 = 3{,}25 \\ \textcolor{green}{s} &= \sqrt{3{,}25} \end{aligned} \]Siden \( {1{,}8^2 = 3{,}24}\text{,} \) er \( {\textcolor{green}{s} \approx 1{,}8} \) m.

3. Sammenlign omkretsene Omkretsen er summen av alle sidene, som i videoen Areal og Omkrets. Halvsirkelen har halve sirkelomkretsen \( 2\pi r \) og diameteren \( 2r\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_{\text{halvsirkel}} &= \dfrac{2\pi \cdot 1\,\text{m}}{2} + 2 \cdot 1\,\text{m} \\ &= (\pi + 2)\,\text{m} \approx 5{,}14\,\text{m} \end{aligned} \]

Trekanten har grunnlinjen og to skrå sider: \[ \begin{aligned} O_{\text{trekant}} &= (3 + 2\textcolor{green}{s})\,\text{m} \\ &\approx (3 + 2 \cdot 1{,}8)\,\text{m} = 6{,}6\,\text{m} \end{aligned} \]

Vi sammenligner: \[ 6{,}6\,\text{m} > 5{,}14\,\text{m} \]Trekanten har størst omkrets.