Eksamensoppgaver etter tema

Vi går gjennom programmet linje for linje, slik datamaskinen gjør, og holder styr på \( x \) og \( \texttt{verdi} \) i en tabell.

1. Les programmet Linje 1 og 2 definerer funksjonen \( {f(x) = x^2 + 2x - 15}\text{.} \) Linje 4 og 5 starter med \( {x = -5} \) og \( {\texttt{verdi} = f(-5) = 0}\text{.} \)

Løkka i linje 7 går så lenge \( {x \le 5}\text{.} \) Linje 9 og 10 bytter ut \( \texttt{verdi} \) med \( f(x) \) når \( f(x) \) er mindre, og linje 12 øker \( x \) med \( 1\text{.} \) Vi tenker som datamaskinen, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.

2. Gå gjennom løkka For hver \( x \) fra \( {-5} \) til \( 5 \) regner vi ut \( f(x) \) og ser hva \( \texttt{verdi} \) blir: \[ \begin{array}{r|r|r} x & f(x) & \texttt{verdi} \\ \hline -5 & 0 & 0 \\ -4 & -7 & -7 \\ -3 & -12 & -12 \\ -2 & -15 & -15 \\ \textcolor{red}{-1} & \textcolor{red}{-16} & \textcolor{red}{-16} \\ 0 & -15 & -16 \\ 1 & -12 & -16 \\ 2 & -7 & -16 \\ 3 & 0 & -16 \\ 4 & 9 & -16 \\ 5 & 20 & -16 \end{array} \]Når \( x \) blir \( 6\text{,} \) stopper løkka, og linje 14 skriver ut \( {\texttt{verdi} = -16}\text{.} \)

3. Tolk resultatet \( \texttt{verdi} \) er den minste verdien \( f(x) \) får for heltallene fra \( {-5} \) til \( 5\text{.} \) Grafen til \( f \) er en parabel som er symmetrisk om bunnpunktet. Tabellen viser at \( {f(-5) = f(3) = 0}\text{,} \) så bunnpunktet ligger midt mellom: \[ x = \dfrac{-5 + 3}{2} = \textcolor{red}{-1} \]Det er et av tallene programmet prøver. Den minste verdien, \( {\textcolor{red}{-16}}\text{,} \) er derfor \( y \)-verdien til bunnpunktet \( {(-1, -16)}\text{.} \)

I bunnpunktet er den deriverte \( 0\text{.} \) Vi ganger ut parentesene, deriverer og setter den deriverte lik \( 0\text{.} \)

1. Gang ut og deriver Vi ganger ut parentesene: \[ \begin{aligned} f(x) &= x^2 + 3x - x - 3 \\ f(x) &= \textcolor{red}{x^2} + \textcolor{blue}{2x} - 3 \end{aligned} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \( \textcolor{red}{x^2} \) blir \( \textcolor{red}{2x}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{2x} \) blir \( \textcolor{blue}{2}\text{,} \) og konstanten \( {-3} \) blir \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = \textcolor{red}{2x} + \textcolor{blue}{2} \]

2. Sett den deriverte lik null I bunnpunktet er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 2x + 2 &= 0 \\ x &= \textcolor{green}{-1} \end{aligned} \]

3. Finn y-koordinaten Vi setter \( {x = \textcolor{green}{-1}} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(\textcolor{green}{-1}) &= (\textcolor{green}{-1} - 1)(\textcolor{green}{-1} + 3) \\ f(\textcolor{green}{-1}) &= (-2) \cdot 2 = -4 \end{aligned} \]Leddet \( x^2 \) har positivt fortegn, så grafen er en parabel som vender opp, og punktet er et bunnpunkt.

Kontroll: Bunnpunktet ligger midt mellom nullpunktene \( {x = 1} \) og \( {x = -3}\text{:} \) \( {\dfrac{1 + (-3)}{2} = -1}\text{.} \)

Opplysningene gir fire likninger: to for punktene på grafen og to for den deriverte, som er \( 0 \) i toppunktet og \( 4 \) i \( {x = 3}\text{.} \) Vi løser likningssettet.

1. Sett opp fire likninger Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd, og konstanten \( d \) blir \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]

Grafen går gjennom \( (2, 6) \) og toppunktet \( {(-2, 8)}\text{,} \) der den deriverte er \( 0\text{.} \) Stigningstallet til tangenten i \( {x = 3} \) er \( f'(3)\text{,} \) som i videoen Tangentlinje. Det gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(2)} &= \textcolor{blue}{6} & \textcolor{red}{f(-2)} &= \textcolor{red}{8} \\ \textcolor{red}{f'(-2)} &= \textcolor{red}{0} & \textcolor{green}{f'(3)} &= \textcolor{green}{4} \end{aligned} \]

Plugger vi inn i \( f(x) \) og \( f'(x)\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{8a + 4b + 2c + d} &= \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{red}{-8a + 4b - 2c + d} &= \textcolor{red}{8} \\ \textcolor{red}{12a - 4b + c} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{green}{27a + 6b + c} &= \textcolor{green}{4} \end{aligned} \]

2. Fjern d og c Vi trekker den andre likningen fra den første, så \( d \) forsvinner, og den tredje fra den fjerde, så \( c \) forsvinner: \[ \begin{aligned} 16a + 4c &= -2 \\ 15a + 10b &= 4 \end{aligned} \]

Den tredje likningen gir \( {c = 4b - 12a}\text{.} \) Setter vi det inn i \( {16a + 4c = -2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 16a + 4(4b - 12a) &= -2 \\ -32a + 16b &= -2 \\ b &= 2a - \dfrac{1}{8} \end{aligned} \]

3. Løs for a og b Vi setter \( {b = 2a - \dfrac{1}{8}} \) inn i \( {15a + 10b = 4}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} 15a + 10\left(2a - \dfrac{1}{8}\right) &= 4 \\ 35a &= 5{,}25 \\ a &= 0{,}15 \end{aligned} \]Det gir \( {b = 2 \cdot 0{,}15 - 0{,}125 = 0{,}175}\text{.} \)

4. Finn c og d Vi setter \( a \) og \( b \) inn i \( {c = 4b - 12a} \) og i den første likningen: \[ \begin{aligned} c &= 4 \cdot 0{,}175 - 12 \cdot 0{,}15 = -1{,}1 \\ d &= 6 - 8a - 4b - 2c \\ d &= 6 - 1{,}2 - 0{,}7 + 2{,}2 = 6{,}3 \end{aligned} \]

Kontroll: \( {f'(x) = 0{,}45x^2 + 0{,}35x - 1{,}1} \) gir \( {f'(-3) = 1{,}9 > 0} \) og \( {f'(0) = -1{,}1 < 0}\text{,} \) så grafen går fra å stige til å synke i \( {x = -2}\text{:} \) et toppunkt.

1. Løs likningssettet i CAS Vi definerer \( f \) i CAS og løser de fire likningene for \( a\text{,} \) \( b\text{,} \) \( c \) og \( d \) med Løs:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := a*x^3 + b*x^2 + c*x + d Løs({f(2) = 6, f(-2) = 8, f'(-2) = 0, f'(3) = 4}, {a, b, c, d})

CAS gir \( {a = \dfrac{3}{20} = 0{,}15}\text{,} \) \( {b = \dfrac{7}{40} = 0{,}175}\text{,} \) \( {c = -\dfrac{11}{10} = -1{,}1} \) og \( {d = \dfrac{63}{10} = 6{,}3}\text{.} \)

Vi velger en tredjegradsfunksjon og en andregradsfunksjon som begge har bunnpunkt på \( y \)-aksen, og en rett linje som lukker kurven. Så viser vi at kravene er oppfylt.

1. Velg en tredjegradsfunksjon Den øverste grafen i figuren har et toppunkt og så et bunnpunkt, som en tredjegradsfunksjon. Uten \( x \)-ledd blir \( {f'(0) = 0}\text{,} \) så vi velger: \[ \textcolor{green}{f(x) = x^3 + 3x^2 + 4} \]

Potensregelen forteller oss at \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Vi deriverer ledd for ledd: \[ f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2) \]Den deriverte er 0 i \( {x = -2} \) og \( {x = 0}\text{.} \) Rundt \( {x = 0} \) skifter den fra minus til pluss, så grafen har et bunnpunkt på \( y \)-aksen, i \( {B = (0, f(0)) = (0, 4)}\text{.} \)

2. Finn punktet A \( A \) ligger på grafen til \( f \) og har samme \( y \)-koordinat som \( B\text{,} \) altså \( {f(x) = 4}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^3 + 3x^2 + 4 &= 4 \\ x^2(x + 3) &= 0 \end{aligned} \]Det gir \( {x = 0}\text{,} \) som er \( B\text{,} \) og \( {x = -3}\text{.} \) Altså er \( {A = (-3, 4)}\text{.} \)

3. Velg en andregradsfunksjon En parabel \( {x^2 + c} \) har bunnpunktet \( (0, c) \) på \( y \)-aksen, fordi \( {x^2 \ge 0}\text{.} \) Den skal gå gjennom \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} (-3)^2 + c &= 4 \\ c &= -5 \end{aligned} \]Det gir \( {\textcolor{blue}{g(x) = x^2 - 5}} \) med bunnpunktet \( {C = (0, -5)}\text{.} \)

4. Lukk kurven med en linje Vi lar \( f \) gå fra \( A \) til \( {x = 1}\text{,} \) der \( {f(1) = 8}\text{,} \) og \( g \) fra \( A \) til \( {x = 3}\text{,} \) der \( {g(3) = 4}\text{.} \) Linjen gjennom \( (1, 8) \) og \( (3, 4) \) har stigningstallet \[ \dfrac{4 - 8}{3 - 1} = -2 \]Linjen \( {y = -2x + b} \) går gjennom \( (1, 8)\text{,} \) så \( {8 = -2 \cdot 1 + b} \) og \( {b = 10}\text{.} \) Det gir \( {\textcolor{red}{h(x) = -2x + 10}}\text{.} \)

5. Tegn figuren Vi tegner \( \textcolor{green}{f} \) for \( {-3 \le x \le 1}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{g} \) for \( {-3 \le x \le 3} \) og \( \textcolor{red}{h} \) for \( {1 \le x \le 3}\text{:} \)

Grafene henger sammen i \( A\text{,} \) i \( (1, 8) \) og i \( (3, 4)\text{,} \) så de danner en lukket kurve. Andre funksjoner er også riktige, for eksempel \( {f(x) = x^3 + 3x^2 + 1}\text{,} \) \( {g(x) = x^2 - 8} \) og \( {h(x) = -2x + 7}\text{.} \)

1. Tegn grafene i GeoGebra Vi skriver inn de tre funksjonene, hver med sitt intervall, og punktene \( A\text{,} \) \( B \) og \( C\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) = x^3 + 3x^2 + 4, -3 <= x <= 1 g(x) = x^2 - 5, -3 <= x <= 3 h(x) = -2x + 10, 1 <= x <= 3 A = (-3, 4) B = (0, 4) C = (0, -5)

Grafene danner en lukket kurve. \( f \) har bunnpunktet \( B \) og \( g \) bunnpunktet \( C\text{,} \) begge på \( y \)-aksen, og \( A \) og \( B \) har samme \( y \)-koordinat, 4.