Eksamensoppgaver etter tema

I trekant \( ABC \) kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem. Da finner vi den tredje siden \( AB \) med cosinussetningen.

1. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss hvor lang en side er, når vi kjenner de to andre sidene og vinkelen mellom dem. I trekant \( ABC \) står \( AB \) mot vinkelen \( \textcolor{green}{C} \) mellom \( \textcolor{blue}{AC} \) og \( \textcolor{red}{CB}\text{:} \) \[ \begin{aligned} AB^2 &= \textcolor{blue}{AC}^2 + \textcolor{red}{CB}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{AC} \cdot \textcolor{red}{CB} \cdot \cos \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{AC} &= \textcolor{blue}{\sqrt{2}} & \textcolor{red}{CB} &= \textcolor{red}{1} & \textcolor{green}{C} &= \textcolor{green}{105^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i cosinussetningen, får vi: \[ \begin{aligned} AB^2 &= (\textcolor{blue}{\sqrt{2}})^2 + \textcolor{red}{1}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{2}} \cdot \textcolor{red}{1} \cdot \cos \textcolor{green}{105^\circ} \\ AB^2 &\approx 2 + 1 + 0{,}7321 = 3{,}7321 \end{aligned} \]Siden \( \cos 105^\circ \) er negativ, blir det siste leddet positivt.

Vi tar kvadratroten, fordi en lengde er positiv: \[ AB \approx \sqrt{3{,}7321} \approx 1{,}93 \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver cosinussetningen inn i CAS, med gradtegn på vinkelen, og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: AB := sqrt(sqrt(2)^2 + 1^2 - 2*sqrt(2)*1*cos(105°)) AB

CAS gir \( {AB = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}9319}\text{,} \) altså \( {AB \approx 1{,}93}\text{.} \)

Linja \( AC \) deler trekant \( ABD \) i trekantene \( ACD \) og \( ACB\text{.} \) Vi finner \( DC \) med sinussetningen og legger sammen arealene av de to trekantene.

1. Finn vinklene i trekant ACD Vinklene \( ACD \) og \( ACB \) ligger inntil hverandre langs linja \( DB\text{,} \) så de er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \angle ACD = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \]I trekant \( ACD \) er vinklene da \( 45^\circ\text{,} \) \( 60^\circ \) og \( 75^\circ\text{.} \)

2. Finn DC med sinussetningen Sinussetningen forteller oss at forholdet mellom en side og sinus til vinkelen den står mot, er det samme for alle sidene i en trekant. I trekant \( ACD \) står \( \textcolor{red}{DC} \) mot vinkelen \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{AC} \) står mot vinkelen \( \textcolor{blue}{D}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{DC}}{\sin \textcolor{red}{A}} = \dfrac{\textcolor{blue}{AC}}{\sin \textcolor{blue}{D}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A} &= \textcolor{red}{45^\circ} & \textcolor{blue}{AC} &= \textcolor{blue}{\sqrt{2}} & \textcolor{blue}{D} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i sinussetningen, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{DC}}{\sin \textcolor{red}{45^\circ}} &= \dfrac{\textcolor{blue}{\sqrt{2}}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} \\ DC &= \dfrac{\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 1{,}1547 \end{aligned} \]

3. Legg sammen arealene Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( a \) og \( b \) og vinkelen \( \theta \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \theta \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Vi deler figuren i to trekanter og legger sammen, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

I trekant \( ACD \) er vinkelen mellom \( AC \) og \( DC \) lik \( 75^\circ\text{,} \) og i trekant \( ACB \) er vinkelen mellom \( AC \) og \( CB \) lik \( 105^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ACD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1{,}1547 \cdot \sin 75^\circ \\ T_{ACD} &\approx 0{,}7887 \\ T_{ACB} &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \sin 105^\circ \\ T_{ACB} &\approx 0{,}6830 \end{aligned} \]

Til sammen: \[ T_{ABD} \approx 0{,}7887 + 0{,}6830 \approx 1{,}47 \]

1. Regn ut i CAS Vinkelen \( ACD \) er \( {180^\circ - 105^\circ = 75^\circ}\text{.} \) Vi regner ut \( DC \) med sinussetningen og legger sammen arealene med arealsetningen i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: DC := sqrt(2)*sin(45°)/sin(60°) T := 1/2*sqrt(2)*DC*sin(75°) + 1/2*sqrt(2)*1*sin(105°) T

CAS gir \( {DC = \dfrac{2}{3}\sqrt{3}} \) og \( {T \approx 1{,}4717}\text{,} \) så arealet av trekant \( ABD \) er omtrent \( 1{,}47\text{.} \)

Ingen av trekantene er rettvinklet. Vi lager derfor to rettvinklede trekanter ved å trekke en linje fra \( D \) vinkelrett ned på \( AC\text{.} \)

1. Lag to rettvinklede trekanter 0:30 Vi kaller punktet der linja fra \( D \) treffer \( AC\text{,} \) for \( M\text{.} \) I trekant \( DMC \) er vinklene \( 90^\circ \) og \( 30^\circ\text{,} \) så vinkelen ved \( D \) er: \[ 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]Hele vinkelen ved \( D \) er \( 120^\circ\text{,} \) så vinkelen \( ADM \) er \( {120^\circ - 60^\circ = 60^\circ}\text{,} \) og vinkelen ved \( A \) er \( 30^\circ\text{.} \)

Trekantene \( AMD \) og \( CMD \) har de samme vinklene og den felles siden \( DM\text{,} \) så de er like store, som speilbilder av hverandre. Derfor er \( {AM = MC}\text{.} \)

2. Finn MC med cosinus 2:10 Definisjonen av cosinus forteller oss at: \[ \cos v = \dfrac{\textcolor{green}{\text{hosliggende katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

I trekant \( DMC \) er \( \textcolor{green}{MC} \) hosliggende katet til vinkelen \( 30^\circ\text{,} \) og hypotenusen er \( {\textcolor{blue}{DC} = \textcolor{blue}{\sqrt{3}}}\text{.} \) Vi løser for \( \textcolor{green}{MC} \) og bruker at \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{MC} &= \cos 30^\circ \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{3}} \\ \textcolor{green}{MC} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

3. Legg sammen de to delene 3:20 Siden \( {AM = \textcolor{green}{MC} = \dfrac{3}{2}}\text{,} \) er: \[ AC = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} = 3 \]

Alternativ metode: Sinussetningen I trekant \( ACD \) er vinkelen ved \( A \) lik \( {180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ}\text{.} \) Sinussetningen gir, som i videoen Sinussetningen: \[ \begin{aligned} \dfrac{AC}{\sin 120^\circ} &= \dfrac{DC}{\sin 30^\circ} \\ AC &= \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sin 120^\circ}{\sin 30^\circ} \\ AC &= \dfrac{\sqrt{3} \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{1}{2}} = 3 \end{aligned} \]Den er raskest når du kjenner sinussetningen godt.

Vi bruker \( {AC = 3} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Diagonalen \( AC \) deler firkanten i trekantene \( ACD \) og \( ABC\text{.} \) Vi finner arealet av hver med arealsetningen og legger sammen.

1. Finn vinkel B med sinussetningen 0:49 Sinussetningen forteller oss at forholdet mellom en side og sinus til vinkelen den står mot, er det samme for alle sidene i en trekant. I trekant \( ABC \) står \( \textcolor{red}{CB} \) mot vinkelen \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{AC} \) står mot vinkelen \( \textcolor{blue}{B}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{CB}}{\sin \textcolor{red}{A}} = \dfrac{\textcolor{blue}{AC}}{\sin \textcolor{blue}{B}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{CB} &= \textcolor{red}{\sqrt{6}} & \textcolor{red}{A} &= \textcolor{red}{45^\circ} & \textcolor{blue}{AC} &= \textcolor{blue}{3} \end{aligned} \]

Løser vi for \( \sin \textcolor{blue}{B} \) og bruker at \( {\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \sin \textcolor{blue}{B} &= \dfrac{\textcolor{blue}{3} \cdot \sin \textcolor{red}{45^\circ}}{\textcolor{red}{\sqrt{6}}} \\ \sin B &= \dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {B = 60^\circ}\text{.} \)

Merk – To mulige trekanter: \( \sin 120^\circ \) er også \( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{,} \) så målene passer med to trekanter. Med \( {B = 120^\circ} \) blir \( {AB = \dfrac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}}\text{,} \) og firkanten får arealet \( \dfrac{9}{4}\text{.} \) Figuren viser at vinkelen ved \( B \) er spiss, så vi bruker \( {B = 60^\circ}\text{.} \)

2. Finn arealet av trekant ACD 4:27 Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

I trekant \( ACD \) er vinkelen \( \textcolor{green}{30^\circ} \) ved \( C \) mellom \( {\textcolor{blue}{AC} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {\textcolor{red}{DC} = \textcolor{red}{\sqrt{3}}}\text{:} \) \[ T_{ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \]

3. Finn AB med høyden fra C Vi trekker en linje fra \( C \) vinkelrett ned på \( AB\text{,} \) slik vi gjorde i a), og kaller fotpunktet \( E\text{.} \) I de to rettvinklede trekantene er \( {AC = 3} \) og \( {CB = \sqrt{6}} \) hypotenusene. Med \( {\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) og \( {\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}} \) blir: \[ \begin{aligned} AE &= 3 \cdot \cos 45^\circ = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ EB &= \sqrt{6} \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \end{aligned} \]Det gir: \[ AB = AE + EB = \dfrac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \]

4. Legg sammen arealene 5:27 I trekant \( ABC \) er vinkelen \( 45^\circ \) ved \( A \) mellom \( AC \) og \( AB\text{.} \) Arealsetningen gir: \[ \begin{aligned} T_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \dfrac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ T_{ABC} &= \dfrac{3(6 + 2\sqrt{3})}{8} = \dfrac{9 + 3\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

Til sammen: \[ \begin{aligned} T_{ABCD} &= \dfrac{3\sqrt{3}}{4} + \dfrac{9 + 3\sqrt{3}}{4} \\ T_{ABCD} &= \dfrac{9 + 6\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS 6:00 Sinussetningen i trekant \( ABC \) gir \( {\sin B = \dfrac{3 \cdot \sin 45^\circ}{\sqrt{6}}}\text{.} \) Med \( {B = 60^\circ} \) er vinkelen ved \( C \) lik \( {180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ}\text{.} \) Vi regner ut \( \sin B \) og de to arealene med arealsetningen i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: s := 3*sin(45°)/sqrt(6) A1 := 1/2*3*sqrt(3)*sin(30°) A2 := 1/2*3*sqrt(6)*sin(75°) A := A1 + A2

CAS gir \( {s = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) så \( {B = 60^\circ}\text{,} \) og arealet \( {\dfrac{3}{4}(2\sqrt{3} + 3)}\text{,} \) som er det samme som \( {\dfrac{9 + 6\sqrt{3}}{4}}\text{.} \)

Diagonalen \( AC \) deler firkanten i trekantene \( ABC \) og \( ACD\text{.} \) I begge kjenner vi alle sidene, så vi finner en vinkel med cosinussetningen og arealet med arealsetningen.

1. Finn vinkel B med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at i trekant \( ABC \) står \( \textcolor{green}{AC} \) mot vinkel \( B\text{,} \) mellom \( \textcolor{blue}{AB} \) og \( \textcolor{red}{BC}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{AC}^2 &= \textcolor{blue}{AB}^2 + \textcolor{red}{BC}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{AB} \cdot \textcolor{red}{BC} \cdot \cos B \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{AB} &= \textcolor{blue}{8{,}0} & \textcolor{red}{BC} &= \textcolor{red}{10{,}0} \\ \textcolor{green}{AC} &= \textcolor{green}{16{,}4} \end{aligned} \]

Vi løser for \( \cos B\text{,} \) som i videoen Oppgave 12B + C (Cosinussetningen + Arealsetningen): \[ \begin{aligned} \cos B &= \dfrac{\textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{10}^2 - \textcolor{green}{16{,}4}^2}{2 \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{10}} \\ \cos B &= -0{,}656 \\ B &\approx 131{,}00^\circ \end{aligned} \]

2. Finn vinkel D på samme måte I trekant \( ACD \) står \( AC \) mot vinkel \( D\text{,} \) mellom \( {AD = 6{,}0} \) og \( {DC = 12{,}0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \cos D &= \dfrac{6^2 + 12^2 - 16{,}4^2}{2 \cdot 6 \cdot 12} \\ \cos D &\approx -0{,}6178 \\ D &\approx 128{,}15^\circ \end{aligned} \]

3. Legg sammen arealene Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( a \) og \( b \) og vinkelen \( \theta \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \theta \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

Vinkel \( B \) ligger mellom sidene \( 8{,}0 \) og \( 10{,}0\text{,} \) og vinkel \( D \) mellom \( 6{,}0 \) og \( 12{,}0\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABC} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 131{,}00^\circ \\ T_{ABC} &\approx 30{,}19 \\ T_{ACD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 \cdot \sin 128{,}15^\circ \\ T_{ACD} &\approx 28{,}31 \end{aligned} \]

Til sammen: \[ T \approx 30{,}19 + 28{,}31 \approx 58{,}5 \]

1. Regn ut i CAS Vi løser cosinussetningen for vinklene med \( \texttt{arccosd}\text{,} \) som gir vinkelen i grader, og legger sammen arealene med arealsetningen:

Skriv inn i GeoGebra: B := arccosd((8^2 + 10^2 - 16.4^2)/(2*8*10)) D := arccosd((6^2 + 12^2 - 16.4^2)/(2*6*12)) 1/2*8*10*sin(B) + 1/2*6*12*sin(D)

CAS gir \( {B \approx 130{,}9955^\circ}\text{,} \) \( {D \approx 128{,}154^\circ} \) og arealet \( {\approx 58{,}4991}\text{,} \) altså omtrent \( 58{,}5\text{.} \)

Diagonalen \( BD \) deler firkanten i trekantene \( ABD \) og \( BCD\text{.} \) I begge kjenner vi én side og to vinkler, så vi finner en side til med sinussetningen og arealet med arealsetningen.

1. Finn de manglende vinklene Vinkelsummen i en trekant er \( 180^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle ADB &= 180^\circ - 62{,}5^\circ - 45{,}5^\circ \\ \angle ADB &= 72{,}0^\circ \\ \angle BDC &= 180^\circ - 38{,}3^\circ - 85{,}5^\circ \\ \angle BDC &= 56{,}2^\circ \end{aligned} \]

2. Finn AD og BC med sinussetningen Sinussetningen forteller oss at en side delt på sinus til vinkelen den står mot, er det samme for alle sidene i en trekant: \[ \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\sin \textcolor{red}{A}} = \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\sin \textcolor{blue}{B}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

I trekant \( ABD \) står \( \textcolor{red}{AD} \) mot \( {\textcolor{red}{\angle ABD} = \textcolor{red}{45{,}5^\circ}}\text{,} \) og \( {\textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{8{,}0}} \) står mot \( {\textcolor{blue}{\angle ADB} = \textcolor{blue}{72{,}0^\circ}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{AD} = \dfrac{\textcolor{blue}{8{,}0} \cdot \sin \textcolor{red}{45{,}5^\circ}}{\sin \textcolor{blue}{72{,}0^\circ}} \approx 5{,}9996 \]

I trekant \( BCD \) står \( BC \) mot \( {\angle BDC = 56{,}2^\circ}\text{,} \) og \( {DC = 12{,}0} \) står mot \( {\angle CBD = 85{,}5^\circ}\text{:} \) \[ BC = \dfrac{12{,}0 \cdot \sin 56{,}2^\circ}{\sin 85{,}5^\circ} \approx 10{,}0026 \]

3. Legg sammen arealene Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( a \) og \( b \) og vinkelen \( \theta \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \theta \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Vi deler firkanten i to trekanter og legger sammen, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Vinkel \( A \) ligger mellom \( AB \) og \( AD\text{,} \) og vinkel \( C \) mellom \( DC \) og \( BC\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 8{,}0 \cdot 5{,}9996 \cdot \sin 62{,}5^\circ \\ T_{ABD} &\approx 21{,}29 \\ T_{BCD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 12{,}0 \cdot 10{,}0026 \cdot \sin 38{,}3^\circ \\ T_{BCD} &\approx 37{,}20 \end{aligned} \]

Til sammen: \[ T \approx 21{,}29 + 37{,}20 \approx 58{,}5 \]

Merk – Avrundede vinkler: Vinklene er gitt med én desimal, så trekantene passer ikke helt sammen: \( AD \) og \( BC \) blir ikke helt \( 6{,}0 \) og \( 10{,}0\text{,} \) og de to trekantene gir litt ulik lengde for diagonalen \( BD \) (\( 7{,}461 \) og \( 7{,}460 \)). Arealet blir likevel \( 58{,}5 \) med én desimal, det samme som gruppen til Isabel får.

1. Regn ut i CAS Vinkelsummen gir \( {\angle ADB = 72^\circ} \) og \( {\angle BDC = 56{,}2^\circ}\text{.} \) Vi regner ut \( AD \) og \( BC \) med sinussetningen og legger sammen arealene med arealsetningen, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: AD := 8*sin(45.5°)/sin(72°) BC := 12*sin(56.2°)/sin(85.5°) 1/2*8*AD*sin(62.5°) + 1/2*12*BC*sin(38.3°)

CAS gir \( {AD \approx 5{,}9996}\text{,} \) \( {BC \approx 10{,}0026} \) og arealet \( {\approx 58{,}4836}\text{,} \) altså omtrent \( 58{,}5\text{.} \)