Eksamensoppgaver etter tema

Formen \( {a \cdot x^b} \) er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra med punktene fra tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Kjør potensregresjon Vi lager en liste med punktene fra tabellen, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og bruker potensregresjon med RegPot. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, på samme måte som regresjonen i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1000, 100), (500, 81.4), (200, 60.1), (80, 41.5), (40, 29)} K(x) = RegPot(l1)

2. Les av modellen Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ K(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{7{,}562}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}3804}}\text{.} \) Grafen til \( K \) går nær alle de fem punktene.

I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Begge modellene starter på 1000 hPa ved havet, og lufttrykket ganges med en fast vekstfaktor for hver kilometer. Vi finner vekstfaktoren til Ari fra prosenten, og den til Lisa fra halveringen.

1. Finn modellen til Ari Når lufttrykket minker med 12 % per km, er vekstfaktoren, som i videoen Vekstfaktor: \[ \textcolor{blue}{v} = 1 - 0{,}12 = \textcolor{blue}{0{,}88} \]

Lufttrykket ved havet, 1000 hPa, ganges med vekstfaktoren én gang per kilometer. Med \( x \) km over havet er lufttrykket i hPa: \[ A(x) = 1000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}88}^x \]

2. Finn modellen til Lisa Lisa vil ha samme form, \( {L(x) = 1000 \cdot \textcolor{red}{w}^x}\text{.} \) Etter 5,5 km er lufttrykket halvert, fra 1000 til 500 hPa: \[ 1000 \cdot \textcolor{red}{w}^{5{,}5} = 500 \]

Vi deler på 1000 og opphøyer begge sider i \( \dfrac{1}{5{,}5}\text{,} \) slik at \( \textcolor{red}{w} \) står alene, som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{w}^{5{,}5} &= 0{,}5 \\ \textcolor{red}{w} &= 0{,}5^{1/5{,}5} \approx \textcolor{red}{0{,}8816} \end{aligned} \]

Det gir modellen: \[ L(x) \approx 1000 \cdot \textcolor{red}{0{,}8816}^x \]Den er det samme som \( {1000 \cdot 0{,}5^{x/5{,}5}}\text{,} \) der \( \dfrac{x}{5{,}5} \) er antall halveringer.

1. Lag modellene med regresjon Modellen til Ari går gjennom \( (0, 1000) \) og \( (1, 880)\text{,} \) fordi 12 % av 1000 er 120. Modellen til Lisa går gjennom \( (0, 1000) \) og \( (5{,}5,\ 500)\text{.} \) Vi bruker RegEksp, som gir en modell på formen \( {a \cdot b^x} \) gjennom punktene:

Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(0, 1000), (1, 880)} A(x) = RegEksp(l2) l3 = {(0, 1000), (5.5, 500)} L(x) = RegEksp(l3)

GeoGebra gir \( {A(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x} \) og \( {L(x) \approx 1000 \cdot 0{,}8816^x}\text{.} \)

Vi bruker modellene fra a) og b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Egg blir hardkokte så lenge vannet koker ved minst 85 °C. Vi finner lufttrykket der kokepunktet er 85 °C med modellen \( K\text{,} \) og så hvor høyt over havet lufttrykket er så lavt, med modellene til Ari og Lisa.

1. Finn lufttrykket ved 85 grader I a) fant vi modellen: \[ K(x) \approx 7{,}562 \cdot x^{0{,}3804} \]

Vi setter \( {K(x) = 85} \) og deler på 7,562: \[ \begin{aligned} 7{,}562 \cdot x^{0{,}3804} &= 85 \\ x^{0{,}3804} &= \dfrac{85}{7{,}562} \end{aligned} \]

Vi opphøyer begge sider i \( \dfrac{1}{0{,}3804}\text{,} \) slik at \( x \) står alene, som i videoen Potenser og røtter: \[ x = \left(\dfrac{85}{7{,}562}\right)^{1/0{,}3804} \approx 578{,}5 \]Ved omtrent 578,5 hPa koker vannet ved 85 °C. Er lufttrykket lavere, koker vannet ved under 85 °C.

2. Finn høyden med modellene I b) fant vi modellene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A(x)} &= 1000 \cdot 0{,}88^x \\ \textcolor{red}{L(x)} &\approx 1000 \cdot 0{,}8816^x \end{aligned} \]

Vi prøver oss fram med kalkulatoren og ser når lufttrykket blir 578,5 hPa: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \textcolor{blue}{A(x)} & \textcolor{red}{L(x)} \\ \hline 4{,}2 & \textcolor{blue}{584{,}6} & \textcolor{red}{589{,}0} \\ 4{,}3 & \textcolor{blue}{577{,}1} & \textcolor{red}{581{,}7} \\ 4{,}4 & \textcolor{blue}{569{,}8} & \textcolor{red}{574{,}4} \end{array} \]

Med modellen til Ari er lufttrykket 578,5 hPa mellom 4,2 og 4,3 km over havet, nærmest 4,3. Med modellen til Lisa er det mellom 4,3 og 4,4 km, nærmest 4,3. Begge modellene gir altså omtrent 4,3 km.

1. Løs likningene i CAS I a) lagret vi modellen som \( K\text{.} \) Vi skriver modellene til Ari og Lisa inn i Algebrafeltet og løser likningene med NLøs i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 1000*0.88^x L(x) = 1000*0.5^(x/5.5) NLøs(K(x) = 85, x = 500) NLøs(A(x) = 578.3375, x = 4) NLøs(L(x) = 578.3375, x = 4)

CAS gir lufttrykket 578,3375 hPa, og høyden 4,2837 km med modellen til Ari og 4,3451 km med modellen til Lisa. Begge er omtrent 4,3 km.