Eksamensoppgaver etter tema

Når to størrelser er omvendt proporsjonale, er produktet av dem det samme hele tiden. Vi finner produktet der vi kjenner begge tallene, og fyller ut resten med det.

1. Finn produktet At antall personer og pris per person er omvendt proporsjonale, betyr at: \[ \textcolor{blue}{\text{antall}} \cdot \textcolor{red}{\text{pris}} = k \]der \( k \) er et fast tall.

Med \( 10 \) personer kjenner vi også prisen: \[ k = \textcolor{blue}{10} \cdot \textcolor{red}{600} = 6000 \]

2. Fyll ut tabellen Med \( \textcolor{blue}{20} \) personer må prisen per person være: \[ \textcolor{red}{\text{pris}} = \dfrac{6000}{\textcolor{blue}{20}} = \textcolor{red}{300} \]Dobbelt så mange personer gir halv pris.

Med en pris på \( \textcolor{red}{100} \) kroner per person må antallet være: \[ \textcolor{blue}{\text{antall}} = \dfrac{6000}{\textcolor{red}{100}} = \textcolor{blue}{60} \]

Før vi starter, må vi vite hva proporsjonal og omvendt proporsjonal betyr. Så skriver vi formelen om og ser om den har den formen påstanden sier.

1. Skriv opp hva det betyr To størrelser \( x \) og \( y \) er proporsjonale når forholdet mellom dem er fast, og omvendt proporsjonale når produktet er fast. Med et fast tall \( k \) er: \[ \begin{aligned} \text{Proporsjonale: } & y = k \cdot x \\ \text{Omvendt proporsjonale: } & x \cdot y = k \end{aligned} \]

2. Avgjør påstand 1 Når temperaturen \( T \) er konstant, er \( {\textcolor{blue}{\dfrac{1}{287 \cdot T}}} \) et fast tall. Vi skriver formelen som dette tallet ganget med \( p\text{:} \) \[ L = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{287 \cdot T}} \cdot p \]Det er formen \( {y = k \cdot x} \) med \( {k = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{287 \cdot T}}}\text{,} \) så påstand 1 er sann.

3. Avgjør påstand 2 Vi ganger lufttettheten med temperaturen, og \( \textcolor{darkorange}{T} \) forkortes bort: \[ L \cdot T = \dfrac{p}{287 \cdot \textcolor{darkorange}{T}} \cdot \textcolor{darkorange}{T} = \dfrac{\textcolor{red}{p}}{287} \]Produktet er fast bare hvis trykket \( \textcolor{red}{p} \) er fast, og det sier ikke påstanden noe om.

Dobler vi både trykket og temperaturen, blir lufttettheten den samme: \[ \dfrac{\textcolor{red}{2p}}{287 \cdot 2T} = \dfrac{p}{287 \cdot T} \]Var de omvendt proporsjonale, skulle dobbel temperatur gitt halv lufttetthet. Dette kalles et moteksempel, og påstand 2 er derfor usann.

Merk – Tolkning: Holder vi trykket konstant, er \( {L \cdot T = \dfrac{p}{287}} \) et fast tall, og da er påstanden sann. Påstand 1 har med betingelsen om konstant temperatur, men påstand 2 har ingen betingelse, så vi leser den som en påstand som skal gjelde generelt. Eksamensveiledningen sier at sensorene skal være åpne for rimelige tolkninger.

Vi ser på hvordan hver størrelse endrer seg: med en fast prosent, som en fast pris delt på flere, i tre faser eller i trinn. Så finner vi grafen som har den formen.

1. Finn grafen til situasjon A Når bestanden avtar med en fast prosent, ganges den hvert år med den samme vekstfaktoren \( \textcolor{red}{V}\text{,} \) som er mindre enn 1, som i videoen Vekstfaktor. Med bestanden \( \textcolor{blue}{B} \) når vi begynner å telle, er bestanden etter \( x \) år: \[ y = \textcolor{blue}{B} \cdot \textcolor{red}{V}^x, \quad 0 < \textcolor{red}{V} < 1 \]Grafen starter i \( \textcolor{blue}{B} \) på y-aksen og synker først raskt, så saktere, fordi prosenten tas av et stadig mindre tall. Den når aldri 0. Det er graf 4. Graf 1 synker like mye hvert år, altså et fast antall dyr, ikke en fast prosent.

2. Finn grafen til situasjon B Med \( x \) personer er prisen per person den faste prisen \( \textcolor{blue}{k} \) delt på \( x\text{:} \) \[ y = \dfrac{\textcolor{blue}{k}}{x} \]Antall personer ganger pris per person er alltid \( \textcolor{blue}{k}\text{,} \) så størrelsene er omvendt proporsjonale: dobbelt så mange personer gir halv pris. Prisen er høy når få deler, og kommer nærmere og nærmere 0 når mange blir med. Grafen har ingen verdi for \( {x = 0}\text{,} \) og det er graf 8.

3. Finn grafen til situasjon C Grafen må ha tre deler: først eksponentiell vekst, som starter sakte og blir brattere, så en rett, stigende del, og til slutt en vannrett del der bestanden har stabilisert seg. Det er graf 2. Graf 7 har de to første delene, men flater aldri ut.

4. Finn grafen til situasjon D Prisen er den samme for alle vekter innenfor hvert intervall, og den hopper opp ved 5 kg og 10 kg. Grafen er derfor tre vannrette streker som trappetrinn, og det er graf 3. Trinnene passer med tabellen: de to første er like lange (5 kg hver), det siste er tre ganger så langt (15 kg), og høydene er 73, 135 og 240 kroner.

To størrelser er omvendt proporsjonale når produktet av dem er det samme hele tiden. Vi velger en tur med fast lengde, der fart ganger tid alltid er lik strekningen.

1. Beskriv situasjonen Vi skal kjøre en tur på \( 120\,\text{km}\text{.} \) Farten er \( \textcolor{blue}{v} \) km/h, og tiden turen tar, er \( \textcolor{red}{t} \) timer. Jo fortere vi kjører, desto kortere tid bruker vi.

2. Forklar hvorfor de er omvendt proporsjonale To størrelser \( x \) og \( y \) er omvendt proporsjonale når produktet av dem er et fast tall \( k\text{:} \) \[ x \cdot y = k \]

Strekningen er fart ganger tid, og den er \( 120\,\text{km} \) uansett hvor fort vi kjører: \[ \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{t} = 120 \]Produktet er det samme hele tiden, så farten og tiden er omvendt proporsjonale. Dobler vi farten, blir tiden halvparten så lang.

3. Regn ut tre punkter Vi deler med \( \textcolor{blue}{v} \) på begge sider og får \( {\textcolor{red}{t} = \dfrac{120}{\textcolor{blue}{v}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} = 40 \text{ gir } \textcolor{red}{t} &= \dfrac{120}{40} = 3 \\ \textcolor{blue}{v} = 60 \text{ gir } \textcolor{red}{t} &= \dfrac{120}{60} = 2 \\ \textcolor{blue}{v} = 120 \text{ gir } \textcolor{red}{t} &= \dfrac{120}{120} = 1 \end{aligned} \]

4. Tegn grafen Vi setter av punktene \( (40, 3)\text{,} \) \( (60, 2) \) og \( (120, 1) \) og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Kurven når aldri førsteaksen, fordi tiden aldri blir \( 0\text{.} \)

Andre situasjoner er også riktige, for eksempel antall personer som deler en regning på 600 kroner likt, og beløpet hver av dem betaler.

Før vi starter, må vi vite hva proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser er. Så ser vi i hver situasjon om forholdet eller produktet mellom størrelsene er fast.

1. Skriv opp hva det betyr To størrelser \( x \) og \( y \) er proporsjonale når forholdet mellom dem er fast, og omvendt proporsjonale når produktet er fast. Med et fast tall \( \textcolor{blue}{k} \) er: \[ \begin{aligned} \text{Proporsjonale: } & y = \textcolor{blue}{k} \cdot x \\ \text{Omvendt proporsjonale: } & x \cdot y = \textcolor{blue}{k} \end{aligned} \]Dobler vi \( x\text{,} \) blir \( y \) dobbelt så stor når de er proporsjonale, og halvparten så stor når de er omvendt proporsjonale.

2. Avgjør situasjon A Leien er \( \textcolor{blue}{2200} \) kroner uansett hvor mange som betaler. Antallet personer ganger prisen per person er derfor alltid det samme: \[ \text{antall} \cdot \text{pris} = \textcolor{blue}{2200} \]Dobbelt så mange personer gir halv pris, så de er omvendt proporsjonale størrelser.

3. Avgjør situasjon B Vi kaller prisen for én flaske \( p\text{.} \) Tre flasker koster like mye som to: \[ \begin{aligned} 1 \text{ flaske: } & p \\ 2 \text{ flasker: } & 2p \\ 3 \text{ flasker: } & \textcolor{red}{2p} \end{aligned} \]Prisen per flaske er ikke fast, så de er ikke proporsjonale. Flere flasker gir heller aldri lavere pris, så de er ikke omvendt proporsjonale. De er verken proporsjonale eller omvendt proporsjonale størrelser.

4. Avgjør situasjon C Hver porsjon trenger like mye mel. Med \( \textcolor{blue}{k} \) mel per porsjon er: \[ \text{mel} = \textcolor{blue}{k} \cdot \text{porsjoner} \]Dobbelt så mange porsjoner krever dobbelt så mye mel, så de er proporsjonale størrelser.

Vi finner først hvor mye pulver pasienten skal ha i hver dose. Så finner vi hvor mange milliliter medisin som inneholder så mye pulver.

1. Finn pulveret i hver dose Pasienten skal ha \( \textcolor{blue}{15}\,\text{mg} \) for hvert kilogram, og veier \( \textcolor{blue}{75}\,\text{kg}\text{.} \) Hvert døgn blir det: \[ \textcolor{blue}{15}\,\text{mg/kg} \cdot \textcolor{blue}{75}\,\text{kg} = 1125\,\text{mg} \]

Fordelt på tre like store doser: \[ \dfrac{1125\,\text{mg}}{3} = \textcolor{red}{375\,\text{mg}} \]

2. Finn antall milliliter Hver milliliter inneholder \( \textcolor{green}{6}\,\text{mg} \) pulver, så vi deler med \( \textcolor{green}{6}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{375\,\text{mg}}}{\textcolor{green}{6}\,\text{mg/mL}} = 62{,}5\,\text{mL} \]

Før vi starter, må vi vite hva proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser er. Så leser vi av punkter på grafene og ser om forholdet eller produktet er fast.

1. Skriv opp hva det betyr To størrelser \( x \) og \( y \) er proporsjonale når forholdet mellom dem er fast, og omvendt proporsjonale når produktet er fast. Med et fast tall \( \textcolor{blue}{k} \) er: \[ \begin{aligned} \text{Proporsjonale: } & y = \textcolor{blue}{k} \cdot x \\ \text{Omvendt proporsjonale: } & x \cdot y = \textcolor{blue}{k} \end{aligned} \]Grafen til proporsjonale størrelser er derfor en rett linje gjennom origo.

2. Finn de proporsjonale Grafen til \( f \) er en rett linje gjennom origo. I punktene \( (4, 500) \) og \( (8, 1000) \) er forholdet det samme: \[ \dfrac{500}{4} = \dfrac{1000}{8} = \textcolor{blue}{125} \]Altså er \( {f(x) = \textcolor{blue}{125} \cdot x}\text{,} \) og \( f \) viser proporsjonale størrelser.

Grafen til \( g \) er også en rett linje, men den skjærer y-aksen i \( 300\text{.} \) For proporsjonale størrelser er \( {y = \textcolor{blue}{k} \cdot 0 = 0} \) når \( {x = 0}\text{,} \) så \( g \) viser ikke proporsjonale størrelser. Grafene til \( p \) og \( q \) er ikke rette linjer.

3. Finn de omvendt proporsjonale Grafen til \( p \) går gjennom \( (1, 1000)\text{,} \) \( (2, 500)\text{,} \) \( (4, 250) \) og \( (10, 100)\text{.} \) Produktet er det samme i alle fire: \[ \begin{aligned} 1 \cdot 1000 &= 2 \cdot 500 = \textcolor{blue}{1000} \\ 4 \cdot 250 &= 10 \cdot 100 = \textcolor{blue}{1000} \end{aligned} \]Altså viser \( p \) omvendt proporsjonale størrelser: dobbelt så stor \( x \) gir halvparten så stor \( y\text{.} \)

Grafen til \( q \) skjærer y-aksen i \( (0, 1000)\text{.} \) Der er produktet \( {0 \cdot 1000 = 0}\text{,} \) mens det for andre punkter på grafen ikke er \( 0\text{.} \) Produktet er ikke fast, så \( q \) viser ikke omvendt proporsjonale størrelser. \( f \) og \( g \) stiger, så de kan heller ikke være det.