Eksamensoppgaver etter tema

Lineær nedgang betyr at bestanden minker med like mange par hvert år. Vi finner konstantleddet og stigningstallet fra de to målingene.

1. Finn konstantleddet og stigningstallet En lineær modell har formen: \[ f(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{blue}{b} \) verdien når \( {x = 0}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{a} \) er hvor mye \( f \) endrer seg når \( x \) øker med \( 1\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp fra to punkter.

I 2013 er \( {x = 0}\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{9000}}\text{.} \) Stigningstallet er endringen i bestanden delt på antall år fra 2013 til 2022: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} &= \dfrac{2500 - 9000}{9 - 0} = \dfrac{-6500}{9} \\ \textcolor{red}{a} &\approx \textcolor{red}{-722{,}2} \end{aligned} \]

2. Forklar hva modellen forteller Det gir modellen: \[ f(x) \approx \textcolor{red}{-722{,}2}x + \textcolor{blue}{9000} \]Ifølge modellen minker bestanden med omtrent \( 722 \) par hvert år.

Fortsetter nedgangen slik, er bestanden borte når \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{-722{,}2}x + \textcolor{blue}{9000} &= 0 \\ x &= \dfrac{\textcolor{blue}{9000}}{722{,}2} \approx 12{,}5 \end{aligned} \]Modellen sier at vipa er borte etter omtrent \( 12{,}5 \) år, altså mellom 2025 og 2026. Etter det gir den et negativt antall par, så den kan bare brukes fram til da.

1. Lag modellen med regresjon Vi lager en liste med de to punktene og bruker lineær regresjon, RegLin, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 9000), (9, 2500)} f(x) = RegLin(l1)

GeoGebra gir \( {y \approx -722{,}2222x + 9000}\text{,} \) det samme som med kalkulator, så bestanden minker med omtrent \( 722 \) par per år.

Eksponentiell nedgang betyr at bestanden minker med den samme prosenten hvert år. Vi finner vekstfaktoren fra de to målingene.

1. Sett opp likningen En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. I 2013 er \( {x = 0}\text{,} \) så startverdien er \( \textcolor{blue}{9000}\text{:} \) \[ g(x) = \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{k}^x \]

I 2022 er \( {x = 9}\text{,} \) og bestanden er \( 2500 \) par. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{k}^9 = 2500 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{9000} \) på begge sider og tar niende rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{9}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^9 &= \dfrac{2500}{9000} \\ \textcolor{red}{k} &= \left(\dfrac{2500}{9000}\right)^{1/9} \approx \textcolor{red}{0{,}8673} \end{aligned} \]

3. Forklar hva modellen forteller Det gir modellen: \[ g(x) \approx \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{0{,}8673}^x \]Siden \( {\textcolor{red}{0{,}8673} = 1 - 0{,}1327}\text{,} \) minker bestanden med omtrent \( 13{,}3\,\% \) hvert år.

Fordi bestanden minker med en fast prosent, blir det færre par som forsvinner for hvert år. Ifølge modellen nærmer bestanden seg \( 0\text{,} \) men blir aldri helt borte.

1. Lag modellen med regresjon Vi bruker eksponentiell regresjon på de to punktene, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp en modell på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x}\text{,} \) der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 9000), (9, 2500)} g(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {g(x) \approx \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{0{,}8673}^x}\text{,} \) det samme som med kalkulator, så bestanden minker med omtrent \( 13{,}3\,\% \) per år.

Vi sammenligner punktene på de to grafene og ser hvor grafen til \( q \) flater ut. Så finner vi \( p \) fra de to punktene på grafen, og \( q \) fra \( p\text{.} \)

1. Les av antakelsene Punktene på \( q \) ligger \( \textcolor{green}{2000} \) over punktene på \( p\text{:} \) \[ \begin{aligned} 7000 + \textcolor{green}{2000} &= 9000 \\ 500 + \textcolor{green}{2000} &= 2500 \end{aligned} \]Grafen til \( q \) er grafen til \( p \) flyttet \( \textcolor{green}{2000} \) opp, så \( {q(x) = p(x) + \textcolor{green}{2000}}\text{.} \)

Egil antar altså at bestanden stabiliserer seg på \( \textcolor{green}{2000} \) par, der den stiplede linja ligger. Delen av bestanden over \( 2000 \) par minker med en fast prosent hvert år, slik \( p \) gjør, og modellen passer med \( 9000 \) par i 2013 og \( 2500 \) par i 2022.

2. Finn uttrykket for p Modellen \( p \) er eksponentiell og starter i \( 7000\text{,} \) så den er startverdien ganget med en vekstfaktor \( \textcolor{red}{c} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor: \[ p(x) = \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{c}^x \]

Punktet \( (9, 500) \) gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{c}^9 = 500 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{7000} \) på begge sider og tar niende rot med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{c}^9 &= \dfrac{500}{7000} \\ \textcolor{red}{c} &= \left(\dfrac{500}{7000}\right)^{1/9} \approx \textcolor{red}{0{,}7459} \end{aligned} \]

3. Skriv opp p og q Det gir: \[ \begin{aligned} p(x) &\approx \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7459}^x \\ q(x) &\approx \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7459}^x + \textcolor{green}{2000} \end{aligned} \]Siden \( {1 - \textcolor{red}{0{,}7459} = 0{,}2541}\text{,} \) minker delen over \( 2000 \) par med omtrent \( 25{,}4\,\% \) hvert år.

1. Lag p og q med regresjon Som i kalkulatorruten er \( {q(x) = p(x) + \textcolor{green}{2000}}\text{.} \) Vi bruker eksponentiell regresjon på punktene til \( p\text{,} \) som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og legger til \( \textcolor{green}{2000}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(0, 7000), (9, 500)} p(x) = RegEksp(l2) q(x) = p(x) + 2000

GeoGebra gir det samme som med kalkulator: \[ \begin{aligned} p(x) &\approx 7000 \cdot 0{,}7459^x \\ q(x) &\approx 7000 \cdot 0{,}7459^x + 2000 \end{aligned} \]

Tabellen har seks punkter, og modellen har formen \( {a \cdot x^b}\text{.} \) Vi finner \( a \) og \( b \) med potensregresjon i GeoGebra, som også tegner grafen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) til d) med modellen i svaret, med kalkulator. Du kan også se at \( b \) må være nær 3: når lengden dobles fra 50 til 100 cm, blir vekten \( {\dfrac{9610}{1190} \approx 8{,}1} \) ganger så stor, og \( {2^3 = 8}\text{.} \)

1. Gjør potensregresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker RegPot. Den finner tallene \( a \) og \( b \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(50, 1190), (70, 3320), (80, 5070), (100, 9610), (120, 16080), (130, 21590)} F(x) = RegPot(l1)

2. Les av a og b Med seks desimaler gir GeoGebra: \[ F(x) \approx \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot x^{\textcolor{red}{2{,}999583}} \]Altså er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}009657}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{2{,}9996}}\text{.} \) Grafen til \( F \) er kurven i skjermbildet.

I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {a \approx 0{,}01} \) og \( {b \approx 3}\text{.} \) Regner vi videre med dem, blir stigningstallet i c) omtrent 218 i stedet for 210. Vis derfor flere desimaler i GeoGebra.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Modellen gir vekten i gram, så vi gjør om 11,5 kg til gram og løser likningen \( {F(x) = 11\,500}\text{.} \)

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot x^{\textcolor{red}{2{,}9996}} \]

Fisken veier \( {11{,}5\,\text{kg} = 11\,500\,\text{g}}\text{,} \) så vi setter \( {F(x) = 11\,500}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot x^{\textcolor{red}{2{,}9996}} = 11\,500 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{0{,}009657} \) på begge sider: \[ x^{\textcolor{red}{2{,}9996}} = \dfrac{11\,500}{\textcolor{blue}{0{,}009657}} \approx 1\,190\,846 \]

For å få \( x \) alene opphøyer vi begge sider i \( \dfrac{1}{\textcolor{red}{2{,}9996}}\text{.} \) Å opphøye i 1 delt på n er det samme som å ta n-te roten, som i videoen Potenser og røtter. Med kalkulatoren får vi: \[ x \approx 1\,190\,846^{1/\textcolor{red}{2{,}9996}} \approx 106{,}06 \]Siden \( {\textcolor{red}{b} \approx 3}\text{,} \) er dette nesten tredjeroten: \( {\sqrt[3]{1\,190\,846} \approx 106{,}0}\text{.} \)

1. Finn skjæringspunktet Med \( F \) fra a) i GeoGebra tegner vi linja \( {y = 11\,500} \) og finner skjæringspunktet med grafen til \( F\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: h: y = 11500 S = Skjæring(F, h)

Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (106{,}06,\ 11\,500)}\text{,} \) så fisken er omtrent 106 cm lang.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner ut vekten for en fisk på 75 cm og en på 95 cm med modellen. Stigningstallet er endringen i vekt delt på endringen i lengde.

1. Regn ut vekten for begge lengdene I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx 0{,}009657 \cdot x^{2{,}9996} \]

Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{F(75)} &\approx 0{,}009657 \cdot 75^{2{,}9996} \\ \textcolor{blue}{F(75)} &\approx \textcolor{blue}{4067{,}0} \\ \textcolor{red}{F(95)} &\approx 0{,}009657 \cdot 95^{2{,}9996} \\ \textcolor{red}{F(95)} &\approx \textcolor{red}{8264{,}6} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{F(95)} - \textcolor{blue}{F(75)}}{95 - 75} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8264{,}6} - \textcolor{blue}{4067{,}0}}{20} \\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{4197{,}6}{20} \approx 209{,}9 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Vekten er i gram og lengden i centimeter, så stigningstallet er i gram per centimeter. Når en fisk er mellom 75 og 95 cm lang, øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram for hver centimeter fisken blir lengre.

1. Regn ut stigningstallet I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi skriver stigningstallet inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: s = (F(95) - F(75)) / (95 - 75)

GeoGebra gir \( {s \approx 209{,}8548}\text{.} \) Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram per centimeter.

Vi bruker \( b \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Når lengden øker med \( 20\,\%\text{,} \) ganges den med 1,2. Vi ser hva det gjør med vekten i modellen.

1. Gang lengden med 1,2 En økning på \( 20\,\% \) gir vekstfaktoren \( {1 + 0{,}20 = \textcolor{red}{1{,}2}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Den nye lengden er \( \textcolor{red}{1{,}2}x\text{.} \)

Når et produkt opphøyes i en potens, opphøyes hver faktor, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ (p \cdot q)^n = p^n \cdot q^n \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{red}{1{,}2}x) &= a \cdot (\textcolor{red}{1{,}2}x)^b \\ F(\textcolor{red}{1{,}2}x) &= \textcolor{red}{1{,}2}^b \cdot a \cdot x^b = \textcolor{red}{1{,}2}^b \cdot F(x) \end{aligned} \]Vekten ganges altså med \( \textcolor{red}{1{,}2}^b\text{,} \) uansett hvor lang fisken er.

2. Finn vekstfaktoren for vekten Med \( {b \approx 2{,}9996} \) fra a) får vi: \[ \textcolor{red}{1{,}2}^{2{,}9996} \approx 1{,}7279 = 1 + 0{,}7279 \]Vekten øker altså med omtrent \( 72{,}8\,\%\text{.} \)

Vi sammenligner modellen med tallene i tabellen. Med kalkulator regner vi ut \( K(x) \) for månedene i tabellen, og med GeoGebra bruker vi eksponentiell regresjon på punktene.

1. Finn x for månedene i tabellen Desember 2022 er \( {x = 0}\text{,} \) og desember 2023 er \( {x = 12}\text{.} \) Februar 2024 er derfor \( {x = 12 + 2 = 14}\text{.} \) Slik får vi: \[ \begin{array}{l|r} \text{Måned} & x \\ \hline \text{Januar 2023} & 1 \\ \text{Mai 2023} & 5 \\ \text{Oktober 2023} & 10 \\ \text{Februar 2024} & 14 \\ \text{August 2024} & 20 \\ \text{Oktober 2024} & 22 \end{array} \]

2. Regn ut modellverdiene For mai 2023 er \( {x = 5}\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \textcolor{red}{K(5)} = 27{,}8 \cdot 1{,}2^5 \approx \textcolor{red}{69{,}2} \]

Slik regner vi ut \( \textcolor{red}{K(x)} \) for alle seks månedene, avrundet til hele tilfeller, og setter verdiene ved siden av de \( \textcolor{blue}{\text{registrerte}} \) tallene: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \textcolor{blue}{\text{Registrert}} & \textcolor{red}{K(x)} \\ \hline 1 & \textcolor{blue}{29} & \textcolor{red}{33} \\ 5 & \textcolor{blue}{93} & \textcolor{red}{69} \\ 10 & \textcolor{blue}{164} & \textcolor{red}{172} \\ 14 & \textcolor{blue}{284} & \textcolor{red}{357} \\ 20 & \textcolor{blue}{1035} & \textcolor{red}{1066} \\ 22 & \textcolor{blue}{1657} & \textcolor{red}{1535} \end{array} \]

3. Vurder modellen De \( \textcolor{blue}{\text{registrerte}} \) tallene vokser fra \( \textcolor{blue}{29} \) til \( \textcolor{blue}{1657}\text{,} \) til mer enn \( 50 \) ganger så mange. \( \textcolor{red}{\text{Modellverdiene}} \) følger den veksten hele veien, og ingen av dem bommer med mer enn omtrent en firedel av det registrerte tallet. Derfor er \( K \) en god modell for perioden.

1. Bruk eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner den modellen på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x} \) som går så nær punktene som mulig, der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren. Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 29), (5, 93), (10, 164), (14, 284), (20, 1035), (22, 1657)} f(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {f(x) \approx \textcolor{blue}{27{,}809} \cdot \textcolor{red}{1{,}1987}^x}\text{.} \) Avrundet til én desimal er det \( {\textcolor{blue}{27{,}8} \cdot \textcolor{red}{1{,}2}^x = K(x)}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Derfor er \( K \) en god modell.

Tallet \( 1{,}2 \) er vekstfaktoren i modellen. Vi gjør den om til en prosent.

1. Tolk vekstfaktoren For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{\textcolor{red}{p}}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er: \[ 1{,}2 = 1 + 0{,}20 = 1 + \dfrac{\textcolor{red}{20}}{100} \]Hver måned ganges antallet med \( 1{,}2\text{.} \) Ifølge modellen øker antall registrerte tilfeller altså med \( \textcolor{red}{20}\,\% \) per måned.

Linja går gjennom to punkter på grafen til \( K\text{.} \) Vi regner ut punktene med modellen og finner stigningstallet mellom dem.

1. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er punktene \( (\textcolor{blue}{4}, \textcolor{red}{K(4)}) \) og \( (\textcolor{blue}{21}, \textcolor{red}{K(21)})\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} K(\textcolor{blue}{4}) &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{4}} \approx \textcolor{red}{57{,}65} \\ K(\textcolor{blue}{21}) &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{21}} \approx \textcolor{red}{1278{,}94} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &\approx \dfrac{\textcolor{red}{1278{,}94} - \textcolor{red}{57{,}65}}{\textcolor{blue}{21} - \textcolor{blue}{4}} \\ a &\approx \dfrac{1221{,}29}{17} \approx 71{,}8 \end{aligned} \]

2. Tolk svaret \( {x = 4} \) er april 2023, og \( {x = 21} \) er september 2024. Fra april 2023 til september 2024 økte antall registrerte tilfeller per måned altså i gjennomsnitt med omtrent \( 72 \) for hver måned, ifølge modellen.

Vi finner \( x \) for mai 2025 og setter inn i modellen.

1. Finn x for mai 2025 Desember 2024 er \( 24 \) måneder etter desember 2022, og mai 2025 er \( 5 \) måneder etter det: \[ x = 24 + 5 = \textcolor{blue}{29} \]

2. Sett inn i modellen Modellen ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall måneder, som i videoen Vekstfaktor: \[ K(\textcolor{blue}{29}) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{29}} \approx 5499{,}2 \]

I 2010 er \( {x = 0}\text{.} \) Vi kan regne ut \( P(0)\text{,} \) eller lese startverdien av modellen og av grafen.

1. Regn ut P(0) Den første måten er å regne ut \( P(0)\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 0}\text{.} \) Et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{:} \) \[ a^0 = 1 \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} P(0) &= 3600 \cdot \textcolor{red}{0{,}85^0} + 600 \\ P(0) &= 3600 \cdot \textcolor{red}{1} + 600 = 4200 \end{aligned} \]

2. Les av startverdien Den andre måten er å lese av modellen. Den er et eksponentielt ledd \( {\textcolor{blue}{3600} \cdot \textcolor{red}{0{,}85}^x} \) pluss et fast antall \( \textcolor{green}{600}\text{.} \) Det eksponentielle leddet starter på \( \textcolor{blue}{3600} \) og ganges med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{0{,}85} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. I 2010 har det ikke gått noe år ennå, så antallet er: \[ \textcolor{blue}{3600} + \textcolor{green}{600} = 4200 \]

1. Regn ut og les av grafen Vi skriver inn modellen, regner ut \( P(0) \) og finner punktet der grafen skjærer y-aksen med Skjæring, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) = 3600*0.85^x + 600 s = P(0) A = Skjæring(P, yAkse)

Regningen gir \( {s = 4200}\text{,} \) og grafen skjærer y-aksen i \( {A = (0, 4200)}\text{.} \) GeoGebra skriver selv punktet den fant, inn i kommandoen.

Stigningstallet er endringen i \( P \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( P(4) \) og \( P(14)\text{,} \) og deler forskjellen på de \( 10 \) årene mellom dem.

1. Regn ut de to verdiene Vi setter inn \( {x = 4} \) og \( {x = 14} \) med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{4}) &= 3600 \cdot 0{,}85^{\textcolor{blue}{4}} + 600 \\ &\approx \textcolor{red}{2479{,}22} \\ P(\textcolor{blue}{14}) &= 3600 \cdot 0{,}85^{\textcolor{blue}{14}} + 600 \\ &\approx \textcolor{red}{969{,}97} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet til linja gjennom to punkter er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ a = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]

Med punktene \( (\textcolor{blue}{4}, \textcolor{red}{P(4)}) \) og \( (\textcolor{blue}{14}, \textcolor{red}{P(14)}) \) får vi: \[ a \approx \dfrac{\textcolor{red}{969{,}97} - \textcolor{red}{2479{,}22}}{\textcolor{blue}{14} - \textcolor{blue}{4}} \approx -150{,}9 \]

3. Tolk stigningstallet \( {x = 4} \) er 2014, og \( {x = 14} \) er 2024. Antallet som abonnerte på papirutgaven, gikk altså ned med i gjennomsnitt omtrent \( 151 \) personer per år fra 2014 til 2024.

1. Legg linja gjennom punktene Vi lager de to punktene og legger en rett linje gjennom dem med RegLin, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) = 3600*0.85^x + 600 A = (4, P(4)) B = (14, P(14)) f(x) = RegLin({A, B})

Linja gjennom punktene er: \[ y \approx -150{,}9252x + 3082{,}9232 \]Stigningstallet er altså omtrent \( {-150{,}9}\text{:} \) antallet gikk ned med omtrent \( 151 \) personer per år fra 2014 til 2024.

Begge modellene gir antallet abonnenter år for år. Vi lager en modell for den digitale utgaven og sammenligner de to antallene for hvert år fra 2019.

1. Modeller den digitale utgaven Antallet øker med \( 5{,}5\,\% \) hvert år, så vekstfaktoren er \( {1 + 0{,}055 = \textcolor{red}{1{,}055}}\text{.} \) Etter noen år er antallet startverdien ganget med vekstfaktoren opphøyd i antall år: \[ \text{verdi} = \textcolor{blue}{\text{startverdi}} \cdot \textcolor{red}{V}^{\text{antall år}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Vekstfaktor.

Startverdien er \( \textcolor{blue}{1000} \) i 2019. Med \( x \) år etter 2010 er 2019 \( {x = 9}\text{,} \) og antall år etter 2019 er \( {x - 9}\text{:} \) \[ D(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{1{,}055}^{x - 9} \]

2. Sammenlign år for år Vi regner ut \( P(x) \) og \( D(x) \) for hvert år fra 2019 med kalkulatoren, med én desimal: \[ \begin{array}{r|r|r|r} \text{År} & x & P(x) & D(x) \\ \hline 2019 & 9 & 1433{,}8 & 1000{,}0 \\ 2020 & 10 & 1308{,}7 & 1055{,}0 \\ 2021 & 11 & 1202{,}4 & 1113{,}0 \\ \textcolor{green}{2022} & 12 & 1112{,}1 & \textcolor{green}{1174{,}2} \end{array} \]Til og med 2021 abonnerte flest på papirutgaven. I \( \textcolor{green}{2022} \) abonnerte for første gang flere på den digitale utgaven.

1. Regn ut verdiene i CAS Vi definerer \( P \) og \( D \) i CAS med \( {:=}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut verdiene for 2021 (\( {x = 11} \)) og 2022 (\( {x = 12} \)) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) := 3600*0.85^x + 600 D(x) := 1000*1.055^(x - 9) P(11) D(11) P(12) D(12)

I 2021 abonnerte omtrent 1202 på papir og 1113 digitalt, og i 2022 omtrent 1112 på papir og 1174 digitalt. Papirutgaven går ned og den digitale opp hvert år, så papirutgaven hadde flest også før 2021, og 2022 er det første året med flere digitale abonnenter.

Når antallet øker med like mange hver måned, er utviklingen lineær. Vi finner økningen per måned og startverdien fra de to tellingene.

1. Velg funksjon Når antallet øker med det samme hver måned, er endringen per måned fast, og da er funksjonen lineær: \[ f(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{red}{a} \) økningen per måned og \( \textcolor{blue}{b} \) antallet når \( {x = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp.

2. Finn a og b Vi lar \( x \) være antall måneder etter at hun hadde \( \textcolor{blue}{290\,000} \) følgere, så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{290\,000}}\text{.} \) På 8 måneder økte antallet med \( {340\,000 - 290\,000 = 50\,000}\text{,} \) så per måned er økningen: \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{50\,000}{8} = \textcolor{red}{6250} \]

Det gir: \[ f(x) = \textcolor{red}{6250}x + \textcolor{blue}{290\,000} \]

1. Bruk lineær regresjon Vi legger de to tellingene i en liste og bruker RegLin, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 290000), (8, 340000)} f(x) = RegLin(l1)

GeoGebra gir \( {y = 6250x + 290\,000}\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Når antallet øker med samme prosent hver måned, ganges det med den samme vekstfaktoren hver måned, og utviklingen er eksponentiell. Vi finner vekstfaktoren fra de to tellingene.

1. Velg funksjon Når antallet øker med samme prosent hver måned, ganger vi med den samme vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k} \) én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor. Med \( x \) måneder etter at hun hadde \( \textcolor{blue}{290\,000} \) følgere, er startverdien \( \textcolor{blue}{290\,000}\text{:} \) \[ g(x) = \textcolor{blue}{290\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^x \]

2. Finn vekstfaktoren I dag er \( {x = 8}\text{,} \) og antallet er \( 340\,000\text{.} \) Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{290\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^8 = 340\,000 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{290\,000} \) på begge sider og tar åttende rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^8 &= \dfrac{340\,000}{290\,000} = \dfrac{34}{29} \\ \textcolor{red}{k} &= \left( \dfrac{34}{29} \right)^{1/8} \approx \textcolor{red}{1{,}0201} \end{aligned} \]

Det gir modellen: \[ g(x) \approx \textcolor{blue}{290\,000} \cdot \textcolor{red}{1{,}0201}^x \]Siden \( {\textcolor{red}{1{,}0201} = 1 + 0{,}0201}\text{,} \) øker antallet med omtrent \( 2{,}0\,\% \) hver måned.

1. Bruk eksponentiell regresjon Vi bruker eksponentiell regresjon på de to tellingene, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp en modell på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x}\text{,} \) der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 290000), (8, 340000)} g(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {g(x) \approx 290\,000 \cdot 1{,}0201^x}\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Kvadratene gjør platen kortere og smalere, og sidekantene som brettes opp, blir høyden. Vi regner i desimeter, fordi \( 1\,\text{dm}^3 \) er \( 1 \) liter.

1. Finn målene på kassen Det går \( 100\,\text{mm} \) på \( 1\,\text{dm}\text{,} \) så platen er \( 12\,\text{dm} \) lang og \( 8\,\text{dm} \) bred, og kvadratene har side \( 1\,\text{dm}\text{.} \) Et kvadrat skjæres bort i hver ende, så lengden og bredden blir \( {2 \cdot 1\,\text{dm}} \) kortere: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{l} &= 12\,\text{dm} - 2\,\text{dm} = \textcolor{blue}{10\,\text{dm}} \\ \textcolor{red}{b} &= 8\,\text{dm} - 2\,\text{dm} = \textcolor{red}{6\,\text{dm}} \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{1\,\text{dm}} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Volumet av en kasse er lengde ganger bredde ganger høyde: \[ V = \textcolor{blue}{l} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{h} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Volum og Overflate.

Vi ganger tallene for seg og enhetene for seg, og \( {\text{dm} \cdot \text{dm} \cdot \text{dm} = \text{dm}^3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{10\,\text{dm}} \cdot \textcolor{red}{6\,\text{dm}} \cdot \textcolor{green}{1\,\text{dm}} \\ V &= 60\,\text{dm}^3 = 60\,\text{L} \end{aligned} \]

Vi regner ut volumet på samme måte som i a).

Vi lager en tabell der sidene i kvadratene øker med \( 0{,}5\,\text{dm}\text{,} \) og regner ut volumet for hver av dem. Der volumet er størst i tabellen, ser vi omtrent hvor lange sidene bør være.

1. Sett opp volumet Med kvadrater med side \( \textcolor{green}{x} \) dm blir kassen \( {\textcolor{blue}{12 - 2x}} \) dm lang, \( {\textcolor{red}{8 - 2x}} \) dm bred og \( \textcolor{green}{x} \) dm høy. Volumet i liter er lengde ganger bredde ganger høyde, som i videoen Volum og Overflate: \[ V = (\textcolor{blue}{12 - 2x}) \cdot (\textcolor{red}{8 - 2x}) \cdot \textcolor{green}{x} \]

2. Lag tabellen For \( {\textcolor{green}{x} = 1{,}5} \) er kassen \( 9 \) dm lang og \( 5 \) dm bred, så \( {V = 9 \cdot 5 \cdot 1{,}5 = 67{,}5}\text{.} \) Slik regner vi ut hver rad: \[ \begin{array}{r|r|r|r} \textcolor{green}{x} & \textcolor{blue}{12 - 2x} & \textcolor{red}{8 - 2x} & V \\ \hline 0{,}5 & 11 & 7 & 38{,}5 \\ 1{,}0 & 10 & 6 & 60{,}0 \\ \underline{1{,}5} & 9 & 5 & \underline{67{,}5} \\ 2{,}0 & 8 & 4 & 64{,}0 \\ 2{,}5 & 7 & 3 & 52{,}5 \\ 3{,}0 & 6 & 2 & 36{,}0 \\ 3{,}5 & 5 & 1 & 17{,}5 \end{array} \]Volumet øker fram til \( {x = 1{,}5} \) og minker etterpå, så det største volumet får vi når sidene i kvadratene er omtrent \( {1{,}5\,\text{dm} = 150\,\text{mm}}\text{.} \)

Vi bruker uttrykket for volumet og tabellen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Alle de tre målene på kassen avhenger av sidene \( x \) i kvadratene. Volumet som funksjon av \( x \) er uttrykket fra b), og grafen tegner vi fra tabellen eller i GeoGebra.

1. Sett opp funksjonsuttrykket Med kvadrater med side \( \textcolor{green}{x} \) dm er kassen \( {\textcolor{blue}{12 - 2x}} \) dm lang, \( {\textcolor{red}{8 - 2x}} \) dm bred og \( \textcolor{green}{x} \) dm høy. Volumet i liter er: \[ V(x) = \textcolor{green}{x} \cdot (\textcolor{blue}{12 - 2x}) \cdot (\textcolor{red}{8 - 2x}) \]

2. Tegn grafen Vi setter av punktene fra tabellen i b) og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Grafen starter i \( 0\text{,} \) stiger til en topp nær \( {x = 1{,}5} \) og synker til \( 0 \) igjen ved \( {x = 4}\text{.} \)

1. Tegn grafen Vi skriver inn funksjonen med en start og en slutt for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x), 0 < x < 4

Grafen viser volumet for alle sidelengder mellom \( 0 \) og \( 4 \) dm, med toppen mellom \( {x = 1} \) og \( {x = 2}\text{.} \)

Vi bruker funksjonen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi leter etter toppunktet på grafen til \( V\text{.} \) Med kalkulator lager vi finere tabeller rundt \( {x = 1{,}5}\text{,} \) og med GeoGebra finner vi toppunktet direkte.

1. Lag en finere tabell I c) fant vi: \[ V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x) \]I b) var volumet størst ved \( {x = 1{,}5}\text{.} \) Vi regner ut \( V(x) \) for hver tiendedel rundt \( 1{,}5\text{:} \) \[ \begin{array}{r|r} x & V(x) \\ \hline 1{,}4 & 66{,}976 \\ 1{,}5 & 67{,}500 \\ \textcolor{red}{1{,}6} & \textcolor{red}{67{,}584} \\ 1{,}7 & 67{,}252 \end{array} \]Toppunktet ligger altså mellom \( 1{,}5 \) og \( 1{,}7\text{.} \)

2. Lag en enda finere tabell Vi regner ut \( V(x) \) for hver hundredel fra \( 1{,}55 \) og ser hvor volumet snur: \[ \begin{array}{r|r} x & V(x) \\ \hline 1{,}55 & 67{,}5955 \\ 1{,}56 & 67{,}6017 \\ \textcolor{red}{1{,}57} & \textcolor{red}{67{,}6036} \\ 1{,}58 & 67{,}6012 \\ 1{,}59 & 67{,}5947 \end{array} \]Volumet er størst ved omtrent \( {\textcolor{red}{x = 1{,}57}}\text{,} \) altså kvadrater med sider på omtrent \( 157\,\text{mm}\text{.} \) Da er volumet omtrent \( \textcolor{red}{67{,}6} \) liter.

1. Finn toppunktet Vi finner toppunktet med Ekstremalpunkt mellom \( 0 \) og \( 4\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x), 0 < x < 4 T = Ekstremalpunkt(V, 0, 4)

Toppunktet er \( {T \approx (1{,}5695,\ 67{,}6036)}\text{.} \) Sidene i kvadratene skal være omtrent \( 1{,}57 \) dm, altså \( 157\,\text{mm}\text{,} \) og volumet blir omtrent \( 67{,}6 \) liter.

Vi bruker funksjonen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Modellen gir bare mening for de sidene i kvadratene som gir en kasse. Vi ser hvilke verdier av \( x \) som gir en positiv høyde, lengde og bredde.

1. Finn grensene Gyldighetsområdet er de verdiene av \( x \) der modellen beskriver kassene, som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, der sidelengdene ikke kan være negative. I c) fant vi: \[ V(x) = \textcolor{green}{x} \cdot (\textcolor{blue}{12 - 2x}) \cdot (\textcolor{red}{8 - 2x}) \]

Høyden \( \textcolor{green}{x} \) må være større enn \( 0\text{.} \) Bredden \( {\textcolor{red}{8 - 2x}} \) må også være større enn \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{8 - 2x} &> 0 \\ 8 &> 2x \\ x &< 4 \end{aligned} \]Da er også lengden \( {\textcolor{blue}{12 - 2x}} \) positiv.

For \( {x = 0} \) og \( {x = 4} \) er volumet \( 0\text{,} \) og da blir det ingen kasse. Ved \( {x = 4}\text{,} \) altså \( 400\,\text{mm}\text{,} \) skjæres hele bredden bort.

Vi sammenligner modellen med tallene i tabellen. Med kalkulator regner vi ut \( O(x) \) for antallene i tabellen, og med GeoGebra bruker vi andregradsregresjon på punktene.

1. Regn ut modellverdiene For \( \textcolor{blue}{100} \) bagetter er \( {-0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{100}^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot \textcolor{blue}{100} = 5104}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{100}) &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{red}{1427{,}02} \end{aligned} \]

Slik regner vi ut \( \textcolor{red}{O(x)} \) for alle sju antallene, avrundet til hele kroner, og setter dem ved siden av overskuddet i tabellen: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Overskudd} & \textcolor{red}{O(x)} \\ \hline 100 & 1450 & \textcolor{red}{1427} \\ 130 & 2300 & \textcolor{red}{2337} \\ 160 & 3050 & \textcolor{red}{3085} \\ 175 & 3365 & \textcolor{red}{3399} \\ 190 & 3720 & \textcolor{red}{3672} \\ 220 & 4140 & \textcolor{red}{4096} \\ 235 & 4175 & \textcolor{red}{4247} \end{array} \]

2. Vurder modellen Modellverdiene bommer med høyst \( 72 \) kroner, ved \( 235 \) bagetter, og det er under \( 2\,\% \) av overskuddet. Modellen følger tabellen godt for alle de sju ukene, så \( O \) er en god modell.

1. Bruk andregradsregresjon Andregradsregresjon finner den andregradsfunksjonen som går så nær punktene som mulig. Vi legger punktene i en liste og bruker RegPoly med grad \( 2\text{,} \) som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(100, 1450), (130, 2300), (160, 3050), (175, 3365), (190, 3720), (220, 4140), (235, 4175)} f(x) = RegPoly(l1, 2)

GeoGebra gir: \[ \begin{aligned} f(x) &\approx \textcolor{blue}{-0{,}0903}x^2 + \textcolor{red}{51{,}0367}x \\ &\quad \textcolor{green}{{}- 2776{,}9766} \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler blir \( {\textcolor{blue}{-0{,}0903}} \) til \( {\textcolor{blue}{-0{,}09}}\text{,} \) \( \textcolor{red}{51{,}0367} \) til \( \textcolor{red}{51{,}04} \) og \( {\textcolor{green}{-2776{,}9766}} \) til \( {\textcolor{green}{-2776{,}98}}\text{.} \) Det er akkurat \( O(x)\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Derfor er \( O \) en god modell.

Vi leter etter antallet bagetter der \( O(x) \) er størst. Med kalkulator lager vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi toppunktet på grafen.

1. Lag en grov verditabell Tabellen i oppgaven viser at overskuddet fortsatt øker ved \( 235 \) bagetter. Vi regner derfor ut \( O(x) \) med kalkulatoren for hver tiende bagett fra \( 250\text{.} \) For eksempel er \( {-0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{280}^2 = -7056} \) og \( {51{,}04 \cdot \textcolor{blue}{280} = 14\,291{,}2}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{280}) &= -7056 + 14\,291{,}2 \\ &\quad - 2776{,}98 \\ &= 4458{,}22 \end{aligned} \]

Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & O(x) \\ \hline 250 & 4358{,}02 \\ 260 & 4409{,}42 \\ 270 & 4442{,}82 \\ \textcolor{red}{280} & \textcolor{red}{4458{,}22} \\ 290 & 4455{,}62 \\ 300 & 4435{,}02 \\ 310 & 4396{,}42 \end{array} \]Overskuddet øker fram til \( \textcolor{red}{280} \) bagetter og synker etterpå. \( O(290) \) er nesten like stor som \( O(280)\text{,} \) mens \( O(270) \) er tydelig mindre, så toppen ligger mellom \( 280 \) og \( 290\text{.} \)

2. Lag en finere tabell Vi regner ut \( O(x) \) for hver bagett mellom \( 280 \) og \( 290\text{,} \) med to desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & O(x) \\ \hline 281 & 4458{,}77 \\ 282 & 4459{,}14 \\ 283 & 4459{,}33 \\ \textcolor{red}{284} & \textcolor{red}{4459{,}34} \\ 285 & 4459{,}17 \\ 286 & 4458{,}82 \\ 287 & 4458{,}29 \\ 288 & 4457{,}58 \\ 289 & 4456{,}69 \end{array} \]Det største overskuddet er ved \( \textcolor{red}{284} \) bagetter, og da er det omtrent \( \textcolor{red}{4459} \) kroner.

1. Finn toppunktet på grafen Vi skriver inn \( O \) og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 T = Maks(O, 0, 500)

Toppunktet er \( {T \approx (283{,}56,\ 4459{,}36)}\text{.} \) Kantinen selger hele bagetter, og nærmest \( 283{,}56 \) er \( 284 \) bagetter. Overskuddet er da omtrent \( 4459 \) kroner.

Stigningstallet er endringen i \( O \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( O(100) \) og \( O(200)\text{,} \) og deler forskjellen på de 100 bagettene mellom dem.

1. Regn ut de to verdiene For \( {x = 100} \) er \( {-0{,}09 \cdot 100^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot 100 = 5104}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O(100)} &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \end{aligned} \]

For \( {x = 200} \) er \( {-0{,}09 \cdot 200^2 = -3600} \) og \( {51{,}04 \cdot 200 = 10\,208}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{O(200)} &= -3600 + 10\,208 \\ &\quad - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{red}{3831{,}02} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{\textcolor{red}{3831{,}02} - \textcolor{blue}{1427{,}02}}{200 - 100} \\ &= \dfrac{2404}{100} = 24{,}04 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( O(x) \) er overskuddet i kroner og \( x \) antall bagetter, så stigningstallet er kroner per bagett. Når salget øker fra 100 til 200 bagetter i uka, øker overskuddet i gjennomsnitt med \( 24{,}04 \) kroner for hver ekstra bagett.

Modellen har formen \( {a \cdot x^b}\text{,} \) som er en potensfunksjon. Vi bruker potensregresjon på punktene i tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Gjør potensregresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker RegPot. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1000, 100), (500, 81.4), (200, 60.1), (80, 41.5), (40, 29)} K(x) = RegPot(l1)

Med fire desimaler gir GeoGebra: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} \]Altså er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{7{,}562}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}3804}}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, og med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {7{,}56 \cdot x^{0{,}38}}\text{.} \) Regner vi videre med det, blir høyden i c) omtrent \( 4{,}2 \) km med Aris modell i stedet for \( 4{,}3 \) km. Vis derfor fire desimaler i GeoGebra.

Begge modellene starter på 1000 hPa ved havet og minker med en fast prosent per km. Vi finner vekstfaktoren for Ari og for Lisa.

1. Lag Aris modell Lufttrykket minker med \( 12\,\% \) per km. Når noe minker med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {V = 1 - 0{,}12 = \textcolor{red}{0{,}88}}\text{.} \) Ved havet er lufttrykket \( \textcolor{blue}{1000} \) hPa, og for hver km ganger vi med \( \textcolor{red}{0{,}88}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor: \[ A(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}88}^x \]

2. Lag Lisas modell Lisa vil ha samme form, \( {L(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{c}^x}\text{.} \) Etter \( 5{,}5 \) km er lufttrykket halvert, altså \( 500 \) hPa. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{c}^{5{,}5} = 500 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{1000} \) på begge sider og opphøyer i \( \dfrac{1}{5{,}5}\text{.} \) Å opphøye i 1 delt på n er det samme som å ta n-te roten, som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{c}^{5{,}5} &= 0{,}5 \\ \textcolor{green}{c} &= 0{,}5^{1/5{,}5} \approx \textcolor{green}{0{,}8816} \end{aligned} \]

Det gir: \[ L(x) \approx \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{0{,}8816}^x \]

1. Lag modellene Aris modell skriver vi rett inn. For Lisas modell bruker vi eksponentiell regresjon på punktene \( (0, 1000) \) og \( (5{,}5,\ 500)\text{,} \) som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 1000*0.88^x l2 = {(0, 1000), (5.5, 500)} L(x) = RegEksp(l2)

GeoGebra gir \( {L(x) \approx \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{0{,}8816}^x}\text{,} \) det samme som med kalkulator. De to grafene ligger nesten oppå hverandre.

Vi bruker modellen fra a) og modellene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Et egg blir hardkokt når vannet koker ved minst \( 85\,^\circ\text{C}\text{.} \) Vi finner lufttrykket der kokepunktet er \( 85\,^\circ\text{C}\text{,} \) og så hvor høyt over havet lufttrykket er så lavt.

1. Finn lufttrykket I a) fant vi modellen: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} \]

Kokepunktet skal være \( 85\,^\circ\text{C}\text{,} \) så vi setter \( {K(x) = 85}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} = 85 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{7{,}562} \) på begge sider og opphøyer i \( \dfrac{1}{\textcolor{red}{0{,}3804}}\text{,} \) som i videoen Potenser og røtter. Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} &= \dfrac{85}{\textcolor{blue}{7{,}562}} \approx 11{,}2404 \\ x &\approx 11{,}2404^{1/\textcolor{red}{0{,}3804}} \approx \textcolor{green}{578{,}5} \end{aligned} \]Ved lavere lufttrykk koker vannet ved lavere temperatur, så lufttrykket må være minst omtrent \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa.

2. Finn høyden I b) fant vi modellene: \[ \begin{aligned} A(x) &= 1000 \cdot 0{,}88^x \\ L(x) &\approx 1000 \cdot 0{,}8816^x \end{aligned} \]

Med \( {x = 4} \) er lufttrykket omtrent 600 hPa i begge modellene. Vi regner videre med kalkulatoren for hver tiendedel km: \[ \begin{array}{r|r|r} x & A(x) & L(x) \\ \hline 4{,}0 & 599{,}7 & 604{,}1 \\ 4{,}1 & 592{,}1 & 596{,}5 \\ 4{,}2 & 584{,}6 & 589{,}0 \\ 4{,}3 & 577{,}1 & 581{,}7 \\ 4{,}4 & 569{,}8 & 574{,}4 \\ 4{,}5 & 562{,}6 & 567{,}2 \end{array} \]Ifølge Aris modell kommer lufttrykket ned til \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa mellom \( 4{,}2 \) og \( 4{,}3 \) km, nærmest \( 4{,}3\text{.} \) Ifølge Lisas modell skjer det mellom \( 4{,}3 \) og \( 4{,}4 \) km, også nærmest \( 4{,}3\text{.} \)

1. Finn lufttrykket Med \( K \) fra a) tegner vi linja \( {y = 85} \) og finner skjæringspunktet med grafen, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g: y = 85 P = Skjæring(K, g)

Lufttrykket er førstekoordinaten til \( P\text{,} \) omtrent \( 578{,}34 \) hPa.

2. Finn høyden Med \( A \) og \( L \) fra b) tegner vi linja \( {y = x(P)} \) og finner skjæringspunktene med de to grafene:

Skriv inn i GeoGebra: h: y = x(P) S = Skjæring(A, h) T = Skjæring(L, h)

Ifølge Aris modell er høyden \( 4{,}28 \) km (punktet \( S \)), og ifølge Lisas \( 4{,}35 \) km (punktet \( T \)). Begge er omtrent \( 4{,}3 \) km.

I tabellen ser vi at en stor hund blir \( 6 \) menneskeår eldre for hvert år fra den er 2 år. Det gir en lineær modell, og så sjekker vi for hvilke aldre den stemmer med tabellen.

1. Finn stigningstallet En lineær modell har formen: \[ H(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{red}{a} \) stigningstallet, det \( H \) øker med når \( x \) øker med \( 1\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) er konstantleddet. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp med stigningstall og konstantledd.

I kolonnen for store hunder øker menneskeårene med \( 6 \) for hvert hundeår fra 2 år: \( 24\text{,} \) \( 30\text{,} \) \( 36 \) og så videre til \( 96\text{.} \) Med punktene \( (2, 24) \) og \( (3, 30) \) er stigningstallet endringen i \( H \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{30 - 24}{3 - 2} = \textcolor{red}{6} \]

2. Finn konstantleddet En hund på 2 år tilsvarer 24 menneskeår, altså er \( {H(2) = 24}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{6} \cdot 2 + \textcolor{blue}{b} &= 24 \\ \textcolor{blue}{b} &= 24 - 12 = \textcolor{blue}{12} \end{aligned} \]Det gir \( {H(x) = \textcolor{red}{6}x + \textcolor{blue}{12}}\text{,} \) som er uttrykket Sondre har funnet.

3. Finn når modellen gjelder Modellen gir tallene i tabellen for alle hele år fra 2 til 14, for eksempel: \[ H(14) = 6 \cdot 14 + 12 = 96 \]

Under 2 år stemmer den ikke. En hund på 1 år tilsvarer 16 menneskeår, men modellen gir \( {H(1) = 6 + 12 = 18}\text{.} \) Etter 14 år har tabellen ingen tall. Modellen gjelder derfor for store hunder fra 2 til 14 år.

To størrelser er proporsjonale når den ene er et fast tall ganget med den andre. Vi sjekker om modellen har den formen, og prøver med to aldre.

1. Sjekk formen til modellen At menneskeårene er proporsjonale med hundeårene, betyr at: \[ H(x) = k \cdot x \]der \( k \) er et fast tall. Grafen er da en rett linje gjennom origo.

Modellen \( {H(x) = 6x + \textcolor{blue}{12}} \) har konstantleddet \( \textcolor{blue}{12}\text{,} \) så den har ikke denne formen.

2. Prøv med to aldre Dobler vi alderen til hunden fra 2 til 4 år, får vi: \[ \begin{aligned} H(2) &= 6 \cdot 2 + 12 = \textcolor{red}{24} \\ H(4) &= 6 \cdot 4 + 12 = 36 \end{aligned} \]Var alderen proporsjonal, skulle dobbel hundealder gitt dobbelt så mange menneskeår, altså \( {2 \cdot \textcolor{red}{24} = 48}\text{.} \) Dette kalles et moteksempel, og påstanden til Sondre stemmer derfor ikke.