Eksamensoppgaver etter tema

\( K(0) \) er kostnadene når bedriften produserer \( 0 \) enheter. Vi setter inn \( {x = 0} \) og ser hva som blir igjen.

1. Sett inn null enheter Vi setter inn \( {x = 0}\text{.} \) Leddene med \( x \) blir \( 0\text{,} \) uansett hva \( b \) er: \[ \begin{aligned} K(0) &= \textcolor{blue}{0^2 + b \cdot 0} + \textcolor{red}{20\,000} \\ K(0) &= \textcolor{red}{20\,000} \end{aligned} \]

2. Tolk verdien Selv når bedriften ikke produserer noe, har den kostnader på \( \textcolor{red}{20\,000} \) kroner. Det er de faste kostnadene, for eksempel husleie og maskiner, som bedriften har uansett hvor mye den produserer.

At det koster \( 30\,000 \) kroner å produsere 50 enheter, betyr at \( {K(50) = 30\,000}\text{.} \) Det gir en likning der \( b \) er den eneste ukjente.

1. Sett opp likningen Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{50}} \) i \( {K(x) = x^2 + b \cdot x + 20\,000} \) og setter uttrykket lik \( 30\,000\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{50}^2 + b \cdot \textcolor{blue}{50} + 20\,000 &= 30\,000 \\ 2500 + 50b + 20\,000 &= 30\,000 \end{aligned} \]

2. Løs likningen Vi trekker sammen tallene på venstre side, trekker fra \( 22\,500 \) på begge sider og deler med \( 50\text{:} \) \[ \begin{aligned} 50b + 22\,500 &= 30\,000 \\ 50b &= 7500 \\ b &= 150 \end{aligned} \]

Kontroll: Med \( {b = 150} \) er leddene i \( K(50) \) lik \( 2500\text{,} \) \( {150 \cdot 50 = 7500} \) og \( 20\,000\text{,} \) som til sammen er \( 30\,000\text{.} \)

Vi setter inn farten \( {x = 50} \) i formelen for \( U(x)\text{.} \)

1. Sett inn farten Med \( {x = \textcolor{blue}{50}} \) regner vi ut leddene hver for seg: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{50}) &= \dfrac{5400}{\textcolor{blue}{50}} + 0{,}0074 \cdot \textcolor{blue}{50}^2 + 50 \\ U(50) &= 108 + 18{,}5 + 50 \\ U(50) &= 176{,}5 \end{aligned} \]Her er \( {0{,}0074 \cdot 2500 = 18{,}5}\text{.} \)

Vi leter etter farten mellom \( 30 \) og \( 110\,\text{km/h} \) der \( U(x) \) er minst. Med kalkulator lager vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi bunnpunktet på grafen.

1. Lag en grov verditabell Vi regner ut \( U(x) \) for hver tiende km/h med kalkulatoren, for eksempel: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{40}) &= \dfrac{5400}{\textcolor{blue}{40}} + 0{,}0074 \cdot \textcolor{blue}{40}^2 + 50 \\ U(40) &= 135 + 11{,}84 + 50 = 196{,}84 \end{aligned} \]

Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 40 & 196{,}84 \\ 50 & 176{,}50 \\ 60 & 166{,}64 \\ \textcolor{red}{70} & \textcolor{red}{163{,}40} \\ 80 & 164{,}86 \\ 90 & 169{,}94 \\ 100 & 178{,}00 \end{array} \]Utslippet synker fram til \( \textcolor{red}{70\,\text{km/h}} \) og stiger etterpå, så det minste utslippet ligger mellom \( 60 \) og \( 80\,\text{km/h}\text{.} \)

2. Lag en finere tabell rundt 70 Vi regner ut \( U(x) \) for hver km/h rundt \( 70\text{,} \) med tre desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 69 & 163{,}492 \\ 70 & 163{,}403 \\ \textcolor{red}{71} & \textcolor{red}{163{,}360} \\ 72 & 163{,}362 \\ 73 & 163{,}407 \end{array} \]Det minste utslippet er ved omtrent \( \textcolor{red}{71\,\text{km/h}}\text{,} \) og da er det omtrent \( \textcolor{red}{163{,}4} \) gram per kilometer.

1. Finn bunnpunktet på grafen Vi skriver inn funksjonen med definisjonsmengden og finner bunnpunktet mellom \( 30 \) og \( 110 \) med Min, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: U(x) = 5400/x + 0.0074x^2 + 50, 30 < x < 110 B = Min(U, 30, 110)

Bunnpunktet er \( {B \approx (71{,}4569,\ 163{,}3551)}\text{.} \) Utslippet er minst ved omtrent \( 71\,\text{km/h}\text{,} \) og da er det omtrent \( 163{,}4 \) gram per kilometer.

Vi finner hvor langt bilen kjører på 20 minutter, og ganger strekningen med utslippet per kilometer ved \( 90\,\text{km/h}\text{.} \)

1. Finn strekningen 20 minutter er \( {\dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}} \) time. Strekningen er fart ganger tid, \( {s = v \cdot t}\text{:} \) \[ s = \textcolor{blue}{90}\,\text{km/h} \cdot \dfrac{1}{3}\,\text{h} = \textcolor{red}{30\,\text{km}} \]

2. Finn utslippet Ved \( \textcolor{blue}{90}\,\text{km/h} \) er utslippet per kilometer: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{90}) &= \dfrac{5400}{\textcolor{blue}{90}} + 0{,}0074 \cdot \textcolor{blue}{90}^2 + 50 \\ U(90) &= 60 + 59{,}94 + 50 = \textcolor{green}{169{,}94} \end{aligned} \]

På \( \textcolor{red}{30} \) kilometer blir det: \[ \textcolor{green}{169{,}94}\,\text{g/km} \cdot \textcolor{red}{30\,\text{km}} = 5098{,}2\,\text{g} \]

Billetten koster 1200 kroner uansett hvor mange ganger Siri tar bussen. Prisen per busstur er derfor 1200 kroner delt på antall turer.

1. Del 1200 på antall turer Prisen per busstur er: \[ \textcolor{blue}{\text{pris per tur}} = \dfrac{1200}{\text{antall turer}} \]

For de fire antallene i tabellen får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{1200}{4} &= \textcolor{blue}{300} & \dfrac{1200}{8} &= \textcolor{blue}{150} \\ \dfrac{1200}{20} &= \textcolor{blue}{60} & \dfrac{1200}{30} &= \textcolor{blue}{40} \end{aligned} \]Antall turer ganger pris per tur er 1200 hver gang, så størrelsene er omvendt proporsjonale: dobbelt så mange turer gir halv pris per tur.

Vi bruker tabellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Prisen per tur er 1200 kroner delt på antall turer. Vi tegner punktene fra tabellen i et koordinatsystem og trekker en jevn kurve gjennom dem.

1. Skriv sammenhengen som en funksjon Med \( x \) turer er prisen per tur \( y \) kroner: \[ \textcolor{blue}{y = \dfrac{1200}{x}} \]Punktene fra a) ligger på grafen, og vi kan regne ut flere, for eksempel \( {\dfrac{1200}{10} = 120} \) og \( {\dfrac{1200}{15} = 80}\text{.} \)

2. Tegn punktene og kurven Vi setter antall turer langs x-aksen og prisen per tur langs y-aksen, tegner punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Kurven synker hele tiden: jo flere turer, desto lavere pris per tur. Den kommer nærmere og nærmere 0, men når aldri 0.

Vi bruker grafen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

30-dagersbilletten lønner seg når prisen per tur blir lavere enn en enkeltbillett. Vi tegner linja \( {y = 80} \) i samme koordinatsystem og ser hvor grafen ligger under den.

1. Tegn linja for enkeltbilletten I b) tegnet vi grafen til: \[ \textcolor{blue}{y = \dfrac{1200}{x}} \]

En enkeltbillett koster \( \textcolor{red}{80} \) kroner per tur, uansett hvor mange turer Siri tar. Det er den vannrette linja \( {\textcolor{red}{y = 80}}\text{,} \) som vi tegner i samme koordinatsystem:

2. Les av skjæringspunktet Grafene skjærer hverandre i \( (15, \textcolor{red}{80})\text{.} \) Det kan vi sjekke: \[ \dfrac{1200}{15} = \textcolor{red}{80} \]

Til høyre for 15 ligger kurven under linja: da koster hver tur mindre enn 80 kroner med 30-dagersbilletten.

Ved akkurat 15 turer koster det like mye, fordi \( {15 \cdot 80 = 1200} \) kroner. Billetten lønner seg altså først når enkeltbillettene til sammen koster mer enn 1200 kroner, som i videoen Oppgave 1A - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Siri må derfor ta bussen minst 16 ganger.

Gjerdet går rundt hele bedet: langs to lange sider, én kort side og halvsirkelen. Vi legger sammen lengdene.

1. Se hva x og y er Skissen har ingen mål, men formelen viser at \( \textcolor{red}{y} \) er de to lange sidene og \( \textcolor{blue}{x} \) den korte siden. Den korte siden er like lang som diameteren i halvsirkelen:

2. Legg sammen sidene og halvsirkelen Omkretsen er summen av alle sidene, som i videoen Areal og Omkrets. Rektangelet gir to sider \( \textcolor{red}{y} \) og én side \( \textcolor{blue}{x}\text{.} \) Den fjerde siden ligger inni bedet, der halvsirkelen begynner, så den har ikke gjerde: \[ \textcolor{red}{y} + \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} = 2 \cdot \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} \]

Halvsirkelen er halve omkretsen av en sirkel med radius \( {r = \dfrac{x}{2}}\text{.} \) Med \( {O = 2 \cdot \pi \cdot r} \) fra oppgaven blir den: \[ \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot \dfrac{x}{2} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi \cdot x}{2}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O = 2 \cdot \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} + \textcolor{green}{\dfrac{\pi \cdot x}{2}} \]

Formelen for omkretsen står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Gjerdet er 12 meter, så omkretsen er 12. Vi setter inn \( {x = 1} \) i formelen og løser for \( y\text{.} \)

1. Sett inn i formelen Med \( {O = 12} \) og \( {x = \textcolor{blue}{1}} \) gir formelen fra a): \[ 2 \cdot y + \textcolor{blue}{1} + \dfrac{\pi \cdot \textcolor{blue}{1}}{2} = 12 \]

2. Løs for y Vi trekker fra \( 1 \) og \( \dfrac{\pi}{2} \) på begge sider, og deler så med 2: \[ \begin{aligned} 2y &= 11 - \dfrac{\pi}{2} \approx 9{,}4292 \\ y &\approx \dfrac{9{,}4292}{2} \approx 4{,}7146 \end{aligned} \]Avrundet til én desimal er \( {y \approx 4{,}7} \) meter.

Bedet er et rektangel og en halvsirkel. Vi finner arealet av hver del og legger sammen.

1. Finn arealet av rektangelet Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{red}{A_1} = 4{,}7\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} = \textcolor{red}{4{,}7}\,\text{m}^2 \]

2. Finn arealet av halvsirkelen Halvsirkelen har diameter 1 m, altså radius \( {r = 0{,}5\,\text{m}}\text{.} \) Med \( {A = \pi \cdot r^2} \) fra oppgaven er en halv sirkel: \[ \textcolor{green}{A_2} = \dfrac{\pi \cdot (0{,}5\,\text{m})^2}{2} \approx \textcolor{green}{0{,}3927}\,\text{m}^2 \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{red}{A_1} + \textcolor{green}{A_2} \\ A &\approx \textcolor{red}{4{,}7} + \textcolor{green}{0{,}3927} \approx 5{,}09\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

Vi bruker formelen for omkretsen fra a) og regner ut arealet som i c).

Gjerdet er alltid 12 meter, så når vi velger \( x\text{,} \) er \( y \) bestemt. Vi lager en tabell med ulike verdier av \( x\text{,} \) og regner ut \( y \) og arealet for hver av dem.

1. Skriv y og arealet med x Med \( {O = 12} \) i formelen fra a) får vi: \[ \begin{aligned} 2y &= 12 - x - \dfrac{\pi x}{2} \\ \textcolor{red}{y} &= 6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4} \end{aligned} \]Lengden \( \textcolor{red}{y} \) må være positiv, og det er den når \( x \) er mindre enn omtrent \( 4{,}67\text{.} \)

Arealet er rektangelet, lengde ganger bredde som i videoen Areal og Omkrets, pluss halvsirkelen med radius \( \dfrac{x}{2}\text{:} \) \[ A = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi}{2} \cdot \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi x^2}{8} \]

2. Regn ut radene i tabellen For \( {x = 1} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{y} &= 6 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\pi}{4} \approx \textcolor{red}{4{,}7146} \\ A &\approx 1 \cdot \textcolor{red}{4{,}7146} + \dfrac{\pi}{8} \approx 5{,}11 \end{aligned} \]Slik regner vi ut \( y \) og \( A \) for \( x \) fra 0,5 til 4,5 meter, med et halvt meters mellomrom. Tabellen står i svaret. Arealet er størst når \( x \) er mellom 3 og 4 meter. Andre valg av \( x \) gir også en riktig oversikt.

Merk – Avrunding: For \( {x = 1} \) er arealet her \( 5{,}11\,\text{m}^2\text{,} \) mens c) ga \( 5{,}09\,\text{m}^2\text{.} \) I c) var \( y \) avrundet til 4,7 m.

Vi bruker uttrykkene for \( y \) og arealet fra d). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter uttrykket for \( y \) inn i arealet, så arealet bare avhenger av \( x\text{.} \) Så tegner vi grafen og finner toppunktet.

1. Sett opp funksjonsuttrykket I d) fant vi \( {\textcolor{red}{y} = 6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4}} \) og \( {A = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi x^2}{8}}\text{.} \) Setter vi inn \( \textcolor{red}{y}\text{,} \) får vi arealet som en funksjon av \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A(x) &= x\textcolor{red}{\left(6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4}\right)} + \dfrac{\pi x^2}{8} \\ A(x) &= 6x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{\pi x^2}{4} + \dfrac{\pi x^2}{8} \\ A(x) &= 6x - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{8}\right) x^2 \end{aligned} \]Her er \( x \) mellom 0 og omtrent \( 4{,}67\text{,} \) fordi \( \textcolor{red}{y} \) må være positiv.

2. Tegn grafen Vi tegner punktene fra tabellen i d) og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Grafen stiger til et toppunkt mellom \( {x = 3} \) og \( {x = 4}\text{,} \) og synker så.

3. Finn toppunktet med en finere tabell Vi regner ut \( A(x) \) rundt toppunktet, med tre desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & A(x) \\ \hline 3{,}2 & 10{,}059 \\ 3{,}3 & 10{,}079 \\ \textcolor{blue}{3{,}4} & \textcolor{blue}{10{,}080} \\ 3{,}5 & 10{,}064 \end{array} \]Det største arealet er omtrent \( \textcolor{blue}{10{,}08}\,\text{m}^2\text{,} \) når \( x \) er omtrent 3,4 meter.

1. Finn toppunktet med Maks Vi skriver inn arealfunksjonen med definisjonsmengden og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = x (12 - x - pi x / 2) / 2 + pi x^2 / 8, 0 < x < 4.67 T = Maks(A, 0, 4.67)

Toppunktet er \( {T \approx (3{,}3606,\ 10{,}0818)}\text{.} \) Det størst mulige arealet er omtrent \( 10{,}08\,\text{m}^2\text{,} \) når \( {x \approx 3{,}36} \) m.

Vi kjenner volumet og radien. Vi finner høyden fra volumformelen, og setter radien og høyden inn i formelen for overflaten.

Merk – Boksen har ikke lokk: Tegningen ser ut som en lukket sylinder, men formelen for overflaten har bare én \( \pi r^2\text{,} \) altså bare bunnen. En lukket sylinder har \( {2\pi r^2 + 2\pi r h}\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Her er det formelen i oppgaven som gjelder.

1. Finn et uttrykk for høyden Volumet er grunnflaten ganget med høyden, som i videoen Volum og Overflate. For boksen er grunnflaten en sirkel med areal \( {\pi \cdot r^2}\text{:} \) \[ V = \pi \cdot r^2 \cdot h \]

Med \( {V = 450} \) deler vi med \( {\pi \cdot r^2} \) på begge sider: \[ h = \dfrac{450}{\pi \cdot r^2} \]

2. Regn ut høyde og overflate For \( {r = \textcolor{blue}{4}} \) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} h &= \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2} \approx \textcolor{red}{8{,}952} \\ O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2 + 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{8{,}952} \approx 275{,}3 \end{aligned} \]

På samme måte for \( {r = 6} \) og \( {r = 8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} r = 6\text{: } \quad h &\approx 3{,}979 & O &\approx 263{,}1 \\ r = 8\text{: } \quad h &\approx 2{,}238 & O &\approx 313{,}6 \end{aligned} \]

Merk – Ikke rund av for tidlig: Regn ut \( O \) med høyden slik kalkulatoren gir den, og rund av til slutt. Med \( {h = 9{,}0} \) for \( {r = 4} \) blir \( {O \approx 276{,}5} \) i stedet for \( 275{,}3\text{.} \) Tallet \( 462{,}6 \) i oppgavens tabell er regnet ut på samme måte.

Vi bruker uttrykket for høyden fra a).

Vi setter uttrykket for høyden inn i formelen for overflaten. Da blir overflaten en funksjon av radien alene, og den kan vi tegne.

1. Sett høyden inn i formelen I a) fant vi \( {h = \dfrac{450}{\pi \cdot r^2}}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen for overflaten: \[ O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \dfrac{450}{\pi \cdot r^2} \]

I det siste leddet forkorter vi \( \textcolor{darkorange}{\pi} \) og én \( \textcolor{darkorange}{r}\text{,} \) og \( {2 \cdot 450 = 900}\text{:} \) \[ 2 \cdot \textcolor{darkorange}{\pi \cdot r} \cdot \dfrac{450}{\textcolor{darkorange}{\pi \cdot r} \cdot r} = \dfrac{900}{r} \]

Overflaten i \( \text{cm}^2 \) som funksjon av radien \( r \) i cm er da: \[ O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}, \quad r > 0 \]

2. Lag en verditabell Vi regner ut \( O(r) \) for noen radier med kalkulatoren: \[ \begin{array}{r|r} r & O(r) \\ \hline 2 & 462{,}6 \\ 3 & 328{,}3 \\ 4 & 275{,}3 \\ 5 & 258{,}5 \\ 6 & 263{,}1 \\ 8 & 313{,}6 \\ 10 & 404{,}2 \end{array} \]

3. Tegn grafen Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Overflaten er stor for små radier, blir minst like over \( {r = 5} \) og øker igjen for større radier.

1. Tegn grafen Vi skriver inn funksjonen fra kalkulatorruten med \( {r > 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(r) = pi*r^2 + 900/r, r > 0

Grafen viser at overflaten er minst når radien er litt over \( 5\,\text{cm}\text{.} \)

Vi bruker funksjonen \( O(r) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi leter etter radien som gir minst overflate. Med kalkulator bruker vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi bunnpunktet på grafen.

1. Finn hvor overflaten er minst I b) fant vi: \[ O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r} \]Verditabellen i b) har \( {O(4) \approx 275{,}3}\text{,} \) \( {O(5) \approx 258{,}5} \) og \( {O(6) \approx 263{,}1}\text{.} \) Den minste overflaten ligger altså mellom \( {r = 4} \) og \( {r = 6}\text{.} \)

2. Lag en finere tabell rundt 5 Vi regner ut \( O(r) \) for hver tidels centimeter rundt \( 5\text{,} \) med to desimaler: \[ \begin{array}{r|r} r & O(r) \\ \hline 5{,}0 & 258{,}54 \\ 5{,}1 & 258{,}18 \\ \textcolor{red}{5{,}2} & \textcolor{red}{258{,}03} \\ 5{,}3 & 258{,}06 \\ 5{,}4 & 258{,}28 \end{array} \]Overflaten er minst ved omtrent \( {\textcolor{red}{r = 5{,}2\,\text{cm}}}\text{,} \) og da er den omtrent \( \textcolor{red}{258{,}0\,\text{cm}^2}\text{.} \)

1. Finn bunnpunktet på grafen Vi finner bunnpunktet mellom \( {r = 1} \) og \( {r = 10} \) med Min, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(r) = pi*r^2 + 900/r, r > 0 B = Min(O, 1, 10)

Bunnpunktet er \( {B \approx (5{,}2322,\ 258{,}0158)}\text{.} \) Radien bør være omtrent \( 5{,}2\,\text{cm}\text{,} \) og da er overflaten omtrent \( 258{,}0\,\text{cm}^2\text{.} \)

Kvadratene gjør platen kortere og smalere, og sidekantene som brettes opp, blir høyden. Vi regner i desimeter, fordi \( 1\,\text{dm}^3 \) er \( 1 \) liter.

1. Finn målene på kassen Det går \( 100\,\text{mm} \) på \( 1\,\text{dm}\text{,} \) så platen er \( 12\,\text{dm} \) lang og \( 8\,\text{dm} \) bred, og kvadratene har side \( 1\,\text{dm}\text{.} \) Et kvadrat skjæres bort i hver ende, så lengden og bredden blir \( {2 \cdot 1\,\text{dm}} \) kortere: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{l} &= 12\,\text{dm} - 2\,\text{dm} = \textcolor{blue}{10\,\text{dm}} \\ \textcolor{red}{b} &= 8\,\text{dm} - 2\,\text{dm} = \textcolor{red}{6\,\text{dm}} \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{1\,\text{dm}} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Volumet av en kasse er lengde ganger bredde ganger høyde: \[ V = \textcolor{blue}{l} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{h} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Volum og Overflate.

Vi ganger tallene for seg og enhetene for seg, og \( {\text{dm} \cdot \text{dm} \cdot \text{dm} = \text{dm}^3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{10\,\text{dm}} \cdot \textcolor{red}{6\,\text{dm}} \cdot \textcolor{green}{1\,\text{dm}} \\ V &= 60\,\text{dm}^3 = 60\,\text{L} \end{aligned} \]

Vi regner ut volumet på samme måte som i a).

Vi lager en tabell der sidene i kvadratene øker med \( 0{,}5\,\text{dm}\text{,} \) og regner ut volumet for hver av dem. Der volumet er størst i tabellen, ser vi omtrent hvor lange sidene bør være.

1. Sett opp volumet Med kvadrater med side \( \textcolor{green}{x} \) dm blir kassen \( {\textcolor{blue}{12 - 2x}} \) dm lang, \( {\textcolor{red}{8 - 2x}} \) dm bred og \( \textcolor{green}{x} \) dm høy. Volumet i liter er lengde ganger bredde ganger høyde, som i videoen Volum og Overflate: \[ V = (\textcolor{blue}{12 - 2x}) \cdot (\textcolor{red}{8 - 2x}) \cdot \textcolor{green}{x} \]

2. Lag tabellen For \( {\textcolor{green}{x} = 1{,}5} \) er kassen \( 9 \) dm lang og \( 5 \) dm bred, så \( {V = 9 \cdot 5 \cdot 1{,}5 = 67{,}5}\text{.} \) Slik regner vi ut hver rad: \[ \begin{array}{r|r|r|r} \textcolor{green}{x} & \textcolor{blue}{12 - 2x} & \textcolor{red}{8 - 2x} & V \\ \hline 0{,}5 & 11 & 7 & 38{,}5 \\ 1{,}0 & 10 & 6 & 60{,}0 \\ \underline{1{,}5} & 9 & 5 & \underline{67{,}5} \\ 2{,}0 & 8 & 4 & 64{,}0 \\ 2{,}5 & 7 & 3 & 52{,}5 \\ 3{,}0 & 6 & 2 & 36{,}0 \\ 3{,}5 & 5 & 1 & 17{,}5 \end{array} \]Volumet øker fram til \( {x = 1{,}5} \) og minker etterpå, så det største volumet får vi når sidene i kvadratene er omtrent \( {1{,}5\,\text{dm} = 150\,\text{mm}}\text{.} \)

Vi bruker uttrykket for volumet og tabellen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Alle de tre målene på kassen avhenger av sidene \( x \) i kvadratene. Volumet som funksjon av \( x \) er uttrykket fra b), og grafen tegner vi fra tabellen eller i GeoGebra.

1. Sett opp funksjonsuttrykket Med kvadrater med side \( \textcolor{green}{x} \) dm er kassen \( {\textcolor{blue}{12 - 2x}} \) dm lang, \( {\textcolor{red}{8 - 2x}} \) dm bred og \( \textcolor{green}{x} \) dm høy. Volumet i liter er: \[ V(x) = \textcolor{green}{x} \cdot (\textcolor{blue}{12 - 2x}) \cdot (\textcolor{red}{8 - 2x}) \]

2. Tegn grafen Vi setter av punktene fra tabellen i b) og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Grafen starter i \( 0\text{,} \) stiger til en topp nær \( {x = 1{,}5} \) og synker til \( 0 \) igjen ved \( {x = 4}\text{.} \)

1. Tegn grafen Vi skriver inn funksjonen med en start og en slutt for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x), 0 < x < 4

Grafen viser volumet for alle sidelengder mellom \( 0 \) og \( 4 \) dm, med toppen mellom \( {x = 1} \) og \( {x = 2}\text{.} \)

Vi bruker funksjonen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi leter etter toppunktet på grafen til \( V\text{.} \) Med kalkulator lager vi finere tabeller rundt \( {x = 1{,}5}\text{,} \) og med GeoGebra finner vi toppunktet direkte.

1. Lag en finere tabell I c) fant vi: \[ V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x) \]I b) var volumet størst ved \( {x = 1{,}5}\text{.} \) Vi regner ut \( V(x) \) for hver tiendedel rundt \( 1{,}5\text{:} \) \[ \begin{array}{r|r} x & V(x) \\ \hline 1{,}4 & 66{,}976 \\ 1{,}5 & 67{,}500 \\ \textcolor{red}{1{,}6} & \textcolor{red}{67{,}584} \\ 1{,}7 & 67{,}252 \end{array} \]Toppunktet ligger altså mellom \( 1{,}5 \) og \( 1{,}7\text{.} \)

2. Lag en enda finere tabell Vi regner ut \( V(x) \) for hver hundredel fra \( 1{,}55 \) og ser hvor volumet snur: \[ \begin{array}{r|r} x & V(x) \\ \hline 1{,}55 & 67{,}5955 \\ 1{,}56 & 67{,}6017 \\ \textcolor{red}{1{,}57} & \textcolor{red}{67{,}6036} \\ 1{,}58 & 67{,}6012 \\ 1{,}59 & 67{,}5947 \end{array} \]Volumet er størst ved omtrent \( {\textcolor{red}{x = 1{,}57}}\text{,} \) altså kvadrater med sider på omtrent \( 157\,\text{mm}\text{.} \) Da er volumet omtrent \( \textcolor{red}{67{,}6} \) liter.

1. Finn toppunktet Vi finner toppunktet med Ekstremalpunkt mellom \( 0 \) og \( 4\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x), 0 < x < 4 T = Ekstremalpunkt(V, 0, 4)

Toppunktet er \( {T \approx (1{,}5695,\ 67{,}6036)}\text{.} \) Sidene i kvadratene skal være omtrent \( 1{,}57 \) dm, altså \( 157\,\text{mm}\text{,} \) og volumet blir omtrent \( 67{,}6 \) liter.

Vi bruker funksjonen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Modellen gir bare mening for de sidene i kvadratene som gir en kasse. Vi ser hvilke verdier av \( x \) som gir en positiv høyde, lengde og bredde.

1. Finn grensene Gyldighetsområdet er de verdiene av \( x \) der modellen beskriver kassene, som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, der sidelengdene ikke kan være negative. I c) fant vi: \[ V(x) = \textcolor{green}{x} \cdot (\textcolor{blue}{12 - 2x}) \cdot (\textcolor{red}{8 - 2x}) \]

Høyden \( \textcolor{green}{x} \) må være større enn \( 0\text{.} \) Bredden \( {\textcolor{red}{8 - 2x}} \) må også være større enn \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{8 - 2x} &> 0 \\ 8 &> 2x \\ x &< 4 \end{aligned} \]Da er også lengden \( {\textcolor{blue}{12 - 2x}} \) positiv.

For \( {x = 0} \) og \( {x = 4} \) er volumet \( 0\text{,} \) og da blir det ingen kasse. Ved \( {x = 4}\text{,} \) altså \( 400\,\text{mm}\text{,} \) skjæres hele bredden bort.