Forkurseksamen etter tema

Lengden av vektorproduktet er arealet av parallellogrammet, og trekanten er halvparten av det.

1. Finn vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 6, -2 - 0, 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-6, -2, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [0 - 6, 0 - 0, 3 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[-6, 0, 3]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet regner vektorproduktet med en determinant. Skrevet ut koordinat for koordinat er det gitt ved: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{a_1}, \textcolor{blue}{a_2}, \textcolor{blue}{a_3}] \times [\textcolor{red}{b_1}, \textcolor{red}{b_2}, \textcolor{red}{b_3}] \\ &= [\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} &\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \\ &= [(\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{0}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-6}) - (\textcolor{blue}{-6}) \cdot \textcolor{red}{3}, \\ &\qquad (\textcolor{blue}{-6}) \cdot \textcolor{red}{0} - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-6})] \\ &= [-6, 18, -12] \end{aligned} \]

3. Finn arealet Lengden til en vektor, som i videoen Lengden til en Vektor, er gitt ved: \[ \left|[a, b, c]\right| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]

Arealet av trekanten er halvparten av lengden til vektorproduktet: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{(-6)^2 + 18^2 + (-12)^2} \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{504} = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{14} = 3\sqrt{14} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorproduktet fra a).

Vektorproduktet står vinkelrett på trekanten, så det kan være retningsvektor for linjen. Så går vi fra punktet \( C \) i den retningen.

1. Finn retningsvektoren I a) fant vi at \( {\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [-6, 18, -12]}\text{.} \) Den står vinkelrett på begge vektorene, og dermed på trekanten. Vi kan dele den på \( {-6} \) uten å endre retningen: \[ \textcolor{blue}{\vec{r}} = \textcolor{blue}{[1, -3, 2]} \]

2. Skriv opp parameterframstillingen En linje gjennom et punkt \( \textcolor{red}{(x_0, y_0, z_0)} \) med retningsvektor \( \textcolor{blue}{[a, b, c]} \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{red}{x_0} + \textcolor{blue}{a}t \\ y &= \textcolor{red}{y_0} + \textcolor{blue}{b}t \\ z &= \textcolor{red}{z_0} + \textcolor{blue}{c}t \end{aligned} \]

Hva en parameter gjør, ser du i videoen Parametrisering. Her er punktet \( \textcolor{red}{C(0, 0, 3)}\text{.} \) Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{1} \cdot t = t \\ y &= \textcolor{red}{0} + (\textcolor{blue}{-3}) \cdot t = -3t \\ z &= \textcolor{red}{3} + \textcolor{blue}{2}t \end{aligned} \]

Andre parameterframstillinger er også riktige, for eksempel med \( {[-6, 18, -12]} \) som retningsvektor.

Vi bruker parameterframstillingen fra b).

I \( {xy\text{-planet}} \) er \( {z = 0}\text{.} \) Vi finner \( t \) fra det og setter inn i de andre koordinatene.

1. Sett z lik null I b) fant vi linjen, skrevet med parameteren \( t \) som i videoen Parametrisering: \[ x = t, \quad y = -3t, \quad z = 3 + 2t \]

Vi setter \( {z = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 + 2\textcolor{red}{t} &= 0 \\ \textcolor{red}{t} &= \textcolor{red}{-\dfrac{3}{2}} \end{aligned} \]

2. Finn x og y Vi setter \( \textcolor{red}{t} \) inn i de to andre koordinatene: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{red}{-\dfrac{3}{2}} \\ y &= -3 \cdot \left(\textcolor{red}{-\dfrac{3}{2}}\right) = \dfrac{9}{2} \end{aligned} \]

Vi bruker vektoren fra a) som normalvektor.

Vektorproduktet står vinkelrett på planet, så det er en normalvektor. Med et punkt i planet kan vi skrive opp likningen.

1. Skriv opp likningen for planet Likningen for et plan, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram, forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]

I a) fant vi at vektorproduktet er \( {[-6, 18, -12]}\text{.} \) Vi deler det på \( {-6} \) og får normalvektoren \( {\textcolor{blue}{[1, -3, 2]}}\text{.} \) Punktet er \( \textcolor{red}{C(0, 0, 3)}\text{.} \) Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - \textcolor{red}{0}) \textcolor{blue}{- 3}(y - \textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{2}(z - \textcolor{red}{3}) &= 0 \\ x - 3y + 2z - 6 &= 0 \end{aligned} \]

Kontroll: \( A \) gir \( {6 - 6 = 0}\text{,} \) og \( B \) gir \( {6 - 6 = 0}\text{.} \)

En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet. Vinkelen finner vi med skalarproduktet og lengdene.

1. Finn vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, koordinat for koordinat, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 2,\ -1 - 1,\ 0 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[-2, -2, -2]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [-1 - 2,\ 10 - 1,\ 3 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[-3, 9, 1]} \end{aligned} \]

2. Skriv opp vinkelformelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos v = \dfrac{\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{w}}}{|\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{w}}|} \]Sammenhengen mellom skalarproduktet og vinkelen brukes i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{w}} = \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}}\text{.} \) Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{blue}{y_1}, \textcolor{blue}{z_1}] \cdot [\textcolor{red}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}, \textcolor{red}{z_2}] \\ &= \textcolor{blue}{x_1}\textcolor{red}{x_2} + \textcolor{blue}{y_1}\textcolor{red}{y_2} + \textcolor{blue}{z_1}\textcolor{red}{z_2} \end{aligned} \]

Plugger vi inn vektorene, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \\ &= (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{9} + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= 6 - 18 - 2 \\ &= -14 \end{aligned} \]

Lengden til en vektor er, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}| &= \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}| &= \sqrt{9 + 81 + 1} = \sqrt{91} \end{aligned} \]

3. Regn ut vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \angle BAC &= \dfrac{-14}{\sqrt{12} \cdot \sqrt{91}} = \dfrac{-14}{\sqrt{1092}} \\ \angle BAC &= \cos^{-1}\left( \dfrac{-14}{\sqrt{1092}} \right) \\ &\approx 115{,}1^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Lengden av vektorproduktet er arealet av parallellogrammet vektorene utspenner. Trekanten er halvparten av det.

1. Skriv opp arealformelen Arealet av en trekant utspent av to vektorer er: \[ T = \dfrac{1}{2} \left| \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \right| \]

I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-2, -2, -2]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[-3, 9, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Vektorproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{blue}{y_1}, \textcolor{blue}{z_1}] \times [\textcolor{red}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}, \textcolor{red}{z_2}] \\ &= [\textcolor{blue}{y_1}\textcolor{red}{z_2} - \textcolor{blue}{z_1}\textcolor{red}{y_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{z_1}\textcolor{red}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}\textcolor{red}{z_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{x_1}\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{blue}{y_1}\textcolor{red}{x_2}] \end{aligned} \]Hvis du er usikker på kryssproduktet, forklares det underveis i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x_1} &= \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{y_1} &= \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{z_1} &= \textcolor{blue}{-2} \\ \textcolor{red}{x_2} &= \textcolor{red}{-3} & \textcolor{red}{y_2} &= \textcolor{red}{9} & \textcolor{red}{z_2} &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{9} &= 16 \\ (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} &= 8 \\ (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{9} - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) &= -24 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = [16, 8, -24] \]

3. Regn ut arealet Lengden av vektoren er: \[ \begin{aligned} \left| [16, 8, -24] \right| &= \sqrt{256 + 64 + 576} \\ &= \sqrt{896} = 8\sqrt{14} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i arealformelen, får vi: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 8\sqrt{14} = 4\sqrt{14} \approx 15{,}0 \]

Vi bruker vektorene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

En normalvektor står vinkelrett på to ikke-parallelle vektorer i planet. Vi viser derfor at skalarproduktet med begge er \( 0\text{.} \)

1. Regn ut skalarproduktene Skalarproduktet er \( 0 \) for vinkelrette vektorer, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram ?: \[ \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \]

Vi kaller vektoren \( {\vec{n} = [2, 1, -3]}\text{.} \) Fra a) har vi \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[-2, -2, -2]}} \) og \( {\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[-3, 9, 1]}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\vec{n} \cdot \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \\ &= 2 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) + 1 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) - 3 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \\ &= -4 - 2 + 6 = 0 \\ &\vec{n} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \\ &= 2 \cdot (\textcolor{red}{-3}) + 1 \cdot \textcolor{red}{9} - 3 \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= -6 + 9 - 3 = 0 \end{aligned} \]

2. Trekk konklusjonen \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \) og \( \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \) ligger i planet og er ikke parallelle, siden vinkelen mellom dem er \( 115{,}1^\circ\text{.} \) Dermed står \( {[2, 1, -3]} \) vinkelrett på planet.

Selv om du ikke fikk til c), kan du løse denne: normalvektoren står i oppgaveteksten til c).

Med en normalvektor og et punkt i planet kan vi skrive opp likningen.

1. Skriv opp planlikningen Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Oppgaven i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram ? gjør det samme.

Her er \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] \) normalvektoren fra c), og \( (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) \) punktet \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{c} &= \textcolor{blue}{-3} \\ \textcolor{red}{x_0} &= \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{y_0} &= \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{z_0} &= \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2}(x - \textcolor{red}{2}) + \textcolor{blue}{1}(y - \textcolor{red}{1}) \textcolor{blue}{{}- 3}(z - \textcolor{red}{2}) &= 0 \\ 2x - 4 + y - 1 - 3z + 6 &= 0 \\ 2x + y - 3z + 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Sjekk de andre punktene \( B \) og \( C \) skal også passe i likningen: \[ \begin{aligned} B&: \quad 2 \cdot 0 + (-1) - 3 \cdot 0 + 1 = 0 \\ C&: \quad 2 \cdot (-1) + 10 - 3 \cdot 3 + 1 = 0 \end{aligned} \]

Vi bruker planet fra d). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Punktet må ligge på linja. Vi finner derfor \( t \) fra \( {x\text{-koordinaten}} \) og \( k \) fra \( {z\text{-koordinaten.}} \)

1. Finn parameteren En parameterframstilling skriver hver koordinat som en funksjon av \( t\text{,} \) som i videoen Parametrisering - Intro. I punktet er \( {x = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + t &= 2 \\ \textcolor{blue}{t} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{blue}{t} = \textcolor{blue}{1}} \) stemmer også \( {y\text{-koordinaten:}} \) \[ y = 3 - 8 \cdot \textcolor{blue}{1} = -5 \]

2. Finn k I punktet er \( {z = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + k \cdot \textcolor{blue}{1} &= 0 \\ k &= -1 \end{aligned} \]

3. Sjekk at punktet er i planet Planet fra d) har likningen \( {2x + y - 3z + 1 = 0}\text{.} \) Vi setter inn punktet: \[ 2 \cdot 2 + (-5) - 3 \cdot 0 + 1 = 0 \]

Punktet ligger i planet.