Universitetseksamen etter tema

Nevneren er \( 0 \) i \( {x = 0}\text{,} \) midt i intervallet. Vi deler derfor integralet der og regner ut en av delene som en grense.

1. Del integralet i to I \( {x = 0} \) er telleren \( 1 \) og nevneren \( 0\text{:} \) \[ \cos 0 = 1, \quad \sin^2 0 = 0 \]

Integralet konvergerer bare hvis begge delene konvergerer: \[ \begin{aligned} &\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx \\ &= \int_{-\pi/2}^{0} \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx + \int_{0}^{\pi/2} \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx \end{aligned} \]

2. Finn den antideriverte Vi ser at \( \cos x \) er den deriverte av \( \sin x\text{,} \) så vi bruker substitusjon, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\sin x} \\ \textcolor{blue}{du} &= \textcolor{blue}{\cos x\,dx} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\textcolor{blue}{\cos x\,dx}}{\textcolor{red}{\sin^2 x}} &= \int \dfrac{\textcolor{blue}{du}}{\textcolor{red}{u}^2} = -\dfrac{1}{\textcolor{red}{u}} + C \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{red}{\sin x}} + C \end{aligned} \]

3. Regn ut den høyre delen Den antideriverte finnes ikke i \( {x = 0}\text{.} \) Vi starter derfor i \( {a > 0} \) og lar \( a \) gå mot \( 0\text{.} \) Et uegentlig integral med grenser ser du i videoen Uegentlig integral Oppgave 1: \[ \begin{aligned} \int_{a}^{\pi/2} \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx &= \left[-\dfrac{1}{\sin x}\right]_{a}^{\pi/2} \\ &= -1 + \dfrac{1}{\sin a} \end{aligned} \]

Når \( {a \to 0^+}\text{,} \) går \( \sin a \) mot \( 0 \) fra positiv side: \[ \lim_{a \to 0^+} \left(-1 + \dfrac{1}{\sin a}\right) = \infty \]

Den høyre delen divergerer, så hele integralet divergerer. Vi trenger ikke å regne ut den venstre delen.

Den øvre grensen er uendelig, så dette er et uegentlig integral. Vi integrerer derfor opp til en grense \( b \) og lar \( b \) vokse.

1. Skriv integralet med en grense Et uegentlig integral er definert ved en grenseverdi, med en øvre grense \( \textcolor{green}{b}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int_1^{\infty} \dfrac{3}{(x + 2)^2}\,dx \\ &= \lim_{\textcolor{green}{b} \to \infty} \int_1^{\textcolor{green}{b}} \dfrac{3}{(x + 2)^2}\,dx \end{aligned} \]Et eksempel på et uegentlig integral, med grensen mot uendelig til slutt, ser du i videoen Uegentlig integral Oppgave 1.

2. Regn ut integralet Vi skriver brøken som en potens, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \dfrac{3}{(x + 2)^2} = 3(x + 2)^{-2} \]

Potensregelen for integraler forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u}^{\textcolor{blue}{n}}\,du = \dfrac{\textcolor{red}{u}^{\textcolor{blue}{n} + 1}}{\textcolor{blue}{n} + 1} + C \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x + 2} \\ \textcolor{blue}{n} &= \textcolor{blue}{-2} \\ du &= dx \end{aligned} \]

Konstanten \( 3 \) blir stående foran. Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int_1^{\textcolor{green}{b}} 3(\textcolor{red}{x + 2})^{\textcolor{blue}{-2}}\,dx &= \left[ \dfrac{3(\textcolor{red}{x + 2})^{\textcolor{blue}{-1}}}{\textcolor{blue}{-1}} \right]_1^{\textcolor{green}{b}} \\ &= \left[ -\dfrac{3}{x + 2} \right]_1^{\textcolor{green}{b}} \\ &= -\dfrac{3}{\textcolor{green}{b} + 2} + \dfrac{3}{3} \\ &= 1 - \dfrac{3}{\textcolor{green}{b} + 2} \end{aligned} \]

3. La grensen vokse Når \( \textcolor{green}{b} \) vokser, blir nevneren stadig større, så brøken går mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{\textcolor{green}{b} \to \infty} \left( 1 - \dfrac{3}{\textcolor{green}{b} + 2} \right) = 1 - 0 = 1 \]

Nevneren kan skrives som et kvadrat. Vi deler brøken i to, integrerer opp til en øvre grense \( R \) og ser hva som skjer når \( R \) går mot uendelig.

1. Skriv om brøken Nevneren er et fullstendig kvadrat. Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Du ser den i videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{x} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x^2 + 6x + 9 = (\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{3})^2 \]

På \( {[-1, \infty)} \) er \( {x + 3 \ge 2}\text{,} \) så nevneren er aldri \( 0\text{.} \) Det eneste uegentlige er altså den øvre grensen.

Vi skriver telleren som \( {(x + 3) + 1} \) og deler i to: \[ \begin{aligned} \dfrac{x + 4}{(x + 3)^2} &= \dfrac{x + 3}{(x + 3)^2} + \dfrac{1}{(x + 3)^2} \\ &= \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{x + 3}} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{(x + 3)^2}} \end{aligned} \]

2. Integrer opp til en grense Et uegentlig integral forteller oss at: \[ \int_{-1}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{R \to \infty} \int_{-1}^{R} f(x)\,dx \]Et eksempel der grensen går mot uendelig til slutt, ser du i videoen Uegentlig integral Oppgave 1.

Vi integrerer ledd for ledd. Det første leddet gir \( \ln\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{x + 3}}\,dx = \textcolor{darkorange}{\ln|x + 3|} \]

Det andre skriver vi som en potens, som i samme video Basic integrasjonsregler/​formler. Potensregelen for integraler forteller oss at: \[ \int u^n\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n + 1}\text{,} \quad n \ne -1 \]

Her er \( {u = x + 3} \) og \( {n = -2}\text{.} \) \( {x + 3} \) går like bra som \( x\text{,} \) siden den deriverte er \( 1\text{.} \) Det gir oss: \[ \int \textcolor{magenta}{(x + 3)^{-2}}\,dx = \textcolor{magenta}{-\dfrac{1}{x + 3}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\int_{-1}^{R} \dfrac{x + 4}{(x + 3)^2}\,dx \\ &= \left[\textcolor{darkorange}{\ln|x + 3|} \textcolor{magenta}{- \dfrac{1}{x + 3}}\right]_{-1}^{R} \\ &= \ln(R + 3) - \dfrac{1}{R + 3} - \ln 2 + \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

3. La grensen gå mot uendelig Nå lar vi \( R \) gå mot uendelig. Hvert ledd for seg gir: \[ \begin{aligned} \ln(R + 3) &\to \infty \\ \dfrac{1}{R + 3} &\to 0 \end{aligned} \]

Resten er konstanter, så hele uttrykket vokser uten grense: \[ \lim_{R \to \infty} \int_{-1}^{R} \dfrac{x + 4}{(x + 3)^2}\,dx = \infty \]

Integralet har ingen endelig verdi, så det divergerer.

Det første integralet er en substitusjon. Det uegentlige integralet regner vi ut til \( R \) og lar så \( R \) vokse, og vinket viser hvilken \( a \) som fjerner \( \ln R\text{.} \)

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{red}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2 + 1} \\ du &= 2x\,dx \\ x\,dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir \( 2 \) og \( {R^2 + 1}\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} &\int_1^R \dfrac{x}{x^2 + 1}\,dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int_2^{R^2 + 1} \dfrac{1}{\textcolor{red}{u}}\,du \\ &= \dfrac{1}{2}\ln(R^2 + 1) - \dfrac{1}{2}\ln 2 \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet til R Et uegentlig integral er grensen av integralet opp til \( R\text{,} \) som i videoen Uegentlig integral Oppgave 1. Vi bruker resultatet over på første ledd: \[ \begin{aligned} &I(R) = \int_1^R \left( \dfrac{ax}{x^2 + 1} - \dfrac{1}{2x} \right) dx \\ &= \dfrac{a}{2}\ln(R^2 + 1) - \dfrac{a}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\ln R \end{aligned} \]

3. Skriv om med vinket Vinket har \( {\sqrt{R^2 + 1}} \) delt på \( R\text{,} \) så vi skriver om slik at akkurat det uttrykket står der. Logaritmereglene fra videoen Naturlige Logaritmer forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln\left(w^k\right) &= k\ln w \\ \ln\left(\dfrac{p}{q}\right) &= \ln p - \ln q \end{aligned} \]

Her er: \[ \begin{aligned} w &= R^2 + 1 & k &= \dfrac{1}{2} \\ p &= \sqrt{R^2 + 1} & q &= R \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\ln(R^2 + 1) = \ln\sqrt{R^2 + 1} \\ &= \textcolor{blue}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{R^2 + 1}}{R}\right)} + \textcolor{green}{\ln R} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og samler \( \textcolor{green}{\ln R}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} I(R) = \;& a\textcolor{blue}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{R^2 + 1}}{R}\right)} \\ &+ \left(a - \dfrac{1}{2}\right)\textcolor{green}{\ln R} - \dfrac{a}{2}\ln 2 \end{aligned} \]

4. Bestem a og integralet Når \( R \) vokser, går \( \textcolor{blue}{\text{første ledd}} \) mot \( 0 \) etter vinket, mens \( \textcolor{green}{\ln R} \) vokser uten grense. Integralet konvergerer derfor bare når faktoren foran \( \textcolor{green}{\ln R} \) er null: \[ a - \dfrac{1}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{1}{2} \]

Med \( {a = \dfrac{1}{2}} \) står bare konstanten igjen: \[ \begin{aligned} \lim_{R \to \infty} I(R) &= \dfrac{1}{2} \cdot 0 + 0 - \dfrac{1}{4}\ln 2 \\ &= -\dfrac{1}{4}\ln 2 \end{aligned} \]

Nevneren kan faktoriseres, så vi bruker delbrøksoppspalting. Det uegentlige integralet skriver vi deretter som en grense.

1. Faktoriser nevneren Vi trenger to tall som har produkt \( {-6} \) og sum \( 1\text{.} \) Det er \( {-2} \) og \( 3\text{,} \) så: \[ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) \]

2. Del opp brøken Telleren har lavere grad enn nevneren, og faktorene er ulike. Vi skriver derfor brøken som en sum av to brøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{3x - 1}{(x - 2)(x + 3)} = \dfrac{\textcolor{red}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{blue}{B}}{x + 3} \]

Ganger vi med nevneren på begge sider, får vi: \[ \begin{aligned} 3x - 1 &= \textcolor{red}{A}(x + 3) + \textcolor{blue}{B}(x - 2) \\ 3x - 1 &= (\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B})x + 3\textcolor{red}{A} - 2\textcolor{blue}{B} \end{aligned} \]

Leddene med \( x \) og konstantene må være like på hver side. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} &= 3 \\ 3\textcolor{red}{A} - 2\textcolor{blue}{B} &= -1 \end{aligned} \]

Setter vi \( {\textcolor{red}{A} = 3 - \textcolor{blue}{B}} \) inn i den andre likningen, får vi: \[ \begin{aligned} 3(3 - \textcolor{blue}{B}) - 2\textcolor{blue}{B} &= -1 \\ 9 - 5\textcolor{blue}{B} &= -1 \\ \textcolor{blue}{B} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{A} &= 3 - 2 = \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

3. Regn ut det ubestemte integralet Regelen for en brøk med \( x \) pluss et tall i nevneren forteller oss at: \[ \int \dfrac{k}{x + n}\,dx = k\ln|x + n| + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Plugger vi inn \( \textcolor{red}{A} \) og \( \textcolor{blue}{B}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\int \left(\dfrac{\textcolor{red}{1}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{x + 3}\right) dx \\ &= \textcolor{red}{\ln|x - 2|} + \textcolor{blue}{2\ln|x + 3|} + C \end{aligned} \]

4. Avgjør det uegentlige integralet Nevneren er ikke \( 0 \) for \( {x \ge 4}\text{,} \) så det eneste problemet er den øvre grensen. Vi skriver integralet som en grense: \[ \begin{aligned} &\int_4^{\infty} \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx \\ &= \lim_{b \to \infty} \int_4^b \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx \end{aligned} \]

For \( {x \ge 4} \) er begge parentesene positive. Setter vi inn grensene, får vi: \[ \begin{aligned} &\int_4^b \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx \\ &= \Big[\textcolor{red}{\ln(x - 2)} + \textcolor{blue}{2\ln(x + 3)}\Big]_4^b \\ &= \textcolor{red}{\ln(b - 2)} + \textcolor{blue}{2\ln(b + 3)} \\ &\quad - \ln 2 - 2\ln 7 \end{aligned} \]

Vi lar \( b \) vokse. Da vokser begge logaritmene uten grense, mens \( {-\ln 2 - 2\ln 7} \) er et fast tall: \[ \lim_{b \to \infty} \int_4^b \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx = \infty \]

Grensen finnes ikke som et tall, så det uegentlige integralet divergerer. Hvis du er usikker på uegentlige integraler, kan du se videoen Uegentlig integral Oppgave 1.