Universitetseksamen etter tema

Maksimum og minimum ligger der \( {F'(x) = 0} \) eller i endepunktene. Vi deriverer integralet, finner hvor \( F \) stiger og synker, og sammenligner med \( {F(2) > 0 > F(-2)}\text{.} \)

1. Deriver integralet Analysens fundamentalteorem forteller oss at: \[ \left(\int_a^x g(t)\,dt\right)' = g(x) \]Du ser det forklart i videoen Løs integralligningen - Generell løsning - 6 - Del 1.

Her er \( {g(t) = \cos(t^2)}\text{,} \) så: \[ F'(x) = \cos(x^2) \]

2. Finn kandidatene Maksimum og minimum på et lukket intervall ligger i et kritisk punkt, der \( {F'(x) = 0}\text{,} \) eller i et endepunkt. Kritiske punkter ser du i videoen Hva er et kritisk punkt.

Cosinus er \( 0 \) i \( \dfrac{\pi}{2}\text{,} \) \( \dfrac{3\pi}{2} \) og så videre. På intervallet er \( {x^2 \le 4}\text{,} \) og \( {\dfrac{3\pi}{2} > 4}\text{,} \) så bare den første kan brukes: \[ x^2 = \dfrac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \]

Vi kaller punktet \( {\textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}}}\text{.} \) Da er kandidatene: \[ x = -2, \quad -\textcolor{red}{c}, \quad \textcolor{red}{c}, \quad 2 \]

3. Finn hvor F stiger og synker Vi ser på fortegnet til \( \cos(x^2)\text{.} \) For \( {|x| < \textcolor{red}{c}} \) er: \[ 0 \le x^2 < \dfrac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad F'(x) > 0 \]

For \( {\textcolor{red}{c} < |x| \le 2} \) er: \[ \dfrac{\pi}{2} < x^2 < \dfrac{3\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad F'(x) < 0 \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} F &\text{ synker på } [-2, -\textcolor{red}{c}] \\ F &\text{ stiger på } [-\textcolor{red}{c}, \textcolor{red}{c}] \\ F &\text{ synker på } [\textcolor{red}{c}, 2] \end{aligned} \]

4. Sammenlign kandidatene Siden \( F \) synker på \( [\textcolor{red}{c}, 2] \) og \( {[-2, -\textcolor{red}{c}]}\text{,} \) gir opplysningen i oppgaven: \[ \begin{aligned} &F(\textcolor{red}{c}) > F(2) > 0 \\ &0 > F(-2) > F(-\textcolor{red}{c}) \end{aligned} \]

Av de fire kandidatene er altså \( F(\textcolor{red}{c}) \) størst og \( {F(-\textcolor{red}{c})} \) minst.

Vi skriver funksjonen uten absoluttverdi. Så sammenligner vi verdiene der den deriverte er \( 0\text{,} \) der grafen knekker og i endepunktene.

1. Skriv funksjonen uten absoluttverdi Absoluttverdien forteller oss at: \[ |a| = \begin{cases} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases} \]

\( {x^2 - 1} \) er negativ når \( {|x| < 1}\text{,} \) og da bytter den fortegn: \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{red}{1 - x^2}, & |x| < 1 \\ \textcolor{blue}{x^2 - 1}, & 1 \le |x| \le \sqrt{2} \end{cases} \]

2. Finn kandidatene Potensregelen \( {(x^n)' = n x^{n-1}} \) gir den deriverte av hver del, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ f'(x) = \begin{cases} \textcolor{red}{-2x}, & |x| < 1 \\ \textcolor{blue}{2x}, & 1 < |x| < \sqrt{2} \end{cases} \]

\( {f'(x) = 0} \) bare i \( {x = 0}\text{.} \) I \( {x = \pm 1} \) skifter uttrykket, og i \( {x = \pm\sqrt{2}} \) slutter intervallet. Verdiene er: \[ \begin{aligned} f(\pm\sqrt{2}) &= |2 - 1| = 1 \\ f(\pm 1) &= |1 - 1| = 0 \\ f(0) &= |0 - 1| = 1 \end{aligned} \]

3. Klassifiser punktene Fortegnet til den deriverte viser hvor grafen stiger og synker: \[ \begin{aligned} -\sqrt{2} < x < -1: \quad & \textcolor{blue}{2x} < 0 \\ -1 < x < 0: \quad & \textcolor{red}{-2x} > 0 \\ 0 < x < 1: \quad & \textcolor{red}{-2x} < 0 \\ 1 < x < \sqrt{2}: \quad & \textcolor{blue}{2x} > 0 \end{aligned} \]Grafen synker altså ned til \( {x = -1}\text{,} \) stiger til \( {x = 0}\text{,} \) synker til \( {x = 1} \) og stiger igjen. Da er \( {x = \pm 1} \) lokale minimum, og \( {x = 0} \) og endepunktene \( {x = \pm\sqrt{2}} \) lokale maksimum. Hva lokale og globale ekstremalpunkter er, ser du i videoen Hva er et kritisk punkt.

\( f \) er kontinuerlig på et lukket intervall, så største og minste verdi ligger blant kandidatene. Vi sammenligner verdiene over: \[ \begin{aligned} f(x) &\ge 0 = f(\pm 1) \\ f(x) &\le 1 = f(0) = f(\pm\sqrt{2}) \end{aligned} \]Minimumene og maksimumene er altså også globale.

4. Skisser grafen Vi tegner buen \( {\textcolor{red}{1 - x^2}} \) mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) og \( {\textcolor{blue}{x^2 - 1}} \) utenfor:

5. Undersøk knekken Den deriverte i et punkt er grensen av stigningstallet, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} \]

Her er \( {f(1) = 0}\text{.} \) Vi regner ut grensen fra hver side: \[ \begin{aligned} \lim_{h \to 0^-} \dfrac{\textcolor{red}{1 - (1 + h)^2}}{h} &= \lim_{h \to 0^-} (-2 - h) \\ &= -2 \\ \lim_{h \to 0^+} \dfrac{\textcolor{blue}{(1 + h)^2 - 1}}{h} &= \lim_{h \to 0^+} (2 + h) \\ &= 2 \end{aligned} \]Grensene er ulike, så \( f'(1) \) finnes ikke. Siden \( {f(-x) = f(x)}\text{,} \) gjelder det samme i \( {x = -1}\text{.} \)

Den øvre grensen er en funksjon av \( x\text{.} \) Vi bruker derfor fundamentalteoremet sammen med kjerneregelen. Så ser vi på fortegnet til \( F'(x)\text{.} \)

1. Skriv opp reglene Fundamentalteoremet forteller oss at den deriverte av et integral med variabel øvre grense er integranden i grensen: \[ \dfrac{d}{du} \int_0^{\textcolor{green}{u}} g(t)\,dt = g(\textcolor{green}{u}) \]Dette viser videoen Løs integralligningen.

Her er den øvre grensen en kjerne, så kjerneregelen forteller oss at vi må gange med den deriverte av kjernen: \[ F'(x) = g(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \]Se videoen Kjerneregelen.

2. Regn ut den deriverte Her er: \[ \begin{aligned} g(t) &= \cos\left(\dfrac{1}{1 + t^2}\right) \\ \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{2x - x^2} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{2 - 2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} F'(x) &= \cos\left(\dfrac{1}{1 + (\textcolor{green}{2x - x^2})^2}\right) \\ &\quad \cdot (\textcolor{green}{2 - 2x}) \end{aligned} \]

3. Finn fortegnet til cosinus Nevneren i brøken er minst \( 1\text{,} \) og \( {\pi > 2}\text{,} \) så: \[ 0 < \dfrac{1}{1 + (2x - x^2)^2} \le 1 < \dfrac{\pi}{2} \]

Cosinus er positiv mellom \( 0 \) og \( \dfrac{\pi}{2}\text{,} \) så for alle \( x \) er cosinusfaktoren positiv: \[ \textcolor{red}{\cos\left(\dfrac{1}{1 + (2x - x^2)^2}\right)} > 0 \]

4. Vis det globale maksimumet Fortegnet til \( F'(x) \) er dermed det samme som fortegnet til \( {\textcolor{green}{2 - 2x}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x < 1 &\Rightarrow F'(x) > 0 \\ x = 1 &\Rightarrow F'(x) = 0 \\ x > 1 &\Rightarrow F'(x) < 0 \end{aligned} \]

\( F \) vokser altså for alle \( {x < 1} \) og synker for alle \( {x > 1}\text{.} \) Det betyr at for alle \( x \) er: \[ F(x) \le F(1) \]\( F \) har derfor et globalt maksimum i \( {x = 1}\text{.} \)

Integralet er en funksjon av \( b\text{.} \) Vi regner det ut, deriverer med hensyn på \( b\text{,} \) og finner toppunktet med et fortegnsskjema.

1. Regn ut integralet Potensregelen for integrasjon forteller oss at: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi integrerer ledd for ledd og kaller integralet \( F(b)\text{:} \) \[ \begin{aligned} F(b) &= \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^b \\ &= \dfrac{b^2}{2} - \dfrac{b^3}{3} \end{aligned} \]

2. Finn nullpunktene til den deriverte Vi deriverer og faktoriserer ut \( \textcolor{darkorange}{b}\text{:} \) \[ F'(b) = b - b^2 = \textcolor{darkorange}{b}(\textcolor{magenta}{1 - b}) \]

Setter vi \( {F'(b) = 0}\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{darkorange}{b} = 0 \quad \text{eller} \quad \textcolor{magenta}{1 - b} = 0 \]Siden \( {b > 0}\text{,} \) står vi igjen med \( {b = 1}\text{.} \)

3. Sett opp fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. I skjemaet skriver vi \( x \) for \( b\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [1], "start": 0, "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{1 - x}", "expr": "1 - x"}, {"label": "F'(x)", "expr": "x(1 - x)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {b = 1} \) går \( F'(b) \) fra pluss til minus. \( F \) stiger fram til \( {b = 1} \) og synker etter det, så integralet er størst for \( {b = 1}\text{.} \) Verdien er: \[ F(1) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} \]

Vi deriverer, faktoriserer \( f'(x) \) og leser av fortegnet. Symmetrien ser vi når vi skriver \( f \) som et kvadrat.

1. Deriver funksjonen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n x^{n-1} \]Den står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 4x^3 + 6x^2 - 6x - 4 \\ &= 2(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) \end{aligned} \]

Vi prøver \( {x = 1} \) i parentesen: \[ 2 + 3 - 3 - 2 = 0 \]Altså er \( {(x - 1)} \) en faktor.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {2x^3 + 3x^2 - 3x - 2} \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^3} + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x^2} \\ \textcolor{red}{2x^2} \cdot (x - 1) &= 2x^3 - 2x^2 \\ -(2x^3 - 2x^2) &= \textcolor{red}{-2x^3 + 2x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 3x & {}- 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 2x^2} & & \\ \hline & 5x^2 & {}- 3x & {}- 2 \end{array} \end{array} \]\( 2x^3 \) strykes mot \( {-2x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + 2x^2 = 5x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-3x} \) og \( {-2}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{5x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{5x} \\ \textcolor{magenta}{5x} \cdot (x - 1) &= 5x^2 - 5x \\ -(5x^2 - 5x) &= \textcolor{magenta}{-5x^2 + 5x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 5x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 3x & {}- 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x^2}} & {}- 3x & {}- 2 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 5x} & \\ \hline & & 2x & {}- 2 \end{array} \end{array} \]\( 5x^2 \) strykes mot \( {-5x^2}\text{,} \) \( {-3x + 5x = 2x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-2}\text{.} \) Linja \( {2x - 2} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{blue}{2} \cdot (x - 1) &= 2x - 2 \\ -(2x - 2) &= \textcolor{blue}{-2x + 2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 5x} \textcolor{blue}{{}+ 2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 3x & {}- 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x^2}} & {}- 3x & {}- 2 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 5x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{2x}} & {}- 2 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-2x}} & \textcolor{blue}{{}+ 2} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 2x \) strykes mot \( {-2x}\text{,} \) og \( {-2 + 2 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 \\ &= (x - 1)(2x^2 + 5x + 2) \end{aligned} \]

3. Faktoriser videre abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Du kan se den i videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

For \( {2x^2 + 5x + 2} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{5} \\ \textcolor{green}{c} &= \textcolor{green}{2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{5} \pm \sqrt{\textcolor{red}{5}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} = \dfrac{-5 \pm 3}{4} \]

Det gir \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) og \( {x = -2}\text{.} \) Så faktoriserer vi, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ \begin{aligned} 2x^2 + 5x + 2 &= 2(x + 2)\left(x + \dfrac{1}{2}\right) \\ &= (x + 2)(2x + 1) \end{aligned} \]

Altså er: \[ f'(x) = 2(\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{2x + 1})(\textcolor{green}{x - 1}) \]

4. Finn hvor funksjonen vokser og avtar Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-2, -0.5, 1], "labels": ["-2", "-\\dfrac{1}{2}", "1"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2(x + 2)(2x + 1)(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Der \( f'(x) \) er positiv, vokser \( f\text{,} \) og der den er negativ, avtar \( f\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{vokser: } &\left[-2, -\dfrac{1}{2}\right] \text{ og } [1, \infty) \\ \text{avtar: } &(-\infty, -2] \text{ og } \left[-\dfrac{1}{2}, 1\right] \end{aligned} \]

5. Finn største og minste verdi Når \( x \) vokser i begge retninger, vinner \( x^4 \) over de andre leddene: \[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty \]Så \( f \) har ingen største verdi.

Fra fortegnet ser vi at den minste verdien må ligge i \( {x = -2} \) eller \( {x = 1}\text{,} \) som i videoen Hva er et kritisk punkt: \[ \begin{aligned} f(-2) &= 16 - 16 - 12 + 8 + 4 = 0 \\ f(1) &= 1 + 2 - 3 - 4 + 4 = 0 \end{aligned} \]Den minste verdien er altså \( 0\text{.} \)

6. Vis symmetrien Grafen er symmetrisk om \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) når punktene like langt til hver side har samme verdi, for alle \( t\text{:} \) \[ f\left(-\dfrac{1}{2} + t\right) = f\left(-\dfrac{1}{2} - t\right) \]

Siden \( f \) har minimum \( 0 \) i både \( {x = -2} \) og \( {x = 1}\text{,} \) er begge dobbeltrøtter. Vi prøver derfor kvadratet av \( {(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &(x^2 + x - 2)^2 \\ &= x^4 + 2x^3 + x^2 - 4x^2 - 4x + 4 \\ &= x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4 \end{aligned} \]

Vi fullfører kvadratet inne i parentesen: \[ f(x) = \left(\left(\textcolor{red}{x + \dfrac{1}{2}}\right)^2 - \dfrac{9}{4}\right)^2 \]

Med \( {x = -\dfrac{1}{2} + t} \) er \( {\textcolor{red}{x + \dfrac{1}{2}} = \textcolor{red}{t}}\text{,} \) og med \( {x = -\dfrac{1}{2} - t} \) er det \( {\textcolor{red}{-t}}\text{.} \) Begge gir samme kvadrat: \[ f\left(-\dfrac{1}{2} \pm t\right) = \left(\textcolor{red}{t}^2 - \dfrac{9}{4}\right)^2 \]