Universitetseksamen etter tema

Vi viser skrankene med induksjon, og at følgen vokser ved å se på forskjellen mellom kvadratene. En voksende følge med et tak konvergerer, og grensen finner vi fra formelen.

1. Vis skrankene med induksjon Vi bruker induksjon: Det stemmer for \( {n = 0}\text{,} \) og hvis det stemmer for én \( n\text{,} \) stemmer det for den neste.

For \( {n = 0} \) har vi: \[ 0 \le \sqrt{2} \le 2 \]

Anta nå at \( {0 \le \textcolor{red}{a_n} \le 2}\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} 2 \le 2 + \textcolor{red}{a_n} &\le 4 \\ \sqrt{2} \le \sqrt{2 + \textcolor{red}{a_n}} &\le 2 \\ 0 \le \textcolor{blue}{a_{n+1}} &\le 2 \end{aligned} \]Så \( {0 \le a_n \le 2} \) for alle \( {n \ge 0}\text{.} \)

2. Vis at følgen vokser Begge leddene er positive, så det holder å sammenligne kvadratene. Vi bruker formelen og faktoriserer: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_{n+1}}^2 - \textcolor{red}{a_n}^2 &= 2 + \textcolor{red}{a_n} - \textcolor{red}{a_n}^2 \\ &= (2 - \textcolor{red}{a_n})(1 + \textcolor{red}{a_n}) \end{aligned} \]

Vi har nettopp vist at \( {0 \le \textcolor{red}{a_n} \le 2}\text{,} \) så begge faktorene er ikke-negative: \[ (2 - \textcolor{red}{a_n})(1 + \textcolor{red}{a_n}) \ge 0 \]Dermed er \( {\textcolor{blue}{a_{n+1}} \ge \textcolor{red}{a_n}} \) for alle \( {n \ge 0}\text{.} \)

3. Forklar hvorfor grensen finnes Følgen vokser hele tiden, men den kommer aldri over \( 2\text{:} \) \[ a_0 \le a_1 \le a_2 \le \dots \le 2 \]

Vi bruker en setning om følger: En voksende følge som er begrenset ovenfra, konvergerer. \[ \begin{aligned} & a_n \le a_{n+1} \text{ og } a_n \le M \text{ for alle } n \\ & \Rightarrow \ \lim_{n \to \infty} a_n \text{ eksisterer} \end{aligned} \]

Her er \( {M = 2}\text{,} \) så grensen eksisterer. Hva det betyr at en følge konvergerer, ser du i videoen Konvergens og divergens følger.

4. Finn grensen Vi kaller grensen \( \textcolor{green}{L}\text{.} \) Når \( n \to \infty\text{,} \) går både \( a_n \) og \( {a_{n+1}} \) mot \( \textcolor{green}{L}\text{.} \) Kvadratroten er kontinuerlig, så vi kan sette inn i formelen: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{L} &= \sqrt{2 + \textcolor{green}{L}} \\ \textcolor{green}{L}^2 &= 2 + \textcolor{green}{L} \\ \textcolor{green}{L}^2 - \textcolor{green}{L} - 2 &= 0 \\ (\textcolor{green}{L} - 2)(\textcolor{green}{L} + 1) &= 0 \end{aligned} \]

Dette gir \( {\textcolor{green}{L} = 2} \) eller \( {\textcolor{green}{L} = -1}\text{.} \) Siden \( {a_n \ge 0} \) for alle \( n\text{,} \) kan ikke grensen være negativ, så \( {\textcolor{green}{L} = 2}\text{.} \)

Vi viser at følgen er synkende. Den er begrenset nedenfra av \( 4\text{,} \) så den konvergerer. Grenseverdien finner vi ved å la \( n \to \infty \) på begge sider av formelen.

1. Vis at følgen er synkende Vi ser på forskjellen mellom to ledd som kommer etter hverandre: \[ \begin{aligned} a_{n+1} - a_n &= \dfrac{1}{2}a_n + 2 - a_n \\ &= 2 - \dfrac{1}{2}a_n = \dfrac{4 - a_n}{2} \end{aligned} \]

Siden \( {a_n \ge 4}\text{,} \) er telleren aldri positiv: \[ \dfrac{4 - a_n}{2} \le 0 \quad \Rightarrow \quad a_{n+1} \le a_n \]

2. Vis at følgen konvergerer Monotonisetningen forteller oss at en synkende følge som er begrenset nedenfra, konvergerer: \[ \begin{aligned} &a_{n+1} \le a_n \text{ og } a_n \ge m \\ &\Rightarrow \ \lim_{n \to \infty} a_n \text{ finnes} \end{aligned} \]Hva det betyr at en følge konvergerer, ser du i videoen Konvergens og divergens følger.

Her er \( {m = 4}\text{,} \) så følgen konvergerer.

3. Finn grenseverdien Vi kaller grenseverdien \( \textcolor{red}{L}\text{.} \) Både \( {a_{n+1}} \) og \( a_n \) går mot \( \textcolor{red}{L}\text{,} \) så formelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{L} &= \dfrac{1}{2}\textcolor{red}{L} + 2 \\ \dfrac{1}{2}\textcolor{red}{L} &= 2 \\ \textcolor{red}{L} &= 4 \end{aligned} \]

At følgen er voksende, viser vi med induksjon, siden hvert ledd er gitt av det forrige. En voksende følge som er begrenset, må konvergere, og grensen finner vi ved å la \( n \) gå mot uendelig i formelen.

1. Vis at følgen er voksende Vi viser med induksjon at \( {a_{n+1} > a_n} \) for alle \( n\text{.} \) Startsteget er \( a_2\text{:} \) \[ a_2 = \sqrt{\dfrac{1}{2} \cdot 0 + \dfrac{1}{2}} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} > 0 = a_1 \]

Så antar vi at det stemmer for en \( n\text{,} \) altså at \( {\textcolor{red}{a_{n+1}} > \textcolor{blue}{a_n}}\text{.} \) Vi ganger med \( \dfrac{1}{2} \) og legger til \( \dfrac{1}{2}\text{:} \) \[ \dfrac{1}{2} \textcolor{red}{a_{n+1}} + \dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{2} \textcolor{blue}{a_n} + \dfrac{1}{2} \]

Kvadratroten er voksende, så ulikheten holder også etter at vi tar roten: \[ \begin{aligned} \sqrt{\dfrac{1}{2} \textcolor{red}{a_{n+1}} + \dfrac{1}{2}} &> \sqrt{\dfrac{1}{2} \textcolor{blue}{a_n} + \dfrac{1}{2}} \\ a_{n+2} &> a_{n+1} \end{aligned} \]

Dermed gjelder ulikheten for alle \( n\text{,} \) og følgen er voksende.

2. Forklar hvorfor følgen konvergerer Setningen om monotone følger forteller oss at en voksende følge som er begrenset ovenfra, konvergerer, der \( M \) er en øvre grense for følgen: \[ \begin{aligned} &a_n \le a_{n+1} \le M \ \text{ for alle } n \\ &\Rightarrow \ \lim_{n \to \infty} a_n \text{ finnes} \end{aligned} \]Hva det betyr at en følge konvergerer, ser du i videoen Konvergens og divergens følger.

Her viste vi at følgen er voksende, og at den er begrenset ovenfra, er oppgitt. Altså konvergerer den.

3. Sett opp en likning for grensen Vi kaller grensen \( L\text{.} \) Når \( n \) går mot uendelig, går både \( a_n \) og \( {a_{n+1}} \) mot \( L\text{.} \) Kvadratroten er kontinuerlig, så formelen gir: \[ L = \sqrt{\dfrac{1}{2} L + \dfrac{1}{2}} \]

Vi opphøyer begge sider i andre og ganger med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} L^2 &= \dfrac{1}{2} L + \dfrac{1}{2} \\ 2L^2 - L - 1 &= 0 \end{aligned} \]

4. Løs likningen abc-formelen forteller oss at, her med \( p\text{,} \) \( q \) og \( r\text{,} \) siden \( a \) er tatt: \[ L = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Du ser den i videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{p} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{q} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{green}{r} &= \textcolor{green}{-1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} L &= \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \dfrac{1 \pm 3}{4} \\ L &= 1 \quad \text{eller} \quad L = -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Alle leddene er kvadratrøtter eller \( {a_1 = 0}\text{,} \) så \( {a_n \ge 0}\text{.} \) Da kan ikke grensen være negativ: \[ a_n \ge 0 \quad \Rightarrow \quad L \ge 0 \quad \Rightarrow \quad L = 1 \]

Hvert ledd avhenger av det forrige, så vi viser at følgen er avtagende med induksjon. Da konvergerer den, og grensen finner vi ved å la \( n \) gå mot uendelig i formelen.

1. Vis at følgen er avtagende Vi viser med induksjon at dette gjelder for alle \( n\text{:} \) \[ a_{n+1} < a_n \le 1 \]

Vi starter med \( {n = 1}\text{:} \) \[ a_2 = \dfrac{1}{3 - 1} = \dfrac{1}{2} < 1 = a_1 \]

Så antar vi at det gjelder for en \( k\text{:} \) \[ \textcolor{red}{a_{k+1}} < \textcolor{blue}{a_k} \le 1 \]

Da blir \( {\textcolor{red}{a_{k+1}} \le 1}\text{,} \) slik at del to av påstanden holder for \( {k + 1}\text{.} \) Trekker vi leddene fra \( 3\text{,} \) snur ulikheten, og begge nevnerne er positive: \[ 3 - \textcolor{red}{a_{k+1}} > 3 - \textcolor{blue}{a_k} \ge 2 \]

Når vi tar den omvendte brøken av to positive tall, snur ulikheten igjen: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3 - \textcolor{red}{a_{k+1}}} &< \dfrac{1}{3 - \textcolor{blue}{a_k}} \\ a_{k+2} &< \textcolor{red}{a_{k+1}} \end{aligned} \]

Påstanden gjelder altså for \( {k + 1} \) også, og dermed for alle \( n\text{.} \)

2. Forklar at følgen konvergerer Følgen er avtagende og kan ikke gå under \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} &a_{n+1} < a_n \ \text{ og } \ a_n \ge 0 \\ &\Rightarrow \ \lim_{n \to \infty} a_n = L \text{ finnes} \end{aligned} \]

En avtagende følge som er nedad begrenset, må konvergere. Den kan ikke fortsette nedover forbi \( 0\text{,} \) så den flater ut mot et tall \( L\text{.} \) Hva det betyr at en følge konvergerer, ser du i videoen Konvergens og divergens følger.

3. Sett opp en likning for grensen Når \( n \) går mot uendelig, går både \( a_n \) og \( {a_{n+1}} \) mot \( L\text{:} \) \[ L = \dfrac{1}{3 - L} \]

Ganger vi med \( {3 - L} \) og samler alt på én side, får vi: \[ \begin{aligned} L(3 - L) &= 1 \\ 3L - L^2 &= 1 \\ L^2 - 3L + 1 &= 0 \end{aligned} \]

4. Løs andregradslikningen abc-formelen, her med bokstavene \( p, q, r\text{,} \) forteller oss at: \[ L = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Du ser den i bruk i videoen Grenseverdier.

Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ L = \dfrac{\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{9} - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{1}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \]

Alle leddene er høyst \( 1\text{,} \) så den ene løsningen er for stor: \[ L \le 1 < \dfrac{3}{2} < \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \]

Da står vi igjen med: \[ L = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \]

En følge som vokser og aldri kommer over et tall, må konvergere. Vi viser begge deler, og finner grensen ved å la \( n \) vokse i formelen for følgen.

1. Vis at følgen er under tre Vi bruker induksjon: vi viser at påstanden stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og at den i så fall også stemmer for neste \( n\text{.} \)

Start: \[ a_1 = 1 < 3 \]

Antakelsen for en \( k \) er: \[ \textcolor{red}{a_k} < \textcolor{red}{3} \]

Da gir formelen for følgen: \[ a_{k+1} = \sqrt{6 + \textcolor{red}{a_k}} < \sqrt{6 + \textcolor{red}{3}} = 3 \]

Altså får vi, for alle \( {n \ge 1}\text{:} \) \[ a_n < 3 \]

2. Vis at følgen vokser Siden \( {a_1 = 1} \) og resten er kvadratrøtter, er alle leddene positive, så \( {0 < a_n < 3}\text{.} \) Vi ser på differansen mellom kvadratene: \[ \begin{aligned} a_{n+1}^2 - a_n^2 &= 6 + a_n - a_n^2 \\ &= (\textcolor{darkorange}{3 - a_n})(\textcolor{magenta}{2 + a_n}) \end{aligned} \]

Med \( {0 < a_n < 3} \) er begge faktorene positive: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{3 - a_n} &> 0 \\ \textcolor{magenta}{2 + a_n} &> 0 \end{aligned} \]

Dermed vet vi at \( {a_{n+1}^2 > a_n^2}\text{,} \) og siden leddene er positive: \[ a_n < a_{n+1} \]

3. Begrunn at følgen konvergerer Vi bruker denne regelen: \[ \begin{aligned} &\text{voksende og begrenset oppover} \\ &\Rightarrow \ \text{konvergerer} \end{aligned} \]Hva det betyr at en følge konvergerer, ser du i videoen Konvergens og divergens følger.

Her har vi: \[ a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < 3 \]Følgen konvergerer derfor.

4. Finn grenseverdien Når \( n \) vokser, går både \( a_n \) og \( {a_{n+1}} \) mot \( a\text{.} \) Kvadratroten er kontinuerlig, så formelen for følgen gir: \[ \begin{aligned} a &= \sqrt{6 + a} \\ a^2 &= 6 + a \\ a^2 - a - 6 &= 0 \end{aligned} \]

\( a \) er allerede tatt, så vi kaller konstantene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ a = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Du kan se den i videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{p} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{q} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{green}{r} &= \textcolor{green}{-6} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \!\sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {a = 3} \) eller \( {a = -2}\text{.} \) Følgen vokser fra \( {a_1 = 1}\text{,} \) så grensen kan ikke være negativ: \[ a_n \ge a_1 = 1 \ \Rightarrow \ a \ge 1 \ \Rightarrow \ a = 3 \]