Universitetseksamen etter tema

Vi skriver opp formelen for arealet av en rotasjonsflate og setter inn \( f(x)\text{.} \) Integralet løser vi med substitusjon.

1. Sett opp integralet Formelen for arealet av en rotasjonsflate om \( {x\text{-aksen}} \) forteller oss at: \[ S = \int_a^b 2\pi\, \textcolor{red}{f(x)} \sqrt{1 + (\textcolor{blue}{f'(x)})^2}\,dx \]Hver bitte liten bit av grafen lager en ring med radius \( \textcolor{red}{f(x)}\text{.} \) Rotuttrykket er den samme lille lengden som i videoen Buelengde formel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(x)} &= \textcolor{red}{x^3} \\ \textcolor{blue}{f'(x)} &= \textcolor{blue}{3x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S &= \int_0^{2/3} 2\pi\, \textcolor{red}{x^3} \sqrt{1 + (\textcolor{blue}{3x^2})^2}\,dx \\ &= 2\pi \int_0^{2/3} x^3 \sqrt{1 + 9x^4}\,dx \end{aligned} \]

2. Bruk substitusjon Vi setter uttrykket under roten lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 + 9x^4} \\ du &= 36x^3\,dx \\ x^3\,dx &= \dfrac{1}{36}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow u = 1 \\ x = \dfrac{2}{3} &\Rightarrow u = 1 + 9 \cdot \dfrac{16}{81} = \dfrac{25}{9} \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Det gir oss: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{2\pi}{36} \int_1^{25/9} \sqrt{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= \dfrac{\pi}{18} \left[ \dfrac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{25/9} \\ &= \dfrac{\pi}{27} \left( \left(\dfrac{25}{9}\right)^{3/2} - 1 \right) \\ &= \dfrac{\pi}{27} \left( \dfrac{125}{27} - 1 \right) \\ &= \dfrac{\pi}{27} \cdot \dfrac{98}{27} = \dfrac{98\pi}{729} \end{aligned} \]

Hver liten bit av grafen lager en ring med radius lik avstanden til \( {y = -1}\text{.} \) Det gir integralet. Så deler vi \( [0, 1] \) i tre og regner ut trapesene.

1. Sett opp arealet En liten bit av grafen har lengden \( {\textcolor{blue}{\sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx}}\text{,} \) som i videoen Buelengde formel. Dreid rundt linjen blir den en ring med omkrets \( 2\pi\textcolor{red}{r}\text{.} \) Formelen for arealet er derfor: \[ I = 2\pi \int_a^b \textcolor{red}{r(x)}\,\textcolor{blue}{\sqrt{1 + f'(x)^2}}\,dx \]

Radiusen er avstanden fra grafen ned til \( {y = -1}\text{,} \) og \( {f'(x) = 2x}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{r(x)} &= x^2 - (-1) = \textcolor{red}{1 + x^2} \\ \textcolor{blue}{\sqrt{1 + f'^2}} &= \textcolor{blue}{\sqrt{1 + 4x^2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ I = 2\pi \int_0^1 (\textcolor{red}{1 + x^2})\textcolor{blue}{\sqrt{1 + 4x^2}}\,dx \]

2. Skriv opp trapesmetoden Trapesmetoden legger sammen trapesene. Hver indre funksjonsverdi er med i to trapeser, så med tre delintervaller er: \[ T_3 = \dfrac{\Delta x}{2}\left(g_0 + 2g_1 + 2g_2 + g_3\right) \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Trapesmetoden.

Her er: \[ \begin{aligned} g(x) &= (1 + x^2)\sqrt{1 + 4x^2} \\ \Delta x &= \dfrac{1 - 0}{3} = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]

3. Regn ut funksjonsverdiene Vi setter inn \( {x = 0}\text{,} \) \( \dfrac{1}{3}\text{,} \) \( \dfrac{2}{3} \) og \( 1\text{:} \) \[ \begin{aligned} g_0 &= 1 \cdot 1 = 1 \\ g_1 &= \dfrac{10}{9} \cdot \dfrac{\sqrt{13}}{3} = \dfrac{10\sqrt{13}}{27} \approx 1{,}3354 \\ g_2 &= \dfrac{13}{9} \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{65}{27} \approx 2{,}4074 \\ g_3 &= 2\sqrt{5} \approx 4{,}4721 \end{aligned} \]

4. Regn ut tilnærmingen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T_3 &\approx \dfrac{1}{6}(1 + 2{,}6708 + 4{,}8148 \\ &\quad + 4{,}4721) \\ &= \dfrac{12{,}9577}{6} \approx 2{,}1596 \end{aligned} \]

\( I \) er \( 2\pi \) ganger integralet, så vi ganger med \( 2\pi\text{:} \) \[ I \approx 2\pi \cdot 2{,}1596 \approx 13{,}57 \]

Vi skriver opp formelen for arealet av en rotasjonsflate. Radiusen er avstanden fra grafen ned til linjen \( {y = -1}\text{,} \) og vinket hjelper oss med integralet.

1. Sett opp integralet Formelen for arealet av en rotasjonsflate forteller oss at: \[ S = \int_a^b 2\pi\, \textcolor{red}{r(x)} \sqrt{1 + (\textcolor{blue}{f'(x)})^2}\,dx \]Hver bitte liten bit av grafen lager en ring med radius \( \textcolor{red}{r(x)}\text{.} \) Rotuttrykket ganget med \( dx \) er lengden av den lille biten, som i videoen Buelengde formel.

Hyperbolsk cosinus og sinus er definert ved: \[ \begin{aligned} \cosh(x) &= \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \\ \sinh(x) &= \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \end{aligned} \]

Vi deriverer \( \cosh(x) \) med regelen for \( e^u\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (e^u)' = e^u \cdot u' \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{r(x)} &= \textcolor{red}{f(x) - (-1) = \cosh(x) + 1} \\ \textcolor{blue}{f'(x)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh(x)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S = \int_0^{\ln 2} 2\pi\, &(\textcolor{red}{\cosh(x) + 1}) \\ &\cdot \sqrt{1 + \textcolor{blue}{\sinh^2(x)}}\,dx \end{aligned} \]

2. Forenkle integranden Siden \( {\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1} \) og \( {\cosh(x) > 0}\text{,} \) er: \[ \sqrt{1 + \textcolor{blue}{\sinh^2(x)}} = \cosh(x) \]

Dermed får vi: \[ \begin{aligned} S &= 2\pi \int_0^{\ln 2} (\textcolor{red}{\cosh x + 1})\cosh x\,dx \\ &= 2\pi \int_0^{\ln 2} \left( \cosh^2 x + \cosh x \right) dx \end{aligned} \]

Vinket gir oss det vi skal integrere: \[ \begin{aligned} &\cosh^2 x + \cosh x \\ &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cosh 2x + \cosh x \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Fra definisjonene ser vi at \( \sinh(x) \) derivert er \( \cosh(x)\text{.} \) Med kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen, er da \( {(\sinh 2x)' = 2\cosh 2x}\text{.} \) Vi integrerer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{1}{2}\,dx &= \dfrac{x}{2} \\ \int \dfrac{1}{2}\cosh 2x\,dx &= \dfrac{\sinh 2x}{4} \\ \int \cosh x\,dx &= \sinh x \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ S = 2\pi \left[ \dfrac{x}{2} + \dfrac{\sinh 2x}{4} + \sinh x \right]_0^{\ln 2} \]

I \( {x = 0} \) er alle leddene \( 0\text{.} \) I \( {x = \ln 2} \) bruker vi \( {e^{\ln 2} = 2} \) og \( {e^{2\ln 2} = 4}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sinh(\ln 2) &= \dfrac{2 - \dfrac{1}{2}}{2} = \dfrac{3}{4} \\ \sinh(2\ln 2) &= \dfrac{4 - \dfrac{1}{4}}{2} = \dfrac{15}{8} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S &= 2\pi \left( \dfrac{\ln 2}{2} + \dfrac{15}{32} + \dfrac{3}{4} \right) \\ &= 2\pi \left( \dfrac{\ln 2}{2} + \dfrac{39}{32} \right) \\ &= \pi \ln 2 + \dfrac{39\pi}{16} \end{aligned} \]

Vi skriver opp formelen for arealet av en rotasjonsflate. Radien er avstanden fra grafen ned til aksen \( {y = -1}\text{,} \) så den blir \( {\cosh x + 1}\text{.} \)

1. Sett opp integralet Formelen for arealet av en rotasjonsflate forteller oss at: \[ S = \int_a^b 2\pi\, \textcolor{red}{r(x)} \sqrt{1 + (\textcolor{blue}{f'(x)})^2}\,dx \]Hver bitte liten bit av grafen lager en ring med radius \( \textcolor{red}{r(x)}\text{.} \) Rotuttrykket er den samme lille lengden som i videoen Buelengde formel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{r(x)} &= \cosh x - (-1) = \textcolor{red}{\cosh x + 1} \\ \textcolor{blue}{f'(x)} &= \textcolor{blue}{\sinh x} \end{aligned} \]Den deriverte av \( \cosh x \) er \( \sinh x\text{,} \) og den deriverte av \( \sinh x \) er \( \cosh x\text{.} \)

Siden \( {\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1} \) og \( {\cosh x > 0}\text{,} \) blir roten: \[ \sqrt{1 + \textcolor{blue}{\sinh^2 x}} = \cosh x \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S &= 2\pi \int_0^1 (\textcolor{red}{\cosh x + 1}) \cosh x\,dx \\ &= 2\pi \int_0^1 (\textcolor{green}{\cosh^2 x} + \textcolor{darkorange}{\cosh x})\,dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd \( \textcolor{green}{\cosh^2 x}\text{:} \) med identiteten fra tipset får vi: \[ \textcolor{green}{\cosh^2 x} = \dfrac{1}{2}(1 + \cosh 2x) \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int_0^1 \textcolor{green}{\cosh^2 x}\,dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int_0^1 (1 + \cosh 2x)\,dx \\ &= \dfrac{1}{2} \left[x + \dfrac{1}{2}\sinh 2x\right]_0^1 \\ &= \underline{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\sinh 2} \end{aligned} \]

\( \textcolor{darkorange}{\cosh x}\text{:} \) siden \( {\sinh 0 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \int_0^1 \textcolor{darkorange}{\cosh x}\,dx = \Big[\sinh x\Big]_0^1 = \underline{\sinh 1} \]

3. Slå sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} S &= 2\pi \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\sinh 2 + \sinh 1\right) \\ &= \pi + \dfrac{\pi}{2}\sinh 2 + 2\pi\sinh 1 \end{aligned} \]