Universitetseksamen etter tema

Vi flytter over og ser på nullpunktet til \( {g(x) = f(x) - 4}\text{.} \) Skjærsetningen gir et nullpunkt, den deriverte viser at det er ett, og den dobbeltderiverte avgjør hvilken side av \( r \) vi havner på.

1. Vis at det finnes en løsning Vi setter: \[ \begin{aligned} g(x) &= f(x) - 4 \\ &= 2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1) - 2 \end{aligned} \]

Skjærsetningen forteller oss at hvis \( g \) er kontinuerlig på \( [a, b] \) med \( {g(a) < 0 < g(b)}\text{,} \) finnes det en \( c \) der: \[ g(c) = 0, \quad c \in (a, b) \]Du ser setningen i videoen Skjærsetningen.

Her er \( g \) kontinuerlig på \( [1, 2]\text{,} \) siden den er satt sammen av kontinuerlige funksjoner, og: \[ \begin{aligned} g(1) &= 2e \cdot 0 - 2 = -2 \\ g(2) &= 2e^{\sqrt{2}}(\sqrt{2} - 1) - 2 \approx 1{,}41 \end{aligned} \]Det finnes altså en løsning \( r \in (1, 2)\text{.} \)

2. Vis at løsningen er den eneste Når vi deriverer et integral med \( x \) i øvre grense, får vi funksjonen under integraltegnet: \[ \left( \int_0^x h(t)\,dt \right)' = h(x) \]Hvorfor det er slik, ser du i videoen Løs integralligningen - Generell løsning - 6 - Del 1.

Her er \( {h(t) = e^{\sqrt{t}}}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{g'(x)} = \textcolor{blue}{e^{\sqrt{x}}} > 0 \]\( g \) er altså strengt voksende, og kan bare krysse \( 0 \) én gang.

3. Bruk Newtons metode Newtons metode forteller oss at: \[ \textcolor{red}{x_{n+1}} = x_n - \dfrac{\textcolor{green}{g(x_n)}}{\textcolor{blue}{g'(x_n)}} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Newtons metode.

Første iterasjon starter i \( {x_0 = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x_1} &= 1 - \dfrac{\textcolor{green}{-2}}{\textcolor{blue}{e}} \\ &= 1 + \dfrac{2}{e} \\ &\approx 1{,}7358 \end{aligned} \]

Andre iterasjon starter i \( x_1\text{,} \) der \( {\sqrt{x_1} \approx 1{,}3175}\text{.} \) Vi regner videre med alle desimalene på kalkulatoren og runder av til slutt: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g'(x_1)} &= \textcolor{blue}{e^{\sqrt{x_1}} \approx 3{,}7340} \\ \textcolor{green}{g(x_1)} &= \textcolor{green}{2e^{\sqrt{x_1}}(\sqrt{x_1} - 1) - 2} \\ &\approx \textcolor{green}{0{,}3710} \\ \textcolor{red}{x_2} &\approx 1{,}7358 - \dfrac{\textcolor{green}{0{,}3710}}{\textcolor{blue}{3{,}7340}} \\ &\approx 1{,}6364 \end{aligned} \]

Avrundet til fire desimaler er altså: \[ \underline{r^* = \textcolor{red}{x_2} \approx 1{,}6364} \]

4. Sammenlign med den eksakte løsningen Vi deriverer \( \textcolor{blue}{g'(x)} \) med regelen for \( e^u\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (e^u)' = e^u \cdot u' \]

Her er: \[ u = \sqrt{x}, \quad u' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]

Det gir oss: \[ g''(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} > 0 \]Grafen til \( g \) krummer altså oppover, og da ligger den over tangentene sine.

For tangenten i \( x_1 \) betyr det, når \( {x \neq x_1}\text{:} \) \[ g(x) > \textcolor{green}{g(x_1)} + \textcolor{blue}{g'(x_1)}(x - x_1) \]

Newtons metode velger \( \textcolor{red}{x_2} \) der tangenten er \( 0\text{,} \) så høyre side er \( 0 \) for \( {x = \textcolor{red}{x_2}}\text{:} \) \[ g(r^*) > 0 = g(r) \]

Siden \( g \) er strengt voksende, må \( r^* \) ligge til høyre for \( r\text{:} \) \[ \underline{r^* > r} \]

Grafen er \( \sqrt{x} \) speilet om \( {y\text{-aksen.}} \) Vi setter uttrykket inn i Newtons formel på hver side av \( 0 \) og ser hvor neste punkt havner.

1. Skisser grafen For \( {x \ge 0} \) er grafen vanlig \( \sqrt{x}\text{.} \) Siden \( {|-x| = |x|}\text{,} \) er \( {f(-x) = f(x)}\text{,} \) så venstre side er den samme grafen speilet om \( {y\text{-aksen.}} \) Noen punkter: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(\pm 1) &= 1 \\ f(\pm 4) &= 2 \end{aligned} \]

2. Skriv opp Newtons metode Newtons metode forteller oss at: \[ x_{n+1} = \textcolor{blue}{x_n} - \dfrac{\textcolor{red}{f(x_n)}}{\textcolor{green}{f'(x_n)}} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Newtons metode.

3. Regn ut steget for positive tall Vi skriver \( {\sqrt{x} = x^{\tfrac{1}{2}}} \) og deriverer, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(x^{\tfrac{1}{2}}\right)' = \dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]

For \( {x > 0} \) er: \[ \textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{\sqrt{x}}, \quad \textcolor{green}{f'(x)} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}} \]

Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{x} - \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{x}}}{\textcolor{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}} \\ &= \textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{\sqrt{x}} \cdot \textcolor{green}{2\sqrt{x}} \\ &= \textcolor{blue}{x} - 2x = -x \end{aligned} \]

4. Regn ut steget for negative tall For \( {x < 0} \) bruker vi kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ \left(\sqrt{\textcolor{magenta}{k}}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{magenta}{k}}} \cdot \textcolor{magenta}{k'} \]

Med kjernen \( {\textcolor{magenta}{k} = \textcolor{magenta}{-x}} \) og \( {\textcolor{magenta}{k'} = \textcolor{magenta}{-1}} \) er: \[ \textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{\sqrt{-x}}, \quad \textcolor{green}{f'(x)} = \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}} \]

Plugger vi dette inn, får vi samme resultat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{x} - \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{-x}}}{\textcolor{green}{-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}}} \\ &= \textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{\sqrt{-x}} \cdot \textcolor{green}{2\sqrt{-x}} \\ &= \textcolor{blue}{x} + 2(-x) = -x \end{aligned} \]

5. Konkluder Hvert steg bytter altså bare fortegn: \[ \begin{aligned} x_{n+1} &= -x_n \\ x_0, x_1, x_2, \ldots &= x_0,\ -x_0,\ x_0,\ \ldots \end{aligned} \]

Tangenten i \( x_0 \) skjærer \( {x\text{-aksen}} \) i \( {-x_0}\text{,} \) og tangenten der skjærer den i \( x_0 \) igjen:

Avstanden til nullpunktet er hele tiden \( |x_0|\text{,} \) så følgen nærmer seg aldri \( 0\text{.} \) Starter vi i \( {x_0 = 0}\text{,} \) går det heller ikke, siden \( f'(0) \) ikke finnes: grafen står loddrett der.

Newtons metode finner nullpunkter. Vi flytter derfor alt over på én side, deriverer og itererer til de to første desimalene ligger fast.

1. Lag en funksjon Vi trekker høyresiden fra venstresiden. Løsningen er nullpunktet til: \[ f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1} - \sqrt{1 - x} \]

2. Deriver brøken Vi deriverer de to leddene hver for seg: \[ f'(x) = \left(\dfrac{x}{x^2 + 1}\right)' - \left(\sqrt{1 - x}\right)' \]

Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{x}{x^2 + 1}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{x^2 + 1}) - \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 + 1})^2} \\ &= \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \end{aligned} \]

3. Deriver roten Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\sqrt{\textcolor{green}{w}}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{green}{w}}} \cdot \textcolor{green}{w'} \]Dette er regelen fra videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{w} &= \textcolor{green}{1 - x} & \textcolor{green}{w'} &= \textcolor{green}{-1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \left(\sqrt{\textcolor{green}{1 - x}}\right)' = \dfrac{\textcolor{green}{-1}}{2\sqrt{\textcolor{green}{1 - x}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} - \left(\dfrac{-1}{2\sqrt{1 - x}}\right) \\ &= \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} + \dfrac{1}{2\sqrt{1 - x}} \end{aligned} \]

4. Bruk Newtons metode Newtons metode forteller oss at: \[ x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Newtons metode.

Med \( {x_0 = 0{,}8} \) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} f(0{,}8) &\approx 0{,}04059 \\ f'(0{,}8) &\approx 1{,}25188 \\ x_1 &\approx 0{,}8 - \dfrac{0{,}04059}{1{,}25188} \\ &\approx 0{,}76758 \end{aligned} \]

Med \( x_1 \) i stedet for \( x_0 \) får vi: \[ \begin{aligned} f(x_1) &\approx 0{,}00090 \\ f'(x_1) &\approx 1{,}19979 \\ x_2 &\approx 0{,}76758 - \dfrac{0{,}00090}{1{,}19979} \\ &\approx 0{,}76683 \end{aligned} \]

5. Sjekk de to desimalene Både \( x_1 \) og \( x_2 \) blir \( 0{,}77 \) avrundet. For å være sikre sjekker vi fortegnet rett på hver side av avrundingsintervallet: \[ \begin{aligned} f(0{,}765) &\approx -0{,}0022 < 0 \\ f(0{,}775) &\approx 0{,}0098 > 0 \end{aligned} \]

\( f \) er kontinuerlig og skifter fortegn, så nullpunktet ligger mellom \( 0{,}765 \) og \( 0{,}775\text{.} \)