Universitetseksamen etter tema

Vi begynner med å sette inn \( {x = 0}\text{.} \) Det gir \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi bruker L'Hôpitals regel, og velger \( a \) slik at vi ikke ender med et tall delt på \( 0\text{.} \)

1. Sett inn x lik null Vi må ha \( {a \neq 0}\text{,} \) ellers er nevneren alltid \( 0\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 0} \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{teller}} &\to \textcolor{red}{1 - 1 - 0 = 0} \\ \textcolor{blue}{\text{nevner}} &\to \textcolor{blue}{(1 - 1) \cdot 0 = 0} \end{aligned} \]

2. Deriver teller og nevner L'Hôpitals regel forteller oss at ved \( \dfrac{0}{0} \) er: \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f(x)}}{\textcolor{blue}{g(x)}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f'(x)}}{\textcolor{blue}{g'(x)}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen L'Hopitals regel.

Kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen, gir disse to: \[ \begin{aligned} (e^{x/2})' &= \dfrac{1}{2}e^{x/2} \\ (\sin(ax))' &= a\cos(ax) \end{aligned} \]

Telleren blir: \[ \textcolor{red}{f'(x)} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^{x/2} - a\cos(ax)} \]

Nevneren er et produkt. Rødt og blått er teller og nevner her, så vi bruker oransje og magenta i produktregelen, som i videoen Produktregelen. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{darkorange}{u}\textcolor{magenta}{v})' = \textcolor{darkorange}{u'}\textcolor{magenta}{v} + \textcolor{darkorange}{u}\textcolor{magenta}{v'} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u} &= \textcolor{darkorange}{e^{x/2} - 1} & \textcolor{darkorange}{u'} &= \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^{x/2}} \\ \textcolor{magenta}{v} &= \textcolor{magenta}{\sin(ax)} & \textcolor{magenta}{v'} &= \textcolor{magenta}{a\cos(ax)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g'(x)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{x/2}\sin(ax)} \\ &\quad \textcolor{blue}{+ (e^{x/2} - 1)a\cos(ax)} \end{aligned} \]

3. Velg a Vi setter inn \( {x = 0} \) igjen: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f'(0)} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - a} \\ \textcolor{blue}{g'(0)} &= \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

Er telleren ulik \( 0\text{,} \) får vi et tall delt på \( 0\text{,} \) og da eksisterer ikke grenseverdien. Vi må derfor ha: \[ \dfrac{1}{2} - a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{1}{2} \]

4. Bruk regelen en gang til Med \( {a = \dfrac{1}{2}} \) har vi fortsatt \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi deriverer en gang til: \[ \textcolor{red}{f''(x)} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}e^{x/2} + \dfrac{1}{4}\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)} \]

Nevneren deriverer vi ledd for ledd med produktregelen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g''(x)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}e^{x/2}\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)} \\ &\quad \textcolor{blue}{+ \dfrac{1}{4}e^{x/2}\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \\ &\quad \textcolor{blue}{+ \dfrac{1}{4}e^{x/2}\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \\ &\quad \textcolor{blue}{- \dfrac{1}{4}(e^{x/2} - 1)\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)} \end{aligned} \]

Setter vi inn \( {x = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f''(0)} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \\ \textcolor{blue}{g''(0)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

Grenseverdien er derfor: \[ \dfrac{\textcolor{red}{f''(0)}}{\textcolor{blue}{g''(0)}} = \dfrac{\textcolor{red}{1/4}}{\textcolor{blue}{1/2}} = \dfrac{1}{2} \]

Vi setter inn \( {x = 0} \) der vi kan. Bare brøken med \( \sin(\sqrt{x}) \) gir \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så den tar vi for seg selv med L'Hôpitals regel.

1. Finn grensen til den innerste brøken Vi kaller \( \sqrt{x} \) for \( u\text{.} \) Når \( {x \to 0^+}\text{,} \) går også \( {u \to 0^+}\text{:} \) \[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} = \lim_{u \to 0^+} \dfrac{\textcolor{red}{\sin u}}{\textcolor{blue}{u}} \]

Vi setter inn \( {u = 0} \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\sin 0} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{u} &= \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

L'Hôpitals regel forteller oss at ved \( \dfrac{0}{0} \) er: \[ \lim_{u \to 0^+} \dfrac{\textcolor{red}{f(u)}}{\textcolor{blue}{g(u)}} = \lim_{u \to 0^+} \dfrac{\textcolor{red}{f'(u)}}{\textcolor{blue}{g'(u)}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen L'Hopitals regel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f} &= \textcolor{red}{\sin u} & \textcolor{red}{f'} &= \textcolor{red}{\cos u} \\ \textcolor{blue}{g} &= \textcolor{blue}{u} & \textcolor{blue}{g'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \lim_{u \to 0^+} \dfrac{\textcolor{red}{\cos u}}{\textcolor{blue}{1}} = \cos 0 = \underline{1} \]

2. Sett inn i resten av uttrykket Resten er kontinuerlig i \( {x = 0}\text{,} \) så vi setter inn der. Den store brøken har teller og nevner: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{x^2 + \sqrt{x} + e^{x^2}} &\to \textcolor{darkorange}{0 + 0 + 1 = 1} \\ \textcolor{magenta}{8 + \dfrac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}} &\to \textcolor{magenta}{8 + 1 = 9} \end{aligned} \]

Kvadratroten er også kontinuerlig, så grensen kan flyttes inn under roten: \[ \begin{aligned} &\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x + \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2 + \sqrt{x} + e^{x^2}}}{\textcolor{magenta}{8 + \dfrac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}}}} \\ &= \sqrt{0 + \dfrac{\textcolor{darkorange}{1}}{\textcolor{magenta}{9}}} = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]

Vi begynner med å sette inn \( {x = 0}\text{.} \) Det gir \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi bruker L'Hôpitals regel så mange ganger som det trengs.

1. Sett inn grensen Vi lar \( x \) gå mot \( 0 \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{e^0 - e^0 - 2 \cdot 0} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{0 - \sin(0)} &= \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]Det gir formen \( \dfrac{0}{0}\text{.} \)

2. Bruk L'Hôpitals regel L'Hôpitals regel forteller oss at når \( \dfrac{f}{g} \) gir \( \dfrac{0}{0} \) eller \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{,} \) og grensen til høyre finnes, er: \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f(x)}}{\textcolor{blue}{g(x)}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f'(x)}}{\textcolor{blue}{g'(x)}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen L'Hopitals regel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(x)} &= \textcolor{red}{e^x - e^{-x} - 2x} \\ \textcolor{red}{f'(x)} &= \textcolor{red}{e^x + e^{-x} - 2} \\ \textcolor{blue}{g(x)} &= \textcolor{blue}{x - \sin(x)} \\ \textcolor{blue}{g'(x)} &= \textcolor{blue}{1 - \cos(x)} \end{aligned} \]Leddet \( {e^{-x}} \) deriverer vi med regelen for \( e^u\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, med \( {u = -x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (e^u)' &= e^u \cdot u' \\ (e^{-x})' &= -e^{-x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{e^x + e^{-x} - 2}}{\textcolor{blue}{1 - \cos(x)}} \]Setter vi inn \( {x = 0}\text{,} \) får vi igjen formen \( \dfrac{0}{0}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{1 + 1 - 2}}{\textcolor{blue}{1 - 1}} = \dfrac{\textcolor{red}{0}}{\textcolor{blue}{0}} \]

3. Bruk regelen to ganger til Vi deriverer telleren og nevneren en gang til: \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{e^x - e^{-x}}}{\textcolor{blue}{\sin(x)}} \]Setter vi inn \( {x = 0}\text{,} \) får vi fortsatt formen \( \dfrac{0}{0}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{1 - 1}}{\textcolor{blue}{0}} = \dfrac{\textcolor{red}{0}}{\textcolor{blue}{0}} \]

Vi deriverer en tredje gang, og nå kan vi sette inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{e^x + e^{-x}}}{\textcolor{blue}{\cos(x)}} = \dfrac{\textcolor{red}{1 + 1}}{\textcolor{blue}{1}} = 2 \]

Vi begynner med å la \( x \) gå mot \( 0 \) i telleren og nevneren hver for seg. Det gir \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi bruker L'Hôpitals regel.

1. Sett inn i telleren og nevneren Vi setter inn i telleren og nevneren: \[ \begin{aligned} 1 - \cos 0 &= 1 - 1 = 0 \\ \ln(1 + 0^2) &= \ln 1 = 0 \end{aligned} \]

2. Bruk L'Hôpitals regel L'Hôpitals regel forteller oss at når innsetting gir \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) gjelder: \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f(x)}}{\textcolor{blue}{g(x)}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f'(x)}}{\textcolor{blue}{g'(x)}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen L'Hopitals regel.

Nevneren deriverer vi med kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen. Den forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]

Med kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{1 + x^2}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2x}} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(x)} &= \textcolor{red}{1 - \cos x} \\ \textcolor{red}{f'(x)} &= \textcolor{red}{\sin x} \\ \textcolor{blue}{g(x)} &= \textcolor{blue}{\ln(1 + x^2)} \\ \textcolor{blue}{g'(x)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{2x}{1 + x^2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i regelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\lim_{x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{\sin x}}{\textcolor{blue}{\dfrac{2x}{1 + x^2}}} \\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{2x} \cdot (1 + x^2) \\ &= \lim_{x \to 0} \textcolor{darkorange}{\dfrac{1 + x^2}{2}} \cdot \textcolor{magenta}{\dfrac{\sin x}{x}} \end{aligned} \]

3. Regn ut faktorene hver for seg Den første faktoren kan vi sette rett inn i: \[ \lim_{x \to 0} \textcolor{darkorange}{\dfrac{1 + x^2}{2}} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}} \]

Den andre gir \( \dfrac{0}{0} \) igjen, så vi bruker L'Hôpitals regel en gang til: \[ \lim_{x \to 0} \textcolor{magenta}{\dfrac{\sin x}{x}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{1} = \textcolor{magenta}{1} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}} \cdot \textcolor{magenta}{1} = \dfrac{1}{2} \]