Universitetseksamen etter tema

Dette er en lineær førsteordens differensiallikning. Vi samler \( y \)-leddene på venstre side, og bruker integrerende faktor.

1. Finn den integrerende faktoren Vi flytter \( xy \) over, så likningen får formen \( {y' + \textcolor{blue}{P(x)}y = Q(x)}\text{:} \) \[ y' + \textcolor{blue}{x}y = 2xe^{-\tfrac{1}{2}x^2} \]

Den integrerende faktoren er gitt ved formelen fra videoen Integrerende faktor: \[ \textcolor{red}{f(x)} = e^{\int \textcolor{blue}{P(x)}\,dx} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{P(x)} = \textcolor{blue}{x}}\text{,} \) så \( {\int x\,dx = \dfrac{1}{2}x^2} \) gir: \[ \textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{e^{\tfrac{1}{2}x^2}} \]

2. Gang med faktoren og integrer Vi ganger begge sider med \( \textcolor{red}{f(x)}\text{.} \) På høyre side er \( {e^{\tfrac{1}{2}x^2} \cdot e^{-\tfrac{1}{2}x^2} = 1}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{e^{\tfrac{1}{2}x^2}}y' + x\textcolor{red}{e^{\tfrac{1}{2}x^2}}y = 2x \]

Venstre side er nå produktregelen brukt på \( {\textcolor{red}{f(x)} \cdot y}\text{,} \) siden \( {\textcolor{red}{f'(x)} = x\textcolor{red}{e^{\tfrac{1}{2}x^2}}}\text{:} \) \[ \left(\textcolor{red}{e^{\tfrac{1}{2}x^2}}\,y\right)' = 2x \]

Integrerer vi begge sider, får vi: \[ \textcolor{red}{e^{\tfrac{1}{2}x^2}}\,y = x^2 + C \]

Dette gir den generelle løsningen: \[ y = (x^2 + C)e^{-\tfrac{1}{2}x^2} \]

3. Bruk startverdien Vi setter inn \( {y(1) = \dfrac{1}{\sqrt{e}} = e^{-\tfrac{1}{2}}}\text{:} \) \[ e^{-\tfrac{1}{2}} = (1 + C)e^{-\tfrac{1}{2}} \]

Det betyr at \( {C = 0}\text{.} \)

Dette er en lineær førsteordens differensiallikning, så vi bruker en integrerende faktor. Til slutt finner vi konstanten fra \( {y(0) = 5}\text{.} \)

1. Finn den integrerende faktoren Likningen har formen \( {y' + \textcolor{magenta}{P(x)}y = Q(x)}\text{.} \) Den integrerende faktoren er: \[ \textcolor{darkorange}{I(x)} = e^{\int \textcolor{magenta}{P(x)}\,dx} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Integrerende faktor.

Her er \( {\textcolor{magenta}{P(x)} = \textcolor{magenta}{-2x}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \int \textcolor{magenta}{(-2x)}\,dx &= -x^2 \\ \textcolor{darkorange}{I(x)} &= \textcolor{darkorange}{e^{-x^2}} \end{aligned} \]

2. Gang inn faktoren Vi ganger begge sider med \( {\textcolor{darkorange}{e^{-x^2}}}\text{.} \) Høyre side forenkles, siden \( {e^{-x^2} \cdot e^{x^2} = 1}\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{e^{-x^2}}y' - 2x\textcolor{darkorange}{e^{-x^2}}y = \dfrac{1}{(x + 1)^2} \]

Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'} \]Den finner du i videoen Produktregelen.

Her er \( \textcolor{red}{u} \) den integrerende faktoren. Den deriverer vi med kjerneregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(e^{\textcolor{green}{k}}\right)' = \textcolor{green}{k'}e^{\textcolor{green}{k}} \]

Med kjernen \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-x^2}} \) og \( {\textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{-2x}} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^{-x^2}} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-2xe^{-x^2}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{y} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{y'} \end{aligned} \]

Venstre side er altså den deriverte av et produkt: \[ \left(\textcolor{red}{e^{-x^2}}\textcolor{blue}{y}\right)' = \dfrac{1}{(x + 1)^2} \]

3. Integrer begge sider Vi skriver \( {\dfrac{1}{(x + 1)^2} = (x + 1)^{-2}} \) og bruker potensregelen fra videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

Kjernen \( {x + 1} \) har derivert \( 1\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \int (x + 1)^{-2}\,dx &= \dfrac{(x + 1)^{-1}}{-1} + C \\ &= -\dfrac{1}{x + 1} + C \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ e^{-x^2}y = C - \dfrac{1}{x + 1} \]

Ganger vi begge sider med \( e^{x^2}\text{,} \) får vi: \[ y = e^{x^2}\left(C - \dfrac{1}{x + 1}\right) \]

4. Bruk initialbetingelsen Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {y = 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5 &= e^0\left(C - \dfrac{1}{0 + 1}\right) \\ 5 &= C - 1 \\ C &= 6 \end{aligned} \]