Universitetseksamen etter tema

Trapesmetoden trekker en rett linje mellom punktene på grafen. Den treffer derfor eksakt bare når grafen selv er en rett linje.

1. Se på hva trapesene gjør Trapesmetoden deler arealet under grafen i trapeser, som i videoen Trapesmetoden. Toppen av hvert trapes er en rett linje mellom to punkter på grafen.

Er grafen krum, blir toppen av trapeset liggende litt over eller under grafen. Da blir arealet litt feil.

2. Finn den rette linja En graf er en rett linje nøyaktig når den dobbeltderiverte er \( 0\text{.} \) Vi deriverer hver funksjon to ganger: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{(2x + 3)''} &= \textcolor{blue}{0} \\ (e^x)'' &= e^x \\ (5x^2 + 7x + 9)'' &= 10 \\ (\sin x)'' &= -\sin x \\ (\ln x)'' &= -\dfrac{1}{x^2} \end{aligned} \]

Bare \( {\textcolor{blue}{f(x) = 2x + 3}} \) er en rett linje. Da faller toppen av hvert trapes sammen med grafen, uansett hvor mange delintervaller vi bruker. De fire andre er krumme, så der gir metoden i alminnelighet bare et estimat.

Nevneren er en kjerne opphøyd i andre. Vi bruker derfor substitusjon med \( {u = 3 - 2x}\text{,} \) og skriver om telleren med \( u\text{.} \)

1. Velg substitusjon Vi setter kjernen lik \( u \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{3 - 2x} \\ \textcolor{blue}{du} &= \textcolor{blue}{-2\,dx} \end{aligned} \]

Det betyr at \( {\textcolor{blue}{dx} = \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}\,du}}\text{.} \) Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 2 &\Rightarrow u = -1 \\ x = 4 &\Rightarrow u = -5 \end{aligned} \]

2. Skriv om telleren Telleren må også skrives med \( u\text{.} \) Vi ser at \( {-4x} \) er to ganger \( {-2x}\text{,} \) så: \[ 2 - 4x = 2(\textcolor{red}{3 - 2x}) - 4 = 2\textcolor{red}{u} - 4 \]

3. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int_{-1}^{-5} \dfrac{2\textcolor{red}{u} - 4}{\textcolor{red}{u}^2} \cdot \left(\textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}}\right) du \\ &= \int_{-1}^{-5} \dfrac{2 - u}{u^2}\,du \\ &= \int_{-1}^{-5} \left(\dfrac{2}{u^2} - \dfrac{1}{u}\right) du \end{aligned} \]

Vi integrerer ledd for ledd. Her er \( u \) negativ, så absoluttverdien i \( \ln|u| \) er viktig: \[ \begin{aligned} &\left[-\dfrac{2}{u} - \ln|u|\right]_{-1}^{-5} \\ &= \left(\dfrac{2}{5} - \ln 5\right) - (2 - \ln 1) \end{aligned} \]

Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) står vi igjen med: \[ \dfrac{2}{5} - \ln 5 - 2 = -\dfrac{8}{5} - \ln 5 \]

Vinket sier at summen er en Riemannsum. Vi skriver derfor leddene om, så vi ser \( \Delta x \) og \( f(x_i)\text{,} \) og regner ut integralet i stedet.

1. Skriv summen som en Riemannsum Vi setter \( n \) utenfor i nevneren, så vi får \( \dfrac{2i}{n} \) der: \[ \begin{aligned} \dfrac{2n}{(n + 2i)^2} &= \dfrac{2n}{n^2\left(1 + \dfrac{2i}{n}\right)^2} \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{n}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{2i}{n}\right)^2}} \end{aligned} \]

Sammenligner vi med en Riemannsum, som i videoen Riemann sum, er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\Delta x} &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{n}} \\ x_i &= \dfrac{2i}{n} \\ \textcolor{blue}{f(x)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{(1 + x)^2}} \end{aligned} \]

Punktene starter i \( {x_0 = 0}\text{.} \) Bredden \( \dfrac{2}{n} \) ganger \( n \) gir et intervall med lengde \( 2\text{,} \) så det går fra \( 0 \) til \( 2\text{.} \) Dette er venstre Riemannsum.

2. Regn ut integralet Når \( n \) vokser, går summen mot integralet: \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{2n}{(n + 2i)^2} \\ &= \int_0^2 \textcolor{blue}{\dfrac{1}{(1 + x)^2}}\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{1 + x}\right]_0^2 \\ &= -\dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Integranden er et produkt, så vi bruker delvis integrasjon. Så deriverer vi to ganger, finner en grense for \( |f''(x)| \) og setter den inn i feilformelen.

1. Regn ut integralet Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int_a^b \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'}\,dx = \Big[\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v}\Big]_a^b - \int_a^b \textcolor{blue}{v}\textcolor{red}{u'}\,dx \]Hvis du er usikker på delvis integrasjon, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^{-x}} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{-e^{-x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I = {} & \Big[\textcolor{red}{x} \cdot (\textcolor{blue}{-e^{-x}})\Big]_0^2 \\ & - \int_0^2 (\textcolor{blue}{-e^{-x}}) \cdot \textcolor{red}{1}\,dx \\ = {} & \Big[-xe^{-x} - e^{-x}\Big]_0^2 \\ = {} & (-2e^{-2} - e^{-2}) - (0 - 1) \\ = {} & 1 - 3e^{-2} \end{aligned} \]

2. Deriver to ganger Produktregelen gir oss, som i videoen Produktregelen: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) \\ &= (1 - x)e^{-x} \end{aligned} \]

Vi bruker den en gang til, med \( {(e^{-x})' = -e^{-x}} \) fra kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ \begin{aligned} f''(x) &= -e^{-x} + (1 - x)(-e^{-x}) \\ &= (x - 2)e^{-x} \end{aligned} \]

3. Vis grensen for den andrederiverte For \( x \in [0, 2] \) er \( {x - 2 \le 0}\text{,} \) og vi kan skrive: \[ |f''(x)| = (2 - x)e^{-x} \]

Begge faktorene er størst i \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 \le 2 - x &\le 2 \\ 0 < e^{-x} &\le 1 \end{aligned} \]

Ganger vi dem sammen, får vi: \[ |f''(x)| \le 2 \cdot 1 = 2 \]

4. Finn antall delintervaller Midtpunktmetoden er midt-Riemannsummen, som i videoen Riemann sum. Vi setter \( {\textcolor{green}{K = 2}} \) inn i feilgrensen og krever at den er mindre enn \( {10^{-2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{2^3 \cdot \textcolor{green}{2}}{24n^2} &< \dfrac{1}{100} \\ \dfrac{2}{3n^2} &< \dfrac{1}{100} \\ n^2 &> \dfrac{200}{3} \approx 66{,}7 \end{aligned} \]

Vi prøver hele tall: \[ 8^2 = 64 < 66{,}7 < 81 = 9^2 \]Så det minste antallet delintervaller vi kan garantere det med, er \( {n = 9}\text{.} \) Alle større \( n \) går også.

Vannoverflaten er en sirkel, så vi trenger radien, og den får vi fra Pytagoras. Volumet er så summen av tynne sirkelskiver, altså integralet av arealet.

1. Finn radien til vannoverflaten Vi kaller radien til vannoverflaten \( \textcolor{red}{r}\text{.} \) Midten av kula ligger \( 10 \) over bunnen, og vannflaten ligger \( x \) over bunnen. Det gir en rettvinklet trekant:

Pytagoras forteller oss at: \[ \textcolor{red}{r}^2 + (10 - x)^2 = 10^2 \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{r}^2\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{r}^2 &= 100 - (100 - 20x + x^2) \\ &= \textcolor{red}{20x - x^2} \end{aligned} \]

2. Finn arealet Arealet av en sirkel er \( \pi \textcolor{red}{r}^2\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi for \( {0 \le x \le 10}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{A(x)} = \pi\textcolor{red}{(20x - x^2)} \]

3. Sett opp og regn ut integralet En tynn skive med vann har volum areal ganger tykkelse, og volumet er summen av alle skivene, som i videoen Omdreiningslegeme x-akse. \( x \) er øvre grense, så vi kaller høyden i integralet for \( t\text{:} \) \[ \begin{aligned} V(x) &= \int_0^x \textcolor{blue}{A(t)}\,dt \\ &= \int_0^x \pi(20t - t^2)\,dt \end{aligned} \]

Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} V(x) &= \pi\left[10t^2 - \dfrac{t^3}{3}\right]_0^x \\ &= \pi\left(10x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right) \end{aligned} \]

Kontroll: Full skål, \( {x = 10}\text{,} \) gir \( {\pi\left(1000 - \dfrac{1000}{3}\right) = \dfrac{2000\pi}{3}}\text{,} \) som er volumet \( {\dfrac{2}{3}\pi \cdot 10^3} \) av en halvkule.

Feilen i trapesmetoden har en øvre grense som bruker den andrederiverte. Uttrykket i oppgaven er nettopp \( |f''(x)|\text{,} \) så vi setter inn og løser for \( n\text{.} \)

1. Skriv opp feilformelen Selve metoden ser du i videoen Trapesmetoden. Feilformelen forteller oss at hvis \( {|f''(x)| \le \textcolor{red}{K}} \) på \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}]\text{,} \) så er: \[ |I - T_n| \le \dfrac{\textcolor{red}{K}(\textcolor{blue}{b} - \textcolor{blue}{a})^3}{12n^2} \]

Her er \( {f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}}\text{,} \) og deriverer vi to ganger, får vi: \[ f''(x) = \dfrac{6x^2 - 2}{(1 + x^2)^3} \]Det er uttrykket i oppgaven, så: \[ \textcolor{red}{K} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ |I - T_n| \le \dfrac{\textcolor{red}{2} \cdot (\textcolor{blue}{2} - \textcolor{blue}{0})^3}{12n^2} = \dfrac{4}{3n^2} \]

2. Løs for n Feilen er garantert mindre enn \( {10^{-6}} \) når grensen er det: \[ \begin{aligned} \dfrac{4}{3n^2} &< 10^{-6} \\ n^2 &> \dfrac{4}{3} \cdot 10^6 \\ n &> \dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot 10^3 \approx 1154{,}7 \end{aligned} \]

\( n \) er et helt tall, så det minste som holder, er: \[ n = 1155 \]

Vi skriver opp formelen for arealet av en rotasjonsflate og setter inn \( f(x)\text{.} \) Integralet løser vi med substitusjon.

1. Sett opp integralet Formelen for arealet av en rotasjonsflate om \( {x\text{-aksen}} \) forteller oss at: \[ S = \int_a^b 2\pi\, \textcolor{red}{f(x)} \sqrt{1 + (\textcolor{blue}{f'(x)})^2}\,dx \]Hver bitte liten bit av grafen lager en ring med radius \( \textcolor{red}{f(x)}\text{.} \) Rotuttrykket er den samme lille lengden som i videoen Buelengde formel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(x)} &= \textcolor{red}{x^3} \\ \textcolor{blue}{f'(x)} &= \textcolor{blue}{3x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S &= \int_0^{2/3} 2\pi\, \textcolor{red}{x^3} \sqrt{1 + (\textcolor{blue}{3x^2})^2}\,dx \\ &= 2\pi \int_0^{2/3} x^3 \sqrt{1 + 9x^4}\,dx \end{aligned} \]

2. Bruk substitusjon Vi setter uttrykket under roten lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 + 9x^4} \\ du &= 36x^3\,dx \\ x^3\,dx &= \dfrac{1}{36}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow u = 1 \\ x = \dfrac{2}{3} &\Rightarrow u = 1 + 9 \cdot \dfrac{16}{81} = \dfrac{25}{9} \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Det gir oss: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{2\pi}{36} \int_1^{25/9} \sqrt{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= \dfrac{\pi}{18} \left[ \dfrac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{25/9} \\ &= \dfrac{\pi}{27} \left( \left(\dfrac{25}{9}\right)^{3/2} - 1 \right) \\ &= \dfrac{\pi}{27} \left( \dfrac{125}{27} - 1 \right) \\ &= \dfrac{\pi}{27} \cdot \dfrac{98}{27} = \dfrac{98\pi}{729} \end{aligned} \]

Vi kjenner rekken til \( e^u\text{.} \) Vi setter inn \( {u = -t^2} \) og integrerer rekken ledd for ledd.

1. Skriv opp rekken til eksponentialfunksjonen Rekken til \( e^u \) om \( 0 \) forteller oss at, for alle \( u\text{:} \) \[ e^{\textcolor{green}{u}} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{\textcolor{green}{u}^n}{n!} \]Det er samme start som i videoen Oppgave 2c - Integral ved hjelp av potensrekke.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-t^2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ e^{-t^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(\textcolor{green}{-t^2})^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n t^{2n}}{n!} \]

2. Integrer ledd for ledd En potensrekke kan integreres ledd for ledd, som i videoen Oppgave 2c - Integral ved hjelp av potensrekke. For hvert ledd er: \[ \int_0^x t^{2n}\,dt = \dfrac{x^{2n+1}}{2n + 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n!} \int_0^x t^{2n}\,dt \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!\,(2n + 1)} \end{aligned} \]

Skriver vi ut de første leddene, får vi: \[ f(x) = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{10} - \dfrac{x^7}{42} + \cdots \]

Nevneren er \( 0 \) i \( {x = 0}\text{,} \) midt i intervallet. Vi deler derfor integralet der og regner ut en av delene som en grense.

1. Del integralet i to I \( {x = 0} \) er telleren \( 1 \) og nevneren \( 0\text{:} \) \[ \cos 0 = 1, \quad \sin^2 0 = 0 \]

Integralet konvergerer bare hvis begge delene konvergerer: \[ \begin{aligned} &\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx \\ &= \int_{-\pi/2}^{0} \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx + \int_{0}^{\pi/2} \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx \end{aligned} \]

2. Finn den antideriverte Vi ser at \( \cos x \) er den deriverte av \( \sin x\text{,} \) så vi bruker substitusjon, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\sin x} \\ \textcolor{blue}{du} &= \textcolor{blue}{\cos x\,dx} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\textcolor{blue}{\cos x\,dx}}{\textcolor{red}{\sin^2 x}} &= \int \dfrac{\textcolor{blue}{du}}{\textcolor{red}{u}^2} = -\dfrac{1}{\textcolor{red}{u}} + C \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{red}{\sin x}} + C \end{aligned} \]

3. Regn ut den høyre delen Den antideriverte finnes ikke i \( {x = 0}\text{.} \) Vi starter derfor i \( {a > 0} \) og lar \( a \) gå mot \( 0\text{.} \) Et uegentlig integral med grenser ser du i videoen Uegentlig integral Oppgave 1: \[ \begin{aligned} \int_{a}^{\pi/2} \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx &= \left[-\dfrac{1}{\sin x}\right]_{a}^{\pi/2} \\ &= -1 + \dfrac{1}{\sin a} \end{aligned} \]

Når \( {a \to 0^+}\text{,} \) går \( \sin a \) mot \( 0 \) fra positiv side: \[ \lim_{a \to 0^+} \left(-1 + \dfrac{1}{\sin a}\right) = \infty \]

Den høyre delen divergerer, så hele integralet divergerer. Vi trenger ikke å regne ut den venstre delen.

Maksimum og minimum ligger der \( {F'(x) = 0} \) eller i endepunktene. Vi deriverer integralet, finner hvor \( F \) stiger og synker, og sammenligner med \( {F(2) > 0 > F(-2)}\text{.} \)

1. Deriver integralet Analysens fundamentalteorem forteller oss at: \[ \left(\int_a^x g(t)\,dt\right)' = g(x) \]Du ser det forklart i videoen Løs integralligningen - Generell løsning - 6 - Del 1.

Her er \( {g(t) = \cos(t^2)}\text{,} \) så: \[ F'(x) = \cos(x^2) \]

2. Finn kandidatene Maksimum og minimum på et lukket intervall ligger i et kritisk punkt, der \( {F'(x) = 0}\text{,} \) eller i et endepunkt. Kritiske punkter ser du i videoen Hva er et kritisk punkt.

Cosinus er \( 0 \) i \( \dfrac{\pi}{2}\text{,} \) \( \dfrac{3\pi}{2} \) og så videre. På intervallet er \( {x^2 \le 4}\text{,} \) og \( {\dfrac{3\pi}{2} > 4}\text{,} \) så bare den første kan brukes: \[ x^2 = \dfrac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \]

Vi kaller punktet \( {\textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}}}\text{.} \) Da er kandidatene: \[ x = -2, \quad -\textcolor{red}{c}, \quad \textcolor{red}{c}, \quad 2 \]

3. Finn hvor F stiger og synker Vi ser på fortegnet til \( \cos(x^2)\text{.} \) For \( {|x| < \textcolor{red}{c}} \) er: \[ 0 \le x^2 < \dfrac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad F'(x) > 0 \]

For \( {\textcolor{red}{c} < |x| \le 2} \) er: \[ \dfrac{\pi}{2} < x^2 < \dfrac{3\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad F'(x) < 0 \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} F &\text{ synker på } [-2, -\textcolor{red}{c}] \\ F &\text{ stiger på } [-\textcolor{red}{c}, \textcolor{red}{c}] \\ F &\text{ synker på } [\textcolor{red}{c}, 2] \end{aligned} \]

4. Sammenlign kandidatene Siden \( F \) synker på \( [\textcolor{red}{c}, 2] \) og \( {[-2, -\textcolor{red}{c}]}\text{,} \) gir opplysningen i oppgaven: \[ \begin{aligned} &F(\textcolor{red}{c}) > F(2) > 0 \\ &0 > F(-2) > F(-\textcolor{red}{c}) \end{aligned} \]

Av de fire kandidatene er altså \( F(\textcolor{red}{c}) \) størst og \( {F(-\textcolor{red}{c})} \) minst.