Universitetseksamen etter tema

Vi kan ikke løse likningen for \( y\text{.} \) Vi deriverer den derfor implisitt, og setter inn punktet for å finne stigningstallet.

1. Sett inn punktet Vi setter \( {x = 0} \) og \( {y = 0} \) inn på hver side: \[ \begin{aligned} \text{Venstre side:} \quad 0 \cdot e^{\sin(0)} &= 0 \\ \text{Høyre side:} \quad 0 \cdot \cos(0) &= 0 \end{aligned} \]Sidene er like, så \( (0, 0) \) ligger på kurven.

2. Deriver implisitt Vi deriverer begge sider med hensyn på \( x\text{,} \) og husker at \( y \) er en funksjon av \( x\text{,} \) som i videoen Hva er Implisitt Derivasjon?

Begge sider er produkter, så vi trenger produktregelen: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]

På venstre side er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{y} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{y'} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^{\sin(x)}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^{\sin(x)}\cos(x)} \end{aligned} \]

På høyre side er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos(y)} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-\sin(y)\,y'} \end{aligned} \]Her har vi brukt kjerneregelen på \( \textcolor{blue}{v'} \) begge steder: den ytre funksjonen derivert, ganget med kjernen derivert, som i videoen Kjerneregelen.

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{y'}\textcolor{blue}{e^{\sin(x)}} + \textcolor{red}{y}\textcolor{blue}{e^{\sin(x)}\cos(x)} \\ &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\cos(y)} - \textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{\sin(y)\,y'} \end{aligned} \]

3. Finn stigningstallet Setter vi inn \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} y' \cdot 1 + 0 &= 1 \cdot 1 - 0 \\ y' &= 1 \end{aligned} \]

4. Sett opp tangenten Formelen for tangenten gjennom \( (x_0, y_0) \) forteller oss at: \[ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \]Som i videoen Tangentlinje setter vi inn punktet \( (0, 0) \) og stigningstallet \( 1\text{:} \) \[ y - 0 = 1 \cdot (x - 0) \]

Vi setter punktet inn i likningen for å vise at det ligger på kurven. Stigningstallet finner vi med implisitt derivasjon, siden vi ikke får \( y \) alene.

1. Vis at punktet ligger på kurven Med \( {x = e} \) og \( {y = e^{-1}} \) er: \[ \begin{aligned} xy &= e \cdot e^{-1} = 1 \\ \dfrac{x}{y} &= \dfrac{e}{e^{-1}} = e^2 \end{aligned} \]

Vi setter inn på hver side: \[ \begin{aligned} \text{venstre} &= e^1 \ln(e^2) = 2e \\ \text{høyre} &= e + \dfrac{1}{e^{-1}} = e + e = 2e \end{aligned} \]Sidene er like, så punktet ligger på kurven.

2. Skriv om logaritmen Logaritmeregelen for en brøk gjør derivasjonen enklere, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \ln\left(\dfrac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y \]

Kurven er altså: \[ e^{xy}(\ln x - \ln y) = x + \dfrac{1}{y} \]

3. Deriver begge sider Vi deriverer med hensyn på \( x\text{.} \) Siden \( y \) er en funksjon av \( x\text{,} \) får hvert ledd med \( y \) en ekstra faktor \( y'\text{,} \) som i videoen Finn stigningstallet ved hjelp av Implisitt Derivasjon.

Venstre side er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Faktoren \( {\textcolor{red}{u} = \textcolor{red}{e^{xy}}} \) har kjernen \( {\textcolor{green}{g} = \textcolor{green}{xy}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ (e^{\textcolor{green}{g}})' = e^{\textcolor{green}{g}} \cdot \textcolor{green}{g'} \]Det er regelen i videoen Kjerneregelen.

Kjernen er selv et produkt, så produktregelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{g} &= \textcolor{green}{xy} \\ \textcolor{green}{g'} &= \textcolor{green}{1 \cdot y + x \cdot y'} = \textcolor{green}{y + xy'} \end{aligned} \]

Faktorene i venstre side er da: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^{xy}} \\ \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^{xy}}(\textcolor{green}{y + xy'}) \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x - \ln y} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x} - \dfrac{y'}{y}} \end{aligned} \]

Høyre side deriverer vi ledd for ledd: \[ \left(x + \dfrac{1}{y}\right)' = 1 - \dfrac{y'}{y^2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{e^{xy}(y + xy')}\textcolor{blue}{(\ln x - \ln y)} \\ &+ \textcolor{red}{e^{xy}}\textcolor{blue}{\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{y'}{y}\right)} \\ &= 1 - \dfrac{y'}{y^2} \end{aligned} \]

4. Sett inn punktet I punktet er \( {xy = 1}\text{,} \) \( {x = e} \) og \( {y = e^{-1}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} e^{xy} &= e \\ \ln x - \ln y &= 1 - (-1) = 2 \\ \dfrac{y'}{y} &= e\,y' \\ \dfrac{y'}{y^2} &= e^2 y' \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &e(e^{-1} + e\,y') \cdot 2 + e(e^{-1} - e\,y') \\ &= 1 - e^2 y' \end{aligned} \]

Vi ganger ut og samler \( y' \) på én side: \[ \begin{aligned} 2 + 2e^2 y' + 1 - e^2 y' &= 1 - e^2 y' \\ 3 + e^2 y' &= 1 - e^2 y' \\ 2e^2 y' &= -2 \\ y' &= -\dfrac{1}{e^2} \end{aligned} \]

Kurven er ikke skrevet som \( {y = f(x)}\text{,} \) så vi finner stigningstallet med implisitt derivasjon. Så setter vi det lik \( 2 \) og finner punktene.

1. Deriver implisitt Vi deriverer begge sider med hensyn på \( x\text{.} \) Siden \( y \) er en funksjon av \( x\text{,} \) bruker vi kjerneregelen på \( y^2\text{,} \) som i videoen Finn stigningstallet ved hjelp av Implisitt Derivasjon. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{green}{u}^2)' = 2\textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{y}}\text{,} \) og dens deriverte er \( \textcolor{green}{y'}\text{:} \) \[ (\textcolor{green}{y}^2)' = 2\textcolor{green}{y} \cdot \textcolor{green}{y'} \]

Det gir oss: \[ 2x - 2\textcolor{green}{y} \cdot \textcolor{green}{y'} = 0 \]

Løser vi for \( \textcolor{green}{y'}\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{green}{y'} = \dfrac{x}{y} \]Her må \( {y \neq 0}\text{.} \) Er \( {y = 0}\text{,} \) sier likningen over at \( {x = 0}\text{,} \) og \( (0, 0) \) ligger ikke på kurven.

2. Finn punktene Vi setter stigningstallet lik \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{x}{y} &= 2 \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{2y} \end{aligned} \]

Vi setter dette inn i likningen for kurven: \[ \begin{aligned} (\textcolor{red}{2y})^2 - y^2 &= 1 \\ 3y^2 &= 1 \\ y &= \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned} \]

Siden \( {\textcolor{red}{x} = \textcolor{red}{2y}}\text{,} \) gir det to punkter: \[ \begin{aligned} &\underline{\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},\ \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)} \\ &\underline{\left(-\dfrac{2}{\sqrt{3}},\ -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)} \end{aligned} \]

3. Finn tangentene Formelen for tangenten forteller oss at: \[ y = \textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{green}{y_0} \]Dette er formelen i videoen Tangentlinje, med stigningstallet \( \textcolor{blue}{a} \) og punktet \( (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{green}{y_0})\text{.} \)

For det første punktet er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{x_0} = \textcolor{red}{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}, \quad \textcolor{green}{y_0} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{blue}{2}\left(x - \textcolor{red}{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}\right) + \textcolor{green}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}} \\ &= 2x - \dfrac{3}{\sqrt{3}} \\ &= 2x - \sqrt{3} \end{aligned} \]

For det andre punktet bytter både \( \textcolor{red}{x_0} \) og \( \textcolor{green}{y_0} \) fortegn: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{blue}{2}\left(x + \textcolor{red}{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}\right) - \textcolor{green}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}} \\ &= 2x + \dfrac{3}{\sqrt{3}} \\ &= 2x + \sqrt{3} \end{aligned} \]

Vi setter punktet inn på begge sider for å se at de er like. Kurven er gitt implisitt, så stigningstallet finner vi med implisitt derivasjon.

1. Sett punktet inn i likningen Vi regner ut hver side for seg med \( {x = -\pi} \) og \( {y = \dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \tan\left(-\pi \cdot \dfrac{1}{4}\right) &= \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1 \\ \dfrac{2 \cdot (-\pi) \cdot \dfrac{1}{2}}{\pi} &= \dfrac{-\pi}{\pi} = -1 \end{aligned} \]

Begge sider er \( {-1}\text{,} \) så punktet ligger på kurven.

2. Deriver venstre side Siden \( y \) er en funksjon av \( x\text{,} \) deriverer vi begge sider med hensyn på \( x\text{,} \) som i videoen Finn stigningstallet ved hjelp av Implisitt Derivasjon. Venstre side er \( \tan \) av en kjerne.

Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\tan \textcolor{green}{k})' = \dfrac{1}{\cos^2 \textcolor{green}{k}} \cdot \textcolor{green}{k'} \]Du ser kjerneregelen i videoen Kjerneregelen, og den deriverte av \( \tan \) i videoen Koblede hastigheter 1.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{xy^2}}\text{.} \) Den er et produkt, så vi finner \( \textcolor{green}{k'} \) med produktregelen: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Den ser du i videoen Produktregelen.

Siden \( y \) er en funksjon av \( x\text{,} \) gir kjerneregelen \( {(y^2)' = 2y \cdot y'}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{y^2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2y\,y'} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{green}{k'} = \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{y^2} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{2y\,y'} = \textcolor{green}{y^2 + 2xy\,y'} \]

3. Deriver høyre side Høyre side er \( \dfrac{2}{\pi} \) ganger produktet \( xy\text{.} \) Med produktregelen får vi: \[ \left(\dfrac{2}{\pi}\,xy\right)' = \dfrac{2}{\pi}\,(y + x\,y') \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \dfrac{\textcolor{green}{y^2 + 2xy\,y'}}{\cos^2(xy^2)} = \dfrac{2}{\pi}\,(y + x\,y') \]

4. Finn stigningstallet I punktet er \( {xy^2 = -\dfrac{\pi}{4}}\text{,} \) så: \[ \cos^2\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{2} \]

Med \( {x = -\pi} \) og \( {y = \dfrac{1}{2}} \) blir parentesene: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{y^2 + 2xy\,y'} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{4} - \pi y'} \\ y + x\,y' &= \dfrac{1}{2} - \pi y' \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og samler \( y' \) på én side, får vi: \[ \begin{aligned} 2\left(\dfrac{1}{4} - \pi y'\right) &= \dfrac{2}{\pi}\left(\dfrac{1}{2} - \pi y'\right) \\ \dfrac{1}{2} - 2\pi y' &= \dfrac{1}{\pi} - 2y' \\ (2 - 2\pi)\,y' &= \dfrac{1}{\pi} - \dfrac{1}{2} \\ 2(1 - \pi)\,y' &= \dfrac{2 - \pi}{2\pi} \end{aligned} \]

Løser vi for \( y'\text{,} \) og ganger med \( {-1} \) oppe og nede, får vi: \[ y' = \dfrac{2 - \pi}{4\pi(1 - \pi)} = \dfrac{\pi - 2}{4\pi(\pi - 1)} \]

5. Sett opp tangenten Formelen for tangenten forteller oss at: \[ y = \textcolor{blue}{a}\,(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{green}{y_0} \]Den ser du i videoen Tangentlinje.

Her er, med nye farger: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{\dfrac{\pi - 2}{4\pi(\pi - 1)}} \\ \textcolor{red}{x_0} &= \textcolor{red}{-\pi} \\ \textcolor{green}{y_0} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y = \textcolor{blue}{\dfrac{\pi - 2}{4\pi(\pi - 1)}}\,(x + \pi) + \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \]