Hopp til hovedinnholdet

Universitetseksamen etter tema

Øv på ett tema om gangen med oppgavene fra universitetseksamenene vi har lagt ut, foreløpig NTNU Matematikk 1. Velg område og tema, så henter vi oppgavene fra alle settene. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Område

Emne

eulers metode

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

3 oppgaver i NTNU Matematikk 1 om eulers metode

Oppgavene

TMA4400 ordinær eksamen 2025 - Del 1

Oppgave 3

4 poeng

Følgende kode for Eulers eksplisitte metode er gitt under.
Hvilken differensiallikning løser metoden numerisk?
A {y′(t)=y(t)(1−y(t)),t∈(0,10],y(0)=0,1. {\begin{cases} y'(t) = y(t)(1 - y(t)), \\ t \in (0, 10], \\ y(0) = 0{,}1. \end{cases}} B {y′(t)=y(t)(1−y(t)),t∈(0,10000],y(0)=0,1. {\begin{cases} y'(t) = y(t)(1 - y(t)), \\ t \in (0, 10000], \\ y(0) = 0{,}1. \end{cases}} C {y′(t)=y(t)+hy(t)(1−y(t)),t∈(0,10],y(0)=0,1. {\begin{cases} y'(t) = y(t) \\ \quad + hy(t)(1 - y(t)), \\ t \in (0, 10], \\ y(0) = 0{,}1. \end{cases}} D {y′(t)=y(t)+y(t)(1−y(t)),t∈(0,10],y(0)=0,1. {\begin{cases} y'(t) = y(t) \\ \quad + y(t)(1 - y(t)), \\ t \in (0, 10], \\ y(0) = 0{,}1. \end{cases}} E {y′(t)=hy(t)(1−y(t)),t∈(0,10],y(0)=0,1. {\begin{cases} y'(t) = hy(t)(1 - y(t)), \\ t \in (0, 10], \\ y(0) = 0{,}1. \end{cases}}
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Riktig alternativ er A.
{y′(t)=y(t)(1−y(t)),t∈(0,10],y(0)=0,1‾‾ \underline{\underline{\begin{cases} y'(t) = y(t)(1 - y(t)), \\ t \in (0, 10], \\ y(0) = 0{,}1 \end{cases}}}
Vi sammenligner linja i løkka med formelen for Eulers metode. Det som står ganget med steglengden, er høyresiden i differensiallikningen.
1. Finn høyresiden Eulers metode for \( {y' = \textcolor{blue}{f(t, y)}} \) forteller oss at: \[ y_{i+1} = y_i + \textcolor{red}{h} \cdot \textcolor{blue}{f(t_i, y_i)} \]Hvis du er usikker på Eulers metode, kan du se videoen Eulers metode.
Linja i løkka sier: \[ y_{i+1} = y_i + \textcolor{red}{h} \cdot \textcolor{blue}{y_i(1 - y_i)} \]
Det betyr at \( {\textcolor{blue}{f(t, y) = y(1 - y)}}\text{,} \) og likningen er: \[ y'(t) = y(t)(1 - y(t)) \]Steglengden \( \textcolor{red}{h} \) hører til metoden, ikke til likningen, så C, D og E faller bort.
2. Finn intervallet og startverdien Koden tar \( N \) steg med lengde \( \textcolor{red}{h}\text{,} \) så den ender i: \[ t = N\textcolor{red}{h} = t_{\text{end}} = 10 \]\( {N = 10000} \) er antall steg, ikke sluttiden, så B faller bort.
Den første verdien i lista er startverdien: \[ y(0) = y_0 = 0{,}1 \]

TMA4100 ordinær eksamen 2025

Oppgave 10

La y(x) y(x) være løsningen av initialverdiproblemet
y′(x)=x2−0,3(y(x))2,y(−1)=0 y'(x) = x^2 - 0{,}3(y(x))^2, \quad y(-1) = 0
Finn en tilnærming til y(0) y(0) ved hjelp av Eulers metode med h=0,5. {h = 0{,}5}\text{.}
Skisser løsningen av initialverdiproblemet ved hjelp av retningsfeltet i figuren under.
Vis løsning på oppgave 10

Svar

Løsningskurven går gjennom (−1,0), {(-1, 0)}\text{,} flater ut rundt y-aksen {y\text{-aksen}} og stiger så bratt, som skissen i stegene viser, og Eulers metode gir:
y(0)≈0,5875‾‾ \underline{\underline{y(0) \approx 0{,}5875}}
Vi går fra \( {x = -1} \) til \( {x = 0} \) med to Euler-steg. Skissen starter i \( {(-1, 0)} \) og følger linjestykkene begge veier.
1. Skriv opp Eulers metode Eulers metode forteller oss at: \[ \textcolor{red}{y_{n+1}} = \textcolor{blue}{y_n} + h \cdot \textcolor{green}{y'(x_n, y_n)} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Eulers metode.
Her er: \[ \begin{aligned} x_0 &= -1, \quad \textcolor{blue}{y_0} = \textcolor{blue}{0}, \quad h = 0{,}5 \\ \textcolor{green}{y'} &= \textcolor{green}{x^2 - 0{,}3y^2} \end{aligned} \]
2. Ta to steg Første steg går fra punktet \( {(-1, 0)} \) til \( {x_1 = -0{,}5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{y'} &= \textcolor{green}{(-1)^2 - 0{,}3 \cdot 0^2 = 1} \\ \textcolor{red}{y_1} &= \textcolor{blue}{0} + 0{,}5 \cdot \textcolor{green}{1} = \textcolor{red}{0{,}5} \end{aligned} \]
Andre steg går fra punktet \( {(-0{,}5;\ 0{,}5)} \) til \( {x_2 = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{y'} &= \textcolor{green}{(-0{,}5)^2 - 0{,}3 \cdot 0{,}5^2} \\ &= \textcolor{green}{0{,}25 - 0{,}075 = 0{,}175} \\ \textcolor{red}{y_2} &= \textcolor{blue}{0{,}5} + 0{,}5 \cdot \textcolor{green}{0{,}175} = \textcolor{red}{0{,}5875} \end{aligned} \]
3. Skisser løsningen Vi starter i \( {(-1, 0)} \) og tegner en kurve som hele veien følger linjestykkene i feltet, både til høyre og til venstre:
Fra startpunktet stiger kurven mot \( {y\text{-aksen.}} \) Der flater den ut, siden \( y' \) er nær \( 0 \) rundt \( {x = 0}\text{,} \) og så stiger den bratt igjen. Avlest fra feltet passerer kurven \( {x = 0} \) nær \( {y = 0{,}3}\text{,} \) altså under \( y_2\text{.} \) To så lange Euler-steg bommer her, fordi stigningen endrer seg raskt mellom \( {x = -1} \) og \( {x = 0}\text{.} \)

TMA4100 konteeksamen 2022

Oppgave 1

Gitt initialverdiproblemet
y′=1+2xy2,y(0)=1. y' = 1 + 2xy^2, \quad y(0) = 1\text{.}
Bruk Eulers metode med skrittlengde h=0,1 {h = 0{,}1} til å finne tilnærmingsverdier for y(0,1) y(0{,}1) og y(0,2). y(0{,}2)\text{.} Vis utregningene du bruker for å regne ut de to tilnærmingsverdiene.
Vis løsning på oppgave 1

Svar

y(0,1)≈1,1‾‾ \underline{\underline{y(0{,}1) \approx 1{,}1}}
y(0,2)≈1,2242‾‾ \underline{\underline{y(0{,}2) \approx 1{,}2242}}
Eulers metode går fra ett punkt til det neste langs stigningstallet som differensiallikningen gir. Vi tar to skritt, fra \( {x = 0} \) til \( {x = 0{,}2}\text{.} \)
1. Skriv opp Eulers metode Eulers metode forteller oss at: \[ y_{n+1} = \textcolor{blue}{y_n} + \textcolor{green}{h} \cdot \textcolor{red}{f(x_n, y_n)} \]Du kan se metoden i videoen Eulers metode.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(x, y)} &= \textcolor{red}{1 + 2xy^2} \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{0{,}1} \\ x_0 &= 0 \\ \textcolor{blue}{y_0} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]
2. Ta det første skrittet Stigningstallet i punktet \( (0, 1) \) er: \[ \textcolor{red}{f(0, 1)} = 1 + 2 \cdot 0 \cdot 1^2 = \textcolor{red}{1} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ y_1 = \textcolor{blue}{1} + \textcolor{green}{0{,}1} \cdot \textcolor{red}{1} = \underline{1{,}1} \]
3. Ta det andre skrittet Nå står vi i \( {x_1 = 0{,}1} \) med \( {\textcolor{blue}{y_1} = \textcolor{blue}{1{,}1}}\text{.} \) Stigningstallet der er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(0{,}1;\ 1{,}1)} &= 1 + 2 \cdot 0{,}1 \cdot 1{,}1^2 \\ &= 1 + 0{,}2 \cdot 1{,}21 \\ &= \textcolor{red}{1{,}242} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ y_2 = \textcolor{blue}{1{,}1} + \textcolor{green}{0{,}1} \cdot \textcolor{red}{1{,}242} = \underline{1{,}2242} \]