Universitetseksamen etter tema

Først setter vi \( f(x) \) inn i formelen for buelengde. Integralet kan vi ikke løse for hånd, så vi fyller ut Simpsons regel med fire delintervaller.

1. Sett opp buelengden Formelen for buelengde forteller oss at: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + (\textcolor{red}{f'(x)})^2}\,dx \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Buelengde formel.

Her er, med potensregelen fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} a &= 0 \\ b &= 1 \\ \textcolor{red}{f'(x)} &= \textcolor{red}{4x^3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} L &= \int_0^1 \sqrt{1 + (\textcolor{red}{4x^3})^2}\,dx \\ &= \int_0^1 \sqrt{1 + 16x^6}\,dx \end{aligned} \]

2. Finn verdiene til funksjonen Simpsons regel med fire delintervaller forteller oss at: \[ \begin{aligned} L \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\Delta x}}{3} \big( &g(x_0) + 4g(x_1) + 2g(x_2) \\ &+ 4g(x_3) + g(x_4) \big) \end{aligned} \]Du ser den i videoen Simpson's Regel.

Her er \( {g(x) = \sqrt{1 + 16x^6}} \) og: \[ \textcolor{blue}{\Delta x} = \dfrac{1 - 0}{4} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} \]

Punktene er \( {x_i = i \cdot \textcolor{blue}{\Delta x}}\text{:} \) vi begynner på \( {x_0 = 0} \) og legger til \( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} \) hver gang. Det gir: \[ \begin{aligned} g(0) &= 1 \\ g\left(\dfrac{1}{4}\right) &= \sqrt{1 + \dfrac{1}{256}} = \dfrac{\sqrt{257}}{16} \\ g\left(\dfrac{1}{2}\right) &= \sqrt{1 + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2} \\ g\left(\dfrac{3}{4}\right) &= \sqrt{1 + \dfrac{729}{256}} = \dfrac{\sqrt{985}}{16} \\ g(1) &= \sqrt{17} \end{aligned} \]

3. Fyll ut Simpsons regel Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} L \approx \dfrac{\textcolor{blue}{1/4}}{3} \Big( &1 + 4 \cdot \dfrac{\sqrt{257}}{16} + 2 \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2} \\ &+ 4 \cdot \dfrac{\sqrt{985}}{16} + \sqrt{17} \Big) \end{aligned} \]

Vi forkorter, og samler \( {\dfrac{\textcolor{blue}{1/4}}{3} = \dfrac{1}{12}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} L \approx \dfrac{1}{12} \Big( &1 + \dfrac{\sqrt{257}}{4} + \sqrt{5} \\ &+ \dfrac{\sqrt{985}}{4} + \sqrt{17} \Big) \end{aligned} \]

Vi taster dette inn på kalkulatoren og runder av til tre desimaler: \[ L \approx 1{,}601 \]

Vi følger vinket: først \( f'(x)\text{,} \) så setter vi inn i formelen for buelengde. Integralet løser vi med substitusjon.

1. Vis formelen for den deriverte Logaritmeregelen for en brøk forteller oss at: \[ \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}}\right) = \ln(\textcolor{red}{a}) - \ln(\textcolor{blue}{b}) \]Se videoen Naturlige Logaritmer. Her er \( {\textcolor{red}{e^x - 1}} \) og \( {\textcolor{blue}{e^x + 1}} \) positive på \( [1, 2]\text{,} \) så: \[ f(x) = \ln(\textcolor{red}{e^x - 1}) - \ln(\textcolor{blue}{e^x + 1}) \]

Kjerneregelen for \( \ln(u) \) forteller oss at: \[ (\ln(u))' = \dfrac{1}{u} \cdot u' \]Se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er \( {u' = e^x} \) i begge leddene, så: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{e^x}{\textcolor{red}{e^x - 1}} - \dfrac{e^x}{\textcolor{blue}{e^x + 1}} \\ &= \dfrac{e^x(e^x + 1) - e^x(e^x - 1)}{e^{2x} - 1} \\ &= \dfrac{2e^x}{e^{2x} - 1} \end{aligned} \]

Vi deler over og under brøkstreken med \( e^x\text{,} \) og bruker at \( {\sinh(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}}\text{:} \) \[ f'(x) = \dfrac{2}{e^x - e^{-x}} = \dfrac{1}{\sinh(x)} \]

2. Sett inn i formelen for buelengde Formelen for buelengde forteller oss at: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Buelengde formel.

Vi bruker at: \[ \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} 1 + (f'(x))^2 &= 1 + \dfrac{1}{\sinh^2(x)} \\ &= \dfrac{\sinh^2(x) + 1}{\sinh^2(x)} \\ &= \dfrac{\cosh^2(x)}{\sinh^2(x)} \end{aligned} \]

På \( [1, 2] \) er både \( \cosh(x) \) og \( \sinh(x) \) positive, så roten blir brøken uten kvadrat: \[ L = \int_1^2 \dfrac{\cosh(x)}{\sinh(x)}\,dx \]

3. Regn ut integralet Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{s}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{s} &= \textcolor{green}{\sinh(x)} \\ ds &= \cosh(x)\,dx \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} L &= \int_{\sinh(1)}^{\sinh(2)} \dfrac{1}{\textcolor{green}{s}}\,ds \\ &= \Big[\ln(\textcolor{green}{s})\Big]_{\sinh(1)}^{\sinh(2)} \\ &= \ln\left(\dfrac{\sinh(2)}{\sinh(1)}\right) \end{aligned} \]

Buelengden er gitt av en formel med \( f'(x)\text{.} \) Vi finner \( f'(x) \) fra integralet, setter inn i formelen, og bruker så vinket til å bli kvitt roten.

1. Finn den deriverte Når \( g \) er kontinuerlig og vi deriverer et integral med \( x \) som øvre grense, bytter vi bare \( t \) med \( x\text{:} \) \[ \left(\int_a^x g(t)\,dt\right)' = g(x) \]Dette ser du i videoen Løs integralligningen.

Her er \( {g(t) = \sqrt{\cos t}}\text{,} \) som er kontinuerlig på intervallet, så: \[ \textcolor{red}{f'(x)} = \textcolor{red}{\sqrt{\cos x}} \]

2. Sett inn i buelengdeformelen Buelengdeformelen forteller oss at når \( f' \) er kontinuerlig, er: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \textcolor{red}{f'(x)}^2}\,dx \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Buelengde formel.

Her er \( {a = 0} \) og \( {b = \dfrac{\pi}{2}}\text{.} \) På dette intervallet er \( {\cos x \ge 0}\text{,} \) så: \[ \textcolor{red}{f'(x)}^2 = \left(\textcolor{red}{\sqrt{\cos x}}\right)^2 = \cos x \]

Plugger vi dette inn, får vi integralet i oppgaven: \[ L = \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sqrt{1 + \cos x}\,dx \]

3. Skriv om roten Vinket med \( {\textcolor{blue}{y} = \textcolor{blue}{\dfrac{x}{2}}} \) gir: \[ 1 + \cos x = 2\cos^2\left(\textcolor{blue}{\dfrac{x}{2}}\right) \]

Når \( {x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]}\text{,} \) er \( {\textcolor{blue}{\dfrac{x}{2}} \in \left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]}\text{.} \) Der er cosinus positiv, så vi slipper absoluttverdien: \[ \sqrt{1 + \cos x} = \sqrt{2}\,\cos\left(\textcolor{blue}{\dfrac{x}{2}}\right) \]

4. Regn ut integralet Integrasjonsregelen for cosinus forteller oss at: \[ \int \cos(\textcolor{green}{n}x)\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n}}\sin(\textcolor{green}{n}x) + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) så \( {\dfrac{1}{\textcolor{green}{n}} = 2}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} L &= \sqrt{2}\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) dx \\ &= \sqrt{2}\left[2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right]_0^{\tfrac{\pi}{2}} \\ &= 2\sqrt{2}\left(\sin\dfrac{\pi}{4} - \sin 0\right) \\ &= 2\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2 \end{aligned} \]

Vi deriverer logaritmen med kjerneregelen og brøken med kvotientregelen. Buelengden gir så akkurat integralet av \( \dfrac{1}{\cos x}\text{,} \) og det har vi nettopp funnet.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{g})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{g}} \cdot \textcolor{green}{g'} \]Den står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{g} = \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}}}\text{,} \) som er positiv på intervallet.

2. Deriver kjernen med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1 + \sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-\sin x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{g'} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{\cos x}\textcolor{blue}{\cos x} - (\textcolor{red}{1 + \sin x})(\textcolor{blue}{-\sin x})}{\textcolor{blue}{\cos^2 x}} \\ &= \dfrac{\cos^2 x + \sin x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{1 + \sin x}{\cos^2 x} \end{aligned} \]Her brukte vi \( {\sin^2 x + \cos^2 x = 1}\text{.} \)

3. Sett sammen Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{d}{dx}\left(\ln\left(\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}\right)\right) \\ &= \textcolor{green}{\dfrac{\cos x}{1 + \sin x}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos^2 x}} \\ &= \dfrac{1}{\cos x} \end{aligned} \]

4. Sett opp buelengden Buelengdeformelen forteller oss at: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + (\textcolor{darkorange}{f'(x)})^2}\,dx \]Den kommer vi frem til i videoen Buelengde formel.

Kjerneregelen gir oss den deriverte av \( {f(x) = \ln(\cos x)}\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{f'(x)} = \dfrac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = \textcolor{darkorange}{-\tan x} \]

Under roten får vi: \[ \begin{aligned} 1 + \tan^2 x &= \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{1}{\cos^2 x} \end{aligned} \]

På intervallet er \( {\cos x > 0}\text{,} \) så: \[ \sqrt{1 + \tan^2 x} = \dfrac{1}{\cos x} \]

5. Regn ut integralet Det vi viste først, gir oss den antideriverte: \[ \begin{aligned} L &= \int_0^{\pi/4} \dfrac{1}{\cos x}\,dx \\ &= \left[\ln \textcolor{green}{g(x)}\right]_0^{\pi/4} \end{aligned} \]

Her er \( {\textcolor{green}{g(x)} = \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}}}\text{.} \) Vi setter inn grensene, med \( {\sin \dfrac{\pi}{4} = \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{g\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} &= \dfrac{1 + \sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2} + 1 \\ \textcolor{green}{g(0)} &= \dfrac{1 + 0}{1} = 1 \end{aligned} \]

Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) står vi igjen med: \[ L = \ln(1 + \sqrt{2}) \]