Universitetseksamen etter tema

Vi regner ut grensen i forholdstesten og ser hva den gir. Så ser vi bort fra de første leddene og sammenligner resten med en p-rekke.

1. Skriv opp forholdstesten Forholdstesten forteller oss at vi ser på grensen: \[ \rho = \lim_{n \to \infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| \]Rekken konvergerer absolutt når \( {\rho < 1}\text{,} \) divergerer når \( {\rho > 1}\text{,} \) og testen sier ingenting når \( {\rho = 1}\text{.} \) Dette ser du i videoen Forholdstest, med eksempel!!.

Her er: \[ a_n = \dfrac{\ln\left(\tfrac{n}{100}\right)}{n^{2023}} \]

2. Regn ut grensen For \( {n > 100} \) er leddene positive, så absoluttverdien faller bort. Å dele på \( a_n \) er det samme som å gange med den omvendte brøken: \[ \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{\ln\left(\tfrac{n+1}{100}\right)}{(n+1)^{2023}} \cdot \dfrac{n^{2023}}{\ln\left(\tfrac{n}{100}\right)} \]

Vi samler det som hører sammen: \[ \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \textcolor{red}{\dfrac{\ln\left(\tfrac{n+1}{100}\right)}{\ln\left(\tfrac{n}{100}\right)}} \cdot \textcolor{blue}{\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{2023}} \]

Den blå faktoren går mot \( 1^{2023}\text{:} \) \[ \lim_{n \to \infty} \textcolor{blue}{\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{2023}} = \textcolor{blue}{1} \]

Den røde gir \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{,} \) så vi bruker L'Hôpitals regel. Den forteller oss at: \[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{f(n)}{g(n)} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{f'(n)}{g'(n)} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen L'Hopitals regel.

Vi deriverer med \( n \) som en variabel: \[ \left(\ln\tfrac{n}{100}\right)' = (\ln n - \ln 100)' = \dfrac{1}{n} \]

Telleren får på samme måte \( {\dfrac{1}{n+1}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \textcolor{red}{\dfrac{\ln\left(\tfrac{n+1}{100}\right)}{\ln\left(\tfrac{n}{100}\right)}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{\tfrac{1}{n+1}}{\tfrac{1}{n}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n+1} = \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \rho = \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{1} = 1 \]

Forholdstesten kan derfor ikke avgjøre om rekken konvergerer absolutt.

3. Forklar de negative leddene Vi deler rekken i to: \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \textcolor{darkorange}{\sum_{n=1}^{100} a_n} + \sum_{n=101}^{\infty} a_n \]

Den første summen er endelig mange tall lagt sammen, altså et vanlig tall: \[ \textcolor{darkorange}{\sum_{n=1}^{100} a_n} = \text{et endelig tall} \]

Om rekken konvergerer, avgjøres derfor bare av halen, og der er alle leddene positive.

4. Sammenlign med en p-rekke Grensesammenligningstesten forteller oss at hvis \( {a_n, \textcolor{green}{b_n} > 0}\text{,} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{\textcolor{green}{b_n}} = 0 \text{ og } \sum \textcolor{green}{b_n} \text{ konvergerer} \\ &\Rightarrow \ \sum a_n \text{ konvergerer} \end{aligned} \]

P-rekkeregelen, som i videoen Integraltest & P-rekker, forteller oss at: \[ \sum \dfrac{1}{n^p} \text{ konvergerer når } p > 1 \]

Vi velger \( {\textcolor{green}{b_n} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{n^2}}}\text{.} \) Her er \( {p = 2 > 1}\text{,} \) så den konvergerer.

Plugger vi dette inn og bruker grensen fra oppgaven med \( {q = 2021}\text{,} \) får vi: \[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{\textcolor{green}{1/n^2}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\ln\left(\tfrac{n}{100}\right)}{n^{2021}} = 0 \]

Halen konvergerer altså, og et endelig tall pluss en konvergent hale er konvergent: \[ \begin{aligned} &\sum_{n=101}^{\infty} a_n \text{ konvergerer} \\ &\Rightarrow \ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ konvergerer} \end{aligned} \]

Integralet er en funksjon av \( b\text{.} \) Vi regner det ut, deriverer med hensyn på \( b\text{,} \) og finner toppunktet med et fortegnsskjema.

1. Regn ut integralet Potensregelen for integrasjon forteller oss at: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi integrerer ledd for ledd og kaller integralet \( F(b)\text{:} \) \[ \begin{aligned} F(b) &= \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^b \\ &= \dfrac{b^2}{2} - \dfrac{b^3}{3} \end{aligned} \]

2. Finn nullpunktene til den deriverte Vi deriverer og faktoriserer ut \( \textcolor{darkorange}{b}\text{:} \) \[ F'(b) = b - b^2 = \textcolor{darkorange}{b}(\textcolor{magenta}{1 - b}) \]

Setter vi \( {F'(b) = 0}\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{darkorange}{b} = 0 \quad \text{eller} \quad \textcolor{magenta}{1 - b} = 0 \]Siden \( {b > 0}\text{,} \) står vi igjen med \( {b = 1}\text{.} \)

3. Sett opp fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. I skjemaet skriver vi \( x \) for \( b\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [1], "start": 0, "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{1 - x}", "expr": "1 - x"}, {"label": "F'(x)", "expr": "x(1 - x)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {b = 1} \) går \( F'(b) \) fra pluss til minus. \( F \) stiger fram til \( {b = 1} \) og synker etter det, så integralet er størst for \( {b = 1}\text{.} \) Verdien er: \[ F(1) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} \]

Dette er en lineær førsteordens differensiallikning, så vi bruker en integrerende faktor. Til slutt finner vi konstanten fra \( {y(0) = 5}\text{.} \)

1. Finn den integrerende faktoren Likningen har formen \( {y' + \textcolor{magenta}{P(x)}y = Q(x)}\text{.} \) Den integrerende faktoren er: \[ \textcolor{darkorange}{I(x)} = e^{\int \textcolor{magenta}{P(x)}\,dx} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Integrerende faktor.

Her er \( {\textcolor{magenta}{P(x)} = \textcolor{magenta}{-2x}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \int \textcolor{magenta}{(-2x)}\,dx &= -x^2 \\ \textcolor{darkorange}{I(x)} &= \textcolor{darkorange}{e^{-x^2}} \end{aligned} \]

2. Gang inn faktoren Vi ganger begge sider med \( {\textcolor{darkorange}{e^{-x^2}}}\text{.} \) Høyre side forenkles, siden \( {e^{-x^2} \cdot e^{x^2} = 1}\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{e^{-x^2}}y' - 2x\textcolor{darkorange}{e^{-x^2}}y = \dfrac{1}{(x + 1)^2} \]

Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'} \]Den finner du i videoen Produktregelen.

Her er \( \textcolor{red}{u} \) den integrerende faktoren. Den deriverer vi med kjerneregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(e^{\textcolor{green}{k}}\right)' = \textcolor{green}{k'}e^{\textcolor{green}{k}} \]

Med kjernen \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-x^2}} \) og \( {\textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{-2x}} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^{-x^2}} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-2xe^{-x^2}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{y} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{y'} \end{aligned} \]

Venstre side er altså den deriverte av et produkt: \[ \left(\textcolor{red}{e^{-x^2}}\textcolor{blue}{y}\right)' = \dfrac{1}{(x + 1)^2} \]

3. Integrer begge sider Vi skriver \( {\dfrac{1}{(x + 1)^2} = (x + 1)^{-2}} \) og bruker potensregelen fra videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

Kjernen \( {x + 1} \) har derivert \( 1\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \int (x + 1)^{-2}\,dx &= \dfrac{(x + 1)^{-1}}{-1} + C \\ &= -\dfrac{1}{x + 1} + C \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ e^{-x^2}y = C - \dfrac{1}{x + 1} \]

Ganger vi begge sider med \( e^{x^2}\text{,} \) får vi: \[ y = e^{x^2}\left(C - \dfrac{1}{x + 1}\right) \]

4. Bruk initialbetingelsen Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {y = 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5 &= e^0\left(C - \dfrac{1}{0 + 1}\right) \\ 5 &= C - 1 \\ C &= 6 \end{aligned} \]

Hvert ledd avhenger av det forrige, så vi viser at følgen er avtagende med induksjon. Da konvergerer den, og grensen finner vi ved å la \( n \) gå mot uendelig i formelen.

1. Vis at følgen er avtagende Vi viser med induksjon at dette gjelder for alle \( n\text{:} \) \[ a_{n+1} < a_n \le 1 \]

Vi starter med \( {n = 1}\text{:} \) \[ a_2 = \dfrac{1}{3 - 1} = \dfrac{1}{2} < 1 = a_1 \]

Så antar vi at det gjelder for en \( k\text{:} \) \[ \textcolor{red}{a_{k+1}} < \textcolor{blue}{a_k} \le 1 \]

Da blir \( {\textcolor{red}{a_{k+1}} \le 1}\text{,} \) slik at del to av påstanden holder for \( {k + 1}\text{.} \) Trekker vi leddene fra \( 3\text{,} \) snur ulikheten, og begge nevnerne er positive: \[ 3 - \textcolor{red}{a_{k+1}} > 3 - \textcolor{blue}{a_k} \ge 2 \]

Når vi tar den omvendte brøken av to positive tall, snur ulikheten igjen: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3 - \textcolor{red}{a_{k+1}}} &< \dfrac{1}{3 - \textcolor{blue}{a_k}} \\ a_{k+2} &< \textcolor{red}{a_{k+1}} \end{aligned} \]

Påstanden gjelder altså for \( {k + 1} \) også, og dermed for alle \( n\text{.} \)

2. Forklar at følgen konvergerer Følgen er avtagende og kan ikke gå under \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} &a_{n+1} < a_n \ \text{ og } \ a_n \ge 0 \\ &\Rightarrow \ \lim_{n \to \infty} a_n = L \text{ finnes} \end{aligned} \]

En avtagende følge som er nedad begrenset, må konvergere. Den kan ikke fortsette nedover forbi \( 0\text{,} \) så den flater ut mot et tall \( L\text{.} \) Hva det betyr at en følge konvergerer, ser du i videoen Konvergens og divergens følger.

3. Sett opp en likning for grensen Når \( n \) går mot uendelig, går både \( a_n \) og \( {a_{n+1}} \) mot \( L\text{:} \) \[ L = \dfrac{1}{3 - L} \]

Ganger vi med \( {3 - L} \) og samler alt på én side, får vi: \[ \begin{aligned} L(3 - L) &= 1 \\ 3L - L^2 &= 1 \\ L^2 - 3L + 1 &= 0 \end{aligned} \]

4. Løs andregradslikningen abc-formelen, her med bokstavene \( p, q, r\text{,} \) forteller oss at: \[ L = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Du ser den i bruk i videoen Grenseverdier.

Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ L = \dfrac{\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{9} - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{1}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \]

Alle leddene er høyst \( 1\text{,} \) så den ene løsningen er for stor: \[ L \le 1 < \dfrac{3}{2} < \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \]

Da står vi igjen med: \[ L = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \]

Grafen er \( \sqrt{x} \) speilet om \( {y\text{-aksen.}} \) Vi setter uttrykket inn i Newtons formel på hver side av \( 0 \) og ser hvor neste punkt havner.

1. Skisser grafen For \( {x \ge 0} \) er grafen vanlig \( \sqrt{x}\text{.} \) Siden \( {|-x| = |x|}\text{,} \) er \( {f(-x) = f(x)}\text{,} \) så venstre side er den samme grafen speilet om \( {y\text{-aksen.}} \) Noen punkter: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(\pm 1) &= 1 \\ f(\pm 4) &= 2 \end{aligned} \]

2. Skriv opp Newtons metode Newtons metode forteller oss at: \[ x_{n+1} = \textcolor{blue}{x_n} - \dfrac{\textcolor{red}{f(x_n)}}{\textcolor{green}{f'(x_n)}} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Newtons metode.

3. Regn ut steget for positive tall Vi skriver \( {\sqrt{x} = x^{\tfrac{1}{2}}} \) og deriverer, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(x^{\tfrac{1}{2}}\right)' = \dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]

For \( {x > 0} \) er: \[ \textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{\sqrt{x}}, \quad \textcolor{green}{f'(x)} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}} \]

Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{x} - \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{x}}}{\textcolor{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}} \\ &= \textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{\sqrt{x}} \cdot \textcolor{green}{2\sqrt{x}} \\ &= \textcolor{blue}{x} - 2x = -x \end{aligned} \]

4. Regn ut steget for negative tall For \( {x < 0} \) bruker vi kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ \left(\sqrt{\textcolor{magenta}{k}}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{magenta}{k}}} \cdot \textcolor{magenta}{k'} \]

Med kjernen \( {\textcolor{magenta}{k} = \textcolor{magenta}{-x}} \) og \( {\textcolor{magenta}{k'} = \textcolor{magenta}{-1}} \) er: \[ \textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{\sqrt{-x}}, \quad \textcolor{green}{f'(x)} = \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}} \]

Plugger vi dette inn, får vi samme resultat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{x} - \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{-x}}}{\textcolor{green}{-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}}} \\ &= \textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{\sqrt{-x}} \cdot \textcolor{green}{2\sqrt{-x}} \\ &= \textcolor{blue}{x} + 2(-x) = -x \end{aligned} \]

5. Konkluder Hvert steg bytter altså bare fortegn: \[ \begin{aligned} x_{n+1} &= -x_n \\ x_0, x_1, x_2, \ldots &= x_0,\ -x_0,\ x_0,\ \ldots \end{aligned} \]

Tangenten i \( x_0 \) skjærer \( {x\text{-aksen}} \) i \( {-x_0}\text{,} \) og tangenten der skjærer den i \( x_0 \) igjen:

Avstanden til nullpunktet er hele tiden \( |x_0|\text{,} \) så følgen nærmer seg aldri \( 0\text{.} \) Starter vi i \( {x_0 = 0}\text{,} \) går det heller ikke, siden \( f'(0) \) ikke finnes: grafen står loddrett der.

Vi samler alt i én funksjon. Skjærsetningen gir at den har et nullpunkt, og den deriverte viser at det bare er ett. Så bytter vi \( {e^{-x^2}} \) med polynomet og løser likningen.

1. Vis at det finnes en løsning Vi kaller differansen \( h(x)\text{:} \) \[ h(x) = e^{-x^2} - x^2 \]

Skjærsetningen forteller oss at hvis \( h \) er kontinuerlig på \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}]\text{,} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &h(\textcolor{blue}{a}) \cdot h(\textcolor{red}{b}) < 0 \\ &\Rightarrow \ h(c) = 0 \text{ for en } c \in (\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på skjærsetningen, kan du se videoen Skjærsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{.} \) \( h \) er kontinuerlig, siden \( {e^{-x^2}} \) og \( x^2 \) er det. Vi setter inn endepunktene: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{blue}{0}) &= e^0 - 0 = 1 > 0 \\ h(\textcolor{red}{1}) &= \dfrac{1}{e} - 1 < 0 \end{aligned} \]

Fortegnet skifter, så det finnes en løsning: \[ \begin{aligned} &h(\textcolor{blue}{0}) \cdot h(\textcolor{red}{1}) < 0 \\ &\Rightarrow \ h(r) = 0 \text{ for en } r \in (0, 1) \end{aligned} \]

2. Vis at det bare er én Vi deriverer med kjerneregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = \textcolor{green}{u'}e^{\textcolor{green}{u}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-x^2}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-2x}}\text{,} \) og med \( {-2x} \) satt utenfor, får vi: \[ \begin{aligned} h'(x) &= -2xe^{-x^2} - 2x \\ &= -2x\left(e^{-x^2} + 1\right) \end{aligned} \]

Parentesen er positiv, så for \( x \in (0, 1] \) er: \[ h'(x) < 0 \]

\( h \) er altså strengt synkende på \( [0, 1] \) og kan bare krysse \( 0 \) én gang: \[ h(x) = 0 \text{ for nøyaktig én } x = r \]

3. Finn taylorpolynomet Maclaurinrekken til \( e^{\textcolor{green}{u}} \) er, siden alle de deriverte er \( 1 \) i \( {\textcolor{green}{u} = 0}\text{:} \) \[ e^{\textcolor{green}{u}} = 1 + \textcolor{green}{u} + \dfrac{\textcolor{green}{u}^2}{2!} + \dfrac{\textcolor{green}{u}^3}{3!} + \ldots \]Formelen står i videoen Taylor & Mclauren polynomer DEL 2, og innsettingen vises i Oppgave 2c - Integral ved hjelp av potensrekke.

Vi setter inn \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-x^2}} \) og tar med leddene opp til grad 4: \[ P_4(x) = 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{2} \]

4. Løs likningen med polynomet Vi bytter \( {e^{-x^2}} \) med \( P_4 \) og kaller løsningen \( t\text{:} \) \[ 1 - t^2 + \dfrac{t^4}{2} = t^2 \]

Ganger vi med \( 2 \) og samler alt på én side, får vi: \[ t^4 - 4t^2 + 2 = 0 \]

Dette er en andregradslikning i \( {s = t^2}\text{:} \) \[ s^2 - 4s + 2 = 0 \]

abc-formelen, her med bokstavene \( p, q, r\text{,} \) forteller oss at: \[ s = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Du ser den i bruk i videoen Grenseverdier.

Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-4}, \quad \textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ s = \dfrac{\textcolor{red}{4} \pm \sqrt{\textcolor{red}{16} - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = 2 \pm \sqrt{2} \]

Vi leter etter \( t \in [0, 1]\text{,} \) så \( {s = t^2 \le 1}\text{.} \) Da faller \( {2 + \sqrt{2}} \) bort, og vi tar den positive roten av den andre: \[ t = \sqrt{2 - \sqrt{2}} \approx 0{,}765 \]

Nevneren er allerede faktorisert, og telleren har lavere grad enn nevneren. Vi bruker derfor delbrøksoppspalting.

1. Sett opp delbrøkene Nevneren har tre ulike lineære faktorer, så hver får sin delbrøk med en konstant i telleren, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2}{(x + 1)(x - 1)(x - 2)} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{A}}{x + 1} + \dfrac{\textcolor{blue}{B}}{x - 1} + \dfrac{\textcolor{green}{D}}{x - 2} \end{aligned} \]

Ganger vi med hele nevneren, får vi: \[ \begin{aligned} x^2 = \;& \textcolor{red}{A}(x - 1)(x - 2) \\ &+ \textcolor{blue}{B}(x + 1)(x - 2) \\ &+ \textcolor{green}{D}(x + 1)(x - 1) \end{aligned} \]

2. Finn konstantene Likningen gjelder for alle \( x\text{.} \) Setter vi inn nullpunktene til nevneren, faller to av leddene bort.

\( {x = -1} \) gir: \[ \begin{aligned} 1 &= \textcolor{red}{A} \cdot (-2) \cdot (-3) = 6\textcolor{red}{A} \\ \textcolor{red}{A} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} \end{aligned} \]

\( {x = 1} \) gir: \[ \begin{aligned} 1 &= \textcolor{blue}{B} \cdot 2 \cdot (-1) = -2\textcolor{blue}{B} \\ \textcolor{blue}{B} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

\( {x = 2} \) gir: \[ \begin{aligned} 4 &= \textcolor{green}{D} \cdot 3 \cdot 1 = 3\textcolor{green}{D} \\ \textcolor{green}{D} &= \textcolor{green}{\dfrac{4}{3}} \end{aligned} \]

3. Integrer ledd for ledd Hvert ledd integrerer vi med regelen fra videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Absoluttverdien tar med at \( {x + n} \) kan være negativ: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]

Plugger vi inn konstantene, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\textcolor{red}{1/6}}{x + 1}\,dx &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}}\ln|x + 1| \\ \int \dfrac{\textcolor{blue}{-1/2}}{x - 1}\,dx &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}}\ln|x - 1| \\ \int \dfrac{\textcolor{green}{4/3}}{x - 2}\,dx &= \textcolor{green}{\dfrac{4}{3}}\ln|x - 2| \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, med én felles konstant \( C\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\dfrac{1}{6}}\ln|x + 1| \textcolor{blue}{- \dfrac{1}{2}}\ln|x - 1| \\ &+ \textcolor{green}{\dfrac{4}{3}}\ln|x - 2| + C \end{aligned} \]

Den vertikale avstanden er forskjellen mellom de to y-verdiene for samme \( x\text{.} \) Vi skriver den som en funksjon av \( x \) og finner bunnpunktet.

1. Sett opp avstanden På figuren ligger \( y_1 \) over \( y_2\text{,} \) så vi trekker \( y_2 \) fra \( y_1\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{d(x)} &= (x^2 + 1) - (x - x^2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2 - x + 1} \end{aligned} \]

2. Finn bunnpunktet Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer \( \textcolor{red}{d(x)} \) ledd for ledd, og konstanten \( 1 \) blir \( 0\text{:} \) \[ d'(x) = 2 \cdot 2x - 1 + 0 = 4x - 1 \]

I et bunnpunkt er den deriverte null, som i videoen Hva er et kritisk punkt: \[ \begin{aligned} 4x - 1 &= 0 \\ \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]

Den andrederiverte er positiv, så grafen til \( d \) åpner oppover og dette er bunnpunktet: \[ d''(x) = 4 > 0 \]

3. Regn ut avstanden Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{x = \dfrac{1}{4}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} d\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}}\right) &= 2 \cdot \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}}\right)^2 - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} + 1 \\ &= \dfrac{1}{8} - \dfrac{2}{8} + \dfrac{8}{8} = \dfrac{7}{8} \end{aligned} \]

Minste verdi er positiv, så \( y_1 \) ligger over \( y_2 \) for alle \( x\text{,} \) ikke bare på figuren.

Newtons metode finner nullpunkter. Vi flytter derfor alt over på én side, deriverer og itererer til de to første desimalene ligger fast.

1. Lag en funksjon Vi trekker høyresiden fra venstresiden. Løsningen er nullpunktet til: \[ f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1} - \sqrt{1 - x} \]

2. Deriver brøken Vi deriverer de to leddene hver for seg: \[ f'(x) = \left(\dfrac{x}{x^2 + 1}\right)' - \left(\sqrt{1 - x}\right)' \]

Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{x}{x^2 + 1}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{x^2 + 1}) - \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 + 1})^2} \\ &= \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \end{aligned} \]

3. Deriver roten Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\sqrt{\textcolor{green}{w}}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{green}{w}}} \cdot \textcolor{green}{w'} \]Dette er regelen fra videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{w} &= \textcolor{green}{1 - x} & \textcolor{green}{w'} &= \textcolor{green}{-1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \left(\sqrt{\textcolor{green}{1 - x}}\right)' = \dfrac{\textcolor{green}{-1}}{2\sqrt{\textcolor{green}{1 - x}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} - \left(\dfrac{-1}{2\sqrt{1 - x}}\right) \\ &= \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} + \dfrac{1}{2\sqrt{1 - x}} \end{aligned} \]

4. Bruk Newtons metode Newtons metode forteller oss at: \[ x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Newtons metode.

Med \( {x_0 = 0{,}8} \) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} f(0{,}8) &\approx 0{,}04059 \\ f'(0{,}8) &\approx 1{,}25188 \\ x_1 &\approx 0{,}8 - \dfrac{0{,}04059}{1{,}25188} \\ &\approx 0{,}76758 \end{aligned} \]

Med \( x_1 \) i stedet for \( x_0 \) får vi: \[ \begin{aligned} f(x_1) &\approx 0{,}00090 \\ f'(x_1) &\approx 1{,}19979 \\ x_2 &\approx 0{,}76758 - \dfrac{0{,}00090}{1{,}19979} \\ &\approx 0{,}76683 \end{aligned} \]

5. Sjekk de to desimalene Både \( x_1 \) og \( x_2 \) blir \( 0{,}77 \) avrundet. For å være sikre sjekker vi fortegnet rett på hver side av avrundingsintervallet: \[ \begin{aligned} f(0{,}765) &\approx -0{,}0022 < 0 \\ f(0{,}775) &\approx 0{,}0098 > 0 \end{aligned} \]

\( f \) er kontinuerlig og skifter fortegn, så nullpunktet ligger mellom \( 0{,}765 \) og \( 0{,}775\text{.} \)

Vi finner skjæringspunktene, skisserer området og bruker skallmetoden, der radius er avstanden til linjen \( {x = 1}\text{.} \)

1. Finn skjæringspunktene Vi setter funksjonene lik hverandre og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} x^2 + x + 1 &= 2 - x^2 \\ 2x^2 + x - 1 &= 0 \end{aligned} \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{-1 \pm 3}{4} \\ x &= -1 \quad \vee \quad x = \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Skisser området Funksjonsverdiene i skjæringspunktene er: \[ \begin{aligned} f(-1) &= g(-1) = 1 \\ f\left(\dfrac{1}{2}\right) &= g\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{7}{4} \end{aligned} \]

Mellom skjæringspunktene ligger \( g \) øverst. Det ser vi i \( {x = 0}\text{:} \) \[ g(0) = 2 > 1 = f(0) \]

3. Sett opp volumet Skallmetoden forteller oss at: \[ V = 2\pi \int_a^b \textcolor{red}{r(x)} \cdot \textcolor{blue}{h(x)}\,dx \]Om \( {y\text{-aksen}} \) er radius \( x\text{,} \) som i videoen Omdreiningslegeme y-akse. Om en annen loddrett linje er radius avstanden til linjen, som i videoen Omdreining om x = 3.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{r(x)} &= \textcolor{red}{1 - x} \\ \textcolor{blue}{h(x)} &= g(x) - f(x) = \textcolor{blue}{1 - x - 2x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, med grensene fra skjæringspunktene, får vi: \[ \begin{aligned} V = 2\pi \int_{-1}^{1/2} &(\textcolor{red}{1 - x}) \\ &\cdot (\textcolor{blue}{1 - x - 2x^2})\,dx \end{aligned} \]

4. Regn ut integralet Vi ganger ut parentesene og integrerer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} V &= 2\pi \int_{-1}^{1/2} (1 - 2x - x^2 + 2x^3)\,dx \\ &= 2\pi \left[ x - x^2 - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^4}{2} \right]_{-1}^{1/2} \end{aligned} \]

Øvre grense gir: \[ \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{32} = \dfrac{23}{96} \]

Nedre grense gir: \[ -1 - 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{7}{6} \]

Trekker vi nedre fra øvre, får vi: \[ \begin{aligned} V &= 2\pi \left( \dfrac{23}{96} - \left(-\dfrac{7}{6}\right) \right) \\ &= 2\pi \cdot \dfrac{135}{96} = \dfrac{45\pi}{16} \end{aligned} \]